专题01 一元二次方程的解法大全（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题01 一元二次方程的解法大全 基础·固本强基 题型1. 直接开平方法解一元二次方程 题型2. 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型3. 公式法解一元二次方程 题型4. 因式分解法解一元二次方程 题型5. 选择合适方法解简单一元二次方程 提升·进阶突破 题型6. 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型7. 配方法求代数式最值 题型8. 换元法解可化为一元二次方程的方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接开平方法解一元二次方程 【模型】形如的一元二次方程。 【步骤】把含未知数的整体看作一项，直接开平方转化为两个一次方程求解。 【易错】开平方时容易漏掉负根，且忽略(c<0)时方程无实数根。 1．下面是嘉琪同学习题中一道题的解题过程，则横线处的方程为（     ） 解方程：． 解：，_____， ． A． B． C． D． 2．一元二次方程的解为：_______________． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 5．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 题型2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【模型】形+px+q=0的一元二次方程。 【步骤】移常数项到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方求解。 【易错】配方时只在等式左边加常数，忘记右边同步加上相同常数。 1．用配方法解方程，方程可变形为（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解方程时，方程两边应同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上9 D．减去9 3．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 5．用配方法解方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 题型3 公式法解一元二次方程 【模型】标准形式+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程。 【步骤】确定a、b、c，计算判别式△≥0后代入求根公式求解。 【易错】忽略a≠0代入公式时b的符号出错，未先判断判别式直接计算。 1．若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 4．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 5．公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 6．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 题型4 因式分解法解方程 【模型】一元二次方程整理成一边为 0，另一边分解成两个一次因式乘积，利用积为 0 则因式为 0 求解。 【步骤】移项使方程右边为 0，将左边因式分解，令每个因式分别等于 0，求出方程的根。 【易错】不能直接两边除以含未知数的因式导致丢根，移项、分解因式时符号容易出错。 1．一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 3．方程的根为______． 4．用适当方法解方程： (1) (2) 5．解方程：． 6．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 7．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 题型5 选择合适方法解简单一元二次方程 【模型】根据一元二次方程形式，灵活选用直接开平方法、因式分解法、公式法求解。 【步骤】先观察方程特点优先选简便方法，整理方程后再按对应方法解方程并检验。 【易错】盲目套公式，随意两边除以含未知数式子造成丢根，未化简直接代入计算。 1．用合适方法解下列方程． (1) (2) 2．用合适方法解下列一元二次方程． (1)； (2) 3．选用合适方法解一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 4．选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 5．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）． 提升·进阶突破 题型6 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【模型】形如a+bx+c=0(a≠0,a≠1)，通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解。 【步骤】先把二次项系数化为 1，移项，两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式再开方求根。 【易错】二次项系数化为 1 时每一项都要除，配方只加一边、计算一次项系数一半平方时符号出错。 1．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根是_______． 3．解一元二次方程： ； 4．解方程： （配方法）； 题型7 配方法求代数式最值 【模型】把二次多项式配方转化为a+k形式，利用平方非负性求代数式最大或最小值 【步骤 提取二次项系数，配方写成完全平方式，根据平方≥0 判断最值。 【易错】配方时常数项漏乘二次项系数，混淆a正负，判断最值方向颠倒。 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．用配方法把代数式化为的形式，当取______时，代数式的值最大是______． 3．当____时，代数式的值最小． 4．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 5．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 (1)仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____． 【拓展应用】 (2)如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 题型8 换元法解可化为一元二次方程的方程 【模型】方程中重复出现的代数式设为新元，转化为一元二次方程求解，最后回代求原未知数。 【步骤】观察重复整体设元，换元得到一元二次方程，解新方程，回代求出原未知数并检验。 【易错】忘记回代求原未知数，换元过程漏检验，回代计算出现符号错误。 1．若，则代数式的值（     ） A．或 B．或 C． D． 2．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 3．解方程： (1)； (2)． 4．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 5．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． $专题01 一元二次方程的解法大全 基础·固本强基 题型1. 直接开平方法解一元二次方程 题型2. 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 题型3. 公式法解一元二次方程 题型4. 因式分解法解一元二次方程 题型5. 选择合适方法解简单一元二次方程 提升·进阶突破 题型6. 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 题型7. 配方法求代数式最值 题型8. 换元法解可化为一元二次方程的方程 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直接开平方法解一元二次方程 【模型】形如的一元二次方程。 【步骤】把含未知数的整体看作一项，直接开平方转化为两个一次方程求解。 【易错】开平方时容易漏掉负根，且忽略(c<0)时方程无实数根。 1．下面是嘉琪同学习题中一道题的解题过程，则横线处的方程为（     ） 解方程：． 解：，_____， ． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将直接开平方得：，． 2．一元二次方程的解为：_______________． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程．根据解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ，， 故答案为：，． 3．用直接开方法解方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)； (4)，． 【分析】本题主要考查了开平方法解一元二次方程，方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解即可． 【详解】（1）解：， 开方得：或， 解得：，； （2）解：， 方程变形得：， 开方得：，； （3）解：， 方程变形为：， 方程开方得：， 解得：； （4）解：， 方程变形得：， 开方得：， 解得：，． 4．（运算能力）用直接开平方法解一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了直接开平方法求一元二次方程的解，即通过变形将方程化为或的形式，然后通过开平方降次来求解. （1）先把所含未知数的项移到等号的左边，再将系数化为1，然后利用直接开平方求解即可； （2）先将系数化为1，再利用直接开平方求解即可； （3）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 开平方得：， 所以，． （2）解：， ， 开平方得：， 所以，． （3）解：， 开平方，得：或， 所以． 5．用直接开平方法解方程： (1)； (2)； 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用直接开方法解一元二次方程即可． 【详解】（1） ∴，； （2） ∴，． 题型2 配方法解二次项系数为1的一元二次方程 【模型】形+px+q=0的一元二次方程。 【步骤】移常数项到右边，两边同时加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方求解。 【易错】配方时只在等式左边加常数，忘记右边同步加上相同常数。 1．用配方法解方程，方程可变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 2．用配方法解方程时，方程两边应同时（     ） A．加上3 B．减去3 C．加上9 D．减去9 【答案】C 【详解】解： ， 故方程两边应同时加上9． 3．用配方法将方程化成的形式，则n的值为________． 【答案】14 【详解】解：，一次项系数为，其一半的平方为， ∴方程两边同时加，得， 整理，得， ∴． 4．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则___________． 【答案】3 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到和的值，再计算即可． 【详解】解： ， 移项得， 在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， 对比，可得，， 因此． 5．用配方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 6．解方程： (1)（用配方法） (2)（用配方法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 题型3 公式法解一元二次方程 【模型】标准形式+bx+c=0(a≠0)的一元二次方程。 【步骤】确定a、b、c，计算判别式△≥0后代入求根公式求解。 【易错】忽略a≠0代入公式时b的符号出错，未先判断判别式直接计算。 1．若一个关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，通过比较给出的求根算式与标准求根公式，确定系数a、b、c的值，从而得到原方程． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴原方程为． 2．用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用求根公式即可解答． 【详解】解：， ，，， ， 即“”处应填． 3．若一元二次方程的根为，则该一元二次方程为___________． 【答案】 【分析】将题目给出的求根公式与一元二次方程标准求根公式对比，对应得到一般式的系数即可得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的求根公式为将题目给出的式子与标准求根公式对比， 可得：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 代入， 得， 解得， 将代入一元二次方程一般形式， 得该一元二次方程为． 4．在一元二次方程中，其根的判别式的值是______． 【答案】64 【分析】先把原方程整理为一元二次方程一般形式，确定的值后代入计算即可． 【详解】解：将原方程移项，整理为一般形式， 可得，，， ． 5．公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)原方程没有实数根 (4) 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴， 解得： （2）解： ∵， ∴， ∴， 解得： （3）解：， ∵， ∴， ∴原方程没有实数根； （4）解：， 整理得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 6．用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【详解】（1）解：在中，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 解得，； （2）解：在中，，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 解得，； （3）解： ， ∴，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， 解得，． 题型4 因式分解法解方程 【模型】一元二次方程整理成一边为 0，另一边分解成两个一次因式乘积，利用积为 0 则因式为 0 求解。 【步骤】移项使方程右边为 0，将左边因式分解，令每个因式分别等于 0，求出方程的根。 【易错】不能直接两边除以含未知数的因式导致丢根，移项、分解因式时符号容易出错。 1．一元二次方程的解是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】解：， ， ∴或， ∴，． 2．一元二次方程的根是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：， 或， ，． 3．方程的根为______． 【答案】， 【分析】把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【详解】解：移项，得， 因式分解，得，即， ∴或， ∴，． 4．用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)，． (2)，． 【分析】（1）方程左右两边都是平方的形式，利用平方差公式移项因式分解，令每个因式等于0，求出方程的根． （2）先移项整理，逆用平方差公式对左侧因式分解，再提取公因式，令每个因式等于0，求出方程的根． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∴或， ，； （2）解：， ， ， ， ∴或， ，． 5．解方程：． 【答案】， 【分析】利用因式分解法解答即可． 【详解】解：因式分解，得， ∴或， ∴，． 6．阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 7．阅读与理解： （1）将进行因式分解，我们可以按下面的方法解答 解：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其如果须等于多项式中的一次项）； ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫十字相乘法． （2）例：解方程． 解：， 或， ，； 请用上述方法解答下列问题． （3）①因式分解：______； ②解方程：； ③已知，求的值． 【答案】（3）①；②；③或 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，利用十字相乘法因式分解解一元二次方程，掌握十字相乘法分解因式是解答本题的关键． （3）①利用十字相乘法分解即可； ②利用十字相乘法因式分解因式求解即可； ③利用十字相乘法因式分解因式得，进而可求出的值． 【详解】（3）解：①． 故答案为：； ②∵， ∴， ∴或， ∴； ③∵， ∴， ∴或， ∴或． 题型5 选择合适方法解简单一元二次方程 【模型】根据一元二次方程形式，灵活选用直接开平方法、因式分解法、公式法求解。 【步骤】先观察方程特点优先选简便方法，整理方程后再按对应方法解方程并检验。 【易错】盲目套公式，随意两边除以含未知数式子造成丢根，未化简直接代入计算。 1．用合适方法解下列方程． (1) (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是根据方程特点选择直接开平方法或公式法． （1）方程为完全平方形式，用直接开平方法求解； （2）方程用公式法，先确定系数，计算判别式，再代入求根公式． 【详解】（1）解： 两边开平方得： 当时，； 当时，． 所以方程的解为，． （2）解：对于，，，， 判别式， 由求根公式得：， 所以方程的解为，． 2．用合适方法解下列一元二次方程． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， 这里，， ， ， ， ． 3．选用合适方法解一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）直接用开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用公式法求解即可； （4）用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ， ∴或， ∴，； （3）解：， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （4）解：， ， ， ∴或， ∴，． 4．选择适当的方法解下列方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ， ∴，； （2）解：整理得， ∵，，， ∴， ∴， ∴，； （3）解：因式分解， ∴或， ∴，； （4）解：提取公因式， ∴或， ∴，． 5．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)； (3)（用配方法）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： 或 （3）解： 提升·进阶突破 题型6 配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 【模型】形如a+bx+c=0(a≠0,a≠1)，通过配方转化为完全平方式，再用直接开平方法求解。 【步骤】先把二次项系数化为 1，移项，两边加上一次项系数一半的平方，写成完全平方式再开方求根。 【易错】二次项系数化为 1 时每一项都要除，配方只加一边、计算一次项系数一半平方时符号出错。 1．用配方法解方程时，原方程应变形为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据配方法解方程的基本步骤，求解判断即可． 【详解】解：， ， ． 2．一元二次方程的根是_______． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， ， ， 或， ∴，． 3．解一元二次方程： ； 【答案】 【分析】（1）利用配方法或者公式法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 4．解方程： （配方法）； 【答案】， 【详解】解： ， 题型7 配方法求代数式最值 【模型】把二次多项式配方转化为a+k形式，利用平方非负性求代数式最大或最小值 【步骤 提取二次项系数，配方写成完全平方式，根据平方≥0 判断最值。 【易错】方时常数项漏乘二次项系数，混淆a正负，判断最值方向颠倒。 1．已知实数m、n满足 ，若，则s的值最大为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由已知求出，再代入，利用非负数的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴s的值最大为3． 2．用配方法把代数式化为的形式，当取______时，代数式的值最大是______． 【答案】 / / 【分析】利用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的值最大是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用，准确计算是解题的关键． 3．当____时，代数式的值最小． 【答案】 【分析】本题考查的是代数式的最小值问题，利用配方法及平方的非负性是解答的关键. 对代数式进行配方，利用平方的非负性解答. 【详解】解： ∵ ∴ ∴当时，原式有最小值 即当时，代数式取得最小值. 故答案为： 4．形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用．例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)时，代数式有最小值，最小值为； (2)时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查二次函数的应用．用配方法把代数式整理成完全平方的形式是解决本题的关键． （1）把配方，配成完全平方式，可得当x取何值时，代数式有最小值，最小值为多少； （2）设为x米，则，可得面积，进而整理成完全平方式，可得为多少米时，围成的长方形花园面积最大及最大面积． 【详解】（1）解：， 时，代数式有最小值，最小值为； （2）解：设，长方形的面积为y，则，． ， 又， ． ，抛物线的开口向下， 时，y随x的增大而减小． 时，y有最大值为． 故时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 5．阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题．例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 (1)仿照上述例子解决问题：当取___________时，代数式有最小值为_____． 【拓展应用】 (2)如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙足够长），另三边用总长为40米的竹篱笆围成．①用含x的代数式表示矩形鸡场的面积为___________； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)2，1 (2)①    ②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米 【分析】（1）利用配方法，将二次三项式配成完全平方式，根据平方的非负性求最小值； （2）①先表示出矩形平行于墙的边长，再根据矩形面积长宽列出代数式； ②对面积的代数式配方，利用完全平方式的非负性求最大值． 【详解】（1）解：， ， ， 当时，代数式有最小值为． （2）解：①设垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ， ， ∴当时，代数式有最大值200， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是200平方米． 题型8 换元法解可化为一元二次方程的方程 【模型】方程中重复出现的代数式设为新元，转化为一元二次方程求解，最后回代求原未知数。 【步骤】观察重复整体设元，换元得到一元二次方程，解新方程，回代求出原未知数并检验。 【易错】忘记回代求原未知数，换元过程漏检验，回代计算出现符号错误。 1．若，则代数式的值（     ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【分析】设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 即． 2．已知方程的解是，，则方程的解是__________． 【答案】， 【分析】利用换元思想，将方程中的整体对应已知方程的，结合已知的解求解． 【详解】解：设，则原方程可化为， ∵已知方程的解是：，， ∴，， 当时，， 移项得， 解得； 当时，， 移项得， 解得， 综上，原方程的解为，． 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】根据因式分解法解方程即可； 根据换元法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴，（舍去）， ∴， ∴，． 4．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设，则原方程可化为． 解得：，， 或， ，． 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解决下列问题： (1)解方程； (2)已知，求的值． 【答案】(1) ， (2)4 【分析】（1）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，由此即可得； （2）设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程可得的值，再结合解答即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，， ∴或， ∴ ，． （2）解：设，则原方程可化为， 整理得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值是4． 5．综合与探究 请阅读下面的材料． 已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以． 把代入已知方程，得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的，则所求方程为　　　． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． (3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为2，，求关于的一元二次方程的两根． 【答案】(1) (2) (3)，． 【分析】（1）利用题中解法，设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程即可； （2）设所求方程的根为，则，即，把代入已知方程求解即可； （3）将所求方程整理可得：，再与一元二次方程比较即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得， 化简，得； （2）解：设所求方程的根为，则，即， 把代入已知方程，得， 整理，得； （3）解：将所求方程整理可得：， 令，则， 则方程的两根比的两个实数根大2， ∴的两个实数根分别是，． $