精品解析：上海市普陀梅陇中学2025-2026学年上学期12月月考 九年级数学试题

九年级第一学期第三阶段数学质量调研 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆图形平移规律是解题关键．利用二次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：抛物线向上平移一个单位，得到的新抛物线的表达式是， 故选：C． 2. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的知识．根据向量平行的定义，若两个非零向量方向相同，则它们平行．逐一分析各选项是否满足这一条件即可． 【详解】解：A.若，，根据平行的传递性，与必平行，本选项不符合题意； B.由和可知，与同向，与同向，因此与同向，本选项不符合题意； C.直接表明与方向相同或相反，本选项不符合题意； D.仅说明模长相等，但方向可能不同，无法确定平行，本选项符合题意． 故选：D． 3. 在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义即可直接求解． 【详解】解：∵cosA=， ∴AB=AC·＝， 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦函数的定义，理解定义是关键． 4. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，在网格中找到平行的线段是解题的关键，根据线段成比例即可解答． 【详解】解：如图所示： 由题意可知 故选C． 5. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 【答案】B 【解析】 【分析】先把函数关系式配方，即可求出函数取最大值时自变量的值． 【详解】解：∵y=-x2+6x=-（x2-4x）=-[（x-2）2-4]=-（x-2）2+6， ∴当x=2时，y有最大值， ∴水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是2． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，关键是把二次函数变形，求出当函数取最大值时自变量的值，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 6. 设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据一次函数的图象经过点 ，可得；然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，再结合对称轴公式求解． 【详解】解：∵一次函数的图像过点， ∴， ∴， 又， ∴， ∵当时，， ∴当时，， ∵与轴仅有一个交点， ∴的图像与轴的交点为， ∴， 化简得． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，解答此题的关键是判断出函数与轴的交点为． 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，掌握比例之间的性质是解题的关键． 由，假设，，代入进行求值即可． 【详解】解：由已知， 设，， ∴ 故答案为：． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割比例为是解题的关键；因此此题可根据黄金分割比直接进行求解即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， 故答案为：． 9. 如果抛物线经过原点，那么______. 【答案】1 【解析】 【分析】把原点坐标代入中得到关于m的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】∵抛物线经过点（0，0）， ∴−1＋m＝0， ∴m＝1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 10. 二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，理解轴上点的坐标特征是解题关键． 令横坐标，代入函数解析式求出的值，即可得到与轴的交点坐标． 【详解】解：当时， ， 故与轴的交点坐标为， 故答案为：． 11. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝（x﹣2）2的开口向上，对称轴为直线x＝2，则在对称轴左侧，y随x的增大而减小，所以x1＜x2＜2时，y1＞y2． 【详解】∵y＝（x﹣2）2， ∴a＝1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线y＝（x﹣2）2对称轴为直线x＝2， ∵x1＜x2＜2， ∴y1＞y2． 故答案为＞． 【点睛】考查了二次函数的性质，解题关键是熟记其性质：函数图象对称轴为直线x=-，在对称轴左侧，y随x的增大而减小，在对称轴右侧，y随x的增大而增大． 12. 如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 13. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为________米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．根据题意和锐角三角函数可以求得的长，从而可以解答本题． 【详解】解：在中，， （米）， 答：大厅两层之间的距离的长约为米． 故答案为：． 14. 如图，在中，点D，E分别在边上，，，如果，那么的值等于________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，平行线分线段成比例，解题的关键是证明． 【详解】解：， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：2． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为_____． 【答案】4或 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可． 【详解】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB＝． ∵D是边AB的中点， ∴AD＝5． 当△ADP∽△ABC时， ， 即，解得AP＝4； 当△ADP∽△ACB时， ， 即，解得AP＝． 故答案为：4或． 【点睛】此题考查相似三角形的判定、勾股定理，解题关键在于分情况讨论． 16. 如图，已知沿角平分线所在的直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的正切值是________  【答案】 【解析】 【分析】如图，连接交于点，连接，过点作交于点，先证明为的中位线，由三角形中位线定理得，由翻折变换的性质得在的垂直平分线上，同理得出是的中位线，再由三角形中位线定理得，设，则，，求得，，然后根据正切函数公式求值即可． 【详解】解：如图，连接交于点，连接，过点作交于点， 为的中点， 为的中点， 为的中位线， ， 由翻折变换的性质得在的垂直平分线上， ，， 同理：是的中位线， ， 设，则，， ，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求角的正切值，翻折变换的性质，三角形中位线定理，平行线的性质；熟练掌握翻折变换的性质，合理添加辅助线，利用三角形中位线定理，证得，是解题关键． 17. 已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、正方形的性质、等边三角形的性质、内切圆的性质等知识点，灵活运用相关性质是解题关键． 先求圆圆心到的距离（内接正方形性质），再求圆圆心到的距离（内接正三角形性质），然后分当两圆心在公共弦异侧和同侧两种情况求解即可． 【详解】解：如图：连接，设与相交于点F， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵对于，是内接正方形的一边，圆心为正方形中心， ∴， ∴到的距离． ∵对于，是内接正三角形的一边，圆心为正三角形中心， ∴，， ∵， ∴，即，解得： ∴到的距离为内切圆半径，即． 当、在异侧时，圆心距． 当、在同侧时，延长与相交于点F， ∴圆心距． 故答案为或． 18. 在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么____________ 【答案】4或 【解析】 【分析】当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A1EF=90°时，如图1，根据对称的性质和平行线可得：A1C= A1E=4，根据直角三角形斜边中线的性质得：BC=2 A1E=8，最后利用勾股定理可得AB的长； ②当∠A1FE=90°时，如图2，证明△ABC是等腰直角三角形，可得AB=AC=4． 【详解】解：当△A1EF为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A1EF=90°时，如图1， ∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴A1C=AC=4，∠ACB=∠A1CB， ∵点D，E分别为AC，BC的中点， ∴D、E是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∴∠CDE=∠MAN=90°， ∴∠CDE=∠A1EF， ∴AC∥A1E， ∴∠ACB=∠A1EC， ∴∠A1CB=∠A1EC， ∴A1C= A1E=4， Rt△A1CB中，∵E是斜边BC的中点， ∴BC=2 A1E=8， 由勾股定理得：AB2=BC2-AC2， ∴AB= ②当∠A1FE=90°时，如图2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°， ∴∠ABF=90°， ∵△A1BC与△ABC关于BC所在直线对称， ∴∠ABC=∠CB A1=45°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4； 综上所述，AB的长为4或4； 故答案为：4或4. 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定、直角三角形斜边中线的性质，并利用分类讨论的思想解决问题． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 【详解】原式= = = =． 【点睛】此题考查特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键． 20. 如图，已知是的直径，是的弦，与相交于点E，，，， （1）求弦的弦心距的长； （2）填空：联结、，设，那么________．（用向量、表示） 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理、平行四边形的判定与性质、平面向量，添加辅助线构造平行四边形是解答的关键． （1）利用垂径定理得到，再根据勾股定理求解即可； （2）延长至H，使证明四边形是平行四边形，得到，则，根据三角形法则得到，进而由求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵是的直径，是的弦，，， ∴，， 在中，， ∴， 即弦的弦心距的长为6； 【小问2详解】 解：延长至H，使，则， ∴，又， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 已知，如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，过O作直线，分别交、于点E、F，且． （1）求证：； （2）在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，，那么称c是数a、b的调和平均数．如果三条线段a、b、c．满足，我们不妨称线段c是线段a、b的“调和平均线”，求证：是、的“调和平均线”． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴是、的“调和平均线”． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、比例性质，理解题中定义，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，，，利用相似三角形的性质和比例性质得到，，即可证得结论； （2）先证明，再利用相似三角形的性质推导出，再，结合可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 已知，在等腰中，，是腰上的中线． （1）如图1，边上的高与相交于F，如果，，求腰的长； （2）如图2，已知线段m，n，求作等腰，使得底边，腰上的中线（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】（1） （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（1）作，由三角函数求出的长，由平行线和中点性质求出和的长，再根据三角函数求出的长，最后根据勾股定理求出的长，即可得答案； （2）画射线，再作的垂直平分线，再确定点D，A，连结即可． 【小问1详解】 解：如下图，作， 是等腰三角形，，是边上的高， ， ， ， ， ， ， ， 是腰上的中线， ， ， ， ， ， 【小问2详解】 1、画射线，在射线上截取线段； 2、作线段的垂直平分线，分别以B、C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线(此直线为的垂直平分线)，直线交于点E，同理作线段的垂直平分线， 3、以B为圆心，n为半径画弧，与直线相交与点；以D为圆心，长为半径画弧交的垂直平分线于点A，连接，则即为所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，勾股定理，平行线分线段成比例，尺规作图，解题的关键是作合适的辅助线． 23. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC． (1)求证：△ACF∽△ECA； (2)当CE平分∠ACB时，求证：=． 【答案】 (1)证明：∵∠ACD＝∠BCA，∠CAD＝∠B， ∴△ACD∽△BCA， ∴＝， ∴AC2＝CD•BC， ∵CF•CE＝CD•BC， ∴AC2＝CF•CE， ∴＝， ∵∠ACF＝∠ECA， ∴△ACF∽△ECA； (2) 证明：∵CF•CE＝CD•BC， ∴， ∵∠DCF＝∠ECB， ∴△CFD∽△CBE， ∴∠CFD＝∠B， ∵∠CAD＝∠B， ∴∠CFD＝∠CAD， ∴A，F，D，C四点共圆， ∴∠AFC＝∠ADC， ∵△ACF∽△ECA， ∴∠CAE＝∠AFC， ∴∠CAE＝∠ADC， ∵当CE平分∠ACB ∴∠ACE＝∠DCH， ∴△ACE∽△DCH， ∴=2= ∵AC2＝CD•BC， ∴=． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理得到△ACD∽△BCA，求得＝，得到AC2＝CD•BC，等量代换得到AC2＝CF•CE，于是得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到∠CAE＝∠ADC，根据角平分线定义得到∠ACE＝∠DCH，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】(1)略 (2)略 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图1，M是抛物线上一点，，求点M的坐标； （3）如图2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L．设L的顶点横坐标为n．L与x轴围成的区域（包含边界）记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．如果W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，包括用待定系数法求二次函数表达式及二次函数与线段交点的问题，也考查了二次函数与不等式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质以及数形结合法是解题关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）设，作轴于点H，构造直角三角形，利用锐角三角函数或者相似建立关于m的方程求解即可； （3）将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4，求得L的解析式为，由，，得中含，，三个整点（不含边界），分情况讨论，列不等式组解答即可． 【小问1详解】 解：与x轴交于点， ， 解得； 【小问2详解】 解：， ， 令，解得或， 令，得， ，，， 设，作轴于点H， ， ，即， ， 解得或（舍去）， ， 的坐标为； 【小问3详解】 解：将抛物线沿水平方向平移，则纵坐标不变为4， 新抛物线L的解析式为， ，，， 中含，，三个整点（不含边界）， 当W内恰有2个整数点，时， 即时，时， ， 解得，或， ， 当W内恰有2个整数点，时， 即时，时， ， 解得或， ， ， 当W内恰有2个整数点，时，此种情况不存在，舍去， 所以n的取值范围为或． 25. 如图，已知中，，D是边的中点，P是边上一动点，与相交于点E． （1）如果，，且，求线段的长； （2）连接，且，，如果，求线段的长； （3）连接，且，，如果是直角三角形，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质． （1）根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到，证明，得到，即可求出线段的长； （2）根据直角三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质得到，推出，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）过点作交的延长线于点，连接交于，则，，得到，，进而求出，，当时，设，则，，根据三线合一得到，根据勾股定理得到，，即可求出的值；当时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据三线合一得到，与冲突，故不成立． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴； 【小问2详解】 解：∵，是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点作交的延长线于点，连接交于， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时， 设，则，， ∵，是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 当时， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， 但，故不成立； 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级第一学期第三阶段数学质量调研 （时间100分钟，满分150分） 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 在平面直角坐标系中，如果把抛物线向上平移1个单位，那么得到的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 已知、和都是非零向量，下列结论中不能判定的是（ ） A. ， B. ， C. D. 3. 在Rt中，∠C=90°，如果AC=2，，那么AB的长是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在的正方形网格中，连接小正方形中两个顶点A、B，如果线段与网格线的其中两个交点为M、N，那么的值是（ ） A. B. C. D. 5. 广场上水池中的喷头微露水面，喷出的水线呈一条抛物线，水线上水珠的高度y（米）关于水珠和喷头的水平距离（米）的函数解析式是，那么水珠的高度达到最大时，水珠与喷头的水平距离是（ ） A. 1米 B. 2米 C. 5米 D. 6米 6. 设二次函数的图象与一次函数的图象交于点，若函数的图象与轴仅有一个交点，则（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 已知，那么________． 8. 已知点是线段的黄金分割点，如果，那么线段______． 9. 如果抛物线经过原点，那么______. 10. 二次函数的图像与y轴的交点坐标为________． 11. 已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”） 12. 如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 13. 如图，某商店营业大厅自动扶梯的坡角为，的长为12米，那么大厅两层之间的高度为________米（结果保留一位小数）【参考数据：】． 14. 如图，在中，点D，E分别在边上，，，如果，那么的值等于________． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D是边AB的中点，现有一点P位于边AC上，使得△ADP与△ABC相似，则线段AP的长为_____． 16. 如图，已知沿角平分线所在的直线翻折，点恰好落在边的中点处，且，那么的正切值是________  17. 已知与相交于A、B两点，公共弦，既是内接正方形的一边，也是内接正三角形的一边，那么两圆的圆心距等于________． 18. 在Rt中，∠A=90°，AC=4，，将沿着斜边BC翻折，点A落在点处，点D、E分别为边AC、BC的中点，联结DE并延长交所在直线于点F，联结，如果为直角三角形时，那么____________ 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. 计算： 20. 如图，已知是的直径，是的弦，与相交于点E，，，， （1）求弦的弦心距的长； （2）填空：联结、，设，那么________．（用向量、表示） 21. 已知，如图，在梯形中，，对角线、相交于点O，过O作直线，分别交、于点E、F，且． （1）求证：； （2）在统计中，如果三个非零正数a、b、c满足，，那么称c是数a、b的调和平均数．如果三条线段a、b、c．满足，我们不妨称线段c是线段a、b的“调和平均线”，求证：是、的“调和平均线”． 22. 已知，在等腰中，，是腰上的中线． （1）如图1，边上的高与相交于F，如果，，求腰的长； （2）如图2，已知线段m，n，求作等腰，使得底边，腰上的中线（不写作法，保留作图痕迹）． 23. 如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD＝∠B，点E在边AB上，联结CE交AD于点H，点F在CE上，且满足CF•CE＝CD•BC． (1)求证：△ACF∽△ECA； (2)当CE平分∠ACB时，求证：=． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C． （1）求b的值； （2）如图1，M是抛物线上一点，，求点M的坐标； （3）如图2，将此抛物线沿水平方向平移，得到的新抛物线记为L．设L的顶点横坐标为n．L与x轴围成的区域（包含边界）记为U，U与内部重合的区域（不含边界）记为W．如果W内恰好有两个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出n的取值范围． 25. 如图，已知中，，D是边的中点，P是边上一动点，与相交于点E． （1）如果，，且，求线段的长； （2）连接，且，，如果，求线段的长； （3）连接，且，，如果是直角三角形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $