专题02 一元二次方程解决实际问题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题02 一元二次方程解决实际问题 提升·进阶突破 题型1. 传播问题 题型2. 增长率问题 题型3. 与图形有关的问题 题型4. 数字问题 题型5. 营销问题 题型6. 动态几何问题 题型7. 工程问题 题型8. 行程问题 题型9. 图表信息 题型10. 握手、循环赛问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 传播问题 【模型】每轮一人传染x人，经过n轮传染后总人数满足总感染人数。 【步骤】每轮平均传染人数，根据每轮新增传染数量关系列方程，解方程并舍去负根。 【易错】混淆总人数和新增人数，误把式子写成\(1+nx\)，不检验舍去不符合实际的负数根。 1．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】每人参与后仅转发一次，分轮计算新增被邀请人数，累加总人数即可列方程. 【详解】解：初始参与活动的人数为1， 第一轮转发，新增名被邀请者. 第二轮转发时，第一轮的名参与者每人邀请人，新增名被邀请者， ∵转发两轮后共有133人被邀请， ∴可列方程. 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：初始会做该题的人数为1， ∵第一节课1人教会名同学， ∴第一节课新增会做人数为，第一节课后会做总人数为， ∵第二节课会做的人每人教会名同学， ∴第二节课新增会做人数为， ∵全班共有人会做该题， ∴列方程得． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 【答案】 【分析】主干共1个，每个支干长出个小分支，则支干总数为，小分支总数为，根据三类的总数为21即可列方程． 【详解】解：∵主干只有1个，主干长出个支干，因此支干总数为， ∵每个支干长出个小分支，因此小分支总数为， 已知主干、支干和小分支的总数是21， 因此可得方程． 4．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 【答案】 每轮传染中平均一个人传染个人. 【分析】设每轮传染中平均一个人传染个人，则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感，根据经过两轮传染后，有人患流感，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染个人， 则第一轮传染后有人患流感，第二轮传染后有人患流感， 根据题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染个人． 5．潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 【答案】(1)； (2)8个人 (3)729人 【分析】（1）根据每轮传染中平均一个人传染x个人，列出代数式即可； （2）根据经过两轮传染后，全校共有81人患了流感，列出方程进行求解即可； （3）根据（2）中结果，进行求解即可. 【详解】（1）解：第一轮传染后患病人数为人， 第二轮传染后患病人数为人． （2）解：依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 故． 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （3）解：第三轮传染后患病总人数为（人）， 答：第三轮传染后全校患流感的总人数为729人． 题型2 增长率问题 【模型】基数为a，平均增长率为x，连续增长n次后总量满足。 【步骤】准初始量、增长次数和最终量，代入增长率公式列方程，求解后舍去不合题意的根。 【易错 降低时误用1+x，分不清增长次数，解出根不检验、单位与题意不匹配。 1．某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵2024年参加体育社团的学生有100人，年平均增长率为， ∴2025年学生人数为，2026年学生人数为， ∵2026年学生人数为144人， ∴可列方程． 2．某钢铁厂一月份生产钢铁60吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁260吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】第一季度总产量为一月、二月、三月产量之和，需结合月平均增长率表示各月产量列等式． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∵一月份产量为60吨，月平均增长率为x， ∴二月份产量为吨，三月份产量为吨， ∵第一季度共生产钢铁260吨， ∴． 3．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 【答案】 【分析】根据月增长率，分别表示出三个月的进馆人次，结合前三个月累计进馆750人次，即可列出方程． 【详解】解：∵第一个月进馆人次，进馆人次的月增长率为， ∴第二个月进馆人次为，第三个月进馆人次为， ∵前三个月累计进馆人次，即三个月进馆人次总和为， ∴可列方程为． 4．大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 【答案】该校植树棵数的年平均增长率为． 【分析】设年平均增长率为未知数，根据第一年与第三年的植树量关系列方程，结合实际意义取舍根． 【详解】解：设该校植树棵数的年平均增长率为． 由题意得． 化简得． 解得，． ∵植树量逐年增加，增长率为正． ∴不符合题意，舍去． 答：该校植树棵数的年平均增长率为． 5．2026年是建国77周年，全国各地积极开展以国庆为主题的征文教育活动，据了解，今年3月份参加征文人数0.5万人，5月份参加征文人数增加到0.605万人． (1)求这两个月参加征文人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参加征文人数是多少？ 【答案】(1) (2)万人 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出等式即可求解． （2）根据（1）中计算出的增长率直接计算即可得出答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 可列出方程： ， 解得， （舍去）， ∴月平均增长率为． （2）解：6月份的参加征文人数就是在5月的基础上再乘： （万人）， ∴预计6月份的参加征文人数是万人． 题型3 与图形有关的问题 【模型】用几何图形面积、边长关系设未知数，结合图形面积公式列出一元二次方程求解。 【步骤】确定a、b、c，计算判别式△≥0后代入求根公式求解。 【易错】边长时漏看图形重叠部分，边长表达式写错，保留负数或大于原边长的不合理解。 1．用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形周长求出长与宽的和为，再根据面积公式列方程即可． 【详解】解：∵矩形周长为， ∴长宽， 设一边长为，则另一边长为， ∵面积为， ∴． 2．近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】设，则，根据花园面积列一元二次方程求解． 【详解】解：设，则， 根据题意可知，， 即， 解得，， 当，，不合题意，舍去， 当，，符合条件， 故． 3．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 【答案】 【分析】根据等量关系列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：或， 符合题意，不符合题意，舍去， ． 4．王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： (2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 【答案】(1)当菜园面积为时，长． (2)当菜园面积是时，求的长为． 【分析】（1）设平行于墙的一边的长为．表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出答案． （2）设，则矩形边，表示出，根据矩形的面积以及已知条件得出关于的一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：设平行于墙的一边的长为． 则， 根据题意可知：，即， 整理得：， 解得，或（不合题意，舍去） 答：当菜园面积为时，长． （2）解：设，则矩形边， 则，， 根据题意可知：， 整理得：， 解得，（舍去） 答：当菜园面积是时，的长为． 5．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是10米，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的边为和，平行于墙的边为．在边上要造一个门，门宽是边长的一半；在边上要造一个运输通道，通道宽是边长的三分之一，求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】所围成长方形仓库的两条邻边的长分别是9米和10米 【分析】设垂直于墙的边的长为米，平行于墙的边的长为米，则米，由题意可得，铁栅栏的总长为米，且门宽为米，通道宽为米，表示出，再结合长方形仓库的面积列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设垂直于墙的边的长为米，平行于墙的边的长为米，则米， 由题意可得，铁栅栏的总长为米，且门宽为米，通道宽为米， ∴， 整理得， ∵某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库 ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，，故不符合题意， 当时，，符合题意； ∴所围成长方形仓库的两条邻边的长分别是9米和10米． 题型4 数字问题 【模型】设出数位上的数字，用代数式表示多位数，根据数字间等量关系列一元二次方程。 【步骤】设个位或十位数字，正确写出两位数 / 三位数表达式，列方程求解，检验数字范围。 【易错】表示多位数时忽略数位权重，误直接把数字相加，不检验数位取值（0~9）舍去不合理解。 1．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数． 【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和． 故选：D． 2．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 3．小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且今年小刚与小丽的年龄乘积是224，则今年小丽的年龄为______岁． 【答案】14 【分析】设小明年龄为岁，根据年龄关系用表示出小丽和小刚的年龄，根据乘积条件列方程求解，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设今年小明的年龄为岁，则小丽的年龄为岁，小刚的年龄为岁，根据题意可得： ， 解得：或， ∵年龄为正整数， ∴舍去负根，得， 因此小丽的年龄为岁． 4．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 【答案】 98 8，9，10或 【分析】（1）设个位数字为x，则得十位数字为，根据个位数字与十位数字的乘积等于72，列出一元二次方程，求解即可； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则可表示出两边的整数，列出方程即可求解． 【详解】解：（1）设个位数字为x，则得十位数字为， 由题意得， 整理得， 解得（舍去）， 则十位数字为，所求的两位数为98； （2）设三个连续整数里中间的整数为x，则较小的整数为，较大的整数为， 由题意得， 整理得， 解得， 所以三个连续整数分别为8，9，10或． 5．经过激烈的角逐，“青春队”在数学知识竞赛中最终取得胜利，已知“青春队”在本次比赛中的总得分是一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字大8，且十位上的数字与个位上的数字的和的平方比这个两位数大9．“青春队”的总得分是多少？ 【答案】91 【分析】根据“十位上的数字与个位上的数字的和的平方比这个两位数大9”列出方程. 【详解】解：设这个数的个位上的数字为，则十位上的数字为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴这个数的个位上的数字为1，十位上的数字为， 答：“青春队”的总得分是91分． 【点睛】本题考查了一元二次方程在数字问题中的应用，解决本题的关键是根据题意，找出等量关系，列出方程并求解. 题型5 营销问题 【模型】总利润 = 单件利润 × 销售量，价格变动会引起销量变化，据此建立一元二次方程。 【步骤】设涨价或降价的量，写出单件利润与对应销量表达式，根据总利润列方程，取舍合理解。 【易错】调价时销量增减对应关系写反，忘记结合题目限制条件（如售价范围）舍去不合理解。 1．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 【答案】C 【详解】解：设降价元，则每件利润为元，销售量为件， 由题意得：， 整理得， 解得，， 则应降价2元或22元． 2．某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】总利润等于单价利润乘以销量，单件利润等于售价减去进价． 【详解】解：每件利润为元，销售量为件， 由题意得． 3．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 【答案】 【分析】设涨价元，表示出每件商品的利润和每星期的销售量，根据总利润列出方程求解，结合顾客得实惠的要求选取符合条件的解，得到销售单价． 【详解】解：设涨价元，则销售单价为元，每星期销售量为件， 每件商品的利润为元， 总利润等于每件利润乘以销售量， 列方程得，整理方程得， 因式分解得， 解得，， 要让顾客得实惠，需选择更低的销售单价，应取较小的， 取，此时销售单价为元． 4．某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】每千克应涨价元或元 【分析】设每千克涨价元，则日销售量为千克，列方程求解即可． 【详解】解：设每千克涨价元，则日销售量为千克， 根据题意可得， 解得，， 答：每千克应涨价元或元． 5．某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为8元，原售价定为每件20元时，每天可销售50件．根据销售经验，每件售价每降低1元，日销售量可增加10件． (1)若将该商品每件售价定为17元，每天可销售多少件？ (2)商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，该商品每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)每天可销售80件 (2)每件售价应定为14元 【分析】（1）先求出降价了多少，然后可求销售量增加了多少，即可求解； （2）设每件降价x元，则单件利润元，日销量件，再由利润公式建立方程求解． 【详解】（1）解：降价：（元） 销量：（件） 答：每天可销售80件． （2）解：设每件降价x元，则单件利润元，日销量件． 整理得： 解得． 要销售量尽可能大，取． 售价：（元） 答：每件售价应定为14元． 题型6 动态几何问题 【模型】动点沿线段运动，用含时间参数的式子表示线段长，依靠图形面积或勾股定理列一元二次方程。 【步骤】设动点运动时间，表示相关线段长度，根据几何等量关系列方程，检验动点运动范围取舍根。 【易错】忽略动点运动边界限制，线段表达式写错，不检验根是否在动点可行时间范围内。 1．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】A 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 2．如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设运动时间为，表示出的长，根据三角形的面积公式建立方程求出t的值，利用勾股定理求出的长，进而求出t的取值范围即可得到答案． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵的面积为，且， ∴， ∴， 整理得， 解得或； 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴运动时间为． 3．在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 【答案】或 【分析】作于点，设运动时间为，证明四边形是矩形，由题意分别表示出，，，由勾股定理得， 解方程即可． 【详解】解：作于点，设运动时间为， ， 矩形中，，，， ，，， 四边形是矩形， ，， 点P从点A出发以的速度向点B运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动， ，， ， ， ， 解得，或． 4．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为；理由如下∶ ，，点P的速度是， 点P到达点B的时间为，点P到达点C的时间为， ，点Q的速度是， 点Q到达点D的时间为． 当点P在上，即时，如图，连接，， 则，的高是， ， 解得，符合题意． 当点P在上，即时，如图， ，， 则． ， 整理得， 解得，，符合题意． 综上所述，当t的值为或3或时，的面积为． 【分析】（1）过点A作于点E，推导出四边形是矩形，进而得到，，，利用勾股定理求得，利用解答即可得解； （2）分两种情况：当点P在上，即时， ；当点P在上，即时， ，进一步解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ，， ． ， 四边形是矩形． ，，． ． （2）解：略． 5．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 【答案】(1) (2)经过或时P，Q两点之间的距离是； (3)经过4秒或6秒时，的面积为 【分析】（1）过点P作于点E，根据题意，得，，然后利用勾股定理建立方程求解即可； （2）设秒后，，两点之间的距离是，根据题意列出方程求解即可； （3）连接，设经过秒后的面积为，根据题意得出，然后分三种情况分析：①当时， ②当时，③当时，依据面积建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于点E， 根据题意，得，， 在中，，即， ， 故经过时P，Q两点之间的距离是； （2）设秒后，，两点之间的距离是， 根据题意得：，即， ， ，， 故经过或时P，Q两点之间的距离是； （3）连接， ∵矩形，，， ∴，， ∵点沿着移动， ∴点在上的运动时间为：，在上的运动的时间为：到；在上的运动的时间为：到； 点Q的运动时间为：； 设经过秒后的面积为， ∵点随点的停止而停止移动， ∴， ①当时，则， ，即， 解得； ②当时，则， ，， ∴， 解得，（舍去）； ③当时，， ∴， 解得（舍去）； 综上所述，经过4秒或6秒时，的面积为． 题型7 工程问题 【模型】把总工程量看作单位 1，利用工作总量 = 工作效率 × 工作时间，列一元二次方程求解。 【步骤 未知时间或效率，表示出各对象工作效率，依据总量关系列方程，舍去负根。 【易错】混淆工作效率与工作时间，多人合作时效率相加，忘记检验时间为正数。 1．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 【答案】(1)小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷 (2)的值为2 【分析】（1）设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷，根据题意列出关于的一元一次方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设小货车原计划每辆每次运顶帐篷，则大货车原计划每辆每次运顶帐篷， 由题意可得， 解得， ∴， ∴小货车原计划每辆每次运顶帐篷，大货车原计划每辆每次运顶帐篷； （2）解：由题意可得：， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． 2．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 【答案】(1)甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元 (2)的值为 【分析】（1）设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，根据题意列方程即可求解； （2）根据题意分别表示出甲、乙每天的实际工作量，实际成本，根据数量关系列方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元，则甲每合格完成米桥梁施工成本为万元， ∴，解得，， ∴甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元． （2）解：由（1）可知，甲每合格完成米桥梁施工成本为万元，乙每合格完成米的桥梁施工成本为万元， ∴实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，则甲每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖，则甲每天实际完成量为米，乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，则乙每合格完成米实际成本为万元，且每天多挖米，则乙每天实际完成量为米，终每天实际总成本比计划多万元，则最中每天的实际总成本为万元， ∴，整理得，，解得，，（不符合题意，舍去）， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查方程与实际问题的综合，理解题目中的数量关系，掌握列方程的方法，解一元一次方程，一元二次方程的方法是解题的关键． 3．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 题型8 行程问题 【模型】利用路程 = 速度 × 时间，结合速度或时间变化的等量关系建立一元二次方程。【步骤】设速度或时间，用代数式表示路程，根据题意找到等量关系列方程，舍去不合题意的根。 【易错】速度、时间表达式混淆，忽略速度大于 0 的实际限制，不检验根是否符合现实情景。 1．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 2．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 3．如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 【答案】1小时或小时 【分析】设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意可得，然后解方程即可． 【详解】解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意可得， 整理得， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里． 4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 题型9图表信息题 【模型】从表格、图像中读取数量变化规律，提取等量关系构建一元二次方程求解。 【步骤】读懂图表信息，找出变量之间的关系式，列出方程，检验根是否符合图表数据范围。 【易错】看错表格数据、误判变化规律，求出根后不验证是否满足图表给定条件。 1．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 【答案】 【分析】根据题意列出一元二次方程求解，然后根据实际情况判定根的取舍． 【详解】解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 月份用电，且缴电费10元， ， ． 2．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 【答案】(1)40，，29，26 (2)他今日检测总人数为人 【分析】（1）设检测人数为y，人均检测时间为t（秒），由题意可得出y、t与x之间的函数关系式，即可补全表格； （2）根据人均检测时间×检测人数＝总检测时间，可得关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设检测人数为，人均检测时间为秒， 由题意得：、， 补全表格如下： 检测人数人 人均检测时间秒 （2）解：由题意得，， 解得，， 当时，检测总人数为人， 每位大白的检测人数不超过人， 不符合题意，舍去， 当时，检测总人数为人， 答：他今日检测总人数为人． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据条件建立函数关系是解决本题的关键． 3．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 题型10 握手、循环赛问题 【模型】人数为n，每两人只发生一次互动，总次数满足n(n-1)=总次数。 【步骤】设总人数，根据两两单次互动的数量关系列方程，求解并舍去不符合实际的根。 【易错】忘记乘造成重复计数，混淆循环赛（单循环）和互赠礼物问题。 1．在年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，则每个球队参加的场数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确单循环赛制总场数与球队数量的关系，设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设每个球队参加场比赛，则参赛球队共有支， ∵ 单循环赛制总场数为场， ∴ ，整理得， 因式分解得，解得（负根舍去）． ∴每个球队参加的比赛场数为． 2．在一次同学聚会中，每两人之间互送一份礼物，如果一共送出110份礼物，则参加同学聚会的人数为_________人． 【答案】 【分析】设参加聚会的人数为，每人给其余所有人送礼物，总礼物数可表示为，列方程求解后舍去不符合实际意义的负根即可． 【详解】解：设参加同学聚会的人数为人， ∵每两人互送一份礼物， ∴每人送出份礼物，总礼物份数为， 根据题意列方程得 ， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵人数不能为负数， ∴舍去， 因此参加同学聚会的人数为人． 3．某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 【答案】该家庭微信群一共有10人． 【分析】以总收到红包数为等量关系，结合每人发出的红包数比总人数少1，列一元二次方程求解． 【详解】解：设该家庭微信群一共有人． 每人不能抢自己发的红包，且群内其他微信群成员能收到自己发的红包， 每人发出个红包． 群内共人， 总发出红包数为个． 总收到红包数等于总发出红包数，且总收到90个红包， ． 整理得． 因式分解得， 解得，． 为正整数， 不符合题意，舍去． ． 答：该家庭微信群一共有10人． 4．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ 【答案】6支 【分析】单循环赛制中，若有x支球队参赛，每支球队需要和其余支球队各赛一场，但这样会重复计算（例如甲队与乙队的比赛和乙队与甲队的比赛是同一场）．因此，总比赛场数为． 【详解】解：设应邀请x支球队参赛，则由题意得 解得：，（舍去） 答：应邀请6支球队参赛． $专题02 一元二次方程解决实际问题 提升·进阶突破 题型1. 传播问题 题型2. 增长率问题 题型3. 与图形有关的问题 题型4. 数字问题 题型5. 营销问题 题型6. 动态几何问题 题型7. 工程问题 题型8. 行程问题 题型9. 图表信息 题型10. 握手、循环赛问题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 传播问题 【模型】每轮一人传染x人，经过n轮传染后总人数满足=总感染人数。 【步骤】每轮平均传染人数，根据每轮新增传染数量关系列方程，解方程并舍去负根。 【易错】混淆总人数和新增人数，误把式子写成\(1+nx\)，不检验舍去不符合实际的负数根。 1．小昆被邀请参加一次“转发”海报得门票活动，他决定参与并按要求转发其他人，若收到小昆邀请的人也同样参与了活动，并按要求转发其他人，且从小昆开始算起，转发两轮后共有133人被邀请参与活动．设参与该活动后要求转发x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有人会做这道数学题．设一人每次教会了名同学，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是21，设这种植物每个支干长出x个小分支，则根据题意可得方程________． 4．秋冬季节来临，许多季节性传染病，尤其是呼吸道传染病开始流行，大家要加强防范．疾控部门为了检测流感的传染速度，设计了一个问题：开始有人患有流感，经过两轮传染后，有人患流感，则每轮传染中平均一个人传染几个人？ 5．潮阳区某中学九年级某班有1名同学患了流感，由于没有及时隔离，流感在校内传播．已知经过两轮传染后，全校共有81人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染x个人． (1)用含x的代数式表示：第一轮传染后患病人数为 人，第二轮传染后患病人数为 人； (2)根据题意列出关于x的方程，并求出每轮传染中平均一个人传染的人数； (3)若不加以控制，照此传播速度，第三轮传染后全校患流感的总人数是多少？ 题型2 增长率问题 【模型】基数为a，平均增长率为x，连续增长n次后总量满足。 【步骤】准初始量、增长次数和最终量，代入增长率公式列方程，求解后舍去不合题意的根。 【易错 降低时误用1+x，分不清增长次数，解出根不检验、单位与题意不匹配。 1．某校2024年参加体育社团的学生有100人，2026年达到144人．设该校参加体育社团的学生人数从2024年到2026年的年平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．某钢铁厂一月份生产钢铁60吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁260吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是（     ） A． B． C． D． 3．“立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆180人次，前三个月累计进馆750人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x，依题意可列方程_________． 4．大自然是人类赖以生存发展的基本条件，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．绿色是大自然的底色，我国坚持科学开展大规模国土绿化行动，不断扩大森林面积、提升森林质量．某校连续三年组织师生参加义务植树活动，植树量逐年增加，第一年共植树棵，第三年共植树棵．求该校植树棵数的年平均增长率． 5．2026年是建国77周年，全国各地积极开展以国庆为主题的征文教育活动，据了解，今年3月份参加征文人数0.5万人，5月份参加征文人数增加到0.605万人． (1)求这两个月参加征文人数的月平均增长率； (2)按照这个增长率，预计6月份的参加征文人数是多少？ 题型3 与图形有关的问题 【模型】用几何图形面积、边长关系设未知数，结合图形面积公式列出一元二次方程求解。 【步骤】确定a、b、c，计算判别式△≥0后代入求根公式求解。 【易错】边长时漏看图形重叠部分，边长表达式写错，保留负数或大于原边长的不合理解。 1．用长的绳子围成一个面积为的矩形，设矩形的一边长为，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．近两年，正定古城开展民居院落微更新改造，坚持“街区连片、百米见园、烟火重生、温暖古城”，兼顾历史街区保护与功能提质．某户居民打算依托自家院墙用栅栏修建一处矩形民俗小花园，花园的一边紧靠原有院墙（院墙不消耗栅栏）．如图，已知院墙最大可用长度为，花园另外三边用总长为的防腐木栅栏围起来，设垂直于院墙的一边为．若花园面积恰好为，则边的长为（     ） A． B． C．或 D． 3．如图，若要建一个矩形鸡场，鸡场的一面靠墙，墙长米，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米，且围成的鸡场面积为平方米，设垂直于墙的一边长为，则的值为 ________ 4．王师傅用一段长的篱笆和长的墙，围成一个矩形的菜园，设平行于墙的一边的长为． (1)如图1，如果矩形菜园的一边靠墙，另外三边由篱笆围成，当菜园面积为时，求的长： (2)如图2，如果矩形菜园的一边由墙和一节篱笆构成，另三边由篱笆围成，当菜园面积是时，求的长． 5．如图，某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是10米，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的边为和，平行于墙的边为．在边上要造一个门，门宽是边长的一半；在边上要造一个运输通道，通道宽是边长的三分之一，求所围成长方形的两条邻边的长． 题型4 数字问题 【模型】设出数位上的数字，用代数式表示多位数，根据数字间等量关系列一元二次方程。 【步骤】设个位或十位数字，正确写出两位数 / 三位数表达式，列方程求解，检验数字范围。 【易错】表示多位数时忽略数位权重，误直接把数字相加，不检验数位取值（0~9）舍去不合理解。 1．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（   ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 2．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 3．小明、小丽、小刚三名同学中，小丽的年龄比小明的年龄小一岁，小刚的年龄比小明的年龄大一岁，并且今年小刚与小丽的年龄乘积是224，则今年小丽的年龄为______岁． 4．（1）一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是_______； （2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，则这三个数分别是___________． 5．经过激烈的角逐，“青春队”在数学知识竞赛中最终取得胜利，已知“青春队”在本次比赛中的总得分是一个两位数，其中十位上的数字比个位上的数字大8，且十位上的数字与个位上的数字的和的平方比这个两位数大9．“青春队”的总得分是多少？ 题型5 营销问题 【模型】总利润 = 单件利润 × 销售量，价格变动会引起销量变化，据此建立一元二次方程。 【步骤】设涨价或降价的量，写出单件利润与对应销量表达式，根据总利润列方程，取舍合理解。 【易错】调价时销量增减对应关系写反，忘记结合题目限制条件（如售价范围）舍去不合理解。 1．将进价为50元/件的某种商品以80元/件出售时，每天能卖出30件．若每降价1元，每天可多卖出5件．现欲每天盈利1120元，则应降价（     ） A．10元 B．22元 C．2元或22元 D．10元或22元 2．某校九年级同学在“数学与生活”实践活动中了解到：某商店销售一种文创产品，每件进价为元，售价为元时，每月可售出件．为了促销，商店决定降价销售．经调查发现，每降价1元，每月可多售出件．若要使每月利润达到元，设每件降价x元，则x满足的方程是（     ） A． B． C． D． 3．某商品现在的销售单价为元，每星期可卖出件．市场调查反映：销售单价每涨价元，每星期可少卖出件．已知该商品的进价为每件元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期想获得元的利润，则应将销售单价定__________元． 4．某水果商场经销一种高档水果，若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价多少元？ 5．某商店销售一种商品，已知该商品每件成本为8元，原售价定为每件20元时，每天可销售50件．根据销售经验，每件售价每降低1元，日销售量可增加10件． (1)若将该商品每件售价定为17元，每天可销售多少件？ (2)商店想在保证销售量尽可能大的前提下，通过调整售价使每天的利润达到660元，该商品每件售价应定为多少元？ 题型6 动态几何问题 【模型】动点沿线段运动，用含时间参数的式子表示线段长，依靠图形面积或勾股定理列一元二次方程。 【步骤】设动点运动时间，表示相关线段长度，根据几何等量关系列方程，检验动点运动范围取舍根。 【易错】忽略动点运动边界限制，线段表达式写错，不检验根是否在动点可行时间范围内。 1．如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（     ） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 2．如图，在中，，点从点出发沿边向点以的速度移动，同时点从点出发沿边向点以的速度移动．当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动．当的面积为时，运动时间为（     ） A． B． C． D． 3．在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从点A出发以的速度向点B运动，到点B处停止运动，点Q从点C出发以的速度向点D运动，当点P和点Q之间的距离是时，P，Q两点出发了_____________． 4．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，沿折线方向以的速度向点匀速运动；点从点出发，沿线段方向以的速度向点匀速运动．已知两点同时出发，当一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为． (1)_______； (2)在点，的运动过程中，是否存在某一时刻，使得以，，为顶点的的面积为？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，，，，为矩形的4个顶点，，，动点，分别以，的速度从点，同时出发，点从点向点移动，点从点向点移动． (1)若点从点移动到点停止，点，分别从点，同时出发，问经过时，，两点之间的距离是多少？ (2)若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点，分别从点，同时出发，问经过多长时间，两点之间的距离是？ (3)若点沿着移动，点，分别从点，同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试求经过多长时间的面积为． 题型7 工程问题 【模型】把总工程量看作单位 1，利用工作总量 = 工作效率 × 工作时间，列一元二次方程求解。 【步骤 未知时间或效率，表示出各对象工作效率，依据总量关系列方程，舍去负根。 【易错】混淆工作效率与工作时间，多人合作时效率相加，忘记检验时间为正数。 1．某商家为支援地震灾区人民，计划捐赠帐篷16800顶，该商家备有2辆大货车、8辆小货车运送帐篷．计划大货车比小货车每辆每次多运帐篷200顶，大、小货车每天均运送一次，两天恰好运完． (1)求大、小货车原计划每辆每次各运送帐篷多少顶？ (2)因地震导致路基受损，实际运送过程中，每辆大货车每次比原计划少运顶，每辆小货车每次比原计划少运300顶，为了尽快将帐篷运送到灾区，大货车每天比原计划多跑次，小货车每天比原计划多跑m次，一天恰好运送了帐篷14400顶，求m的值． 2．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工米．已知甲乙每天施工所需成本共万元．因地质情况不同，甲每合格完成米桥梁施工成本比乙每合格完成米的桥梁施工成本多万元． (1)分别求出甲，乙每合格完成米的桥梁施工成本； (2)实际施工开始后，甲每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖．乙每合格完成米隧道施工成本增加万元，且每天多挖米．若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值． 3．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 题型8 行程问题 【模型】利用路程 = 速度 × 时间，结合速度或时间变化的等量关系建立一元二次方程。【步骤】设速度或时间，用代数式表示路程，根据题意找到等量关系列方程，舍去不合题意的根。 【易错】速度、时间表达式混淆，忽略速度大于 0 的实际限制，不检验根是否符合现实情景。 1．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 2．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 3．如图，小岛在码头正东方向的海里处，轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶，同时，轮船乙从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶．两艘轮船出发多久时，它们之间的直线距离为海里？ 4．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 题型9图表信息题 【模型】从表格、图像中读取数量变化规律，提取等量关系构建一元二次方程求解。 【步骤】读懂图表信息，找出变量之间的关系式，列出方程，检验根是否符合图表数据范围。 【易错】看错表格数据、误判变化规律，求出根后不验证是否满足图表给定条件。 1．某电厂规定，某区域的每户居民如果一个月的用电量不超过，那么这个月这户居民只缴10元电费；如果超过，那么这个月这户居民除了要缴10元电费外，超过部分按元／缴费．下表是某户居民5月、6月的用电量和缴电费情况，请根据表中的数据，求的值． 月份 用电量／ 缴电费／元 5 80 25 6 45 10 2．疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多老师在繁重的课务之余承担起了核酸检测的任务，化身可敬可爱的“大白”．据多日检测结果调查发现一个熟能生巧的现象，当每位大白检测人数是人时，每位同学人均检测时间是秒，而检测人数每提高人，人均就少耗时秒（若每位大白的检测人数不超过人，设人均少耗时秒）． (1)补全下列表格： 检测人数（人） 人均检测时间（秒） (2)某位大白一节课（）刚好同时完成了检测任务，那么他今日检测总人数为多少人？ 检测人数人 人均检测时间秒 3．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 题型10 握手、循环赛问题 【模型】人数为n，每两人只发生一次互动，总次数满足n(n-1)=总次数。 【步骤】设总人数，根据两两单次互动的数量关系列方程，求解并舍去不符合实际的根。 【易错】忘记乘造成重复计数，混淆循环赛（单循环）和互赠礼物问题。 1．在年秋季“花垣县中小学教师全员培训”中，老师们进行了精彩的排球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了场比赛，则每个球队参加的场数为（     ）． A． B． C． D． 2．在一次同学聚会中，每两人之间互送一份礼物，如果一共送出110份礼物，则参加同学聚会的人数为_________人． 3．某家庭微信群玩抢红包游戏，规定群内的每个人都要发一次红包（一次可以发多个红包），并保证群内其他人恰好都能抢到，且自己不能抢自己发的红包，若此次抢红包游戏结束后，群内所有人共收到90个红包，求该家庭微信群一共有多少人？ 4．绿茵争锋，“足”够精彩！2015年教育部下发《关于公布2015年全国青少年校园足球特色学校及试点县（区）名单的通知》，认定福清西山学校等校为全国青少年校园足球特色学校．若学校体艺办要组织一次足球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，问应邀请多少支球队参赛？ $