2.5.2 圆与圆的位置关系（讲义，知识点&5大题型&刷好题）高二数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦“圆与圆的位置关系”核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的几何特征，涵盖几何法（圆心距与半径关系）、代数法（联立方程判别式）两种判定方法，以及公切线、公共弦、圆系方程等内容，承接直线与圆的位置关系，通过类比构建解析几何位置关系判定的完整学习支架。 该资料以数形结合与类比转化思想为核心亮点，通过几何法优先判定、公共弦方程作差推导等实例，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维进行逻辑推理的能力。随学随练与题型分类设计，课中辅助教师高效讲解，课后助力学生巩固提升，有效弥补知识盲点。

司 第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 课标要点 1.理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的几何特征。 2.掌握几何法（圆心距与半径和、差关系）、代数法（联立方程判别式）两种判定方法。 3.掌握两圆公共弦的定义、方程求法与几何性质，能解决公共弦相关计算问题。 4.能利用圆与圆的位置关系求解参数、距离、最值等基础综合问题。 5.通过类比直线与圆的位置关系，体会数形结合、类比转化的解析几何思想。 学习重难点 重点： 1.利用几何法精准判定两圆的五种位置关系。 2.两圆公共弦方程的求解、公共弦长与垂直平分线相关计算。 3.根据两圆位置关系求解参数取值、判定交点个数。 难点： 1.区分内切与内含、外切与外离的临界条件，准确把控圆心距与半径的不等关系。 2.辨析代数法的局限性，联立方程无法区分内切、外切、内含，需结合几何法辅助判定。 3.两圆动态位置变化、公共弦最值、含参数综合问题的分析与求解。 知识点 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 特别提醒 （1）当时，两圆不会出现内切或内含的情况.若两圆的圆心距且，则两圆重合． （2）利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或是只有一解时往往还得重新用几何法来进一步确定，不如直接运用几何法简便，并且用几何法判断的结果是唯一的，因此解题时要优先选用几何法． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 知识点 两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 随学随练 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 知识点 圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2、公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 随学随练 1．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 拓展 圆系方程及其应用 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西西安通·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 题型 判断圆与圆的位置关系 ▌例1 （25-26高二上·甘肃白银·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 解题贴士 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： （1）将两圆的方程化为标准方程（若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要）； （2）分别求出两圆的圆心坐标和半径，； （3）求两圆的圆心距； （4）比较与，的大小； （5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 ▌对点练1-2 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 ▌对点练1-3 （25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 题型 利用圆与圆的位置关系求参数 ▌例2 （25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 解题贴士 求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（    ） A．14 B．28 C．9 D． ▌对点练2-2 （25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（    ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 ▌对点练2-3 （25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）已知与相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型 圆与圆的公切线问题 ▌例3 （25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 解题贴士 在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法． ▌对点练3-1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． ▌对点练3-2 （24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 ▌对点练3-3 （24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 题型 圆与圆的相交弦问题 ▌例4 （25-26高二上·山东·阶段检测）圆：与圆：的公共弦长为____. 解题贴士 求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线 的方程，再利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． ▌对点练4-2 （24-25高二上·黑龙江·阶段检测）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（    ） A．或 B． C． D． ▌对点练4-3 （24-25高二上·吉林白山·阶段检测）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 题型 距离最值问题 ▌例5 （25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 解题贴士 解题核心是依托两圆圆心距、两圆半径的固定数值，结合平面内动点到定点距离的几何性质求解最值，全程以数形结合为核心，规避复杂代数运算。 常见两类模型： 一是定点到圆上动点距离最值，动点在单圆上时，最值出现在定点与圆心连线的延长线与圆的交点，最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径（定点在圆外）； 二是两圆上动点间的距离最值，两圆固定时，圆上任意两点距离最大值为圆心距加两圆半径之和，最小值根据两圆位置关系判定，外离时为圆心距减两圆半径之和，相交、内切、内含时最小距离为0。 解题技巧为优先锁定两圆圆心、半径、圆心距三个核心量，无需联立方程，直接套用几何最值模型；处理含参数动态圆问题时，先确定圆心轨迹，再结合轨迹范围分析距离最值，同时注意区分动点、定点、双动点的题型差异，规避最值模型混用失误。 ▌对点练5-1 （24-25高二上·天津·阶段检测）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． ▌对点练5-2 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为__________. 基础通关 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆与圆外切，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 3．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C．2 D．4 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 6．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 8．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 9．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________． 10．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 素养提升 11．（24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知点为直线上的一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．2 D．1 12．（25-26高二上·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 13．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程有实数解，则正数a的最大值为_______． 14．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 15．（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 迁移创新 16．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则的最大值是（    ） A． B． C．6 D．12 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中， (1)求点所在的曲线的方程； (2)设点在直线上，若过点存在直线交曲线于两点，使得为线段的中点，求点的横坐标的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 司 第二章 直线和圆的方程 2.5.2 圆与圆的位置关系 课标要点 1.理解圆与圆外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系的几何特征。 2.掌握几何法（圆心距与半径和、差关系）、代数法（联立方程判别式）两种判定方法。 3.掌握两圆公共弦的定义、方程求法与几何性质，能解决公共弦相关计算问题。 4.能利用圆与圆的位置关系求解参数、距离、最值等基础综合问题。 5.通过类比直线与圆的位置关系，体会数形结合、类比转化的解析几何思想。 学习重难点 重点： 1.利用几何法精准判定两圆的五种位置关系。 2.两圆公共弦方程的求解、公共弦长与垂直平分线相关计算。 3.根据两圆位置关系求解参数取值、判定交点个数。 难点： 1.区分内切与内含、外切与外离的临界条件，准确把控圆心距与半径的不等关系。 2.辨析代数法的局限性，联立方程无法区分内切、外切、内含，需结合几何法辅助判定。 3.两圆动态位置变化、公共弦最值、含参数综合问题的分析与求解。 知识点 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系的判定 （1）几何法：若两圆的半径分别为，，两圆连心线的长为d． 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 交点个数 0 1 2 1 0 d与，的关系 （2）代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断． 消元，一元二次方程 特别提醒 （1）当时，两圆不会出现内切或内含的情况.若两圆的圆心距且，则两圆重合． （2）利用代数法判断两圆的位置关系时，当方程无解或是只有一解时往往还得重新用几何法来进一步确定，不如直接运用几何法简便，并且用几何法判断的结果是唯一的，因此解题时要优先选用几何法． 随学随练 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．外离 D．内含 【答案】A 【解析】圆的标准方程为，圆心，半径， 圆的标准方程为，圆心，半径， 因为，所以， 即，所以圆与圆相交.故选：A. 2．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题知：圆方程可化为：， 所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即， 所以或，而，因此. 知识点 两圆的公切线 1、公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2、两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3、两圆公切线方程的确定 （1）当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； （2）当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 随学随练 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）圆与圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【解析】圆，圆， 则，半径为；，半径为， 则， 则两圆相离，故公切线条数为.故选：A 2．（25-26高二上·山西晋城·期末）已知圆：和圆：有3条公切线，则______. 【答案】6 【解析】因为圆：，所以，； 圆：，则其标准方程为：，则，， 因为圆和圆有3条公切线， 所以圆和圆外切，则， 即，解得. 知识点 圆与圆的公共弦 1、公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2、公共弦所在直线的方程 圆：， 圆：， 则为两相交圆公共弦方程. 【注意】（1）若与相切，则表示其中一条公切线方程； （2）若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3、公共弦长的求法 （1）代数法：将两圆的方程联立，解出两交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． （2）几何法：将两圆作差得到公共弦所在直线方程，利用其中一个圆的圆心和半径，求得该圆心和公共弦所在直线的距离即弦心距，在弦心距、弦的一半和半径构成的直角三角形中，利用勾股定理可以求得弦的一半，进而得到公共弦长． 随学随练 1．（25-26高二上·河北·期末）圆与圆的公共弦长是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【解析】设圆，圆， 圆，其圆心，半径； 圆，其圆心，半径； 则，即，可知两圆相交， 用圆的方程减去圆的方程得到公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离， 所以公共弦长是.故选：D. 2．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】当时，两圆是同心圆，没有公共弦，故， 已知两个圆的方程分别为与， 将两个圆作差可得相交弦的直线方程为，即， 所以可得：圆心到直线的距离， 又因为两圆的公共弦长为，所以，解得.故选：B. 拓展 圆系方程及其应用 具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫作圆系方程。 1、过直线与圆的交点的圆系方程是： （） 2、以为圆心的同心圆系方程是：； 3、与圆同心的圆系方程是； 4、过同一定点的圆系方程是． 活学活用 1．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）经过点以及圆与圆交点的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设经过两圆与交点的圆的方程为， 因为该圆经过点， 所以，解得， 所以，故圆心坐标为故选：B. 2．（25-26高二上·陕西西安通·阶段检测）经过两圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程__________. 【答案】 【解析】因为所求的圆经过两圆和的交点， 所以设所求的圆的方程为， 即， 配方得，所以其圆心为， 又圆心在直线上，代入得，解得， 故所求圆的方程为. 题型 判断圆与圆的位置关系 ▌例1 （25-26高二上·甘肃白银·期末）圆与圆的位置关系是（    ） A．内含 B．内切 C．外切 D．相交 【答案】C 【解析】由题知圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 所以，所以圆与圆外切.故选：C. 解题贴士 判断圆与圆的位置关系的一般步骤： （1）将两圆的方程化为标准方程（若圆的方程已是标准形式，此步骤不需要）； （2）分别求出两圆的圆心坐标和半径，； （3）求两圆的圆心距； （4）比较与，的大小； （5）根据大小关系确定圆与圆的位置关系． ▌对点练1-1 （25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆的方程为，圆的方程为，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】B 【解析】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 因为，，，， 所以圆与圆相交.故选：B ▌对点练1-2 （25-26高二上·广东佛山·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．内含 【答案】D 【解析】由题意，，， 所以两圆的圆心坐标分别为，两圆的半径分别为4，10， 由，所以两圆内含.故选：D ▌对点练1-3 （25-26高二上·江西赣州·阶段检测）圆与圆的位置关系为______. 【答案】外离 【解析】由题意知， 则两圆圆心为，，两圆的半径分别为，， 所以，易知，所以两圆外离. 题型 利用圆与圆的位置关系求参数 ▌例2 （25-26高二下·河南信阳·阶段检测）已知圆与圆相切，则（    ） A．4 B．6 C．4或6 D．16或36 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得； 综上，则或. 解题贴士 求解此类问题，一般根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径的和或差的绝对值的大小关系列出关系式，求出参数的值或取值范围，注意相切和相离均包括两种情况． ▌对点练2-1 （25-26高二上·福建厦门·阶段检测）若圆与圆外切，则m=（    ） A．14 B．28 C．9 D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径为， 因为两圆外切，所以， 所以，解得.故选：A ▌对点练2-2 （25-26高二上·贵州黔东南·阶段检测）（多选）已知圆，圆，若圆和圆没有公共点，则的值可能为（    ） A．-32 B．-24 C．16 D．24 【答案】AD 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心， 半径，圆心距， 由圆与圆没有公共点，得两圆内含或者外离， 当两圆内含时，，即，解得； 当两圆外离时，，即，解得， 因此当两圆没有公共点时，的取值范围是或.故选：AD ▌对点练2-3 （25-26高二上·贵州黔南·阶段检测）已知与相交，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的标准方程为， 圆心，半径， 的标准方程为， 圆心，半径，则，解得或， ， 两圆相交，， 恒成立，则只需满足， ，化简得，解得或， 综上，的取值范围为，故A正确．故选：A． 题型 圆与圆的公切线问题 ▌例3 （25-26高二上·天津南开·阶段检测）圆与圆的公切线有（    ）条 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【解析】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线.故选：A 解题贴士 在求两圆的公切线时，首先要判断两圆的位置关系，以确定公切线的条数，从而防止漏解；其次，应注意公切线的几何性质，得出最佳解法． ▌对点练3-1 （25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式：，解得或 右不等式：，解得 综上 ▌对点练3-2 （24-25高二上·湖南·阶段检测）圆：与圆：的内公切线长为（    ） A．3 B．5 C． D．4 【答案】D 【解析】如图： 由图可知圆与圆的内公切线有一条为轴， 则公切线的长为， 方法二：， 所以内公切线的长为：故选：D ▌对点练3-3 （24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程________. 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为. 故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 题型 圆与圆的相交弦问题 ▌例4 （25-26高二上·山东·阶段检测）圆：与圆：的公共弦长为____. 【答案】 【解析】已知圆：，圆：， 两圆方程作差，得到其公共弦所在直线的方程为， 而圆心到公共弦所在直线的距离，圆的半径为， 所以公共弦长为. 解题贴士 求两圆公共弦长的方法 一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在直线 的方程，再利用“圆的半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”求解． ▌对点练4-1 （25-26高二上·四川绵阳·阶段检测）圆和圆的公共弦所在的直线方程_________． 【答案】 【解析】圆展开可得，即， 与圆联立可得，即， 所以两圆公共弦所在的直线方程为. ▌对点练4-2 （24-25高二上·黑龙江·阶段检测）已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆与圆的两方程相减可得： 相交弦的直线方程为：， 又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长， 可得圆心到相交弦的距离为：， 则由点到直线的距离公式可得：， 化简得：，解得或.故选：A. ▌对点练4-3 （24-25高二上·吉林白山·阶段检测）已知是圆与圆的公共点，则的面积为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，联立，两方程相减可得直线的方程为， 圆标准方程为，得，半径为， 所以到直线的距离为， 线段的长度为， 所以的面积为．故选：B. 题型 距离最值问题 ▌例5 （25-26高二下·河南驻马店·阶段检测）已知圆，圆，点M，N分别是圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】记圆关于轴的对称圆为，点关于轴的对称点为， 由题知，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为， 则， 由图可知， 当且仅当共线时取等号， 因为，所以的最小值为.故选：B 解题贴士 解题核心是依托两圆圆心距、两圆半径的固定数值，结合平面内动点到定点距离的几何性质求解最值，全程以数形结合为核心，规避复杂代数运算。 常见两类模型： 一是定点到圆上动点距离最值，动点在单圆上时，最值出现在定点与圆心连线的延长线与圆的交点，最大值为圆心距加半径，最小值为圆心距减半径（定点在圆外）； 二是两圆上动点间的距离最值，两圆固定时，圆上任意两点距离最大值为圆心距加两圆半径之和，最小值根据两圆位置关系判定，外离时为圆心距减两圆半径之和，相交、内切、内含时最小距离为0。 解题技巧为优先锁定两圆圆心、半径、圆心距三个核心量，无需联立方程，直接套用几何最值模型；处理含参数动态圆问题时，先确定圆心轨迹，再结合轨迹范围分析距离最值，同时注意区分动点、定点、双动点的题型差异，规避最值模型混用失误。 ▌对点练5-1 （24-25高二上·天津·阶段检测）已知圆，圆 分别是圆 、 上的动点， 为轴上的动点，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 作圆关于轴对称的圆，其圆心 因此， 当且仅当是线段与轴的交点时取等号， 所以的最小值为.故选：C ▌对点练5-2 （25-26高二上·江西南昌·阶段检测）已知点是直线和的交点，点是圆上的动点，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】整理，得，故过定点. 整理，得，故过定点. 因与垂直（因为），故的轨迹是以和为直径端点的圆. 圆心为两点中点：. 半径为两点距离的一半：. 即的轨迹方程为. 圆，其圆心，半径. 两圆心与的距离为. 的最大值为两圆心距离加上轨迹圆的半径和圆的半径， 即.故选：C. ▌对点练5-3 （25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知两点，如果点满足，点为圆上一动点，点为轴上一动点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设点，因为，所以， 整理得，表示圆心为，半径为的圆， 圆的圆心为，半径为. 记点关于轴的对称点为，则点在圆， 圆的圆心为，半径为， 则， 当且仅当五点共线，且在线段上时等号成立， 所以的最小值为. 基础通关 1．（25-26高二上·天津红桥·阶段检测）圆与圆的位置关系为（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．内含 【答案】B 【解析】圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆的方程化为标准方程：，圆心为，半径； 圆心距为：， ，. 因为，即，所以两圆相交.故选：B. 2．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知圆与圆外切，则（    ） A．5 B．7 C．11 D．13 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切，所以，即，解得.故选：D. 3．（25-26高二上·云南曲靖·阶段检测）圆与圆的公共弦长为（    ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】由，可得圆心的坐标为，半径， 由，可得圆心的坐标为，半径， 故，故圆与圆相交， 两圆方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为． 则圆心到公共弦的距离． 所以两圆的公共弦长为．故选：A 4．（25-26高二上·辽宁·阶段检测）圆和的公共弦所在直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆的方程，可化为， 联立方程组，两圆的方程相减，可得， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为.故选：A. 5．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知两圆的方程，，则它们的公切线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由，得，所以圆心，半径为； 由，得，所以圆心，半径为. 所以. 因为，所以两圆相交. 所以它们有两条公切线.故选：C. 6．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知圆与圆相交于A，B两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段AB的长为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【解析】因为圆的圆心为，半径， 圆的圆心为为，半径，    可知圆与圆均关于x轴对称，则线段AB的关于x轴对称， 若两圆在点处的切线互相垂直，则， 可得， 由的面积可得， 即，解得.故选：D. 7．（25-26高二下·辽宁朝阳·阶段检测）（多选）已知圆：与圆：，则（    ） A．圆的圆心坐标为 B．圆心距 C．圆与圆相交 D．圆与圆的公共弦的长为 【答案】BCD 【解析】由得， 所以圆的圆心坐标为，半径为，故A错误； 由圆：得圆心，半径， 所以，故B正确； 又，所以， 所以圆与圆相交，故C正确； 由，两式相减得：， 由圆心到直线的距离为：， 所以圆与圆的公共弦的长为，故D正确. 8．（25-26高二上·河北·期中）已知圆：（）与圆：没有公共点，则r的取值范围是______. 【答案】 【解析】圆的圆心坐标为，半径为； 圆的圆心坐标为，半径为1，则， 因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或内含， 若外离：；若内含：， 综上：. 9．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】圆：方程为，其圆心为，半径. 单位圆：圆心在原点，半径. 两圆的圆心距. 因为两圆恰有两条公切线，所以两圆相交， 所以，即，得，所以. 10．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)圆的方程为，若圆与圆的公共弦长为，求实数的值． 【答案】(1)；(2)或 【解析】（1）设圆心， 由题意得，解得，，则半径， 故圆的标准方程为． （2）圆，圆心，半径． 两圆方程相减，得公共弦所在直线：． 圆心到该直线的距离（弦心距）：． 在圆中，公共弦长，可得，解得或， 均满足且两圆相交，符合题意．故实数的值为或． 素养提升 11．（24-25高二下·福建福州·阶段检测）已知点为直线上的一点，、分别为圆与圆：上的点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．2 D．1 【答案】C 【解析】如图所示，由圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 可得圆心距，故两圆相离， 所以，当共线时，取得最小值， 故的最小值为.故选：C. 12．（25-26高二上·浙江·阶段检测）动圆与圆外切同时与内切，则的面积最大值为________． 【答案】 【解析】设圆M的半径为r，圆，圆心为，半径为2， 圆，圆心为，半径为10， 因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 所以点M的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 所以，则，则方程为， 当为短轴端点时，的面积最大， 且最大值. 13．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）若关于x的方程有实数解，则正数a的最大值为_______． 【答案】 【解析】 令，即， 其表示圆心在，半径为的半圆， 令，即， 其表示圆心在，半径为的半圆， 若保证方程有实数解，则两个半圆有公共点， 当两圆内切时，取得最大值， 此时，即，所以， 则正数a的最大值为. 14．（25-26高二上·云南昭通·阶段检测）已知圆，设其与轴、轴正半轴分别交于两点．已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为_________． 【答案】20 【解析】 由整理得：，可得圆心，半径为， 取可得，解得或，则； 取，可得，解得或，则. 因圆与圆相外切，且半径为，则， 可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，如图所示. 则点的轨迹方程为， ， 于是，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为20. 15．（24-25高二上·陕西西安·阶段检测）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1)；(2)相交；或 【解析】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 迁移创新 16．（25-26高二上·江西萍乡·阶段检测）已知点，若圆上存在点A，使得线段PA的中点也在圆O上，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设A的坐标为，PA的中点坐标为， 则有：， 由①，②可得， 代入③ ，可得，即， 又线段PA中点也在圆O上，即两圆有公共点， 所以，解得，即.故选：A. 17．（25-26高二上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，点在圆上，若，则的最大值是（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【解析】设点，则，， 则，故， 所以点在圆：的内部或边界上， 又点在圆上，所以点在劣弧CD上， 因为点是的中点，所以， 又，所以点在圆内， 联立可得，， 所以直线的斜率为，又直线的斜率为， 所以直线与直线垂直， 将代入可得， 故， 所以或， 所以点的坐标为，点的坐标为， 所以，，， 所以， 所以的最大值为12．故选：D． 18．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）在平面直角坐标系中， (1)求点所在的曲线的方程； (2)设点在直线上，若过点存在直线交曲线于两点，使得为线段的中点，求点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设，由题知，根据两点间的距离公式可得，整理得， 等式两边同时平方可得， 即得点所在的曲线的方程为. （2）由题知点在直线上，可设，，由为线段的中点可知，因为在曲线上， 所以，整理可得， 即知点也在以为圆心，1为半径的圆上， 设圆心为，半径为，因为点为圆和圆的交点，所以两圆相交或相切， 则，即； 因为，整理得， 所以由不等式可得，即，解得， 故点的横坐标的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $