专题04 相似三角形5大模型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题04 相似三角形模型 提升·进阶突破 模型1 .A 字型相似模型 模型2. 8 字型（对顶）相似模型 模型3. 子母型（共边共角）相似模型 模型4. 旋转型相似模型 模型5. K字型相似模型 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 A 字型相似模型 【模型】一条直线平行于三角形一边，与另外两边（或延长线）相交形成的相似三角形。 【步骤】识别平行线得到两组对应角相等，用 AA 证相似，找准对应顶点列出线段比例式求解。 【易错】区分正 A 与倒 A，不看清顶点顺序直接写比例，造成线段对应出错。 1．如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案． 【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点， ，， ， ， 的面积是， 四边形与的面积是和， 四边形与的面积差是， 故选：D． 2．如图，在中，分别为上的三等分点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定定理与性质定理求解即可，熟记相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 【详解】解：分别为上的三等分点， ， ， ， ， 故选：B． 3．如图．在△ABC中，DE∥BC，∠B=∠ACD，则图中相似三角形有（　　） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A， ∴△ACD∽△ABC， ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴△ACD∽△ADE， ∵DE∥BC， ∴∠EDC=∠DCB， ∵∠B=∠DCE， ∴△CDE∽△BCD， 故共4对， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定．注意掌握数形结合思想的应用，注意平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 4．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m． 【答案】3 【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可． 【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E， ∵AB∥CD， ∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB， ∵△PAB∽△PCD， ∴，（相似三角形对应高之比是相似比） 即：， 解得PF＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键． 5．如图，在中，点、分别在、上，，如果，的面积为9，四边形的面积为16，则的长为________． 【答案】5 【分析】由∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAB，根据相似三角形的判定得到△DAE∽△CAB，根据相似的性质得S△DAE：S△CAB=，然后把三角形面积代入计算即可． 【详解】解：∵∠ADE=∠C， 而∠DAE=∠CAB， ∴△DAE∽△CAB， ∴S△DAE：S△CAB=， ∵△ADE的面积为9，四边形BDEC的面积为16， ∴△ABC的面积=9+16=25， ∴， ∴AC=5． 故答案为5． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角分别相等的两三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 6．如图，在中，点分别在上，且． （1）求证：； （2）若点在上，与交于点，求证：． 【答案】证明：（1）在△AEF和△ABC中， ∵，， ∴△AEF∽△ABC； （2）∵△AEF∽△ABC， ∴∠AEF=∠ABC， ∴EF∥BC， ∴△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC， ∴,， ∴． 【分析】（1）直接利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质和平行线的判定方法可得EF∥BC，于是可得△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，再根据相似三角形的性质即可推出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 7．如图，，分别是与边上的高． 求证：． 【答案】 证明：，分别是与边上的高， ， ， ， ， 即， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．根据，分别是与边上的高，得到，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】略 题型2 8 字型（对顶）相似模型 【模型】两线段相交形成对顶角，一组对边平行，构成形如数字 8 的一对相似三角形。 【步骤】找到对顶角和平行带来的等角，利用 AA 判定相似，依据比例式求线段长。 【易错混淆上下两组对应边，对顶角当成普通角，顶点对应关系写反。 1．如图，在▱ABCD中，E为CD的中点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，则：为（    ） A．1：5 B．4：25 C．4：31 D．4：35 【答案】A 【分析】根据平行四边形对边互相平行可得，然后求出和相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出两三角形的面积的比为1：4，设，，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出，然后表示出的面积，再根据平行四边形的性质可得，然后相比计算即可得解． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ，AB=CD ∵E为CD的中点， ∴DE：CD=1：2 ∵AB//DE ∽， ：：：4，EF:AF=1:2 设，则， ：：2， ：：：2， ， ， 是平行四边形ABCD的对角线， ， ， ：：：5． 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定以及相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键，不容易考虑到的是等高的三角形的面积的比等于底边的比的应用． 2．如图，在平行四边形中，是上一点，且，连接并延长，交的延长线于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得：，，从而可得，，分别根据相似三角形的对应边成比例计算即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． ， ， ． 故选：C． 3．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若，则___． 【答案】2 【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可． 【详解】解：延长CF、BA交于M， ∵E是CD的中点，F是AE的中点， ∴EF＝AF，CE＝DC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴CE＝AB，∠ECF＝∠M， 在△CEF和△MAF中 ， ∴△CEF≌△MAF（AAS）， ∴CE＝AM， ∵CE＝AB， ∴BM＝3CE， ∵DC∥AB， ∴△CEG∽△MBG， ∴ ， ∵BE＝8， ∴ ， 解得：GE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． 5．综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效地拉长腿部线条． 【数学思维】（1）针孔相机的成像原理：如图，由于光的直射，人的足部与头部通过小孔的成像分别在处，线段的像是线段上点的像是点．若，求证：； 【数学语言】（2）如图，小美站立在处，摄影师给小美仰拍．小美的身高的像为，腿部的像为．试说明能拍出大长腿效果的理由． 【答案】 （1）证明：如图， ， ，， ， ． ； （2）解：若照片中的腿部与上半身的比值大于它们实际的比值（即，则能拍出大长腿的效果． 理由：过点作交于点，连接交于点， 摄影师仰拍， 是△的外角． ． 过点作的平行线交线段于点． ， 由（1）得． ， ， ， ， ． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键； （1）易证，，即可得证； （2）依据题意证即可，过点作交于点，连接交于点，过点作的平行线交线段于点．易得，则，再根据，即可得解． 【详解】（1）略 （2）略 6．如图，在平行四边形中，E为边的中点，连接，若的延长线和的延长线相交于点F． （1）求证：； （2）连接和相交于点为G，若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为DC的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴； （2）24． 【分析】（1）根据E是边DC的中点，可以得到，再根据四边形ABCD是平行四边形，可以得到，再根据，即可得到，则答案可证； （2）先证明，根据相似三角形的性质得出，，进而得出，由得，则答案可解． 【详解】（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形，点E为DC的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为2， ∴，即， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 题型3 子母型（共边共角）相似模型 【模型】两个三角形共用一个角，且有一条公共边，大三角形套小三角形的共边共角图形。【步骤】先锁定公共角，再寻找一组等角证明 AA 相似，利用公共边建立比例关系。 【易错】分不清谁是母三角形、谁是子三角形，公共边的对应关系找错。 1．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ）      A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H      ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考查了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 2．如图，点是的边上的一点，若添加一个条件，使与相似，则下列所添加的条件错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在与中，已知有一对公共角∠B，只需再添加一组对应角相等，或夹已知等角的两组对应边成比例，即可判断正误． 【详解】A．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； B．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； C．已知∠B=∠B, 若，则可以证明两三角形相似，正确，不符合题意； D．若，但夹的角不是公共等角∠B，则不能证明两三角形相似，错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解答的关键． 3．如图，中，点D在上，，若，则线段的长为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形性质、相似三角形的判定和性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形是解题的关键． 如图：延长到E，使，连接，可得等腰和等腰，，再证明，利用相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图：延长到E，使，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即，解得：． 故答案为：． 4．如图，△ABC中，AD是中线，BC＝10，∠B＝∠DAC，则AC＝________． 【答案】5 【分析】先利用中线的定义得到CD=5，再证明△CAB∽△CDA，然后利用相似比可求出AC的长． 【详解】∵△ABC中，AD是中线，BC＝10， ∴CD＝BC＝5. ∵∠DAC＝∠B，∠ACD＝∠BCA， ∴△ACD∽△BCA，∴＝，即＝，解得AC＝5， 故答案为：5． . 【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在利用相似三角形的性质时，主要利用相似比计算线段的长． 5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证 △ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【答案】 （1）∵，， ∴； （2） 【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出 （2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键． 6．已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E． （1）求证：△BAE∽△ACE； （2）AF⊥BD，垂足为点F，且BE•CE＝9，求EF•DE的值． 【答案】 （1）证明：∵AD是直角三角形ABC斜边上的中线， ∴AD＝BD＝CD， ∴∠C＝∠DAC， ∵AE⊥AD， ∴∠EAD＝90°＝∠BAC， ∴∠EAB＝∠DAC， ∴∠EAB＝∠C， ∵∠E＝∠E， ∴△BAE∽△ACE； （2）DE•EF＝9． 【分析】（1）根据直角三角形斜边中线的性质和等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC，由余角的性质可得∠EAB＝∠DAC，进而可得∠EAB＝∠C，进一步即可证得结论； （2）由（1）可得，进而可得AE2＝BE•CE＝9，易证△EAF∽△EDA，从而得，进一步即可求出结果． 【详解】解：（1）略 （2）∵△BAE∽△ACE， ∴， ∴AE2＝BE•CE＝9， ∵∠AFE＝∠DAE＝90°，∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EDA， ∴， ∴DE•EF＝AE2＝9． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，属于常考题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 题型4 旋转型相似模型 【模型】一个三角形绕顶点旋转一定角度得到另一三角形，形成有公共顶角的相似三角形。【步骤】由旋转得到等角与等线段，推导夹角相等，证两边成比例且夹角相等得到相似。 【易错】忽略旋转带来的角的加减，找错旋转后对应的边和角。 1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据折叠得到对应线段相等，对应角相等，根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半，可得出AD＝DC＝BD，AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，进而求出∠C、∠B的度数，求出其他角的度数，可得AQ＝AC，将转化为，再由相似三角形和等腰直角三角形的边角关系得出答案． 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵∠ADC＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD， 在Rt△ABC中， ∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线， ∴AD＝CD＝BD， 由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D， ∴∠CDC′＝45°+45°＝90°， ∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD， ∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°， ∴AC′＝AQ＝AC， 由△AEC∽△BDQ得：＝， ∴＝＝＝＝． 故选：A． 【点睛】考查直角三角形的性质，折叠轴对称的性质，以及等腰三角形与相似三角形的性质和判定等知识，合理的转化是解决问题的关键． 2．如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝2，CD＝5，AD＝kAB（k为常数），则BD的长为____．（用含k的式子表示） 【答案】 【分析】连接AC，将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，连接DG，根据相似三角形的判定与性质求出DG=kBC，然后根据题意推出∠CDG=90°，即可利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接AC， ∵AE⊥BC，BE＝CE＝2， ∴BC=4，AE垂直平分BC，AB=AC， 将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACG，如图所示，连接DG， 则AD=AG，BD=CG， 由旋转的性质可得：∠BAC=∠DAG， ∵AB=AC，AD=AG， ∴△ABC∽△ADG， ∴， ∵AD＝kAB， ∴DG=kBC=4k， ∵∠BAE+∠ABC=90°，∠BAE=∠ADC， ∴∠ABC+∠ADC=90°， ∵△ABC∽△ADG， ∴∠ABC=∠ADG， ∴∠ADG+∠ADC=90°， 即：∠CDG=90°， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，旋转构造辅助线，以及勾股定理解三角形等，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． 3．已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG，CE交于点H，若，，则CH的长为________. 【答案】 【分析】连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M，证明△ANG∽ADM，得到，从而求出DM的长，再通过勾股定理算出AM的长，通过证明△ADG≌△CDE得到∠DAG=∠DCE，从而说明△ADM∽△CHM，得到，最后算出CH的长. 【详解】解：连接EG，与DF交于N，设CD和AH交于M， ∴∠GNA=90°，DN=FN=EN=GN， ∵∠MAD=∠GAN，∠MDA=∠GNA=90°， ∴△ANG∽ADM， ∴， ∵， ∴DF=EG=2, ∴DN=NG=1， ∵AD=AB=3， ∴， 解得：DM=， ∴MC=，AM=， ∵∠ADM+∠MDG=∠EDG+∠CDG， ∴∠ADG=∠EDC， 在△ADG和△CDE中， ， ∴△ADG≌△CDE（SAS）， ∴∠DAG=∠DCE， ∵∠AMD=∠CMH， ∴∠ADM=∠CHM=90°， ∴△ADM∽△CHM， ∴， 即， 解得：CH=. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，综合性较强，解题的关键是找到合适的全等三角形和相似三角形，通过其性质计算出CH的长. 4．如图，中，，将绕点逆时针旋转到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若与相交于点，求证：点是的中点； (3)如图3，当，时，探究与的数量关系并说明理由． 【答案】(1)证明：∵将绕点A旋转得到， ∴，，． ∴，． ∴． (2)证明：过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N， 由旋转的性质可知，， ， ，，， ， 又∵ ， ， ，， ， ， 即点是线段的中点． (3)解：结论：， 理由：延长、交于点，过点作，垂足为， 设，由可得， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∵，， ∴，，， 由（2）得， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴ ∴，即． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，，即可得出，，根据相似三角形的判定定理即可证明． （2）过点D作于点M，过点B作，交的延长线于点N，构造K字形全等，得，由全等三角形的性质得到，进而证明即可得出． （3）延长、交于点，过点作，垂足为，设，则，可求，，根据中点+平行线模型可得，可得，，由勾股定理可得，进而求出，利用可得，由此求出，根据，求出，由此得出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 5．如图1，在中，，，D，E分别为AB，BC边上的点，连接DE，且，将绕点B在平面内旋转. (1)观察猜想：若，将绕点B旋转至如图2所示的位置，则______； (2)类比探究：若将绕点B旋转至如图3所示的位置，求的值； (3)拓展应用：若，D为AB的中点，，如图4，将绕点B旋转至如图5所示位置，请直接写出线段的长． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）根据，，，可得、均为等边三角形，可证明，即可得到的值； （2）根据，，，可得、均为等腰直角三角形，可证明，即可得到的值； （3）根据，D为AB的中点，，可以得到及的长度，根据，可得及的长度，利用勾股定理即可确定的长度，根据图5可得即可确定的长度； 【详解】（1）解：∵，，， ∴、均为等边三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即： 故答案为： （2）∵，，， ∴、均为等腰直角三角形， ∴，，， 即：， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 即： （3）∵，D为AB的中点，， ∴，， ∵，与交于点， ∴， 在中， ， ∴如图5所示， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转全等及相似模型是重点． 题型5 K字型相似模型 【模型】同一条直线上有三个相等的角，两侧两个直角或斜三角形构成 K 字形。 【步骤】利用平角推导出另一组等角，用 AA 证明左右两个三角形相似，列比例计算。 【易错】直接默认一定是全等，忽略只是相似；找错两组对应边。 1．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 2．如图，点是正两边上的点，将沿直线翻折，点的对应点恰好落在边上，当时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，再根据相似三角形的周长比等于相似比和折叠的性质进行转化即可求解． 【详解】解：设AF=x， ∵为等边三角形， ∴AC=AB=BC=4x, ∠A=∠B=∠C=60°,CF=3x ∵翻折得到， ∴BD=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE=60°， ∴∠AFD+∠DFE=∠C+∠FEC， ∴∠AFD=∠CEF， ∴， ． 故选：D 【点睛】本题难度较大，根据题意找到“一线三等角”相似模型，理解相似三角形的周长比等于相似比是解题关键． 3．如图，在矩形ABCD中，BC＝6，AB＝2，Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF＝90°，EF＝BE，DF＝，则BE＝_____． 【答案】3． 【分析】过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝9，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长． 【详解】如图所示，过F作FG⊥CD，交CD的延长线于G，则∠G＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C＝90°，AB＝CD＝2， 又∵∠BEF＝90°， ∴∠FEG+∠BEC＝90°＝∠EBC+∠BEC， ∴∠FEG＝∠EBC， 又∵∠C＝∠G＝90°， ∴△BCE∽△EGF， ∴＝＝，即＝＝， ∴FG＝EC，GE＝2＝CD， ∴DG＝EC， 设EC＝x，则DG＝x，FG＝x， ∵Rt△FDG中，FG2+DG2＝DF2， ∴（x）2+x2＝（）2， 解得x2＝9， 即CE2＝9， ∴Rt△BCE中，BE＝＝＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形． 4．如图，在正方形中，是边上的中点，过点作，交的延长线于点，交于点． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵边形是正方形， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键点在于利用“同角的余角相等”证明，以及利用正方形用比例关系表示，本题的易错点在于找不到角的关系，比例式列错． （1）在正方形ABCD中，找到得两个余角，利用同角的余角相等，得出一对角相等，再利用已知直角相等，即可证明； （2）设正方形边长为，利用第（1）问的相似和中点，用比例关系表示，从而表示出，再证明，即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）设正方形的边长为， ∵是边上的中点， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 故． 5．如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1) 证明：， ， ， ， ． (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04相似三角形模型 题型图谱导航总览 模型1.A字型相似模型 模型2.8字型（对顶）相似模型 提升进阶突破 模型3.子母型（共边共角）相似模型 模型4.旋转型相似模型 模型5.K字型相似模型 题型精练·靶向突破 提升进阶突破 题型1A字型相似模型 【模型】一条直线平行于三角形一边，与另外两边（或延长线）相交形成的相似三角形， 【步骤】识别平行线得到两组对应角相等，用AA证相似，找准对应顶点列出线段比例式求 解。 【易错】区分正A与倒A,不看清顶点顺序直接写比例，造成线段对应出错 1,如图，在△ABC中，D,E是边AB的三等分点，F,G是边AC的三等分点，若△ADF的面积为心，则 四边形EBCG与△AEG的面积差是() 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B A.4m B.3m C.2m D.m SAEFC= 2.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC上的三等分点，若EF∥AB,则SABc() D F 5 A.4 B.9 3-2 D. 3.如图.在△ABC中，DEBC,∠B=∠ACD,则图中相似三角形有() D B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 4.如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD(点P、A、C在一条 直线上，点P、B、D在一条直线上)，不难发现AB/CD.已知AB=1.5m,CD=4.5m,点P到横杆AB 的距离是1m,则点P到地面的距离等于m. 2/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B D 5.如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，∠ADE=∠C,如果AD=3,△ADE的面积为9，四 边形BDEC的面积为16，则AC的长为 D E AE AB 6.如图，在△4BC中，点E,F分别在AB,AC上，且AF=AC, E (1)求证：△4EF~△MBC: EGFG (2)若点D在BC上，AD与EF交于点G,求证：BDCD 7.如图，BD,CE分别是AC与AB边上的高. 求证：△ADE∽△ABC E 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型28字型（对顶)相似模型 【模型】两线段相交形成对顶角，一组对边平行，构成形如数字8的一对相似三角形。 【步骤】找到对顶角和平行带来的等角，利用AA判定相似，依据比例式求线段长。 【易错混淆上下两组对应边，对顶角当成普通角，顶点对应关系写反。 L,如图.在ARCD中，B为CD的中点，连接AB、BD,且AB、BD交于点R,则边形C 为 D A.1:5 B.4:25 C.4:31 D.4:35 2.如图，在平行四边形ABCD中，F是AD上一点，且AF=2FD,连接BF并延长，交CD的延长线于点 BE G,则EG的值为() F D E A. 1 2 B.3 c.3 D.4 3.将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若∠ABC一∠BAD=90°，∠ADB=45°，∠ACB=30°】 AE AC与BD相交于点E,则EC的值等于 4/12 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 45o 30° B 4.如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G,若BE=8,则GE= D G F B 5.综合与实践：如何拍出大长腿的效果？ 【数学眼光】如图@，低角度拍摄，并结合仰拍技巧，可以有效违拉长腿部线条。 (b) 【数学思维】(1)针孔相机的成像原理：如图)，由于光的直射，人的足部A与头部B通过小孔O的成 A'C AC 像分别在A,B处，线段AB的像是线段AB,AB上点C的像是点C'.若A'B∥AB,求证：BCBC: 【数学语吉】(2)如图⊙，小美站立在4处，摄影师给小美仰拍.小美的身高B的像为B,腿部 AC的像为A'C'.试说明能拍出大长腿效果的理由. d (b) (c) 6.