4.2.1指数函数的概念常见四种题型专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数的概念常见四种题型 题型一：指数函数的概念与定义 【解题技巧】形如 （ 且 ）的函数称为指数函数。判断一个函数是否为指数函数，须同时满足：① 底数 a 为常数，且 、；② 自变量 x 位于指数位置，且指数位置自变量的系数为 1。 1．给出下列函数，其中为指数函数的是（    ） A． B． C． D． 2．函数是指数函数，则有（    ） A．或 B． C． D．且 3．已知函数是指数函数，且，则______． 4．函数是指数函数，则a的取值范围是________． 题型二：指数函数的图象、解析式与求值 【解题技巧】若指数函数 （ 且 ）的图象过点 ，则 ，代入即可求出底数 a，进而得到解析式并求出其他自变量对应的函数值。当 时， 在 R 上单调递增；当 时， 在 R 上单调递减。 1．已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 2．已知指数函数的图象经过点，则___________． 3．已知指数函数的图象经过点，则该指数函数的解析式为______. 4．已知函数是指数函数，且它的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)求，，； (3)画出指数函数的图象，并根据图象解不等式． 5．已知函数是指数函数. (1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式； (2)解关于的不等式：. 6．已知指数函数（且）经过点. (1)求的解析式及的值； (2)若，求x的取值范围. 题型三：函数的奇偶性与周期性 【解题技巧】若 是奇函数，则 ，且当 0 在定义域内时 ；若 是偶函数，则 。若存在正数 T，使 对任意 x 恒成立，则 是周期为 T 的周期函数，可利用周期性把自变量化归到已知区间求值。 1．已知是定义在R上的偶函数，且周期.若当时，，则（    ） A．4 B．16 C． D． 2．设函数对任意的，都有，，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，则（    ） A． B． C． D．0 4．定义在R上的奇函数f（x）满足，当时，，则（    ） A． B． C．1 D． 5．是定义域为的函数，且为奇函数，为偶函数，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知为定义在上的奇函数，当时，，则_______. 7．若函数（且）是偶函数，则________. 题型四：函数的单调性、解析式与综合应用 【解题技巧】用定义法证明 在区间 D 上单调：任取 ，作差 并变形、分解因式、判断符号；若 ，则 在 D 上单调递增；若 ，则 在 D 上单调递减。结合奇偶性与单调性，可将 与 的不等式转化为 a 与 b 的不等式求解。 1．下列说法正确的是（    ） A．是指数函数 B．和表示同一个函数 C．已知，则 D．与不是同一个集合 2．函数，则的值为______ 3．已知函数，且，，则____________. 4．一个函数的图像过点，且在上是增加的，则这个函数的解析式可以为__________.（至少写2个） 5．已知函数，且的图象经过点. (1)求的解析式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 6．已知函数是定义在R上的奇函数，其中为指数函数，且的图象过定点． （1）求函数的解析式； （2）若关于x的方程，有解，求实数a的取值范围； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 7．已知函数. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； (3)解关于的不等式. 8．已知函数的图象经过点． （1）求的解析式； （2）用函数单调性的定义证明：函数是上的增函数． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题型一：指数函数的概念与定义 题号 1 2 答案 C C 1．C 【详解】因为指数函数的形式为且， 所以是指数函数，即C正确；而ABD中的函数都不满足要求，故ABD错误. 故选：C. 2．C 【详解】由已知得，即得. 故选：C 3． 【详解】解：由题意，设（且）， 因为，所以，又，所以， 所以，所以． 故答案为： 4． 【详解】因为是指数函数, 所以,解得: 或 即a的取值范围是. 故答案为: 题型二：指数函数的图象、解析式与求值 题号 1 答案 A 1．A 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 2．16 【详解】设且， 由，得，解得， 所以，所以. 故答案为：. 3． 【详解】设指数函数解析式为，且，将代入得 ，解得，负值舍去，故指数函数解析式为. 故答案为： 4．(1) (2)，， (3)作图： 不等式的解集为． 【详解】（1）设函数，且， 把点代入可得，求得， 所以函数的解析式为． （2）由（1）可知，所以，，． （3） 画出指数函数的图象如下图所示：    所以函数在上单调递增； 由不等式， 可得，解得， 故不等式的解集为． 5．(1) (2) 【详解】（1）因为指数函数的图象经过点，所以， 解得，所以； （2）因为是单调递减函数，由得， 解得， 所以不等式的解集为. 6．(1)， (2) 【详解】（1）因为（且）经过点， 所以，所以， 所以， 所以； （2）因为，即， 又在R上为增函数， 所以， ∴x的取值范围为：. 题型三：函数的奇偶性与周期性 题号 1 2 3 4 5 答案 B A B B A 1．B 【详解】因为. 故选：B. 2．A 【详解】由得， 所以，即， 所以的周期为4，， 由得， 所以. 故选：A. 3．B 【详解】令，， 依题意可得是奇函数，是偶函数， 则，， 即，解得， 则. 故选：B 4．B 【详解】因为，所以的周期为4， 令，则， 又为奇函数，所以， ∴，， ， ∴. 故选：B. 5．A 【详解】由题意，，即， ，即， 所以，可得， 故. 故选：A. 6． 【详解】因为为定义在上的奇函数，当时，， 则，故. 故答案为：. 7． 【详解】由为偶函数可得： 即，解得：     经验证，满足偶函数定义，所以. 故答案为： 题型四：函数的单调性、解析式与综合应用 题号 1 答案 AD 1．AD 【详解】对于A，，所以是指数函数，故A正确； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为， 所以和不能表示同一个函数，故B错误； 对于C，令，所以， 所以，故C错误； 对于D，不包含任何一个元素，而中包含一个元素，所以与不是同一个集合，故D正确. 故选：AD. 2．/0.125 【详解】因为，所以， 所以， 故答案为：. 3． 【详解】由题意，函数，且，， 所以，解得，即函数. 故答案为. 4．、（答案不唯一） 【详解】设该函数为， 因为函数的图像过点，且在上是增加的， 解得， 所以该函数为； 设该函数为， 因为函数的图像过点，且在上是增加的， 解得， 所以该函数为； 故答案为：、（答案不唯一） 5．(1) (2) 【详解】（1）解：由题意，函数的图象经过点， 可得，解得，所以的解析式为. （2）解：由对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 设在上为单调递增函数，所以， 所以，解得，即实数的取值范围. 6．(1) (2) (3) 【详解】（1）设(，且)，则， 所以 (舍去)或， 所以，． 又为奇函数，且定义域为R， 所以，即，所以， 所以． （2）由于为上减函数，由于，所以，所以，所以. （3）设， 则． 因为，所以， 所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递减． 要使对任意的， 恒成立， 即对任意的， 恒成立． 因为为奇函数， 所以恒成立． 又因为函数在R上单调递减， 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令，， 时，成立； 时， 所以，． ，，无解． 综上，． 7．(1)是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数. (2)在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数. (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ①当时，不等式为，这时解集为； ②当时，解不等式得到； ③当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 8．（1）；（2）证明见解析. 【详解】（1）因为函数的图象经过点， 所以， 所以； （2）由（1）可知， 任取且， 因为是增函数，所以，， ， 则 所以， 所以函数是上的增函数. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $