2026-2027学年北师大版九年级上册数学期中测试卷（押题B卷）

【情境卷】2026-2027北师大版九年级上册数学期中测试卷（押题B卷） 考试范围：第1章~第3章 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 5.正确填涂 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题(共8题；共24分) 得分 1．（3分）（2026九上·诸暨月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (　　) A． B． C． D． 2．（3分）（2026八下·娄星期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是（　　)。 A． B． C． D． 4．（3分）（2026·邯郸模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）． A． B． C． D．且 5．（3分） 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是AO 的中点.过点 C 作CE⊥AO交. 于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P 落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 6．（3分）（2026八下·临安期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路(小路宽度均相等)，纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道.已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为x米，则可列方程为(　　) A．(30-x)(20-2x)=504 B．30×20-2×30x-20x=504 C．(30-2x)(20-2x)=504 D．(30-2x)(20-x)=504 7．（3分）（2026八下·绍兴月考）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是(　　)． A．11 B．20 C．28 D．36 8．（3分）（2025八下·衡山期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 第Ⅱ卷 非选择题（共76分） 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 二、填空题(共5题；共15分) 得分 9．（3分）（2024九上·平阴期中）已知m是方程的一个根，则的值为　 　． 10．（3分）（2026·鹿城模拟）甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为　 　． 11．（3分）（2026八下·长春期中） 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为　 　． 12．（3分）（2026·巴中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　. 13．（3分）（2026·内江模拟）如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为　 　． 阅卷人 三、解答题(共7题；共61分) 得分 14．（6分）（2026八下·罗湖期末）解方程： （1）（3分） （2）（3分） 15．（7分）（2026八下·平湖期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠DAO＝∠ECO． （1）（3分）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）（4分）若AB＝BC，若CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积． 16．（8分）（2025九上·浙江期中）国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程. （1）（3分）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是　 　； （2）（5分）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平. 17．（8分）（2026八下·杭州期末）一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究. （1）（4分）如图①，矩形ABCD中，求证： （2）（4分）如图②，在▱ABCD中，可以发现(1)中的结论仍然成立，请证明之. 18．（10分）（2026九上·贵阳期末）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）（4分）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）（6分）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 19．（10分）（2025八下·温州期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）（3分）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ （2）（3分）若是“邻根方程”，求的值； （3）（4分）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 20．（12分）（2026·梧州模拟）特殊四边形是初中几何的核心内容，九年级某数学小组围绕“图形变化中的不变性质与最值规律”展开以下探究： （1）（3分）如图1，正方形的边长是4，点E为边的中点，连接，过点D作，交于点F，交于点H．求线段的长． （2）（4分）如图2，将正方形拉伸为矩形，其中，，点为边上的一个动点，连接，过点D作，交于点，交于点H．设，，求y关于x的函数表达式． （3）（5分）如图3，将矩形拉伸为平行四边形，其中，，，点为边上的一个动点（，），连接，过点D作，交于点，交于点．当线段取得最小值时，求此的最小值及x的值． 学科网（北京）股份有限公司 【情境卷】2026-2027北师大版九年级上册数学期中测试卷（押题B卷） 考试范围：第1章~第3章 考试时间：90分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 注意事项： 1.考生先将自己的班级、学号、姓名填写清楚。 2.选择题部分必须使用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5mm黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卷面清洁，不折叠、不破损。 5.正确填涂 第Ⅰ卷 选择题（共24分） 第Ⅰ卷的注释 阅卷人 一、选择题(共8题；共24分) 得分 1．（3分）（2026九上·诸暨月考）下列函数解析式中，一定为二次函数的是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：A：，为一次函数； B：，当时不是二次函数，因此不一定为二次函数； C：，是整式，，一定为二次函数； D：，含有分式，不是整式，因此不是二次函数； 故选：C. 【分析】根据二次函数的定义“形如（、、为常数，且）的函数是二次函数”逐项判断解答即可. 2．（3分）（2026八下·娄星期中）在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（ ） A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一组邻边相等 D．④对角线相等 【答案】A 【解析】【解答】解：A、对角相等的平行四边形不一定是矩形，故A符合题意； B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，正确，故B不符合题意； C、有一组邻边相等的矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，正确，故D不符合题意． 故选：A． 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定结合题意对选项逐一分析即可求解。 3．（3分）如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连结EF，则△AEF的面积是（　　)。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=CD，∠B=∠D=60° ∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴BC×AE=CD×AF，∠BAE=∠DAF=30° ∴AE=AF ∵∠B=60°， ∴∠BAD=120° ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°， ∴△AEF是等边三角形， ∴AE=EF，∠AEF=60°， ∵AB=4， ∴BE=2， ∴ ∴， 过A作AM⊥EF， ∴AM=AE·sin60°=3， ∴△AEF的面积是：. 故答案为：B. 【分析】首先利用菱形的性质及等边三角形的判定可得判断出△AEF是等边三角形，再根据三角函数计算出AE=EF的值，再过A作AM⊥EF，再进一步利用三角函数计算出AM的值，即可算出三角形的面积. 4．（3分）（2026·邯郸模拟）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　）． A． B． C． D．且 【答案】D 【解析】【解答】解：∵是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， 整理，得， 解得， ∴，且． 故答案为：D 【分析】本题考查一元二次方程定义及根的判别式，需同时满足二次项系数不为0、判别式；由一元二次方程定义得，由方程有实数根得，化简不等式求出，结合确定取值范围。 5．（3分） 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是AO 的中点.过点 C 作CE⊥AO交. 于点E，过点E作ED⊥OB，垂足为点 D.在扇形内随机选取一点 P，则点 P 落在阴影部分的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解： 四边形EDOC是矩形 、 故答案为：B. 【分析】由三个角是直角的四边形是矩形得四边形OCED是矩形，则与全等，即阴影部分面积等于扇形EOB的面积，再由矩形的性质知ED等于OC等于半径的一半，则解可得，则扇形BOE是扇形AOB面积的三分之一. 6．（3分）（2026八下·临安期中）有一块长30米、宽20米的矩形空地，现要在空地上修建两条纵向平行的小路和一条横向的小路(小路宽度均相等)，纵向小路为平行四边形，剩余空地用于铺设塑胶跑道.已知塑胶跑道的面积为504平方米，设小路宽度为x米，则可列方程为(　　) A．(30-x)(20-2x)=504 B．30×20-2×30x-20x=504 C．(30-2x)(20-2x)=504 D．(30-2x)(20-x)=504 【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意及平移规则可知，若设小路的宽度为x米，则剩余部分可合成长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的矩形， ∴可列方程为(30-2x)(20-x)=504. 故答案为：D. 【分析】设道路的宽都是x米，则除去道路，余下部分可合成为长为(30-2x)米，宽为(20-x)米的长方形，然后根据题意，结合长方形的面积公式，即可列出方程. 7．（3分）（2026八下·绍兴月考）已知a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则(a+4)(b+4)的最小值是(　　)． A．11 B．20 C．28 D．36 【答案】D 【解析】【解答】解：∵a，b是关于x的一元二次方程x2-2tx+t2-2t+4=0的两个实数根 ∴a+b=2t，ab=t2-2t+4， ∴(a+4)(b+4)=ab+4(a+b)+16=t2-2t+4+8t+16=t2+6t+20=(t+3)2+11 又∵Δ=(-2t)2-4(t2-2t+4)=8t-16≥0， ∴t≥2， 则当t=2时，(a+4)(b+4)有最小值为：52+11=36. 故答案为：D. 【分析】先利用韦达定理表示出a+b和ab，再据此表示出(a+4)(b+4)，并求出最小值即可. 8．（3分）（2025八下·衡山期末）如图，正方形，对角线相交于点，以为顶点作与正方形同样大小的正方形与交于点与交于点，连接．给出下面四个结论： ①； ②； ③四边形的面积等于正方形面积的四分之一； ④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】【分析】 ①首先证明，之后就可以依据“角边角”判定定理判定和全等，由此可以得到，再结合已知条件，作差即可推出，据此就可以判断结论①是否正确；②设与的交点为T，根据之前得到的，结合，可以判定是等腰直角三角形，因此可得，再设，结合三角形内角和定理推导可得，据此就可以判断结论②是否正确；③通过证明和全等，可以得到进一步可以推导出，根据这个关系就可以判断结论③是否正确；④过点O作，垂足为H，根据勾股定理可得，结合题意可知，因此可得，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得到，因此推得，据此即可判断结论④是否正确，结合以上所有结论就能得到最终答案． 第Ⅱ卷 非选择题（共76分） 第Ⅱ卷的注释 阅卷人 二、填空题(共5题；共15分) 得分 9．（3分）（2024九上·平阴期中）已知m是方程的一个根，则的值为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：∵m是方程x2+4x-1=0的一个根， ∴m2+4m-1=0，则m2+4m=1， ∴（m+5）（m-1）=m2+5m-m-5 =m2+4m-5=1-5=-4. 故答案为：-4. 【分析】根据一元二次方程的根的定义可把x=m代入原方程，整理可得m2+4m的值；再根据多项式乘以多项式法则和合并同类项法则将所求代数式化简，整体代换即可求解. 10．（3分）（2026·鹿城模拟）甲有，砝码各一个，乙有，砝码各一个，每人从自己的砝码中随机选取一个，分别放置在如图天平两端的托盘上，则天平平衡的概率为　 　． 【答案】​​​​​​​ 【解析】【解答】解：如表所示， 甲 乙 一共有种等可能的结果，符合天平平衡的结果有种， 故天平平衡的概率为． 故答案为：. 【分析】利用列表法列举出所有等可能情况数，由表可知一共有4种等可能的结果，符合天平平衡的结果有1种，从而根据概率公式计算即可. 11．（3分）（2026八下·长春期中） 某种伸缩衣架是运用四边形具有不稳定性制作而成．当衣架中的菱形框架伸缩到如图所示的位置时，菱形的水平宽度，边长，则每个菱形最高点和最低点的距离的长为　 　． 【答案】10 【解析】【解答】解：如图，连接AC，BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD， 在Rt△AOB中，AB=13cm，， ∴， ∴BD=2OB=10cm， 故答案为：10. 【分析】根据菱形的性质以及勾股定理进行计算即可. 12．（3分）（2026·巴中）已知x1，x2是关于x的一元二次方程 的两个实数根，则 的最小值是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 故答案为：. 【分析】先根据方程根的情况得到，求出t的取值范围；再利用根与系数的关系得到，，将根据完全平方公式变形，整体代入得到关于t的一次函数，根据增减性求出最小值即可． 13．（3分）（2026·内江模拟）如图，在矩形中，，．点E在上且．点G在上且，点P为边上的一个动点，F为的中点，则的最小值为　 　． 【答案】5 【解析】【解答】解：连接， ∵，，， ∴， ∴点G为的中点， ∵F为的中点， ∴，， ∴， 作 A关于直线的对称点H，连接，交于点M， ∵，， ∴当P与M重合时，取得最小值， ∵矩形中，，，点E在上且． ∴， ∴， ∴的最小值为5． 故答案为：． 【分析】本题以矩形中的动点及中点为背景，考查了三角形中位线定理、轴对称最短路径问题（将军饮马模型）及勾股定理的应用。连接AP，根据线段长度关系确定G为AE的中点，结合F为EP的中点，利用中位线定理将GF+EF转化为(AP+PE)。作点A关于BC的对称点H，连接HE，当P与HE和BC的交点重合时AP+PE最小，即HE的长，最后代入计算GF+EF的最小值。 阅卷人 三、解答题(共7题；共61分) 得分 14．（6分）（2026八下·罗湖期末）解方程： （1）（3分） （2）（3分） 【答案】（1）解：【法1】(x-4)(x-2)=0 x-4=0或x-2=0 【法2】a=1，b=-6，c=8 【法3】x2-6x+9=1 (x-3)2=1 x-3=±1 x=3±1 x1=4， x2=2 （2）解：【法1】(x+1)(x+3)=0 x+1=0或x+3=0 x1=-1， x2=-3 【法2】x2+4x+3=0 a=1，b=4，c=3 【法3】x2+4x+3=0 (x+2)2=1 x+2=±1 x=-2±1 x1=-1， x2=-3 【解析】【分析】（1）用因式分解法或公式法解方程，即可求出方程的解； （2）可以根据提取公因式把方程左边进行因式分解，解方程或者首先把原方程化为一般形式，然后用公式法解方程。 15．（7分）（2026八下·平湖期中）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠DAO＝∠ECO． （1）（3分）求证：四边形AECD是平行四边形； （2）（4分）若AB＝BC，若CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积． 【答案】（1）证明：在△DOA和△COE中， ， ∴△DOA≌△EOC（ASA）， ∴OD＝OE， 又∵AO＝CO， ∴四边形AECD是平行四边形； （2）解：∵AB＝BC，AO＝CO， ∴OB⊥AC， ∴平行四边形AECD是菱形， ∵AC＝16， ∴CO＝AC＝8， 在Rt△COD中，由勾股定理得：OD＝＝＝6， ∴DE＝2OD＝12， ∴菱形AECD的面积＝AC×DE＝×16×12＝96． 【解析】【分析】（1）由已知条件可知∠DAO=∠ECO，AO=CO，由对顶角的性质可得∠AOD=∠EOC，利用ASA证明△DOA≌△EOC，得到OD=OE，然后利用平行四边形的判定定理进行证明； （2）由等腰三角形的性质可得OB⊥AC，推出平行四边形AECD是菱形，则CO＝AC＝8，由勾股定理求出OD，据此可得DE，然后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算. 16．（8分）（2025九上·浙江期中）国庆前期，某校拟举办庆祝“建国76周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加.规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌(除牌面数字外，其余都相同)背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张.若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程. （1）（3分）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是　 　； （2）（5分）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平. 【答案】（1） （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有 9 种等可能的结果，其中两次摸到的数字之和大于4 的结果数有 3 种，两次摸到的数字之和小于 4 有 3种， ∴小明获胜的概率为 小红获胜的概率为 ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平. 【解析】【解答】(1)解：小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到1，2，3三张纸牌的可能性相同， ∴摸到“1”的概率是 故答案为：； 【分析】(1)根据概率公式计算即可； (2)列表求出所有可能的情况，再用概率公式求出两人获胜的概率，比较即可得到答案. 17．（8分）（2026八下·杭州期末）一堂几何拓展课中对平行四边形和矩形的边和对角线之间的数量关系进行了研究. （1）（4分）如图①，矩形ABCD中，求证： （2）（4分）如图②，在▱ABCD中，可以发现(1)中的结论仍然成立，请证明之. 【答案】（1）证明：如图1， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴； ​​​​​​ （2）（1）中的结论仍然成立， 证明：作于E，于 F， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在中，由勾股定理，可得， 在中，由勾股定理，可得 ∴， 在中，由勾股定理，可得， ∴． 【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到，然后根据勾股定理证明结论即可； （2）作于E，于 F，根据AAS得到，即可得到，，根据勾股定理列式，然后相加解答即可． 18．（10分）（2026九上·贵阳期末）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球也成为学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为100元，经统计，4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套． （1）（4分）求这种跳绳和排球套装4月份到6月份销售量的月平均增长率； （2）（6分）经市场预测，若售价为129元，则7月份的销售量将与6月份持平，经调查发现，该套装的月销量y（套）与每套的售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示，为减少库存，商店决定采取降价促销，该商店要想使月销售利润达到10800元，而且尽可能让学生得到实惠，这种跳绳和排球套装每套应降价多少元？ 【答案】（1）解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为. （2）解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得：， 解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 【解析】【分析】（1）设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为，利用“ 4月份的销售量为250套，6月份的销售量为360套 ”列出方程求解即可； （2）先利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用“ 该商店要想使月销售利润达到10800元 ”列出方程，再求解即可. （1）解：设这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：(不符合题意， 舍去)， 答：这种跳绳和排球套装月份到月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该套装的月销量(套)与每套的售价(元)之间的一次函数关系式为， 由题意得：，解得： ， 由题意得：， 整理得：， 解得： ∵要尽可能让学生得到实惠， ∴， (元)， 答：这种跳绳和排球套装每套应降价元． 19．（10分）（2025八下·温州期中）定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． （1）（3分）下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ （2）（3分）若是“邻根方程”，求的值； （3）（4分）若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）③ （2）解：解方程得：，，该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或 （3）解：设的两个根为，，由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得 【解析】【解答】解：①解方程得：，，， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． 【分析】本题重点考查一元二次方程的解法及根与系数的关系，解题关键在于理解"邻根方程"的定义。（1）第一问分析 需要分别计算三个方程的两个根，然后根据"邻根方程"的定义（两根之差的绝对值为1）进行判断。 （2）第二问解析 步骤如下： ①先求出给定方程的两个实数根 ②根据"邻根方程"的定义建立关于的方程 ③ 解这个一元一次方程得到的值 （3） 第三问推导 设方程的两根为和 根据定义有 结合韦达定理（根与系数关系），可推导出系数和之间的数量关系。 （1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 20．（12分）（2026·梧州模拟）特殊四边形是初中几何的核心内容，九年级某数学小组围绕“图形变化中的不变性质与最值规律”展开以下探究： （1）（3分）如图1，正方形的边长是4，点E为边的中点，连接，过点D作，交于点F，交于点H．求线段的长． （2）（4分）如图2，将正方形拉伸为矩形，其中，，点为边上的一个动点，连接，过点D作，交于点，交于点H．设，，求y关于x的函数表达式． （3）（5分）如图3，将矩形拉伸为平行四边形，其中，，，点为边上的一个动点（，），连接，过点D作，交于点，交于点．当线段取得最小值时，求此的最小值及x的值． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴． 在中，， 由等面积法：， ∴． 在中，， ∴线段的长为． （2）解：∵四边形是矩形，∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：连接．∵， ∵， ∴， ∴． 要使取得最小值，则要最大， ∴当与重合时，最大，即． 过点作，交的延长线于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又，则， ∴． 又， ∴，， ∴，即， ∴， 所以，所求的，． 【解析】【分析】（1）我们可以利用AAS判定定理，证明，由此可以得到对应边相等，即；接下来结合勾股定理计算出，再利用面积法可以求出；最后在中，再次运用勾股定理，就可以算出线段的长为。 （2）先证明，根据相似三角形的性质，可得对应边成比例，将已知数据代入该比例式，就可以推导出要证的结论。 （3）若要让取得最小值，需要达到最大值；当和重合时，最大，此时满足。接下来过点作，与的延长线交于点G，分别计算得到，，，也就是，最后代入计算就可以得到。 （1）证明：（1）∵四边形是正方形， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴． 在中，， 由等面积法：， ∴． 在中，， ∴线段的长为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y关于x的函数表达式为． （3）解：连接． ∵， ∵， ∴， ∴． 要使取得最小值，则要最大， ∴当与重合时，最大，即． 过点作，交的延长线于点G． ∵四边形是平行四边形， ∴． 又，则， ∴． 又， ∴，， ∴，即， ∴， 所以，所求的，． 学科网（北京）股份有限公司 $