如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE,若AE的延长线和BC的延长线相交于点 F 5/12 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E (1)求证：BC=CF: (2)连接AC和BE相交于点为G,若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积. 题型3子母型（共边共角）相似模型 【模型】两个三角形共用一个角，且有一条公共边，大三角形套小三角形的共边共角图形 【步骤】先锁定公共角，再寻找一组等角证明AA相似，利用公共边建立比例关系。 【易错】分不清谁是母三角形、准是子三角形，公共边的对应关系找错。 1.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD,AD上，BE⊥CF于点G,若BC=4,AF=1,则CE的长为 () AF D E G B A.3 号 6 D.5 2.如图，点P是△MBC的边AB上的一点，若添加一个条件，使△MBC与△CBP相似，则下列所添加的条 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 件错误的是() B C A.∠BPC=∠ACBB.∠A=∠BCP C.AB:BC=BC:PB D.AC:CP=AB:BC 3.如图，△ABC中，点D在AB上，∠B=2∠BCD,若BD=2,BC=5,则线段CD的长为 B 4.如图，△ABC中，AD是中线，BC=10,∠B=∠DAC,则AC= B D AD AC 5.如图，在Rt△MBC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且AC=AB (1)求证△ACD一△ABC; (2)若AD=3,BD=2,求CD的长. C D 6.已知，如图，AD是直角三角形ABC斜边上的中线，AE⊥AD,AE交CB的延长线于点E. B FD 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：△BAE一△ACE: (2)AF⊥BD,垂足为点F,且BECE=9,求EF·DE的值. 题型4旋转型相似模型 【模型】一个三角形绕顶点旋转一定角度得到另一三角形，形成有公共顶角的相似三角形。 【步骤】由旋转得到等角与等线段，推导夹角相等，证两边成比例且夹角相等得到相似。 【易错】忽略旋转带来的角的加减，找错旋转后对应的边和角。 1.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在 BO C'的位置，CD交AB于点O,则AO的值为(） √2 3 A.V2 B.3 C.2 D.2 2.如图，在四边形ABCD中，AE⊥BC,垂足为E,∠BAE=∠ADC,BE=CE=2,CD=5,AD=kAB(k 为常数)，则BD的长为一.（用含k的式子表示） 3.已知正方形DEG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延长线上，连结AG,CE交于点H,若AB=3, DE=2 则CH的长为一 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D H G B 4.如图，△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△ADE,连接BD,EC. 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：△ABD~△ACE； (2)如图2，若EC与BD相交于点F,求证：点F是BD的中点： AB 5 (3)如图3，当DE∥AB,BC-3时，探究EF与CF的数量关系并说明理由. 5,如图1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=C,D,E分别为AB,BC边上的点，连接DE,且BD=DE, 将△DBE绕点B在平面内旋转.· 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D 的 B B C 图1 图2 图3 A D D B E B E 图4 图5 AD (1)观察猜想：若a=60,将ADBE绕点B旋转至如图2所示的位置，则CE AD (2)类比探究：若a=90将DBE绕点B旋转至如图3所示的位置，求CE的值； 瓶展应用：若=90，D为6的中点.4B=22 如图4，将△DBE 绕点B旋转至如图5所示位置 (AD'⊥BE) 请直接写出线段AD的长。 题型5K字型相似模型 【模型】同一条直线上有三个相等的角，两侧两个直角或斜三角形构成K字形。 【步骤】利用平角推导出另一组等角，用AA证明左右两个三角形相似，列比例计算。 【易错】直接默认一定是全等，忽略只是相似；找错两组对应边。 1.如图，在等边三角形△ABC中，点D,E分别是边AC,BC上的点.将△ABC沿DE翻折，点C正好 10/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 落在线段AB上的点F处，使得AF:BF=1:2.若BE=2,则CE的长度为() D B C 14 12 6 18 A.5 B.5 c.5 D.5 2.如图，点D,E是正△MBC两边上的点，将△BDE沿直线DE翻折，点B的对应点恰好落在边AC上，当 BD AC=4AF时，BE的值是（) B E 2 3 A.3 B.4 D 3.如图，在矩形ABCD中，BC=6,AB=2,Rt△BEF的顶点E在边CD或延长线上运动，且∠BEF= 90,EF=3BE,DF=√0，则BE=一. C B E D A F 4.如图，在正方形ABCD中，P是CD边上的中点，过点P作PF⊥AP,交AB的延长线于点F,交BC于 点E, 11/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P C 入 E B F (1求证：△APD∽aPEC: PC (2)求BF的值. 5.如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上，∠ADE=∠ABC. B D (1)求证：△ABD∽ADCE. (2)如果AB=8,BC=6,AE=7,求DC的长. 12/12