专题06 锐角三角函数几何综合8大题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题06 锐角三角函数几何综合 提升·进阶突破 题型1. 三角函数 + 勾股定理综合计算 题型2. 三角函数 + 相似三角形综合 题型3. 三角函数与矩形、菱形综合 题型4. 动点背景下三角函数求值 题型5. 图形翻折中的三角函数计算 题型6. 三角函数几何探究题 题型7. 线段最值结合三角函数问题 题型8. 线段最值结合三角函数问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 三角函数 + 勾股定理综合计算 【模型】直角三角形内边角混合模型。 【步骤】找到直角，设未知数，勾股列方程，再求三角函数。 【易错】分不清对边、邻边，直接用斜边代替直角边计算。 1．如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（   ）      A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，交于点G，如图所示，     由翻折性质可得：垂直平分， ∴，， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键． 2．在中，，若，，那么下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，根据锐角三角函数的定义，分别计算的三角函数值即可． 【详解】解：如图所示， ∵，，， ∴， ∴，选项A正确，符合题意； ，选项B错误，不符合题意； ，选项C错误，不符合题意； ，选项D错误，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．如图，在中，，，，则的长为________． 【答案】 【分析】过A作AD垂直于BC，在中，利用锐角三角函数定义求出AD的长，在中，利用锐角三角函数定义求出CD的长，再利用勾股定理求出AC的长即可． 【详解】解：过A作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，即， 根据勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，以及勾股定理，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． 4．如图，在中，，D是的中点，则______． 【答案】 【分析】设，则，，求出，在求出，由三角函数的定义求解即可. 【详解】 如图，过点D作于点E， ∵在中， ∴，设，则，，又∵D是边的中点， ∴， 在中，， 在中，， 在中，． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，勾股定理，准确求出BD、DE的长是解题的关键． 5．如图，在中，于点，若，求的度数及的长． 【答案】， 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角函数的运算，准确的计算是解决本题的关键． 先求出的长，然后根据勾股定理求出的长，再求出的长，最后根据三角函数求出的长即可． 【详解】解：在中，． ， ， ； ， 在中，， ． ∴在中，． 题型2 三角函数 + 相似三角形综合 【模型】相似传递等角模型。 【步骤】证相似得到等角，转化角后在 Rt△中求三角函数。 【易错 错把相似比直接当作三角函数比值。 1．如图，、是的两条高，连接，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形相似的判定和性质，锐角三角函数．熟练掌握三角形相似的判定定理和性质定理，锐角三角函数的定义是解题关键．根据题意易证，得出，即，从而可证，即得出． 【详解】解：∵、是的两条高， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选D． 2．如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得到，所以，即两角互余，即可得到 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了两角互余时角的三角函数关系及相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数关系是解题的关键 3．如图，在中，，，，为的中点，为上一点，连接，交于点，若，则线段的长度为______． 【答案】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，由可得，得到，再用三角函数解 求出相关线段长度，最后在中，由勾股定理得代入即可． 【详解】解：如图①，过点作交于点，过点作交于点， 是的中点， 是的中位线， ， ， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵，， 在中，，， 为的中点，， ， ， 在中，由勾股定理得， ． 【点睛】本题主要考查了中位线定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 4．如图，在四边形中，平分，，为的中点，与相交于点．若，，则的长为___________． 【答案】/ 【分析】连接，在和中，利用角的余弦求出和的长，利用直角三角形中线的性质可求出，即：，可得出，根据相似三角形的性质即可得答案． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，作出辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 5．已知，如图，点在上，； (1)求的度数， (2)若，，求的长， (3)若，求． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由三角形全等的性质得到，，再进一步得到，得出，再由即可求解； （2）先证明，得到，再由，即可求解； （3）根据，设，，得到，再得到，由，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ，， ，， ∵，， ， ∴， 在中，， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中， ， 又∵， ， ∴； （3）解：，设，， ， ， ∵ ∴， ， ， ∵， ∴， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角形函数等知识，掌握相关知识是解题的关键． 题型3三角函数与矩形、菱形综合 【模型】平行四边形内嵌直角模型。 【步骤】利用矩形菱形性质找等角、等线段，构造直角三角形求解。 【易错】忽略菱形对角线互相垂直的隐藏直角条件。 1．如图，在矩形中，对角线、相交于点，、分别为、的中点，连接．若，矩形的周长是，则的周长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，三角函数，解题的关键是掌握相关的知识．根据三角函数值可设，，根据勾股定理表示出，然后利用矩形的周长求出，根据是的中位线，求出，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， 设，， ， 矩形的周长是， ， ，即， 解得：， ，， 、分别为、的中点， 是的中位线， ， ，、分别为、的中点， ， 的周长是， 故选：C． 2．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA=，则tan∠DBE等于（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】直接利用菱形的性质得出AD＝AB，再利用锐角三角函数关系表示出AE，AD的长，进而求出DE，BE的长进而得出． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD ∵DE⊥AB， ∴ ∠AED＝∠BED＝90° ∵cosA＝ ， ∴， 设AE＝3x，则AD＝AB＝5x， 则DE＝＝4x，BE＝AB－AE＝5x﹣3x＝2x， ∴tan∠DBE＝． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理、锐角三角函数关系等知识，正确表示出DE，BE的长是解题关键． 3．如图，在矩形中，，，点F是对角线上的一个动点，连接，以为斜边作的，使点E和点A位于两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运动路径长是______． 【答案】 【分析】当F与A点重合时和F与C重合时，根据E的位置，可知E的运动路径是的长；由已知条件可以推导出是直角三角形，在中，求出，，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：E的运动路径是线段的长； ∵四边形为矩形， ∴，，， ∵，， ∴， 当F与A点重合时，在中，，， ∴，， 当F与C重合时，，， ∴， ∵， ∴在中，根据勾股定理得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查点的轨迹，矩形的性质，勾股定理，能够根据E点的运动情况，分析出E点的运动轨迹是解题的关键． 4．如图，已知菱形，，点E是边中点，，则_____． 【答案】 【分析】作于G， 交的延长线于点H，由菱形的性质得， 所以 再证明，设则 求得． 由得则求得 由求得则 于是得到问题的答案． 此题重点考查菱形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作于点G，交的延长线于点H，则，如图： ∵四边形是菱形，，点E是边中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则 ∴，， , ， ， ， 故答案为：． 5．如图，在菱形中，边的长度为，的两边、分别与、的延长线相交于点和点，已知．请将图形补充完整，并回答下列问题．    (1)求证：； (2)若，，请用含，的代数式表示． 【答案】(1) 根据题意作图：   是菱形， ，， ， ， 又， ， ， 又， ， 又， ， ， ， ， ， (2) 【分析】（1）从所求答案出发，经观察其形式可由相似得出，找到两组对应角相等，即可得证， （2）用三角函数和已知线段长度表示出两个三角形的面积，整理后即可得出结论． 本题考查了根据要求作图的能力，菱形的性质，相似三角形的判定，以及用三角函数表示三角形的边长，解题的关键是：（1）熟练掌握相似三角形的比例表达形式，（2）熟练应用三角函数表示直角三角形的边长． 【详解】（1）略 （2）      过点、作的垂线，垂足分别为点、， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故． 题型4 动点背景下三角函数求值 【模型】动点动态几何模型。 【步骤】分析动点位置，画出对应静态图形，锁定目标直角三角形。 【易错】未考虑动点多种位置，漏写情况。 1．如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，连接AB，tan∠BAO＝2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点、当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（　　） A．（4，4）或（22，4） B．（4，4）或（22，4） C．（12，4）或（22，4） D．（12，4）或（22，4） 【答案】C 【分析】根据已知可得OA=4，OB = 8，从而利用勾股定理可求出AB，然后分两种情况，当∠AE1B=90°，当∠BAE2=90°，进行计算即可解答． 【详解】解：∵A（4，0）， ∴OA=4， 在Rt△ABO中，tan∠BAO=， ∴OB =2OA=8， ∴， ∵点C，D为OB，AB的中点， ∴，， 如图，分两种情况： 当∠AE1B=90°，点D为AB的中点， ∴DE1＝， ， ∴E1（，4 ）， 当∠BAE2=90°，过点E2作E2F⊥x轴， ∴∠BAO+∠E2AF= 90°， ∵∠BOA＝90°， ∴∠ABO+∠BAO=90°， ∴∠ABO＝∠E2AF， ∵∠BOA＝∠AFE2=90°， ∴△BOA∽△AFE2， ∴， ∴， ∴AF=8， ∴OF=OA+AF=12， ∴E2（12，4）． 综上所述，当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为（，4 ）或（12，4）． 【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 2．如图，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ，使得∠OPQ=30°，已知AB=3，当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是________．   【答案】 【分析】首先根据题意可知所有的Rt△OPQ都是相似的，从而得出点Q实质就是在一条竖直的直线上运动，据此我们假设点O在点A的正上方，且设点O（0，3），点A（0，0），点B（3，0），点P（xp，0），其中0≤xp≤3，通过待定系数法求出直线OP的解析式为：，由此得出直线OQ的解析式为：，据此利用特殊角的三角函数值得出，最后在此基础上作进一步分析即可. 【详解】由题意得：所有的Rt△OPQ都是相似的， ∴点Q实质就是在一条竖直的直线上运动， ∴假设点O在点A的正上方，再设点O（0，3），点A（0，0），点B（3，0），点P（xp，0），其中0≤xp≤3， ∴设直线OP的解析式为：， 则， ∴， ∴直线OP的解析式为：， ∵OP⊥OQ， ∴直线OQ的解析式为：， ∴点Q（xQ，）， ∴(tan30°)2=， ∴ ∴xQ=，yQ=， 又∵0≤xp≤3， ∴3≤yQ≤3+， ∴点Q运动的长度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与特殊角三角函数值的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键. 3．如图1，在中，，，，点D是斜边的中点，点E是边上一动点，连接，过点D作，交线段于点F． (1)求的值； (2)如图2，若，求的长； (3)如图3，当时，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数待知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点D作于点G，作于点H，先证明四边形为矩形，再根据点D是斜边的中点，得到，，再证明即可求解； （2）过点F作于点M，由勾股定理求出，得到，再得到，利用三角函数即可求解； （3）延长至点N，使，连接和，设，根据勾股定理求出，点D是斜边的中点，得到，再证明，得到，，，再进一步得到，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点D作于点G，作于点H， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 又∵， ， ∴，即， ∵点D是斜边的中点， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点M，在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，延长至点N，使，连接和，设， 由已知可得，， 在中，， ∴， ∵点D是斜边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； 4．将一副三角尺如图拼接：含角的三角尺（）的长直角边与含角的三角尺（）的斜边恰好重合．已知，是上的一个动点． （1）当点在的平分线上时，求的长； （2）当时，求此时的度数； （3）直接写出点运动到什么位置时，以、、、为顶点构成平行四边形的顶点恰好在边上． 【答案】（1）3；（2）15°；（3）当点运动到边中点，即 【分析】（1）作，根据三角形函数值求解即可； （2）根据点P所在的不同位置计算即可； （3）当点运动到边中点时，求出点P即可； 【详解】解：在中，，， ∴，． （1）如图（1），作． ∵中，，∴． ∵平分，∴， ∴，∴， ∴． （2）当点位置如图（2）所示时， 根据（1）中结论，，， 又∵，∴， ∴．∴． 当点位置如图（3）所示时，同（2）可得． ∴． 故的度数为或 （3）当点运动到边中点（如图4），即时， 以为顶点的平行四边形的顶点恰好在边上四边形为平行四边形． 【点睛】本题主要考查了四边形综合，结合三角函数的计算是解题的关键． 题型5 图形翻折中的三角函数计算 【模型】翻折全等等线段等角模型。 【步骤】利用翻折性质得到相等边角，设元，借助直角三角形计算。 【易错】翻折后对应边判断错误。 1．如图，在矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长为（   ）      A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，交于点G，，根据对称的性质，可得垂直平分，，，根据E为中点，可证，通过等边对等角可证明，利用勾股定理求出，再利用三角函数求出，则根据勾股定理计算即可． 【详解】解：连接，交于点G，如图所示，     由翻折性质可得：垂直平分， ∴，， ∵E为的中点，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了折叠对称的性质、解直角三角形，熟练运用对称性质证明相关线段相等是解题的关键． 2．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，若，，则折痕（　　　） A． B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】首先根据折叠及求得EF的值，进一步知道DC的长度，后根据，其正切值相同解三角形ABF得BF的长度，从而知道AD的长度，后根据勾股定理求得AE的长度． 【详解】解：由题意，∠C=90°， ∴CE=3 ∵中，∠C=90°， ∴ ∵是折叠而来 ∴， ∵矩形ABCD ∴ ∵， ∴ ∴tan∠BAF=tan∠EFC=， 即， ∴ ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了锐角三角函数解直角三角形，勾股定理，矩形的性质，翻折的性质，根据等量变换得到并运用其锐角三角函数相等，求线段长是解决本题的关键． 3．如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 4．如图，在矩形中，是线段上不与端点重合的一点，将沿折叠得对应，当点落在矩形的对称轴上时，的长为_______． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠性质，解答时分店E落在横对称轴上和纵对称轴上，两种情况计算即可，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】如图当点E落在对称上时， ∵ 矩形中，，沿折叠得对应， ∴，，， ， ∴，，， 设，则， ∴， 解得； 如图当点E落在对称上时，设的交点为Q， ∵ 矩形中，，沿折叠得对应， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：或． 5．如图，是矩形的对角线，和分别沿着，所在直线进行折叠，使得点和恰好落在对角线上． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，， ， 根据折叠的性质可知，，， ， ， 四边形是平行四边形； (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质可得，，推出，结合折叠的性质可推出，得到，即可得证； （2）根据矩形和折叠的性质可得，，根据求出，利用勾股定理求出，进而求出，根据，得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ， 由折叠可得，，， ， ，即， ， ， ， ，即 ， 四边形的面积为． 题型6三角函数几何探究题 【模型】条件递进探究模型。 【步骤】先解决基础小问，迁移结论，类比解决后续问题。 【易错】不会沿用前面已证结论，重复推导浪费时间。 1．探究不同的情境，完成下列问题： (1)如图①，中，，，，请用尺规作图的边上的高（保留作图痕迹，不写作法），并求的长． (2)如图②，的高，相交于点，，，，连接，并延长交于点，求的长． 【答案】(1)的长为 (2)的长为 【分析】（1）以点为圆心，取适当长度为半径画弧，交于两点，再分别以这两点为圆心、大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点并延长交于，则，即为所求高；根据三角函数得即可求出的长度； （2）由三角函数得计算可求出、的长度，故可得的长度，由勾股定理得，由三角形垂心的定义，可知点为的垂心，故为的一条高线，故可通过面积相等进行求解的长度． 【详解】（1）解：下图中即为所作： ∵， 在中，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， 在中，， ∴，， ∵， ∴．， ∴， 由勾股定理得， ∵点为、的交点，即的两条高线的交点， ∴点为的垂心， ∴为中以为底边对应的高线， ∴， 得， 解得． 【点睛】本题考查尺规作图和三角函数的计算应用，需要注意的是第二问中未明确是的高，需要根据垂心的定义进行证明，方可使用等面积法求解的长度． 2．在 中，， ，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，过点作的垂线，交于点，交直线于点，连接． (1)如图1，当时， ①说明线段与的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，当，时，求线段的长． (3)在线段旋转的过程中，当 时， 的面积为，求线段的长． 【答案】(1) ①， 证明：将线段绕点逆时针旋转，得到线段， ， 又， 垂直平分， ； ②， 证明：作于点，交于点，如图所示， 则，， 由①可知， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， 由①可知， 为等边三角形， ； 不妨设，，则 在和中， ，， ， ， ， 在中，， ， ，， ； (2) (3) 【分析】（1）①由题意可知，垂直平分，利用垂直平分线的性质，可得；②作于点，交于点，先证明为等边三角形，不妨设，，则，可利用勾股定理和解直角三角形，分别表示出，，，，从而得出三者之间关系； （2）先利用勾股定理求得，再证明，从而得到，由（1）可知，，，，，接着在中，利用算得，得到； （3）由（1）可知，时，，同理可证，时，， 由（1）可知，设，，则，，，，过点作，先利用勾股定理，表示出，接着利用，以及，算得、，最后得出；当时，同理可证是等边三角形，先算出，过点作于， 同理可算得，通过，可知不符合题意，综上可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，如图所示： ，，，， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， ，， ， ， 由（1）可知，，，，， ， 在中，， ， ， ； （3）解：由（1）可知，时，， 同理可证，时，，如下图所示： 由（1）可知，设，，则，， ，， 过点作，如下图所示： ，， ，， ， 当 时， ， 的面积为，， ， 联立，解得， 此时、重合，、、三点共线，如下图所示： ； 当时，如下图所示： 同理可证是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 过点作于，如图所示： 同理可证， ， 的面积为， ， 不符合题意； 综上：线段的长为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，勾股定理，全等三角形的判定与性质，30度所对的直角边等于斜边的一半，线段的垂直平分线，熟练掌握以上知识点数形结合，作出合适的辅助线是解题的关键． 3．我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． (1)概念理解：如图1，在正方形中，点是边上一点，连接、，求证：是等高底三角形． (2)问题探究：如图2，是“等高底”三角形，是“等底”，且，是边上的高，求的值． 【答案】(1) 证明：作于则， 四边形是正方形， 四边形是矩形． 四边形是正方形， ， ． 是等高底三角形． (2) 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，勾股定理，理解新定义是解题的关键． （1）先证四边形是矩形，可得，即可求解； （2）由锐角三角函数可求，设，，，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：作 于点， ，， ， ， ， ， 设， ，， ， 在 中，，， ， ， ， 设，，，则， 在中由勾股定理得：， 解得， ． 4．好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角中之间的关系，他想起数学课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况． (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图①，在中，，， ______，______． ______（填“>”，“<”或“=”）； 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求助．老师肯定了他（1）的证明过程和猜想的结论，师生对话如下． 师：（1）证明的关键是什么？ 生：找到了与都有关的边，可是现在不是直角三角形，找不到斜边． 师：并不是找斜边，而是找与都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题． 生：作高！可是这样也只能说明之间的关系，怎么加入呢？ 师：同理可得． (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： 如图②，在锐角中，____________（填“>”，“<”或“=”） 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且（2）的结论在钝角三角形中也是成立的．数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和（2）的结论求出的值． （要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果） 【答案】(1)；； (2)；； 证明：如图，作于点，则， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 同理可得：， ． (3) 如图所示，钝角三角形的示意图即为所求： 【分析】本题考查了锐角三角函数的应用，掌握正弦的定义，学会添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）结合题意，完成推理过程即可； （2）作于点，则，分别在和中利用正弦的定义得到，，等量代换即可得出答案； （3）作使得，，则，作于点，利用特殊锐角的三角比值得到，，设，表示出、的长，再由（2）得结论可得，代入数据即可求出的值． 【详解】（1）解：如图①，在中，，， ，． ． 故答案为：；；． （2）略 （3）解：作使得，，则， 作于点，则， ， ， ， ， 在中，，， ，， 设，则，， ， 由（2）的结论得，， ， 解得：． 题型7 旋转变换中的三角函数计算 【模型】旋转等线段等角模型。 【步骤】由旋转得等角等线段，构造直角三角形求边角。 【易错】旋转后角度加减运算出错。 1．如图，射线互相垂直，，点B位于射线的上方，且在线段的垂直平分线l上，连接，．将线段绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段，若点恰好落在射线上，则点到射线的距离是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】添加辅助线，连接，，过点作交ON与点P．根据旋转的性质，得到，在和中，，根据三角函数和已知线段的长度求出点到射线的距离． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作交ON与点P． ∵线段绕点按逆时针方向旋转得到对应线段， ∴，， ∴， 即， ∵点在线段的垂直平分线上， ∴， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 【点睛】本题主要考查旋转的性质和三角函数．对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等． 2．如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，连接．若则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由旋转的性质，得到△AED≌△ACB，则得到阴影部分的面积等于等边三角形ABC的面积，然后求出答案即可． 【详解】解：根据题意，则 将绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴△AED≌△ACB，∠BAD=60°， ∴AB=AD， ∴三角形ABD是等边三角形， ∴AB=AD=BD=8， ∴图中阴影部分的面积为：； 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，三角函数，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题． 3．如图，中，，，，将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，则______． 【答案】/3.6 【分析】先求出，，作AF⊥BC于点F，利用旋转的性质和等腰三角形的性质得到，再求出，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵中，，， ∴， ∴； 由勾股定理，则 ； 将绕点按顺时针方向旋转后得到，且点点刚好落在上，作AF⊥BC于点F，如图： ∴AD=AB=3，∠AFC=90°，BF=DF=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数，旋转的性质，勾股定理解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 4．一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm（如图1），点G为边BC（EF）的中点，边FD与AB相交于点H，此时线段BH的长是_____．现将三角板DEF绕点G按顺时针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为_____．（结果保留根号） 【答案】 （12﹣12）cm （12﹣18）cm 【分析】如图1中，作于，设．在中，，，根据，可得，推出，推出．如图2中，当时，易证，此时的值最小，易知，当旋转角为时，与重合，易知，观察图象可知，在从到的变化过程中，点相应移动的路径长，由此即可解决问题． 【详解】解：如图1中，作HM⊥BC于M，设HM＝a，则CM＝HM＝a． 在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12， 在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝a， ∵BM+FM＝BC， ∴a+a＝12， ∴a＝6﹣6， ∴BH＝2a＝12﹣12． 如图2中，当DG⊥AB时，易证GH1⊥DF，此时BH1的值最小，易知BH1＝BK+KH1＝3+3， ∴HH1＝BH﹣BH1＝9﹣15， 当旋转角为60°时，F与H2重合，易知BH2＝6， 观察图象可知，在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长＝2HH1+HH2＝18﹣30+[6﹣（12﹣12）]＝12﹣18． 故答案为（12﹣12）cm，（12﹣18）cm． 【点睛】本题考查轨迹、旋转变换、解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型． 5．综合与实践 课本再现 （1）如图1，都是等边三角形． ①与有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系． 数学小组发现在图1的四边形中，的长度与之间存在一定的关系，可考虑通过旋转构造特殊三角形之间的全等或相似求解． 特例感知 ②若，则 ． 请你尝试解决以下问题： 类比应用 （2）如图2，在四边形 中，， ，求的长． （3）如图3，在四边形中，，，直接写出的长． 【答案】（1），理由如下： ∵都是等边三角形， ∴， ∴可以看成是绕点旋转得到的，其中点的对应点是点，点的对应点是点， ∴； ； （2）； （3）． 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）都是等边三角形，得出，由旋转即可得出； 先求出，因为是等边三角形，可得，再应用勾股定理即可求解； （2）以点为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，，，，过作交延长线于点，进一步得到为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解； （3）将绕着点逆时针旋转且延长得到， 使，连接，过点作垂直的延长线于点，过B作于H，证明，进一步得到，设，则，分别在和中解直角三角形求得x值即可求解． 【详解】解：（1）①略； ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ∴以点为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，连接，如图： ∴，，，， ∴是等边三角形， 过作交延长线于点，如图： ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． （3）如图， 将绕着点逆时针旋转且延长得到， 使， 连接， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 过点作垂直的延长线于点，过B作于H， ∴， ∴ ， ， 设，则， 在中，，， ∴，， 在中，， 由勾股定理得，则， 解得，即． 题型8线段最值结合三角函数问题 【模型】定角线段最值模型。 【步骤】确定定角，转化线段表达式，结合几何性质求最值。 【易错】找错定角，三角函数表达式列错。 1．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，点M、N分别在AD，BC上，且AM＝CN，点P在CD上（且不与点D，C重合），当MP+PN最小时，tan∠MPN的值是_____． 【答案】． 【分析】作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，过点M作MF⊥BC于F，利用矩形的判定方法证出四边形ABFM是矩形，再利用矩形的性质求出线段和的长，利用三角函数的比值关系即可得到∠E＝∠PNE＝30°，利用三角形外角的性质可得出∠MPN＝，再根据三角函数特殊值求解即可． 【详解】如图，作点N关于CD的对称点E，连接ME，交CD于点P，此时MP+PN有最小值，过点M作MF⊥BC于F， ∴NC＝CE，PN＝PE， ∵∠A＝∠B＝∠MFB＝90°， ∴四边形ABFM是矩形， ∴AB＝MF＝2，AM＝BF， ∵AM＝CN， ∴BF＝AM＝CN＝CE， ∴BC＝EF＝， ∵ ∴∠E＝30°， ∵PN＝PE， ∴∠E＝∠PNE＝30°， ∴∠MPN＝60°， ∴tan∠MPN＝， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了最短路径问题，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数值等知识点，合理作出辅助线是解题的关键． 2．如图，矩形顶点坐标分别为，在线段和上各有一个动点，当的值最小时，点的坐标为_________．    【答案】 【分析】根据轴对称最短路径，作点关于的对称点，结合点到直线垂线最短可得即为最短，交点即为所求，根据矩形的性质，垂直平分线的性质可得，为等腰三角形，运用锐角三角函数可得，可求出的值，根据即可求解的值，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，过点作的垂线，交于点，根据点到直线垂线最短可得此时的值最小，    ∵四边形是矩形，， ∴， 连接交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴，则，即是等腰三角形， 根据对称可得，，是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∴在直角中，， ∴， 解得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径，矩形的性质，坐标与图形，垂直平分线的性质，锐角三角函数的计算等知识的综合，掌握轴对称最短路径，矩形的性质，三角函数的计算方法是解题的关键． 3．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CEBD，且CE＝BD． （1）求证：四边形OCED是矩形； （2）连接AE交CD于点G，若AE⊥CD． ①求sin∠CAG的值； ②若菱形ABCD的边长为6cm，点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接DP，一动点Q从点D出发，以1cm/s的速度沿线段DP匀速运动到点P，再以cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间t． 【答案】（1）见解析；（2）① ；② 【分析】（1）首先证明四边形OCED是平行四边形，再根据∠COD＝90°推出是矩形． （2）①由DE∥AC，DE＝OC＝OA，推出，设DG＝m，则CG＝2m，DC＝AD＝3m，求出AC即可解决问题． ②过点P作PT⊥AC于T．由sin∠PAT＝，推出PT＝PA，由点Q的运动时间t＝＝PD+PT，根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OB＝OD， ∵EC＝BD， ∴EC＝OD， ∵EC∥OD， ∴四边形OCED是平行四边形， ∵∠COD＝90°， ∴四边形OCED是矩形． （2）解：①∵四边形OCED是矩形， ∴DE∥AC，DE＝OC＝OA， ∴，设DG＝m，则CG＝2m，DC＝AD＝3m， ∵AE⊥CD， ∴∠AGD＝∠AGC＝90°， ∴AG＝， ∴AC＝， ∴sin∠CAG＝． ②过点P作PT⊥AC于T． ∵sin∠PAT＝， ∴PT＝PA， ∵点Q的运动时间t＝＝PD+PT， 根据垂线段最短可知，当D，P，T共线，且DT⊥AC时，PD+PT的值最小，最小值＝线段OD的长， 由（2）可知3m＝6， m＝2， ∴AC＝，OA＝， ∵∠AOD＝90°， ∴OD＝， ∵DE∥OA， ∴， ∴OP＝PD＝，此时AP＝， ∴满足条件的PA的值为，点Q走完全程所需的时间t＝（s）． 【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握这些性质和判定． 4．如图，直线与轴、轴分别交于点、点点坐标点坐标． (1)求直线的解析式； (2)点为直线上的点； ①求的最大值，并求出此时点的坐标； ②已知坐标平面内一点，其坐标满足，在①的条件下，当点与点距离最小时，直接写出的值； (3)将直线绕点顺时针旋转，交轴于点，若直线上一点关于直线的对称点落在坐标轴上，直接写出点坐标． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）运用待定系数法求一次函数的解析式，即可作答． （2）①构建关于关于的二次函数，得，再根据二次函数的图象性质，得在时，取最小值，再做进一步分析，做法即可作答； ②运用两点距离公式进行列式，得，因为当取最小值时，则有最小值，则满足条件，即可作答． （3）依题意，得，关于轴对称性质，得，再根据角平分线的性质以及三角函数的性质，列式计算即可作答． 【详解】（1）解：设直线的解析式为，把代入， 得 解得 ∴； （2）解：①∵点为直线上的点 ∴ ∵开口向下， ∴在时，有最大值，且为， 此时 ∴； ②依题意， ∵ ∴开口向上，在时取最小值 即 ∵当取最小值时，则有最小值， ∴； （3）解：∵将直线绕点顺时针旋转，且点点坐标点坐标 ∴ ∵若直线上一点关于直线的对称点落在坐标轴上 ∴设的解析式为 把和代入 得 解得 ∴ ∴ ∴ 如图：连接交于一点 ∵对称性质 ∴ ∵ ∴ 在 即 解得 ∴ 【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、三角函数的运用，两点间的距离（勾股定理），角平分线的性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． $的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06锐角三角函数几何综合 题型图谱导航总览 题型1.三角函数+勾股定理综合计算 题型2.三角函数+相似三角形综合 题型3.三角函数与矩形、菱形综合 题型4.动点背景下三角函数求值 提升进阶突破 题型5.图形翻折中的三角函数计算 题型6.三角函数几何探究题 题型7.线段最值结合三角函数问题 题型8.线段最值结合三角函数问题 题型精练·靶向突破 提升进阶突破 题型1三角函数+勾股定理综合计算 【模型】直角三角形内边角混合模型。 【步骤】找到直角，设未知数，勾股列方程，再求三角函数。 1/17 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】分不清对边、邻边，直接用斜边代替直角边计算。 1.如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF 若AB=4,BC=6,则CF的长为() A D F E C 16 17 18 A.3 B.5 c.5 D.5 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=6,BC=8,那么下列等式中正确的是() A如A-号 3 C.cot4=3 4 3 B.tanA= 4 D.cosB= 3.如图，在A18c中，m8=,nC 2,AB=4,则AC的长为， 4.如图，在R1△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，D是AC的中点，则sin∠DBA= C D A 。如图，在AABC中，A4D1BC于点D,若cosB=,B=V5,BC三 ,求∠C的度数及AC的长. 2/17 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型2三角函数+相似三角形综合 【模型】相似传递等角模型。 【步骤】证相似得到等角，转化角后在Rt△中求三角函数。 【易错错把相似比直接当作三角函数比值。 DE 1.如图，BD、CE是AABC的两条高，连接DE,那么BC的值为() A.tan A B.cotA C.sinA D.cosA 2.如图，点A在x轴上，点B,C在y轴上，OA=OBOC则下列结论正确的是() A A.sin∠I=cos∠2 B.tan∠OAB=tan∠I C.cos∠I=coS∠CAB D.sinZOAB=cos∠I 3.如图，在△ABC中，AB=6,AC=8,∠BAC=60°，D为AC的中点，E为AB上一点，连接BD, 3/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CE交于点F,若AE=2,则线段BF的长度为— B 4.如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC,∠BAD=∠BDC=9O°，E为BC的中点，AE与BD相交 于点F,若BC=4,∠CBD=30°，则DF的长为 A B 5.己知，如图Rt△ABD≌Rt△ACE,，点C在BD上，∠BAD=∠CAE=90°： (1)求∠CDE的度数， 2)若BC=1, mAD8-子求DE的长， an∠CED=V3tan∠ADB (3)若 ,求 题型3三角函数与矩形、菱形综合 【模型】平行四边形内嵌直角模型。 【步骤】利用矩形菱形性质找等角、等线段，构造直角三角形求解。 4/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】忽略菱形对角线互相垂直的隐藏直角条件。 1,如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,E、F分别为OD、OC的中点，连接EF,若 coS∠ABO= 2V5 5,矩形ABCD的周长是36，则aOEF的周长是() E B A.12 818 C.6+3V5 6+65 0 3 2.如图，在菱形ABCD中，DE LAB,cosA=5,则tan∠DBE等于() D E B 1 5 5 A.2 B.2 C.2 D.5 3.如图，在矩形ABCD中，AB=5,∠ACB=60°，点F是对角线AC上的一个动点，连接DF,以DF为 斜边作∠FDE=6O°的RDEF,使点E和点A位于DF两侧，点F从点A到点C的运动过程中，点E的运 动路径长是 DE 4.如图，己知菱形ABCD,∠ABC=60°，点E是边BC中点，∠DEF=45°，则DC 5/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E 5.如图，在菱形ABCD中，AB边的长度为m,∠MAN的两边AM、AN分别与BC、DC的延长线相交 于点E和点F,已知∠MMN=方BD.诗将图形补充完整，并回答下列问思， (1)求证：AC2=EC.CF: SAECF x= (2)若AC=n,x=SAABC,请用含m,n的代数式表示x: 题型4动点背景下三角函数求值 【模型】动点动态几何模型。 【步骤】分析动点位置，画出对应静态图形，锁定目标直角三角形。 【易错】未考虑动点多种位置，漏写情况。 1.如图，平面直角坐标系中，A(4,0),点B为y轴上一点，连接AB,tan∠BAO=2,点C,D为OB, AB的中点，点E为射线CD上一个动点、当△AEB为直角三角形时，点E的坐标为() 6/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B E C D 0 A x A(4,4)或25+2 2.4) 8(4,4)或（25- 2,4) c.12,4)或25+2,4) D.,4或252,4 2.如图，点O为直线AB外一定点，点P线段AB上一动点，在直线OP右侧作Rt△OPQ,使得 ∠OPQ=30°，已知AB=3,当点P从点A运动到点B时，点Q运动的路径长是 B 3.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,点D是斜边AB的中点，点E是边AC上一 动点，连接DE,过点D作DF⊥DE,交线段BC于点F. D E D E B 图1 图2 图3 DE (1)求DF的值： (2)如图2，若AE=DE,求BF的长： (3)如图3，当CE=CF时，求CE的长， 4.将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC)的长直角边AC与含45°角的三角尺（△ACD)的 7/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 斜边1C恰好重合.已知 B=25,P是4C上的一个动点。 (1)当点P在∠ABC的平分线上时，求DP的长： (2)当PD=BC时，求此时∠PDA的度数： (3)直接写出点P运动到什么位置时，以D、P、B、Q为顶点构成平行四边形的顶点Q恰好在BC边上. 题型5图形翻折中的三角函数计算 【模型】翻折全等等线段等角模型。 【步骤】利用翻折性质得到相等边角，设元，借助直角三角形计算。 【易错】翻折后对应边判断错误。 1.如图，在矩形纸片ABCD中，E为BC的中点，连接AE,将△ABE沿AE折叠得到△AFE,连接CF 若AB=4,BC=6,则CF的长为() D E 16 17 8 A.3 B.5 D.5 2.如图。折叠矩形BCD的一边AD,使点D落在BC边的点F处，若CF=4.m∠BC-子，则折痕 8/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=( ) A --1D E B A.4V5 B.55 C.8 D.10 3.如图，点E是矩形ABCD中CD边上的一点，△BCE沿BE折叠为△BFE,点F落在AD上.若∠DFE的 sina-cosa 1 大小为a,且满足cosa+2sina=-10,则tan∠BEC的值为 D E 4.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=5,P是线段AB上不与端点重合的一点，将△PBC沿PC折叠得对 应△PEC,当点E落在矩形的对称轴上时，BP的长为一· D E 5.如图，AC是矩形ABCD的对角线，△ABE和△CDF分别沿着AE,CF所在直线进行折叠，使得点B 和D恰好落在对角线AC上. 9/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B C (1)求证：四边形AECF是平行四边形： (2)若BE=1, tan∠ACB=V2 2,求四边形AECF的面积. 题型6三角函数几何探究题 【模型】条件递进探究模型。 【步骤】先解决基础小问，迁移结论，类比解决后续问题。 【易错】不会沿用前面已证结论，重复推导浪费时间。 1.探究不同的情境，完成下列问题： E B D 图① 图② (1)如图①，△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=60°，请用尺规作图△ABC的边AB上的高CF(保留作 图痕迹，不写作法)，并求CF的长. (2)如图②，△ABC的高BE,CF相交于点H,AB=4,AC=3,∠BAC=60°，连接AH,并延长交BC 于点D,求AD的长 10/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC,将线段BA绕点B逆时针旋转 (0°<a<180) 得到线段 BD,连接CD,过点B作CD的垂线，交CD于点E,交直线AD于点M,连接MC M E B 图1 图2 (1)如图1，当0°<a<90°时， ①说明线段MC与MD的数量关系，并证明； ②探究线段MA,MB,MC之间的数量关系，并证明. 2)如图2，当a=30°.AC=V5 时，求线段BM的长. 3v5 MB= (3)在线段BA旋转的过程中，当 2时，△ACD的面积为8，求线段AB的长， 3.我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条 边叫做这个三角形的“等底”. B D 图1 图2 (1)概念理解：如图1，在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE、CE,求证：△BCE是等高底 三角形. (2)问题探究：如图2，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，且AB=AC,AD是BC边上的高， 求tan∠BAC的值. ”· 11/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a b c 4.好学的小王同学在学完锐角三角比后，想探究锐角△ABC中sinA'sinB'sinC之间的关系，他想起数学 课堂上老师常讲的“特殊到一般”思想，于是决定先研究直角三角形的情况. (1)请帮助小王完成推理过程，填空： 如图O,在Rt△4BC中，sinA=g sinB=b ∴.C= C= b sin A -sinB(填“”，“<"或“=")： A 6 a B 图① 小王根据直角三角形时的经验，猜想出锐角三角形时的结论，但证明遇到了困难，于是他找到数学老师求 助.老师肯定了他(1)的证明过程和猜想的结论，师生对话如下. 师：(1)证明的关键是什么？ 生：找到了与sinA>sinB都有关的边c,可是现在不是直角三角形，找不到斜边c. 师：并不是找斜边，而是找与sinA>sinB都有关的边，可以尝试作辅助线解决这个问题. a b C 生：作高！可是这样也只能说明sinA'sinB之间的关系，sinC怎么加入呢？ 师：同理可得. (2)请帮助小王完成锐角三角形时结论的证明： a b 如图②，在锐角。ABC中，sinA—一sinB sinC（填“>”，“<"或“=”) 12/17 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b a 图② 小王完成证明后又找到数学老师，老师肯定了他的答案，并告诉他实际上钝角也有三角比，并且(2)的 结论在钝角三角形中也是成立的.数学老师又给小王出了一道题： (3)请利用已学的特殊锐角的三角比值和(2)的结论求出sn105°的值. (要求：1、画出对应的钝角三角形的示意图，并标出角度；2、直接写出结果) 题型7旋转变换中的三角函数计算 【模型】旋转等线段等角模型。 【步骤】由旋转得等角等线段，构造直角三角形求边角。 【易错】旋转后角度加减运算出错。 1.如图，射线OM,ON互相垂直，OA=8,点B位于射线OM的上方，且在线段OA的垂直平分线I上， 连接AB,AB=5.将线段AB绕点O按逆时针方向旋转得到对应线段A'B,若点B恰好落在射线ON上， 则点A到射线ON的距离是() B :1 A M 13/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 13 A.5 B.3 C.4 D.7 2,如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADE,连接BD.若AB=8,则图中阴影部分的面 积为() A.16V2 8.16V5 c.322 D.325 3.如图，R1AABC中，∠BAC=90°，BC=5,CosC= 5,将ACAB绕A点按顺时针方向旋转后得到AEAD, 且点D点刚好落在BC上，则BD= C D E 4.一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC=EF=12cm(如图1)，点G 为边BC(EF)的中点，边FD与AB相交于点H,此时线段BH的长是一，现将三角板DEF绕点G按顺时 针方向旋转（如图2），在∠CGF从0°到60°的变化过程中，点H相应移动的路径长共为一·（结果保 留根号) 14/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BE) C(F) B G C H H D D 图1 图2 5.综合与实践 课本再现 (1)如图1，△ABD,△AEC都是等边三角形. ①BE与CD有什么关系？请用旋转的性质说明上述关系. 图3 数学小组发现在图1的四边形ABCE中，BE的长度与AB,BC之间存在一定的关系，可考虑通过旋转构造 特殊三角形之间的全等或相似求解， 特例感知 ②若∠ABC=30,∠BAC=90,AC=2,则BE=- 请你尝试解决以下问题： 类比应用 (2)如图2，在四边形 中， ZABC=75,ZADC=60%AD=DC:AB=8 BC=3V2 B 的 长 ABCD,∠ABC=75,∠ADC=60°，CD:AD=2:1AB=3V2,BC=3 (3)如图3，在四边形 中 直接 写出BD的长 15/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型8线段最值结合三角函数问题 【模型】定角线段最值模型。 【步骤】确定定角，转化线段表达式，结合几何性质求最值。 【易错】找错定角，三角函数表达式列错。 1.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2V3 ,点M、N分别在AD,BC上，且AM=CN,点P在CD上 (且不与点D,C重合)，当MP+PN最小时，tan∠MPWN的值是 M 2.如图，矩形ABCD顶点坐标分别为 0,0小、B(-10,0小C(-10,5),在线段4C和4B上各有一个动点 E、F,当BE+EF的值最小时，点E的坐标为 y 0(4) 3.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点C作CE∥BD,且CE=2BD (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)连接AE交CD于点G,若AE⊥CD ①求sin∠CAG的值； ②若菱形ABCD的边长为6C,点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接DP,一动点Q从点D出 发，以1cs的速度沿线段DP匀速运动到点P,再以cs的速度沿线段PA匀速运动到点A,到达点A 16/17 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间 t. E c G D 0 4.如图，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B4点坐标（3.0)，B点坐标0，V) B 0 (1)求直线的解析式： (2) P(m,m川为直线'上的点： ①求mn的最大值，并求出此时点P的坐标： ②已知坐标平面内一点M,其坐标满 M(a0）,在①的条件下，当点M与点P距离最小时，直接写出Q 的值； B将直线'绕点4顺时针旋转15°，交》轴于点C,若直线C4上一点G2)关于直线4B的对称点N落在 坐标轴上，直接写出N点坐标 17/17