专题03 相似三角形的判定与性质11大题型（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题03 相似三角形的判定与性质 基础·固本强基 题型1 利用平行线判定相似 题型2两角对应相等判定相似 题型3 两边成比例且夹角相等判定相似 题型4 三边对应成比例判定相似 题型5 相似三角形求对应边长、对应角 题型6 相似三角形周长与面积计算 提升·进阶突破 题型7 选择或补充条件使三角形相似 题型8 相似三角形在网格中的应用 题型9 利用相似求坐标 拔高·压轴破难 题型10 动点产生相似三角形分类讨论 题型11 相似三角形的判定与性质综合 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 利用平行线判定相似 【模型】A字型（平行于三角形一边，截另外两边）、8字型（两条线段相交，一组对边平行） 【步骤】在图形中识别平行线，由平行线推出同位角或内错角相等，得到两组对应角相等，从而判定两个三角形相似，再写出对应边的比例式。 【易错】看图凭感觉写比例线段，没有找准平行所对应的两组三角形顶点，出现线段对应错乱。 1．如图，，，则图中相似三角形有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定．根据平行线的性质，得出同位角相等，即可得出，，故，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ，， ∴， 故选：B 2．如图，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】​本题考查了平行线分线段成比例定理​，相似三角形的判定和性质，根据已知的平行关系，运用相关的定理和性质对每个选项进行分析和判断是解题的关键．先根据平行条件，针对每个选项，用平行线分线段成比例定理和三角形相似的判定和性质进行判断即可． 【详解】解：， ， 故A不符合题意； ∵， ， 故B不符合题意； 设 ，，则， ， ， ， ， ， ， ， 这一结论不一定正成立， 故C符合题意； ， ， 故D不符合题意， 故选：C． 3．如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 4．如图，点D，E分别在边，上，且，，，则的值是 ______ ． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵,, ∴, ∵， ∴,, ∴， ∴, ． 5．如图，在中，，． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴； (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行直接证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． 题型2 两角对应相等判定相似 【模型】含公共角模型、对顶角模型、同角/等角的余角（补角）相等模型。 【步骤】准先从图中寻找已知相等的角，利用对顶角、公共角、直角、等角代换得到两组对应相等的角，依据AA判定三角形相似，再使用相似性质解题。 【易错 仅找到一组角相等就判定相似；找到两个角但没有对应，随意匹配三角形顶点。 1．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．阴影三角形的外角为，根据三角形外角定理，阴影三角形的一个内角等于．角与原三角形的相等，且阴影三角形与原三角形共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． B．阴影三角形的外角为，其内角为，与原三角形的相等，且共享．根据两角对应相等，阴影三角形与相似． C．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的和上的．原三角形夹的两边比为，阴影三角形夹的两边比为．两组边的比例相同，但所夹的角不相等，不满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定．图中无额外等角信息，无法用两角对应相等判定相似．所以，阴影三角形与不相似． D．阴影三角形与原三角形共享，夹的两边为上的（，截取了）和上的（，截取后剩余）得阴影三角形两边比：（或逆序）．原三角形两边比：；若按对应阴影边、对应阴影边，比例为，满足两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似，所以，阴影三角形与相似． 2．如图，已知与，下列条件一定能推得它们相似的是（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】此题考查了相似三角形的判定，根据各选项提供的条件去判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 即D选项符合题意， 选项A、B、C均不符合题意， 故选：D 3．如图，是斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，关键是熟练应用知识点解题；根据两角对应相等的两个三角形相似即可得出结论． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， 同理：，， 故答案为：． 4．如图，的高相交于点O，写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是________． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】本题主要考查三角形相似的判定，掌握三角形相似的判定定理是解题关键．由题意可知，从而可证，即得出，即可解答． 【详解】解：∵的高相交于点O， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴写出一个与相似的三角形，这个三角形可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 5．如图，，请指出图中的相似三角形． 【答案】图中的相似三角形为，． 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：，， ； ，， ． 题型3 两边成比例且夹角相等判定相似 【模型】共角型，两个三角形共享同一个角，夹这个角的两组对应边比值相等。 【步骤】先计算两组对应边的比值，验证比值相等，再确认相等的角恰好是这两组对应边的夹角，满足SAS相似条件，证明相似。 【易错】相等的角不是两组比例边的夹角，误用判定定理；没有把边按对应顺序计算比值。 1．如图，已知．下列图形中与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用三边对应成比例的两个三角形相似，即可得出结果. 【详解】解：的顶角度数未知，故C,D选项中的三角形不一定与相似； ∵， 故A选项中的三角形与不相似； ∵， 故B选项中的三角形与相似. 2．如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 3．在与中，，，， ， ， ，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】解：∵，， ， ， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 4．如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么______得到． （填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，根据条件无法判断，据此即可得到结论． 【详解】解：∵，不能判断， ∴不能得到， 故答案为：不能． 5．如图，与相交于点，已知，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ， ， 又， ∴． 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据边长得出对应边成比例，依据对顶角相等得到，即可证明． 【详解】略 题型4 三边对应成比例判定相似 【模型】三组边依次对应成比例的两个三角形，多用于网格三角形、已知三边长度的静态图形。 【步骤】分别算出两个三角形三条边的长度，将短边对短边、长边对长边，依次求出三组边长的比值，三组比值全部相等即可判定相似。。 【易错】边长不按长短对应配对，胡乱求比值；计算边长时漏算根号，导致比值判断错误。 1．如图，在大小为的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是（   ） A．①和③ B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 分别求出三角形的边长，根据对应边成比例三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：第一个三角形的边长分别为：，2，； 第二个三角形的边长分别为：，，； 第三个三角形的边长分别为：2，，； 第四个三角形的边长分别为：，3，； ∵，对应边成比例的是①和③． 故选：A． 2．一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是（    ） A．15厘米、18厘米 B．20厘米、24厘米 C．25厘米、50厘米 D．36厘米、60厘米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定-三边分别对应成比例的两三角形相似．先计算出模型三角形三边比从小到大为，再逐项计算新三角形三边比，进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 相似三角形对应边成比例，模型三角形三边为5cm、6cm、10cm， ∴模型三角形三边比为； A. 当新三角形另外两边为15厘米、18厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； B. 当新三角形另外两边为20厘米、24厘米时，三边比为，两三角形不相似，符合题意； C. 当新三角形另外两边为25厘米、50厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意； D. 当新三角形另外两边为36厘米、60厘米时，三边比为，两三角形相似，不合题意． 故选：B 3．已知在和中，，，，，，，则与的关系是________（填“相似”或“不相似”）． 【答案】相似 【分析】计算两个三角形三边的对应比值，根据三边是否对应成比例即可判定两个三角形是否相似． 【详解】解：∵，，，，，， ∴，，， ∴， ∴． 4．已知的三边长分别为，的两边长分别为1和．当的第三边长为___________时，与相似． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，解决问题的关键是熟知相似三角形的对应边成比例． 设第三边长为,应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，解题即可． 【详解】解：的三边长分别是， 三边长的比为． ，且的两边长分别是1和需要分情况进行讨论: ①若，解得； ②若，∵，∴该情况不成立 ③若，解得 经检验，当时，与的三边对应成比例，两三角形相似；当时，与的三边对应不成比例，两三角形不相似； 故答案为：． 5．如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】 证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 【详解】略 题型5 相似三角形求对应边长、对应角 【模型】相似三角形边角对应模型。 【步骤】设先证明两三角形相似，写出正确的对应顶点顺序，利用相似三角形对应角相等得到角的度数，依据对应边成比例列出方程求解线段长度。 【易错】写相似时顶点不对应，造成边、角匹配错误；列比例式时分母分子颠倒。 1．如图，已知，长为，长，则长是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式求解． 【详解】解：， ， ，， ， ． 2．如图，在中，点、分别在边、上，．若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件说明，利用对应边成比例即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ， ， ， ． 3．如图，，若，，则________． 【答案】/64度 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，，根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ． 4．如图，已知△ABC∽△ACP，∠A＝70°，∠APC＝65°，则∠PCB＝_________． 【答案】20° 【分析】由题意根据相似三角形对应角相等可得∠ACB=∠APC=65°，再根据三角形内角和定理和外角和定理进行分析即可求解． 【详解】解：∵△ABC∽△ACP， ∴∠ACB=∠APC=65°， ∵∠A=70°， ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-70°-65°=45° ∵∠B+∠PCB=∠APC, ∴∠PCB=∠APC-∠B=65°-45°=20°． 故答案为：20°． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握掌握相似三角形对应角相等是解题的关键．同时注意运用三角形内角和定理以及外角和定理． 5．如图，在中，点在边上，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，， ∴． (2)8 【分析】（1）直接利用两角对应相等的三角形相似即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质列比例式并代入已知数据求解即可． 【详解】（1）证明：略． （2）解：由（1）可得 ∴，即，解得：． 题型6 相似三角形周长与面积计算 【模型】相似比衍生性质模型 【步骤】先求出两个三角形的相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；已知面积比求相似比时，要对面积比开算术平方根。 【易错】直接将面积比等同于相似比，忘记平方；已知面积比求线段时，不开方直接代入计算。 1．若，相似比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，相似比为， 与的周长的比为． 2．已知，相似比为，若的面积为，则的面积为（     ） A．12 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵，相似比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，点、分别在边、上，，．若的面积为4，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】由平行可判定，再利用相似的性质求出的面积，最后作差求出四边形的面积． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．已知，且，若的周长为20，则的周长为______． 【答案】40 【分析】已知两三角形相似，给出对应边长和的周长，利用相似三角形周长比等于相似比可求解． 【详解】解：， ， ，，的周长为， ， 的周长． 5．如图，在中，，分别为，上的点，连接．若，， (1)求的长． (2)若的面积为，请求出的面积 【答案】(1)10 (2)50 【分析】（1）先证明，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可； （2）由（1）可知相似比为，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此列比例式求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，即，解得：． （2）解：∵，， ∴的相似比为， ∴，即， 解得：， ∴的面积为50． 提升·进阶突破 题型7 选择或补充条件使三角形相似 【模型】开放型相似判定模型（公共角、对顶角基础图形） 【步骤 先观察图形已有相等角或成比例线段，对照AA、SAS、SSS相似判定，补充缺少的一组角或者一组对应边成比例的条件，验证条件能否证出两三角形相似。 【易错】补充条件时忽略角必须是**对应角**，添加边的条件时不确认是否为夹角，写出多余或无效条件。 1．如图，点D在的边上，添加下列条件，不一定能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； B. ∵，， ∴， 该选项不符合题意； C. ，不能判定，该选项符合题意； D. ∵，， ∴， 该选项不符合题意． 2．如图，在中，点，分别在边，上，再添加一个条件，仍不能判定与相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：已知， A．添加后，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； B．添加后，可得，有两组角对应相等，能判定与相似，不合题意； C．添加后，满足两组对应边的比相等且夹角对应相等，能判定与相似，不合题意； D．添加后，有两组对应边的比相等，但不能确定夹角相等，不能判定与相似，符合题意． 3．如图，在中，点D、E分别在边、上要使，还需要添加一个条件，你添加的条件是_______（只需写一个条件） 【答案】或或 【分析】①有两个角相等的两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似；根据相似三角形的判定方法解答即可． 【详解】解：答案一：添加， 又∵， ∴； 答案二：添加， 又∵， ∴； 答案三：添加， 又∵， ∴． 4．如图，，请补充一个条件：_______________，使． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 或补充条件：． ∵．， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 5．如图，在中，点D是上一点，添加一个条件使得，可以是___________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】观察图形可知为和的公共角，结合相似三角形的判定定理，只需再添加一组对应角相等或夹公共角的两边对应成比例即可． 【详解】解： 在和中， ， 当添加条件或者或者时 ， ． 题型8网格直角三角形模型、格点三角形 【模型】网格直角三角形模型、格点三角形 【步骤】借助网格小正方形边长，用勾股定理算出两个三角形所有边长，把边按短对短、长对长排序，计算三边比值；或直接找两组等角，判定相似后求解边角。 【易错】求边长忘记勾股定理，直接数格子当成斜边长；对应边排序混乱，比值对比出错。 1．如图，方格纸中小正方形的边长均相等．和的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点与点四点中的一个重合，若且两三角形不全等，则点所在的格点为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两三角形相似不全等，及相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两三角形相似不全等， 根据题意得 ∴, ∴， 则点在的位置． 2．如图，、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若，则点应是网格中的点（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例解决问题即可． 【详解】如图， ， ∴两个三角形的对应边的比是， ， 观察图象可知点与丁重合， 故选: D． 3．如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． 4．如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点的线段交网格线于两点，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，设小正方形的边长为1，根据勾股定理得，分别证明和，可求出，，，从而可求出结论． 【详解】解：如图， 设小正方形的边长为1，则，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 同理可得，则， 得， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 5．如图，在的正方形网格中，点，，都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹）． (1)请在图1中以为一边画一个格点，使它与相似但不全等； (2)请在图2中画一个面积最大的格点，使之与相似，并求出的面积． 【答案】(1)如图所示： (2)如图所示： 的面积为5． 【分析】（1）由图形可知，，由此即可画出图形； （2）根据图形可知的三边长分别为，，，相似三角形对应边成比例，设的三边分别为，，，，由，对取值即可． 【详解】（1）略； （2）根据图形可知的三边长分别为，，， 相似三角形对应边成比例， 设的三边分别为，，，， 正方形网格中最长线段长， 的最大值为， 此时的三边分别为，，， 画图略； ， ． 题型9 利用相似求坐标 【模型】平面直角坐标系内相似几何模型 【步骤】先标出已知点坐标，算出线段长度或水平、竖直距离，找到相等角确定相似关系，设未知点坐标，利用相似对应边成比例列方程，求解得到坐标，注意多解分类讨论。 【易错】忽略相似顶点对应关系不唯一，漏解；分不清水平线段、竖直线段长度，坐标符号判断错误。 1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 2．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 3．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 4．如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4，0）和B点（0，3），点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是_______．    【答案】（2，0）或（，0） 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵A（4，0）和B点（0，3）， ∴OA=4，OB=3， ∴AB=5， ∵C是AB的中点， ∴AC=2.5， 设P（x，0）， 由题意可知点P在点A的左侧， ∴AP=4﹣x， ∵以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似， ∴有△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB两种情况， 当△APC∽△AOB时，则，即，解得x=2， ∴P（2，0）； 当△ACP∽△AOB时，则，即，解得x=， ∴P（，0）； 综上可知P点坐标为（2，0）或（，0）． 故答案为：（2，0）或（，0）． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，点A的坐标为，点B的坐标为．若a，b的值是关于x的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出___________，___________ (2)若点P在y轴上，且，求点P的坐标． 【答案】(1)2，3 (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查了解一元二次方程、相似三角形的性质、点坐标，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）先求出的长，再根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， 解得或， 的值是关于x的一元二次方程的两个根，且， ， 故答案为：2，3． （2）解：由（1）可知，， ， ， ，， ， 解得， 又，且点P在y轴上， ， 如图，在y轴正半轴上取一点P使， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 拔高·压轴破难 题型10 动点产生相似三角形分类讨论 【模型】动态动点相似模型（点在线段、射线、折线上运动） 【步骤】先固定图形找出不变的等角，确定一组固定对应角，再分情况讨论不同顶点对应关系，设动点运动时间或线段长，利用相似对应边成比例列方程求解，检验解是否符合动点位置范围，舍去不合理解。 【易错】没有按顶点对应关系完整分类，出现漏解；求出结果后不检验，保留动点在延长线等不符合题意的解。 1．如图，已知中，，，，点由点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从出发沿方向以的速度向点运动．连接，设运动的时间为（单位：）（其中）．当为何值时，与相似（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题有公共角，先用含的代数式表示线段与的长度，再分两种相似对应情况进行分类讨论，根据相似三角形对应边成比例列方程求出的值． 【详解】解：，，， ． ， 分两种情况讨论． 当时， ，即， 解得， 当时， ，即， 解得， 综上所述，当为或时，与相似． 2．如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒（），连接，若以、、为顶点的三角形与相似，则的值为________． 【答案】或 【分析】利用勾股定理求出，由题意得到，再根据以、、为顶点的三角形与相似，分两种情况①当时，②当时，结合相似三角形性质建立方程求解，即可解题． 【详解】解：，，， ， 运动时间为秒， ， ， 以、、为顶点的三角形与相似， ①当时， 有， ， 解得； ②当时， 有， ， 解得； 综上，的值为或． 3．如图①，中，，，．动点从点出发，沿线段以每秒个单位的速度向终点运动，连接，作点关于的对称点，连结、，设点的运动时间为（秒）． (1)线段的长是 ． (2)当点在内部时，则的取值范围是 ． (3)当线段与的某条边平行时，求此时的值． (4)如图②，作，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为，直线与直线交于点，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)10 (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）先根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上，，再分两种情况：当点D落在边上时，此时，然后根据面积相等求出，最后根据勾股定理求出，即可得出；当点D落在边上时，此时，作，再说明，可得，然后根据求出，进而得出答案； （3）先根据不能与平行可知有两种情况：当时，延长，交于点M，再说明，即可表示出，进而得出，接下来根据勾股定理求出答案；当时，交于点N，则，可说明，即可表示出，最后根据勾股定理求出答案； （4）分两种情况：作，根据题意得，再设，则，根据勾股定理得，然后由上可知，再说明，可得，接下来说明，根据比例式可得答案； 作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则，再根据题意得，下面说明，可得，然后结合题意表示出，根据勾股定理得，最后说明根据比例求出答案． 【详解】（1）解：在中，， ∴； （2）解：根据题意可知点D在以点C为圆心，6为半径的圆上， 当点D落在边上时，此时， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理，得， ∴； 当点D落在边上时，此时， 过点P作，交于点H， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 即， 解得． 所以当点D在内部时，； （3）解：不能与平行， 则有两种情况：当时，延长，交于点M， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，， 根据勾股定理，得， 即， 解得； 当时，交于点N，则， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得， 综上所述，或； （4）解：过点O作，交于点L， 根据题意，得， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得． 由上述可知． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得； 过点E作，交的延长线于点F，交直线于点O，过点O作，交于点T，则， 根据题意，得， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 则， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 所以或． 4．如图，在中，，，．点M在边上，以的速度由点B出发沿向点A匀速运动；同时点N在边上，以的速度由A出发沿向点C匀速运动．当点M到达A点时，点M，N同时停止运动．连接，设点M运动的时间为t（单位：s）． (1)是否存在时间t，使得以A，M，N为顶点的三角形与相似？若存在，求出时间t的值；若不存在，请说明理由； (2)当t为何值时，的面积为面积的； 【答案】(1)存在， 或 (2) 或 【分析】（1）题目存在公共角，分、两种相似对应情况，把，代入比例式，分别解方程得到与，验证两个数值都满足，判定存在对应的时间． （2）利用共角三角形面积比等于夹公共角两边乘积之比，代入、、、，令面积比值等于，整理得到一元二次方程，因式分解求解，得到、，检验两个解都在的取值范围内，即为所求的值． 【详解】（1）解：由勾股定理： 点速度2，点速度1，故： ， 考虑到达需 即 ， 到达需 ，共同停止条件取较小者，故：， 在 和 中，（公共角），所以要判定相似，只需看夹这个角的两边怎么对应， 情形一： 交叉相乘：， 因为 ，所以符合． 情形二： 交叉相乘： 又因为 ，也符合． 所以存在两个符合条件的 值： 和 ． （2）解：过点作 于，过点作 于． 因为 （都是直角），且 （都与角A相同），所以 ， 则有， 从而， 三角形的面积：； 三角形的面积：； 两面积相除：； 代入具体长度：； 根据题意，面积比等于 ： ， 两边同乘156：， 展开：， 整理：， 用十字相乘法：， 所以或 ， 两个值都在 范围内，都成立． 题型11 相似三角形的判定与性质综合 【模型】多步相似综合模型，可结合公共角、子母型、一线三等角等基础模型 【步骤】先结合已知条件推导角或边的关系，证明三角形相似；再运用相似的边角、周长、面积性质，结合勾股定理、方程思想，分步完成线段计算与证明。 【易错】只证出一组相似就直接套用性质，忽略多组相似间的线段传递关系；混淆相似比、面积比，复杂图形找错对应三角形。 1．在菱形中，，于点，，连结交于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用菱形性质求出、长度及长度，通过勾股定理求出，再利用构造相似三角形，根据对应边成比例求解． 【详解】解：四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 解得． 2．如图，在矩形中，连接，点分别在上，，若把的面积平分，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作交于点，根据题意求出的面积，再根据面积求出的长度，再根据求出线段的长度，最后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵把的面积平分， ∴， 解得， ∵，， ∴， ∴，即，解得， 则， 在中，． 3．如图，在梯形中，，，，则________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，解答即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 4．如图，在中，，，与相交于点H．若，则______． 【答案】4 【分析】先根据已知得到，则，，再证明，，得到，，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 5．已知，连接，，． (1)如图①，将沿折叠，点A的对应点落在点M处，交于点P． ①求证：； ②求的面积； (2)若点E在边上，如图②，作交于点F，将沿折叠，使点A的对应点N落在边上，求的长． 【答案】(1)①证明：由翻折得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ② (2) 【分析】（1）①证明即可； ②过点作于点，过点作于点，证明求解，再由勾股定理求解，即可求解面积； （2）过点作于点，连接交于点，过点作于点,先由勾股定理求解，然后由面积法求解，即可通过勾股定理求解，然后证明，，再由相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）①略 ②由， ∴， 如图，过点作于点，过点作于点，则，    ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴     ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点，连接交于点，过点作于点，    由翻折的性质得， ∵ ∴ 同（1）可得， ∴， ∴， 即， 得， ∴， ∵平行四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得． 6．在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． 初步感知： (1)如图1，当点D，E分别在，上时，请完成填空： ．___________． 深入探究： (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度（），连接，，，． ①（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1)， (2)①（1）中的结论仍然成立， 证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ， ， ∴， ∴， ，， ，； ② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到；根据题意可得，，即可得到； （2）①证明四边形为平行四边形，可得，，从而得到，根据题意可得，可证明，可得，从而得到的度数，即可；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点作于点，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为，此时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得、的长，再结合，即可求解． 【详解】（1）解：点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ； ，，，， ，， ， ； （2）①略； ②在中， ，，， ， 由①得：四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点作于点，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ，， ， 即当点，，三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时，最小， ， ， ， ， ， ， 由①得， ． $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03相似三角形的判定与性质 题型图谱导航总览 题型1利用平行线判定相似 题型2两角对应相等判定相似 题型3两边成比例且夹角相等判定相似 基础固本强基 题型4三边对应成比例判定相似 题型5相似三角形求对应边长、对应角 题型6相似三角形周长与面积计算 题型7选择或补充条件使三角形相似 提升·进阶突破 题型8相似三角形在网格中的应用 题型9利用相似求坐标 题型10动点产生相似三角形分类讨论 拔高·压轴破难 题型11相似三角形的判定与性质综合 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1利用平行线判定相似 【模型】A字型（平行于三角形一边，截另外两边）、8字型（两条线段相交，一组对边平行） 1/19 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【步骤】在图形中识别平行线，由平行线推出同位角或内错角相等，得到两组对应角相等，从而判定两！ 个三角形相似，再写出对应边的比例式。 【易错】看图凭感觉写比例线段，没有找准平行所对应的两组三角形顶点，出现线段对应错乱。 1.如图，DE∥BC,EFI‖AB,则图中相似三角形有() B A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 2.如图，DE∥FG∥BC,下列结论错误的是() D G B C AD AE DF EG DE FG AFAB A.DF EG B.FB GC C.FG BC D.AG AC DE 3,如图，在△ABC中，点D,E分别在AB?AC上，DE∥BC,若AD=2,AB=6:则BC DE 4.如图，点D,E分别在AABC边AB,AC上，且DEIIBC,AD=2,BD=I,则BC的值是 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 5.如图，在△ABC中，DE∥BC,AD=3,BD=4 D B (1)求证：△ADE△ABC: AE (2)求Ac的值. 题型2两角对应相等判定相似 【模型】含公共角模型、对顶角模型、同角/等角的余角（补角）相等模型。 【步骤】准先从图中寻找己知相等的角，利用对顶角、公共角、直角、等角代换得到两组对应相等的 角，依据AA判定三角形相似，再使用相似性质解题。 【易错仅找到一组角相等就判定相似；找到两个角但没有对应，随意匹配三角形顶点。 1.如图， 在△ABC中，∠A=80°，AB=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形 与原三角形不相似的是() A 80 B 1009 100 3/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 2 0 2.如图，已知△ABC与△DEF,下列条件一定能推得它们相似的是() B E AB BC A.∠A=∠B,∠D=∠E B.∠A=∠D'DEEF AB BC C.∠A=∠B:DEEF D.∠A=∠D'∠B=∠E 3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，请写出图中的一对相似三角形： D 4.如图，△ABC的高AD,BE相交于点O,写出一个与△MOE相似的三角形，这个三角形可以是 D 5.如图，∠B=∠C,请指出图中的相似三角形. 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3两边成比例且夹角相等判定相似 【模型】共角型，两个三角形共享同一个角，夹这个角的两组对应边比值相等。 【步骤】先计算两组对应边的比值，验证比值相等，再确认相等的角恰好是这两组对应边的夹角，满足 SAS相似条件，证明相似。 【易错】相等的角不是两组比例边的夹角，误用判定定理；没有把边按对应顺序计算比值。 1.如图，已知△ABC,下列图形中与△ABC相似的是() c.23092 0 40 2.如图，点P是△10C的边4C上的-点，MP=2,4B=25,当4C △APB∽△ABC 值是多少时， A.3 B.4 C.5 D.6 3.在△ABC与△AB'C'中，∠A=40°，AB=8,AC=15,∠A=40°，AB=16,AC'=30,可证 5/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABC∽△A'B'C,其判定依据为 DE AE 4.如图，己知点D、E分别在。4BC的边AB和AC上，如果BC=AC'那么一 得到DE∥BC· (填“能”或“不能”) 9 B4 5.如图，AE与BD相交于点C,己知AC=5,BC=3,EC=10,DC=6.求证：△ACB∽△ECD A D 题型4三边对应成比例判定相似 【模型】三组边依次对应成比例的两个三角形，多用于网格三角形、己知三边长度的静态图形。 【步骤】分别算出两个三角形三条边的长度，将短边对短边、长边对长边，依次求出三组边长的比值， 三组比值全部相等即可判定相似。。 【易错】边长不按长短对应配对，胡乱求比值；计算边长时漏算根号，导致比值判断错误。 1.如图，在大小为4×4的正方形网格中，三角形的顶点都在网格点上，下列是相似三角形的是() ① ② ③ ④ A.①和③ B.②和③ C.②和④ D.①和④ 2.一个木质三角形框架模型的三边长分别为5厘米、6厘米、10厘米，木工要以一根长为30厘米的木条 为一边，做一个与模型三角形相似的三角形，那么另两条边的木条长度不符合条件的是() 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.15厘米、18厘米 B.20厘米、24厘米 C.25厘米、50厘米 D.36厘米、60厘米 3.已知在△ABC和△DEF中，AB=2,BC=3,AC=4,DE=6,EF=9,DF=12,则△ABC与 △DEF的关系是 (填“相似”或“不相似”）· 4.已知△ABC的三边长分别为 ,V5,V15△4BG 的两边长分别为1和5.当△4BG的第三边长为 时，△ABC与△4BG相似. 5.如图所示，在四边形ABCD中，AB=2,BC=3,CD=6,AC=4,DA=8.求证：AC平分∠BAD 题型5相似三角形求对应边长、对应角 【模型】相似三角形边角对应模型。 【步骤】设先证明两三角形相似，写出正确的对应顶点顺序，利用相似三角形对应角相等得到角的度 数，依据对应边成比例列出方程求解线段长度。 【易错】写相似时顶点不对应，造成边、角匹配错误；列比例式时分母分子颠倒。 1.如图，已知△CAD∽△CBA,AC长为6，BC长9，则CD长是（) B A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED=∠B.若AD=2,BD=4,AE=3,则 CE的长为() 7/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，△ABCOADAC,若∠B=31°，∠D=117°，则∠BCD= A 4.如图，已知△ABC一△ACP,∠A=70°，∠APC=65°，则∠PCB= B 5.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠BAD=∠C」 4 B 2D (1)求证：△ABDACBA: (2)若AB=4,BD=2,求BC的长. 题型6相似三角形周长与面积计算 【模型】相似比衍生性质模型 【步骤】先求出两个三角形的相似比，周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方；已知面积比 求相似比时，要对面积比开算术平方根。 【易错】直接将面积比等同于相似比，忘记平方；已知面积比求线段时，不开方直接代入计算。 1.若△ABCAAB℃，相似比为3：2，则△ABC与△ABC的周长比为() 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 43:2 8.2:3 c.v3:2 D.9:4 2.已知△ABCn△DEF,相似比为23，若△ABC的面积为8，则△DEF的面积为() A.12 B.18 C.24 D.36 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DEIIBC,AD=2DB.若△ADE的面积为4，则 四边形DBCE的面积为 D 4.己知△ABC∽△DEF,且AB=3,DE=6,若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为 CD CE3 5.如图，在A4BC中，D,E分别为BC,AC上的点，连接DE·若CACB5:DE=6: D (1)求AB的长. (2)若△CDE的面积为18，请求出△ABC的面积 提升进阶突破 题型7选择或补充条件使三角形相似 【模型】开放型相似判定模型（公共角、对顶角基础图形） 【步骤先观察图形已有相等角或成比例线段，对照AA、SAS、SSS相似判定，补充缺少的一组角或者 组对应边成比例的条件，验证条件能否证出两三角形相似。 【易错】补充条件时忽略角必须是*对应角林：添加边的条件时不确认是香为夹角：写出多余或无效 9/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 件。 1,如图，点D在△ABC的边AC上，添加下列条件，不一定能判定△ADB与△ABC相似的是() B D A.∠ABD=∠C B.∠ADB=∠ABC AB CB C.BDCA ABAC D.AD AB 2.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，再添加一个条件，仍不能判定△ADE与△MCB相 似的是() 0 E B A.∠ADE=∠ACB B.DE∥BC c把 AE DE D.ABBC 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上要使△ADEr△ACB,还需要添加一个条件，你添加 的条件是 (只需写一个条件) D C 4.如图，∠DAE=∠BAC=90°，请补充一个条件： 使Rt△ABC∽Rt△ADE 10/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.如图，在△ABC中，点D是AC上一点，添加一个条件使得△CBD~aCAB,可以是 B 题型8网格直角三角形模型、格点三角形 【模型】网格直角三角形模型、格点三角形 【步骤】借助网格小正方形边长，用勾股定理算出两个三角形所有边长，把边按短对短、长对长排序， 计算三边比值：或直接找两组等角，判定相似后求解边角。 【易错】求边长忘记勾股定理，直接数格子当成斜边长；对应边排序混乱，比值对比出错。 1.如图，方格纸中小正方形的边长均相等.△ABC和△DEP的各顶点均在格点（小正方形的顶点）上，点 P与点PBBP四点中的一个重合，若△ABC∽△PDE且两三角形不全等，则P点所在的格点为( Pa B D 11/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 0.日 2.如图，A.B.C.P.、甲、乙、丙、丁都是正方形网格的格点，若△RPO△ABC,则点R应是网格 中的点() P B A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 3.如图，是7×8的方格，已知4个格点A,B,C,D,点E也在格点上，若以C,D,E为顶点的三 角形与△ABC相似，则符合条件的点E共有_个. D 4.如图，在由大小相同的小正方形组成的网格图中，连接格点小B的线段交网格线于M、N两点，那么 AM:MN:BN= 5.如图，在5×5的正方形网格中，点A,B,C都在格点上，利用格点按要求完成下列作图（要求仅用 无刻度的直尺，不要求写画法，保留必要的作图痕迹)· 12/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)请在图1中以AB为一边画一个格点△ABD,使它与△ABC相似但不全等： (2)请在图2中画一个面积最大的格点△ABC,使之与△ABC相似，并求出△ABG的面积. 题型9利用相似求坐标 【模型】平面直角坐标系内相似几何模型 【步骤】先标出己知点坐标，算出线段长度或水平、竖直距离，找到相等角确定相似关系，设未知点坐 标，利用相似对应边成比例列方程，求解得到坐标，注意多解分类讨论。 【易错】忽略相似顶点对应关系不唯一，漏解；分不清水平线段、竖直线段长度，坐标符号判断错误。 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A,B的坐标分别为(-2,6)和(7,0) 将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为() D B A.2 B.3 C.4 D.5 2.如图，已知两点A(2,0)B(0,4),∠1=∠2，则点C的坐标为() 13/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.(0,1) B.(0,2) C.(0,2) D.(0,3) 4,0) 3.在平面直角坐标系中，点A的坐标为 ,点B的坐标为 ,2) ,点C在轴上，2CBM=90°时，点C 的坐标是一. 4.如图，平面直角坐标系xOy中，已知A(4,0)和B点(0,3)，点C是AB的中点，点P在×轴上，若 以P、A、C为项点的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 B 5.如图，在平面直角坐标系中，己知△0AB,点A的坐标为 a,a) 点B的坐标为 b,0).若a,b的值是 关于x的一元二次方程x2-5x+6=0的两个根，且b>a. 0 B主 (1)直接写出a= b= (2)若点P在y轴上，且△POA∽△AOB,求点P的坐标. 14/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高压轴破难 题型10动点产生相似三角形分类讨论 【模型】动态动点相似模型（点在线段、射线、折线上运动） 【步骤】先固定图形找出不变的等角，确定一组固定对应角，再分情况讨论不同顶点对应关系，设动点 运动时间或线段长，利用相似对应边成比例列方程求解，检验解是否符合动点位置范围，舍去不合理 解。 【易错】没有按顶点对应关系完整分类，出现漏解；求出结果后不检验，保留动点在延长线等不符合题 意的解。 1.如图，己知Rt△ABC中，ZC=90,AB=10cm,AC=8cm,点P由点B出发沿BA方向以3cm/S的 速度向点A匀速运动，同时点Q从A出发沿AC方向以2c/s的速度向点C运动.连接P2,设运动的时 间为1（单位：s)(其中0<1< 3)·当t为何值时，△APQ与AABC相似(） B ■ →0 20 40 2040 2050 A.11 B.23 C.1i或23 D.1i或23 2.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B出发，在BA边上以每秒 3 cm Q C CB 2cm B 的速度向点“匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒 的速度向点匀速运动，运 动时间为t秒(0<1<2)，连接P吧，若以B、P、2为顶点的三角形与△ABC相似，则的值为 15/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 3.如图①，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6.动点P从点B出发，沿线段BA以每秒5个单 位的速度向终点A运动，连接PC,作点B关于PC的对称点D,连结CD、DP,设点P的运动时间为t (秒). D E 图① 图② (1)线段AB的长是_· (2)当点D在△ABC内部时，则t的取值范围是_ (3)当线段DP与△ABC的某条边平行时，求此时t的值. (4)如图②，作PE⊥BC，,垂足为E,过点E作直线CD的垂线，垂足为F,直线EF与直线CP交于点O, 当OE:OF=5:3时，请直接写出t的值 4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5cm,AC=12cm.点M在边AB上，以2cm/s的速度由点B 出发沿BA向点A匀速运动；同时点N在边AC上，以lCm/s的速度由A出发沿AC向点C匀速运动.当点 M到达A点时，点M,N同时停止运动.连接MN,设点M运动的时间为t(单位：s). M (1)是否存在时间t,使得以A,M,N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出时间t的值；若不存在， 请说明理由： 3 (2)当t为何值时，△AMN的面积为△ABC面积的26： 16/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型11相似三角形的判定与性质综合 【模型】多步相似综合模型，可结合公共角、子母型、一线三等角等基础模型 【步骤】先结合已知条件推导角或边的关系，证明三角形相似；再运用相似的边角、周长、面积性质， 结合勾股定理、方程思想，分步完成线段计算与证明。 【易错】只证出一组相似就直接套用性质，忽略多组相似间的线段传递关系；混淆相似比、面积比，复 杂图形找错对应三角形。 1. 在菱形BCD中，B0,A花1BC于点E,元三4，连结D交证于点F,则F的长为《 D ■ A.4 B.5 c.6 D.4.8 2.如图，在矩形ABCD中AD=3,AB=2,连接BD,点E、F分别在BDBC上，BE=AD,若EF把 △BCD的面积平分，则EF的长为() A D 13 2V35 2W13 55 A.2 B.3 C.3 D.6 3.如图，在梯形4BCD中，CD‖4B.Sm=9S=4 C:OA= 中， ，则 17/19 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，AD=DE=EB,EF∥DG∥AC,EC与DG相交于点H.若AC=24,则GH=_ D 5.已知ABCD,连接BD,BD=BC=10,CD=12」 A 图① 图② (1)如图①，将ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点M处，BM交CD于点P. ①求证：MP=PC: ②求△BDP的面积； (2)若点E在AB边上，如图②，作EF∥BD交AD于点F,将口ABCD沿EF折叠，使点A的对应点N落在 CD边上，求DN的长. 6.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=60,BC=80,点O为AC的中点.在Rt△DBE中，∠DBE=90° DB=30,BE=40,连接E0并延长到点F,使OF=EO,连接AF. 初步感知： 18/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C B C 图1 图2 备用图 AD (1)如图1，当点D,B分别在AB,BC上时，请完成填空：∠DAF=-。, AF 深入探究： (2)如图2，若将图1中的△DBE绕点B按逆时针方向旋转一定的角度a(0°<α<90°)，连接AD,CE, AE,CF ①(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请予以证明：若不成立，请说明理由. ②当四边形AECF的面积最小时，求线段AD的长. 19/19