广东惠州市大亚湾区博雅培文实验学校2026-2027学年高二上学期第一次阶段性测试数学试题

博雅培文实验学校2026—2027学年度第一学期第一次阶段性测试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟　　试卷满分：150分　　命题人：宋梦婷 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡指定位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项是符合要求的。 1. 在长方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，， ,M 为 B₁C 的中点，则 =（　　） A. B. C. D. 2. 已知点 A(1, 1, 0)，B(−1, 0, 2)，C(0, 2, 0) 均在平面 α 内，则平面 α 的一个法向量的坐标可以是（　　） 3. 若 {} 是空间的一个基底，则下列各组向量中，不能构成空间基底的是（　　） A. B. C. D. 4.已知直线 l 经过点 A(-2,3) 与 B(m,-1)（m ≠ -2），若 l 的倾斜角为，则实数 m 的值为（　　） A. −6　　　　B. 2　　　　C. −6 或 2　　　　D. 不存在 5.已知空间向量满足，且，则=（　　） A.　　　　B. 　　　C. 2　　　　D. 6. 在棱长为2的正四面体 ABCD 中，E、F 分别为棱 AC、AD 的中点，点 G 为棱 BC 的中点，则异面直线 EF 与 AG 所成角的余弦值为（　　） 7. 已知空间四点 A(2, 1, −1)，B(1, 3, 2)，C(4, 0, 1)，D(5, −2, m)，若 A、B、C、D 四点共面，则实数 m =（　　） A. −2　　　　B. −1　　　　C. 0　　　　D. 2 8. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知点 A(1, 0, 2)，B(3, 2, 2)，C(2, 1, 0)，点 P 是坐标平面 Oxy 内的动点，则的最小值为（　　） A. 　　　B.　　　C. 　　　D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。 9. 已知空间四点 A(0, 0, 0)、B(4, 2, 0)、C(1, 3, 4)、D(3, 1, 2)，则下列说法正确的是（　　） A. = 8 B. C. △ACD 是锐角三角形 D. △BCD 的面积为 10. 已知空间向量 a = (−2, −1, 1)，b = (3, 4, 5)，下列结论正确的是（　　） A. B.夹角的余弦值为 C.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，且l∥α，则实数m=0 D.上的投影向量为 11. 在正三棱柱 ABC-A₁B₁C₁ 中，底面边长为2，侧棱长为2，则下列说法正确的是（　　） A. 直线 AA₁ ∥ 平面 BCC₁B₁ B. 点 P 在线段 B₁C₁ 上运动，则的取值范围是 [2, 6] C.点 A 到平面 A₁BC 的距离为 D. 直线 A₁B 与平面 ABC 所成角的大小为 45° 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 已知直线 l₁ 的斜率为3，直线 l₂ 经过点 A(m + 1, 2)、点 B(−1, 3)，若 l₁ ⊥ l₂，则实数 m = __________。 13. 在空间直角坐标系中，点 A(2, −1, 3)，则点 A 关于 M(1, 2, 3) 的对称点坐标为 __________。 14. 向量的概念可以按如下方式推广到 n 维中：对于 n 维向量 = (a₁, a₂, …, aₙ)、= (b₁, b₂, …, bₙ)，规定= (a₁ + b₁, a₂ + b₂, …, aₙ + bₙ)，λ= (λa₁, λa₂, …, λaₙ)，= a₁b₁ + a₂b₂ + … + aₙbₙ，|| =，且 n 维空间中 A(a₁, a₂, …, aₙ)、B(b₁, b₂, …, bₙ)，两点间的距离 |AB| = 。按上述规定，已知四维空间中点 A(x, y, 1, 2) 与点 B(1, 2, 2, 1)，其中 x > 0，y > 0，且，则 |AB| 的最小值为 __________。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AB = 2，AD = 4，PA ⊥ 平面 ABCD，PA = 2，点 E 为棱 PC 的中点。 (1) 证明：直线 PA ∥ 平面 BDE； (2) 求直线 PB 与平面 BDE 所成角的正弦值。 16.（本小题满分15分） (1) 已知直线 l₁ 经过点 M()、点 N(0,1)，直线 l₂ 经过点 S()、点 T()。 ① 求直线 l₁ 的倾斜角； ② 若 l₁ ∥ l₂，求 m 的值。 (2) 已知点 P(1, 1)，直线 l 经过点 P，且与以 A(2, 0)、B(3, −2) 为端点的线段 AB 有公共点，求直线 l 的斜率的取值范围。 17.（本小题满分15分）如图，已知 A，B，C 是圆锥 PO 的底面圆周上的三点，且 △ABC 与 △PAC 均为边长为 2的等边三角形。 (1) 证明：平面 PAO ⊥ 平面 PBC； (2) 求平面 ABP 和平面 AOP 所成角的余弦值。 18.（本小题满分17分）在斜平行六面体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中（AA₁ 不垂直于底面），底面 ABCD 是菱形，且侧棱 AA₁ 与 AB、AD 所成的角相等。设已知 M 为 CD₁ 与 DC₁ 的交点，N 为对角线 AC₁ 上一点，且 AN = 2NC₁。 (1) 用 表示； (2) 证明：B₁、M、N 三点共线； (3) 证明：BD ⊥ 平面 ACC₁A₁。 19.（本小题满分17分）如图，在某种试验装置中，两个正方形框架 ABCD 与 ABEF 的边长均为2，且它们所在的平面互相垂直。活动弹子 M、N 分别沿对角线 AC 和 BF 移动，且始终保持 CM = BN = a（0 < a < 2）。 (1) 用含 a 的式子表示线段 MN 的长，并求 MN 的最小值； (2) 是否存在实数 a，使得二面角 A-MN-B 为直二面角？若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由； (3) 记三棱锥 B-AMN 的体积为 V(a)。 ① 求 V(a) 的最大值； ② 当 V(a) 取得最大值时，求点 A 到平面 BMN 的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $