专题08 期中重难点7大压轴题型突破（期中专项训练）九年级数学上学期新教材青岛版

专题08 期中重难点压轴题 提升·进阶突破 题型1. 一元二次方程含参根的讨论 题型2. 一元二次方程利润最值应用 题型3. 动点相似存在性 题型4. 折叠中的相似与三角函数综合 题型5. 旋转背景下相似、三角函数综合 题型6. 线段最值（相似+三角函数） 题型7. 解直角三角形测高测距探究题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 一元二次方程含参根的讨论 【模型】判别式 + 根与系数关系分类模型。 【步骤】先算 Δ，再结合题意列不等式，检验参数范围。 【易错】忽略二次项系数不为 0。 1．已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 3．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 4．若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 5．已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 6．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 题型2 一元二次方程利润最值应用 【模型】单件利润 × 销量 = 总利润。 【步骤】设涨价 / 降价，表示单件利润和销量，列方程求最值。 【易错 忘记自变量要符合实际取值范围。 1．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 2．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 3．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 4．元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 5．根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 6．阅读与思考 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读并帮助小明解答小明父亲给的以下任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量（件） … 90 80 70 … （1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是 ； A．公理化思想    B．统计思想    C．函数思想    D．分类思想 任务二：请帮助小明解决相关的3个问题． 题型3动点相似存在性 【模型】动态对应相似分类模型。 【步骤】设动点时间，表示线段长，分对应顶点列比例式求解。 【易错】漏看相似对应关系，少一种情况。 1．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，在正方形中，E是的中点，M，N分别是和边上的动点，连接，，已知，当______时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 3．解决下列问题： (1)如图，，，是上一点，使得，若，，则_____； (2)如图，在和中，直角顶点重合于，，点在上，，且，连接，若，求的长； (3)四边形中，，，已知，，，在四边形内或边上存在一点，使得，连接，当最小时，是直线上的动点（不与点重合），作，连接，当最小时，求出此时的长． 4．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当_____时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 5． 如图①，在中，， ，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作，射线交边于点E，过点A作交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)当时（如图②），求的长； (3)点D在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 题型4 折叠中的相似与三角函数综合 【模型】折叠等角 + 等线段，搭配相似、直角三角。 【步骤】找折叠相等边角，设未知数，用勾股、相似、三角列式。 【易错】分不清折叠前后对应边、对应角。 1．如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点C落在点E处，交于点F，连接分别交于点O，交于点M，则_______． 2．如图，矩形中，，，点为边上一点，且．沿过点的直线折叠矩形，使点落在矩形的边上（点除外）．设直线与边所夹的锐角为，则的值为______． 3．综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 4．在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出； (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为______． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上．沿着直线折叠矩形，点，分别落在点，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，求折叠后重叠部分的面积． 5．综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明． 【问题解决】 （2）如图1，当，，时，连接，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？ 题型5 旋转背景下相似、三角函数综合 【模型】旋转等角造等角，构造相似三角形。 【步骤】利用旋转得等线段等角，证相似，转化边角用三角函数。 【易错】旋转角找错，混淆旋转前后图形位置。 1．如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 2．如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 3．【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，某综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形中，，，对角线相交于点O，垂直平分线段交于点M，交于点N，将绕点A旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上且，点F落在直线上，求的长． 4．在中，， ，将绕点按顺时针方向旋转得到． (1)如图1，当点落在边上时，若，则 ； (2)如图2，在旋转过程中，探究与的数量关系，说明理由； (3)如图3，在旋转过程中，当点在同一直线上时，连接，过点作，延长交线段于点，求的值． 5．综合与实践 已知在中，，平分交于点． (1)观察发现 如图①，当时，与的数量关系是__________； 如图②，当时，与的数量关系是__________； (2)问题解决 如图③，，，，求（用含，的代数式表示）． (3)拓展应用 在（2）的条件下，，将绕点旋转，点的对应点为点，连接，直接写出的长度（用含，的代数式表示）． 题型6线段最值（相似 + 三角函数） 【模型】胡不归 / 隐线段转化模型。 【步骤】利用相似转化线段，结合三角函数把斜线段转直，求最值。 【易错】不会转化目标线段，找不到定点定角。 1．如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    2．如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，点A在x 轴正半轴上．将中沿着直线平移得到，当最小时，和的重叠部分面积是___________． 3．小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1)请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是________； 【问题探究】 (3)如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4)如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 4．如图是某款风筝的骨架示意图，测得，求该风筝的最大翼展，即求点B到点C的距离．（结果取整数．参考数据：．） 题型7 解直角三角形测高测距探究题 【模型】依托水平线构造直角三角形模型。 【步骤】设作垂线构造 Rt△，用三角函数表示边长，建立方程求解。 【易错】仰角俯角看错，对边邻边分辨错误。 1．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 2．某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 3．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 4．项目学习 项目背景：某综合数学小组在校外开展了测量某桥外侧拱顶离水面高度的实践活动，活动报告如下． 活动主题 测量桥外侧拱顶离水面的高度 工具准备 测角仪，皮尺 活动过程 1.如图，拱顶离水面的高度为EF，A，B是水平地面上的两点． 2.水平地面与水面之间的距离为点A（或点B）到水面FG的距离，AC（或BD）为测角仪的高度． 3.用测角仪测得从顶点C看拱顶E的仰角为∠ECH，用测角仪测得从顶点D看拱顶E的仰角为∠EDH． 4.点C，D，H在同一条直线上． 实物图及测量示意图 测量数据 点A到水面FG的距离为2米，AC＝BD＝1.5米，∠ECH＝40°，∠EDH＝30°，AB＝10.8米． 备注 1.图中所有的点都在同一平面内． 2.CDAB，CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥FG，DH⊥EF． 3.结果精确到0.1米．参考数据；sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，． 请你根据以上活动过程和测量的数据，求拱顶E到水面的距离EF． 5．威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)求空调安装的最低高度．（结果精确到） (2)为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） $专题08 期中重难点压轴题 提升·进阶突破 题型1. 一元二次方程含参根的讨论 题型2. 一元二次方程利润最值应用 题型3. 动点相似存在性 题型4. 折叠中的相似与三角函数综合 题型5. 旋转背景下相似、三角函数综合 题型6. 线段最值（相似+三角函数） 题型7. 解直角三角形测高测距探究题 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 提升·进阶突破 题型1 一元二次方程含参根的讨论 【模型】判别式 + 根与系数关系分类模型。 【步骤】先算 Δ，再结合题意列不等式，检验参数范围。 【易错】忽略二次项系数不为 0。 1．已知关于的方程的解都是整数，则符合条件的整数的个数为（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】分一元一次、一元二次方程两种情况，结合整数解条件利用约数性质求解. 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，方程为一元一次方程， 解得或， 时，方程化为，解得，为整数，符合条件； 时，方程化为，解得，为整数，符合条件. ②当时，方程为一元二次方程， 因式分解得， 解得，， 方程的解均为整数，为整数， 是4的整数约数，即， 对应， 结合，代入验证： 时，，非整数，排除； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件； 时，，非整数，排除； 时，，为整数，符合条件. 综上所述，符合条件的整数共个. 2．设二次方程有两个不相等的实数根，其中、都是素数，那么它的根一定是（     ） A．奇数 B．偶数 C．分数 D．无理数 【答案】D 【分析】先计算一元二次方程的判别式，结合p、q为素数，利用因式分解，通过奇偶性反证根号内的数不能为完全平方数，判断根为无理数． 【详解】解：对于方程， 判别式， 求根公式， ∵方程有两个不相等的实数根，假设是整数， ∴设为（k为整数且）， 则， ， ∵，p、q是素数，，， ∴2q只能分解为或， 情况1：， 若或，均推得，与矛盾； 若p、q为奇素数，由①得k为奇数，则为偶数，②式不成立． ∴情况1不成立． 情况2：， 两式相加得 左边2p是偶数，右边是奇数，等式不成立． 因此不是整数，方程的根一定是无理数． 3．等腰三角形的一边长是4，方程的两个根是三角形的两边长，则为_______． 【答案】或 【分析】当底边长为4时，则腰长为方程的两个根，利用判别式得到m的值,再求出方程的解，然后运用三角形的三边关系加以判断即可；当腰长为4，则将代入方程求解，然后根据三角形三边的关系加以判断即可． 【详解】解：∵方程， ∴方程， 当底边长为4时，则腰长为方程的两个根， ∴，解得； 方程可化为，解得， ∵， ∴4、3、3符合三角形三边的关系． 当腰长为4，则为方程的一个根， ∴，解得， 方程可化为，解得， ∵， ∴2、4、4符合三角形三边的关系． 综上，m的值为或． 4．若关于x的两个不同的方程，有且只有一个公共解，则m的值是______． 【答案】 【分析】设两个方程的公共解，代入两个方程联立消元，整理得到关系式，分情况讨论排除不符合条件的结果，即可得到的值． 【详解】解：设两个方程的公共解为，将代入两个方程得： ， 得： 整理得： 因式分解得： 或 当时，两个方程都为，两个方程相同，有两个公共解，不符合题意，舍去； 当时，把代入得： 计算得：，解得 解方程，得，， 解方程，得，， 验证得此时两个方程只有一个公共解，符合题意，因此的值为． 5．已知关于x的一元二次方程：①和②各有两个不相等的实数根，其中m为不等于0的实数． (1)若是方程①的一个根，求m的值； (2)若方程①与方程②有唯一公共解，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，两个方程除去公共解后的两根分别记为，．以，为根构造一元二次方程，求证：． 【答案】(1) ； (2) 为不等于的实数； (3) 证明：∵两方程的唯一公共解为，方程①的非公共根为，方程②的非公共根为. ∴方程①中，得， 方程②中，得； ，是方程的两根， ，， 即，. 将代入得： ， 上式 假设，则， 即， 去分母得， ， 该方程无实数根，即不存在实数使得， ， ． 【分析】（1）将代入方程①，解关于的一元一次方程即可； （2）联立两方程消去二次项，结合唯一公共解的条件与两方程有两个不等实根的要求，确定的取值范围； （3）利用根与系数的关系得到非公共根的表达式，结合新方程的根与系数关系化简待证式，通过判别式证明不等式． 【详解】（1）解：是方程①的根， ， 即， 解得； （2）解：设两方程的公共解为，则： ①， ②， ①② 得：， 分两种情况： 当，即时，解得，即两方程有唯一公共解，符合题意； 当，即， 当时，方程①为，解得， 方程②为，解得， 此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 同理，可解得当时，此时两方程同解，有两个公共解，不符合题意，舍去； 两方程均为一元二次方程且各有两个不相等的实数根， ，，即， ，即， 综上所述，为不等于的实数． （3）略 6．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根； (2)若一元二次方程满足，求k的值． 【答案】(1) 证明：当时，即，此时方程化为， 解得； 当时，即， ， 方程有两个实数根， 综上可知：无论取何值，此方程总有实数根； (2)或 【分析】（1）讨论：当时，方程化为，解得；当时，即，计算根的判别式的值得到，则，则方程有两个实数根，从而可判断无论取何值，此方程总有实数根； （2）利用求根公式解方程得到，，再利用得到，然后解方程和方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ，， ， ， 当，解得， 经检验为原方程的解， 当，解得， 经检验为原方程的解， 综上所述，的值为或． 题型2 一元二次方程利润最值应用 【模型】单件利润 × 销量 = 总利润。 【步骤】设涨价 / 降价，表示单件利润和销量，列方程求最值。 【易错 忘记自变量要符合实际取值范围。 1．小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为16元，当每件销售价格定为18元时，每天可以销售200件．市场调查反映：每件销售价格每提高1元，日销量将会减少10件．物价部门规定：每件销售价格不能超过25元，设该纪念品的每件销售价格为x（元），日销量为y（件），日销售利润为w（元）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)要使日销售利润为720元，每件销售价格应定为多少元？ (3)求日销售利润w（元）与每件销售价格x（元）之间的函数关系式，当x为何值时，日销售利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)（） (2)每件销售价格应定为20元 (3)函数关系式为（）；当时，日销售利润最大，最大利润为1170元 【分析】（1）根据日销量随售价的变化规律列等式，化简得到一次函数关系式； （2）根据日销售利润的计算方法列一元二次方程，结合售价上限筛选符合条件的解； （3）先推导利润关于售价的二次函数关系式，再结合二次函数的增减性与自变量取值范围求最大值． 【详解】（1）解：， 由题意知，每件销售价格不低于18元，不超过25元， ， （）； （2）解：由题意知，， 整理得， 解得，， ， ，即每件销售价格应定为20元； （3）解：由题意知，， 整理得，， 二次项系数，， 时，取最大值，最大值为：， 即时，日销售利润最大，最大利润为1170元． 2．根据以下素材，探索完成任务． 13度的甜，14度的鲜，夏季的兰溪杨梅，不仅是自然的馈赠，更是交织成初夏最让人心动的味道，但由于“泡药风波”，使得杨梅的销售较往年增加了一些难度，为了促进销售，某农户决定采取网上和实体店同步销售，请你帮助一起设计兰溪杨梅的销售方案． 素材1 某农户在网上和实体店同时销售兰溪杨梅（以下简称杨梅），成本价为20元/千克． 素材2 杨梅的网上销售价定为30元/千克时，当天网上销售量是100千克，实体店的销售价定为40元/千克时，当天实体店销售量是50千克．一天内实体店的销售价保持不变，网上销售价可按实际情况进行适当调整，需确保网上销售价始终高于成本价． 素材3 据调查，网上销售价每降低1元，当天网上多售出20千克，实体店少售出2千克． 问题解决： (1)任务1：当杨梅网上销售价为25元/千克时，求农户在网上销售杨梅当天的毛利润（毛利润=销售总额-成本）与实体店销售该杨梅当天的毛利润各是多少元？ (2)任务2：杨梅的网上单价每千克降多少元时，农户一天的总毛利润（总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）为2040元？ (3)任务3：你觉得该农户一天的总毛利润能否达到3000元，若能，请求出杨梅的网上单价是每千克多少元？若不能，请说明理由． 【答案】(1)网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元 (2)网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元 (3)不能，理由： 设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元， 根据任务2的计算可得： 整理得： 可得： 由根的判别式得方程无解 所以该农户一天的总毛利润不能达到3000元． 【分析】（1）根据毛利润单件毛利润销售数量求解即可； （2）设网店售价每千克降低元，分别求得网店毛利润和实体店毛利润，根据题意列方程，解方程，即可求解． （3）设网店售价每千克降低元，假设总毛利润能达到3000元，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）当网店售价为25元时，相比初始价30元降低了元． 网店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 网店毛利润（元） 实体店情况：销量（千克） 单件毛利润（元/千克） 实体店毛利润（元） 答：网店毛利润为1000元，实体店毛利润为800元． （2）解：设网店售价每千克降低元， 则网店毛利润； 实体店毛利润 根据题意列方程： 化简可得： ∴ 解得：， 答：网店单价每千克降低1元或2元时，总毛利润为2040元． （3）略 3．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1) 一次， (2) 日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3) 45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 4．元宵前夕，某饰品厂设计了一款成本元/件的装饰品，准备投放市场试销．经过市场调研后发现，该饰品每天的销售量（件）与销售单价（元/件）之间的关系可近似的看作一次函数：，（利润销售总价成本总价）． (1)如果该厂想要每天获得元的利润，那么销售单价应定为多少元/件？ (2)当销售单价定为多少时，该厂销售此装饰品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ (3)现饰品厂决定做促销活动：每卖出一件产品，送价值元的配套展示盒一个．当装饰品销售定价不低于元且不高于元时每日销售利润的最小值为元，则______． 【答案】(1)元/件或元/件 (2)当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元 (3) 【分析】（1）根据每天获得元的利润，可列方程，解方程即可求出销售单价； （2）设每天的销售利润为元，，根据二次函数的性质要知当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）当或时，销售利润均为元，销售单价为时的销量小于销售单价为元时的销量，当时，需要赠送的展示盒多，所以当时销售利润最小，列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 整理得：， 分解因式可得：， 解得：，， 答：当销售单价为元/件或元/件时，每天获得元的利润； （2）解：设每天的销售利润为元， 根据题意可得：， 整理得：， 当销售单价为元/件时，销售利润最大，最大利润为元； （3）解：根据题意可得：当或时， 可得：， 一次函数中， 随的增大而减小， 当时，最大，即最小， 根据题意可得：， 解得：． 5．根据背景素材，探索解决问题． 背景 某公司的一种商品，每件成本为50元．经市场调研，售价为60元时，可销售800件；售价每提高1元，销售量将减少20件，设商品的售价为x（，且x为整数）元． 问题解决 任务1 当元时，该种商品的销售量为 件． 任务2 公司销售这批商品获利12000元时，这种商品每件售价是多少？ 任务3 当售价为多少时，销售这种商品的利润最大？最大利润是多少？ 任务4 若该种商品的销售得到当地政府的支持，公司每销售一件商品政府补贴给公司n元（n为正整数）．公司发现当售价为70时，利润最大，则n为 ． （利润销售利润补贴） 【答案】任务1：600；任务2：70或80元；任务3：售价为75元，有最大值，最大值为12500元；任务4：10 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，二次函数的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，求得二次函数解析式，并利用二次函数的性质得出最值． 任务1：根据题意列式计算即可； 任务2：设这种商品每件售价是元，根据等量关系“利润（售价进价） 销量”列出一元二次方程，解之可得． 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元，根据与任务2中相同的关系列出函数关系式，配方后依据二次函数的性质求得利润最大值． 任务4：根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】任务1：当元时，该种商品的销售量为件， 故答案为：600； 任务2：设这种商品每件售价是元， 根据题意，得， 解方程得：或， 即当每件的销售价为70或80元时，销售该商品每天能获得利润12000元； 任务3：设当售价为元时，该商店销售这种商品每天获得的利润为元， 由题意得： ∵，， ∴该函数图象为开口向下的抛物线，在对称轴处取得最大值， ∴每件销售价为75元时，获得最大利润；最大利润为12500元． 任务4：根据题意可得此时 ， ∵当销售价为70元时，利润最大， ∴， 解得：， 故答案为：10． 6．阅读与思考 下面是小明在数学笔记本上记录的父亲工厂里实际出现过的一个问题，请认真阅读并帮助小明解答小明父亲给的以下任务： 小明父亲的工厂里加工一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，售价不得低于成本价且利润率不高于，销售一段时间后市场调研发现，每天的销售数量（件）与销售单价（元/件）满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量（件） … 90 80 70 … （1）直接写出与的函数关系式，并写出自变量取值范围； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ （3）若每天销售所得利润为1200元，那么销售单价应定为多少元？ 任务一：要解决小明父亲提出的问题，主要运用的数学思想是 ； A．公理化思想    B．统计思想    C．函数思想    D．分类思想 任务二：请帮助小明解决相关的3个问题． 【答案】任务一：C； 任务二：（1）； （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元； （3）销售单价应定为50元． 【分析】任务一：主要运用了函数的思想； 任务二： （1）运用待定系数法求解，设一次函数关系式为，代入两组对应数据，利用二元一次方程组即可求解； （2）由题意列出二次函数关系式，利用二次函数的最大值即可求解； （3）由题意列出相应的一元二次方程即可求解． 【详解】解：任务一：题目中建立了销售量和价格的函数关系，用二次函数求最值，运用了函数思想． 故选：C． 任务二： （1）∵与满足一次函数关系， ∴设函数关系式为， 把，和，代入得，， 解得， ∴函数关系式为， ∵售价不得低于成本价且利润率不高于， ∴，即， ∴函数关系式为 （2）设利润为， 由题意得：， ∵， ∴二次函数有最大值， ∵，二次函数的对称轴为， ∴当时，有最大值，最大值为． ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润为1248元． （3）由题意得：， 解得，， ∵， ∴． 答：销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的建立，二次函数的应用，一元二次方程的应用，结合实际问题确定自变量的取值范围；熟练运用待定系数法求一次函数关系式；利用二次函数的最大值求利润最大值；列一元二次方程求销售单价是本题解题的关键． 题型3动点相似存在性 【模型】动态对应相似分类模型。 【步骤】设动点时间，表示线段长，分对应顶点列比例式求解。 【易错】漏看相似对应关系，少一种情况。 1．如图，正方形的边长为6，点，分别在边，上，且，平分，连接，分别交，于点，，是线段上的一个动点，过点作垂足为，连接，有下列四个结论：①垂直平分；②的最小值为；③；④．其中正确的个数（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先证明，得出，再证明，得出，结合，得出垂直平分，即可判断①正确；由①得，则关于直线的对称点为，连接，过点作，交于点，交于点，由对称的性质得，则，当、、三点共线时，的值最小，为的长，由正方形的性质并结合勾股定理计算即可判断②正确；由①可得，，则，结合相似三角形的性质即可判断③正确；由三角形的面积公式计算即可判断④错误． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分，故①正确； ②由①得， ∴关于直线的对称点为， 如图，连接，过点作，交于点，交于点， 由对称的性质得， ∴， ∴当、、三点共线时，的值最小，为的长， ∵四边形为正方形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即的最小值为，故②正确； ③由①可得，， ∴， ∴， ∴， 由①可得， ∴，故③正确； ④∵四边形为正方形，且边长为， ∴， 在中，， 由①可得， ∴， ∴， ∵的边和的边上的高相等， ∴设的边和的边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共个． 2．如图，在正方形中，E是的中点，M，N分别是和边上的动点，连接，，已知，当______时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 【答案】2或1 【分析】与以M，N，D为顶点的三角形相似，分两种情况讨论：①与是对应边时，②与是对应边时，结合勾股定理即可求解． 【详解】解：是的中点，， ． 又与以M，N，D为顶点的三角形相似： ①与是对应边时，， ，即，解得（负值舍去）； ②与是对应边时，， ，即，解得． 综上所述，当为2或1时，与以M，N，D为顶点的三角形相似． 3．解决下列问题： (1)如图，，，是上一点，使得，若，，则_____； (2)如图，在和中，直角顶点重合于，，点在上，，且，连接，若，求的长； (3)四边形中，，，已知，，，在四边形内或边上存在一点，使得，连接，当最小时，是直线上的动点（不与点重合），作，连接，当最小时，求出此时的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）证明，得到，再利用勾股定理求出及，进而代入计算即可； （）证明，得到，即得，进而可证，得到，设，，得，再代入比例式解答即可； （）由已知可得，即得，设底边的高为，利用三角形面积公式得，即得到点在距离为的直线上运动，当最小时，点在上，此时，，过点作于点，设，由得，，即得，，得到，进而得，在上取，由可得点在线段上运动，当时，取最小值，再利用三角形的面积公式和勾股定理分别求出即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵，， ∴，   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， 在中，由勾股定理得：， 又∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形中，，， ∴四边形是直角梯形，， ∴， ∵， ∴， 设底边的高为，则， 解得， ∴点在距离为的直线上运动，如图， 当最小时，点在上，此时，， 过点作于点，设， ∵， ∴，， ∵， ∴同理（）可得， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在上取，则，， ∵， ∴点在线段上运动， 当时，取最小值， 此时，， 即， 解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 4．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当_____时，四边形为平行四边形； (2)将沿翻折，得到，在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)在运动过程中，是否存在某一时刻，使四边形的面积等于面积的倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）由，，可知，从而得，根据四边形为平行四边形知，据此列出方程求解可得； （2）由沿翻折得，知，据此得时有四边形为菱形，从而列出关于的方程，解之可得； （3）由可得，利用得到与之间的关系式； （4）将四边形和三角形的面积表示出来，使，解一元二次方程求出的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，解得， ∴当时，四边形为平行四边形； （2）解：如图，连接， ∵将沿翻折得， ∵，， ∴当时有四边形为菱形， ∴，解得， ∴存在，当时，使四边形为菱形． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （4）解：， 当时，即， ∴， 解得，（不合题意，故舍去） ∴存在，秒时，四边形的面积等于面积的倍． 5． 如图①，在中，， ，点D为边上的动点（点D不与点B，C重合），以D为顶点作，射线交边于点E，过点A作交射线于点F，连接． (1)求证：； (2)当时（如图②），求的长； (3)点D在边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）根据等边对等角得到，再由三角形外角的性质可证明，据此可证明； （2）解直角三角形求出的长，证明，推出，得到，由，得到，即可求出； （3）过点作于点，过点作于点，于点，则四边形为矩形，可得，．证明得到，推出，得到，再利用等腰三角形的性质求出的长即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ，， ． ． （2）解：如图所示，过点作于点． 在中，设，则， 由勾股定理，得， ， 或（舍去）， ，， ， 又，， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ． （3）解：点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，理由如下： 过点作于点，过点作于点，于点， 则， 四边形为矩形， ，． ，， ， 在中，由勾股定理，得， ，， ， ， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， 又， ， ， ∴点在边上运动的过程中，存在某个位置，使得，此时． 题型4 折叠中的相似与三角函数综合 【模型】折叠等角 + 等线段，搭配相似、直角三角。 【步骤】找折叠相等边角，设未知数，用勾股、相似、三角列式。 【易错】分不清折叠前后对应边、对应角。 1．如图，在矩形纸片中，，，把纸片沿对角线向上折叠，顶点C落在点E处，交于点F，连接分别交于点O，交于点M，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 证明≌，根据勾股定理求出和，，可求出，证明∽，即可求解． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，，， 在和中， ， ∴≌， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 即，， ， 在中，， 折叠后，，， 在中，， ， ∴， ∴， 在中，， ， 解得：， ∵， ∴， 又∵， ∴∽， ∴， ∴． 2．如图，矩形中，，，点为边上一点，且．沿过点的直线折叠矩形，使点落在矩形的边上（点除外）．设直线与边所夹的锐角为，则的值为______． 【答案】或或 【分析】分三种情况讨论：直线l与相交（设交点为O），点落在上；直线l与相交（设交点为O），点落在上；直线l与相交（设交点为O），点落在上，根据折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质以及正切的定义等求解即可． 【详解】解：设点A的对应点为 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过E作于F， 则四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴，， 又， ∴， ∴，即， 解得， ∴； 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过E作于F，过O作于G， 由折叠知， 同理可求，，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴； 当直线l与相交（设交点为O），点落在上，过O作于G， 由题意可求， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 又， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上，的值为或或． 3．综合与实践 折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘． 【折纸探究】 如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______； 折叠一：小明发现，当点F和点B重合时，连接，如图2，则有，请说明理由； 折叠二：如图3，若矩形是一张纸（），探究、和三者之间的数量关系，并说明理由； 【解决问题】 小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．如图4，在矩形纸片中，点E、F分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有k的代数式表示） 【答案】【折纸探究】； 折叠一： 理由：连，交于点． ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 折叠二：， 理由：过点作，垂足为，连接，交于点，连接． ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点和点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：． 【解决问题】 【分析】解：折纸探究：由折叠的性质可得；折叠一：可证明，得结论；折叠二：过点作，垂足为，连接，交于点，连接，证明，得，从而求出、和的关系；解决问题：延长到点，使得，连接，交于点，连接．易证，可转化为“折叠二”问题，得，把代入， 得 【详解】解：折纸探究：根据轴对称的性质得出， 折叠一：略 折叠二：略 解决问题： 延长到点，使得，连接，交于点，连接． ∵平分， ∴， ∴， 转化为“折叠二”问题， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定以及性质，三角函数的定义，关键是作适当的辅助线构造相似三角形． 4．在一次数学研究性学习中，小明发现：如图1，在正方形中，点，分别在边，上，于点，点，分别在边，上，，通过证明，再证四边形为平行四边形，从而证出； (1)【学以致用】：如图2，正方形纸片的边长为12，是边上一点，连接，折叠该纸片，使点落在上的点，并使折痕经过点，折痕与交于点，点在上，若，则的长为______． (2)【类比探究】：如图3，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，得到四边形，交于点，连接交于点，试探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图4，在矩形中，，，点，分别在边，上．沿着直线折叠矩形，点，分别落在点，处，且点在线段上（不与两端点重合），过点作于点，连接交于点．若，求折叠后重叠部分的面积． 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，过作，而矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由对折可得：， ∴， 同理可得：，， ∴， ∴， ∵，， ∴； ∴； (3) 【分析】（1）由对折可得：，，，证明，可得，，再利用等面积法可得结论； （2）如图，过作，而矩形，证明四边形为平行四边形，可得，由对折可得：，可得，证明，再利用相似三角形的性质可得结论； （3）求解，，由折叠可设，则，可得，可得，，证明，，可得，，如图，连接，记的交点为，，结合折叠可得：，求解，再利用面积公式可得答案. 【详解】（1）解：由对折可得：，，， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 （3）解：∵矩形， ∴，，， ∵， ∴，， 由折叠可设，则， ∴， 解得：， ∴，， 由折叠可得：，， 由（2）的结论同理可得：，， ， ∴， ， 如图，连接，记的交点为， ∵，，， ∴， 结合折叠可得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴折叠后重叠部分的面积为. 【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，熟练的利用轴对称的性质解题是根据. 5．综合与实践 【问题情境】 如图1，小华将矩形纸片先沿对角线折叠，展开后再折叠，使点B落在对角线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F． 【活动猜想】 （1）如图2，当点与点D重合时，四边形是哪种特殊的四边形？并给予证明． 【问题解决】 （2）如图1，当，，时，连接，则的长为______． 【深入探究】 （3）如图3，请直接写出与满足什么关系时，始终有与对角线平行？ 【答案】（1）当点与点重合时，四边形是菱形，证明如下： 设与交于点，如图， 由折叠得：，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是菱形． （2）4； （3）当时，始终有与对角线平行 【分析】（1）由折叠可得：，，再证得，可得，利用菱形的判定定理即可得出答案； （2）设与交于点，过点作于，利用勾股定理可得，再证明，可求得，进而可得，再由，可求得，，，运用勾股定理可得； （3）设，则，利用折叠的性质和平行线性质可得：，再运用三角形内角和定理即可求得，利用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）略 （2）四边形是矩形，，，， ，，， ，， 如图，设与交于点，过点作于， 由折叠得：，，，   ， ， ， ，即， ， ， ，， ， ，即， ，， ， ； （3）当时，始终有与对角线平行． 理由：如图，设、交于点，   四边形是矩形， ，， ， 设，则， 由折叠得：，， ，， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ； ∴当时，始终有与对角线平行． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，直角三角形性质，等腰三角形性质，平行线性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，涉及知识点多，综合性强，难度较大，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 题型5 旋转背景下相似、三角函数综合 【模型】旋转等角造等角，构造相似三角形。 【步骤】利用旋转得等线段等角，证相似，转化边角用三角函数。 【易错】旋转角找错，混淆旋转前后图形位置。 1．如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm． 【答案】 4 【分析】如图2，延长，则过点，由三角形中位线定理可得的长度，如图3，过点作于，可得，在中，，知，故，可得，，由，得，即可得压杆到底座的距离为． 【详解】解：如图2，延长，则过点， 四边形是矩形， ，即， 是中点， 是的中位线， ， 如图3，过点作于， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ，即， ， 解得， ， ，， ， ，即， 解得， 压杆到底座的距离为， 故答案为：4，． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 2．如图，在中，，将绕点旋转，的对应点为点，连接交边于点．如果，那么的长为_______． 【答案】或 【分析】分类讨论，构造，进而根据勾股定理得到的长度，即可求出结果． 本题考查了三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , 由题可得： 过点作,过点作, ∵， ∴， ， , , , ∵， , , ,, , ． 故答案为：或． 3．【综合与实践】 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，某综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 【特例研究】在正方形中，相交于点O． (1)如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为_________，k的值为_________； (2)如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为，并放大得到（点O、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上，点F落在线段上，求的值； 【延伸拓展】 (3)如图3，在菱形中，，，对角线相交于点O，垂直平分线段交于点M，交于点N，将绕点A旋转并放缩得到（点M、B的对应点分别为点E、F），使得点E落在线段上且，点F落在直线上，求的长． 【答案】(1)， (2) (3)3 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，由勾股定理解得，进而获得答案； （2）由题意可知，，由相似三角形的性质可得，进而可得，可证明，易得，利用三角函数确定，即可获得答案； （3）根据题意作出，过点交于点H，结合菱形的性质易得为等边三角形，进而解得，，的长度；在中，由勾股定理解得，再根据垂直平分线的性质可得，进而可得；在中，根据垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理解得，的长度；由（2）可知，进而解得，在中，由勾股定理解得的长度，然后由求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴旋转角为，； （2）解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：根据题意作出，如下图，过点作交于点H， ∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知，， ∴，即，解得， 在中，， ∴． 4．在中，， ，将绕点按顺时针方向旋转得到． (1)如图1，当点落在边上时，若，则 ； (2)如图2，在旋转过程中，探究与的数量关系，说明理由； (3)如图3，在旋转过程中，当点在同一直线上时，连接，过点作，延长交线段于点，求的值． 【答案】(1) (2) 解：绕点按顺时针方向旋转得到， ． 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和含直角三角形的性质，推出和为等边三角形，从而证明，利用所对的直角边是斜边的一半求出长度，结合勾股定理即可求出长度，进而知道长度． （2）根据旋转的性质和特殊角的正切值，可推出，通过等量转化和两个线段比值相等以及夹角也相等证明，利用相似比值相等即可求出和的数量关系． （3）利用直角三角形的性质，通过角度和是，进行等量转化推出，结合两个角相等的三角形相似证明，根据的比值，可求出和的关系，根据旋转的性质和特殊角的正切值可求出和的关系，从而推出和的数量关系，然后再利用对顶角相等和的直角证明，利用相似线段比值相等即可求出的值． 【详解】（1）解：在中，， ， ． 绕点按顺时针方向旋转得到， ． ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形． ． ，在中，， ， ， ， ， ． （2）解：略． （3）解：过点作，交的延长线于点， ，， ， ， ，， ， ， ， 由（2）可知， ， ． 旋转，且， ， 在中，， ， ， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、特殊角的正切值，解题的关键在于巧妙运用的比值，通过两次三角形相似转化所求线段比值以及作出正确的辅助线． 5．综合与实践 已知在中，，平分交于点． (1)观察发现 如图①，当时，与的数量关系是__________； 如图②，当时，与的数量关系是__________； (2)问题解决 如图③，，，，求（用含，的代数式表示）． (3)拓展应用 在（2）的条件下，，将绕点旋转，点的对应点为点，连接，直接写出的长度（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) (3)的长度为m或 【分析】（1）当时，过点作于点，可得，由平分，可得，可得，即可得结论；当时，可得，由平分，可得，在中，可得，即可得结论； （2）过点作于点，先证明，可得，由平分，可得，则，即可求解； （3）分顺时针、逆时针旋转两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：当时，如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴在中，． （3）解：如图，当绕点顺时针旋转得到时， 由旋转可得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 如图，当绕点顺时针旋转得到时， 由旋转可得，，，，， 同理可得四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴在中，； 综上所述，的长度为或． 题型6线段最值（相似 + 三角函数） 【模型】胡不归 / 隐线段转化模型。 【步骤】利用相似转化线段，结合三角函数把斜线段转直，求最值。 【易错】不会转化目标线段，找不到定点定角。 1．如图，矩形中，，．点E在线段上由D向A方向匀速运动，点F在线段上由B向C方向匀速运动．点E与点F同时开始运动，点F的运动速度为点E运动速度的3倍．当点F到达C点时，点E也停止运动．将矩形沿翻折，点C、点D的对应点分别为点P、点Q，连接．在运动过程中，当最小时，的值为__________．    【答案】 【分析】本题考查矩形翻折问题中的动点轨迹与最值问题．解题的关键在于利用相似三角形发现折痕与对角线的交点为定点，进而利用翻折的对称性得出点在以为圆心的定圆上运动，最后利用圆外一点到圆上点的距离最值求解． 【详解】解：设， ∵ 点的运动速度为点运动速度的倍， ∴ ， ∵ 四边形为矩形， ∴ ， 设 直线与交于点，连接， ∴ ， ∴ ， ∴ 点为上的定点，且， ∵ 矩形沿翻折，点的对应点为点， ∴垂直平分， ∵ 点在上， ∴ ， ∴ 点在以为圆心、为半径的定圆上运动， ∵为定点到定点的距离， ∴ 当点落在线段上时，最小，此时、、三点共线， ∴ ， 过点作于点，于点， ∵ 在上，， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 在中，， ∴ ， ∴ ．    2．如图，已知在平面直角坐标系中，点B的坐标是，，点A在x 轴正半轴上．将中沿着直线平移得到，当最小时，和的重叠部分面积是___________． 【答案】 【分析】过点O作的平行线l，分别作B，关于l的对称点C，，由轴对称的性质得当点，O，共线时， 的值最下，即最小．连接，作于H，则，求出点C的坐标．设，由平移的性质得，然后利用求出a的值即可求解． 【详解】∵点B的坐标是，， ∴，，． 过点O作的平行线l，分别作B，关于l的对称点C，， ∴，， ∴， ∵， ∴当点，O，共线时， 的值最下，即最小． 连接，作于H，则． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 作于点E，作于点F， 设，则， ∴可看作由先向左移动了a个单位，再向上移动了个单位得到的， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，， ∴， 即当最小时，和的重叠部分面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查图形的平移，两点之间线段最短，轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理，以及相似三角形的判定与性质等知识点，解题的关键是判断出取最小值时点的位置． 3．小红学习了最短路径的知识后，对图形的变化探究如下： 【动手操作】如图①，在直线的两侧有两点，，小红要在直线上确定一点，使最短． (1)请帮小红确定点的位置，并画出图形； (2)解决该问题的依据是________； 【问题探究】 (3)如图②，在四边形中，点是边的中点，点是对角线上一个动点，连接，，，，当的值最小时，求线段的长； 【拓展延伸】 (4)如图③，在四边形中，，，，垂足为，，，，若点是线段垂直平分线上的一个动点，连接，．确定点的位置使周长最小，并求出该周长的最小值． 【答案】(1)如图①，点即为所求； (2)两点之间线段最短 (3)1 (4) 【分析】（1）连接与直线的交点即为点； （2）依据为两点之间线段最短； （3）过点作的对称点，交于点，连接，交于点，则，故当点与点重合时，取得最小值，如图，连接，然后证明，再解即可； （4）过点作于点，过点作交的延长线于点，先判断点在直线上，连接，确定周长的最小值为，先证明，再利用求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过点作的对称点，交于点，连接，交于点， ∴，， ∴， ∴当点与点重合时，取得最小值，如图，连接， ∵，点为中点，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴垂直平分， ∴点在直线上， 连接， ∴， ∴， ∴当点在上时，取得最小值即为， ∵，不变， ∴周长的最小值为， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得（舍负）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴周长的最小值． 4．如图是某款风筝的骨架示意图，测得，求该风筝的最大翼展，即求点B到点C的距离．（结果取整数．参考数据：．） 【答案】82. 【分析】根据题干得，△ADE∽△ABC,利用三角函数解出BF的值，再得出BC的值即可． 【详解】解：连接BC, ∵AB=AC,AD=AE ∴ ∴DE∥BC 根据题干得，△ADE∽△ABC,且∠DAE=∠BAC， 又AF⊥DE, ∴AF⊥BC,且AF平分DE ∴BF=BC, 又∵∠BAC=110°， ∴∠BAF=∠BAC=55°， ∴sin55° ∵BF=ABsin55° =40.95, ∴BC=2BF=240.95=81.9cm ∵结果取整数结果取整数， ∴BC取82， 答：该风筝的最大翼展是82cm． ． 【点睛】本题考查了三角形相似和三角函数，掌握三角函数是解题的关键． 题型7 解直角三角形测高测距探究题 【模型】依托水平线构造直角三角形模型。 【步骤】设作垂线构造 Rt△，用三角函数表示边长，建立方程求解。 【易错】仰角俯角看错，对边邻边分辨错误。 1．如图①，、是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为，铁塔顶端C的仰角为，沿着向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为．已知，点E、B、D构成的中，． (1)图②是图①中的一部分，求铁塔的高度； (2)小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔的高度，那么可以测量的角是 ，若将这个角记为α，则铁塔的高度是 ；（用含的式子表示） (3)小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔的高度，那么可以测量的线段是 ．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：，，，，，，，，） 【答案】(1)米 (2)， (3)或点F到的距离 【分析】（1）解直角三角形表示出，，然后根据求解即可； （2）可以测量的角是，求出，然后解直角三角形表示出，最后在中，由正切可求； （3）测得长度或点F到的距离，利用解直角三角形和勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴米； （2）解：可以测量的角是， ∵米； ∴（米）， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， ∴； （3）解：在点F处再测量长度或F到的距离，通过计算也可求出铁塔的高度， ①测得，如图， 在中，，（米）， ∴利用勾股定理可得，， 在中，米， ∴利用勾股定理可得，， ∴在中，； ②测得F到的距离为n，如图，过点F作于点G，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 2．某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图    请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】塔高约 【分析】延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：塔的高度约为． 3．图1是一座钢结构的多功能综合电视塔，某校数学兴趣小组计划在综合实践活动课中测量此电视塔的高度，测量方案如下： 课题 测量电视塔的高度 测量工具 卷尺、自制测角仪、计算器等 自制测角仪的使用方法 小组成员利用量角器和铅锤自制简易测角仪，如图2，在P点观察所测物体最高点Q，使视线沿着量角器的直径MN刚好到达点Q，测得视线与铅垂线所夹的锐角为．    模型抽象与测量过程 如图3，电视塔坐落于矩形高台上，小组成员在水平地面上的点D处，用自制测角仪测得的度数，再继续向前走到点G处，沿台阶GC上到平台上，在点C处测得的度数，点A，B，C，D，E，F，G均在同一竖直平面内，点E，F，G，D在同一条水平直线上．（测角仪离地面的高度忽略不计）    测量数据 的度数 的度数 的度数 的长度 的长度 参考数据 ，，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果精确到）： (1)求台阶的水平宽度； (2)求该电视塔的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，由的余弦值即可求解； （2）设，根据的正切值可表示的长度，由此可得的长度，再根据的长度与的长度可知的长度，再结合的正切值求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，， 可得， 答：台阶的水平宽度的长度为； （2）解：设， 在中，， ∴， 在中，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 即， 则有，解得， 即， 答：电视塔的高度为． 4．项目学习 项目背景：某综合数学小组在校外开展了测量某桥外侧拱顶离水面高度的实践活动，活动报告如下． 活动主题 测量桥外侧拱顶离水面的高度 工具准备 测角仪，皮尺 活动过程 1.如图，拱顶离水面的高度为EF，A，B是水平地面上的两点． 2.水平地面与水面之间的距离为点A（或点B）到水面FG的距离，AC（或BD）为测角仪的高度． 3.用测角仪测得从顶点C看拱顶E的仰角为∠ECH，用测角仪测得从顶点D看拱顶E的仰角为∠EDH． 4.点C，D，H在同一条直线上． 实物图及测量示意图 测量数据 点A到水面FG的距离为2米，AC＝BD＝1.5米，∠ECH＝40°，∠EDH＝30°，AB＝10.8米． 备注 1.图中所有的点都在同一平面内． 2.CDAB，CA⊥AB，DB⊥AB，EF⊥FG，DH⊥EF． 3.结果精确到0.1米．参考数据；sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，． 请你根据以上活动过程和测量的数据，求拱顶E到水面的距离EF． 【答案】拱顶E到水面的距离约为23.5米 【分析】设米，则米．解得米，解得米，根据列方程，求出，即可得出拱顶E到水面的距离． 【详解】解：根据题意得四边形是矩形， ∴米，米， 设米，则米． 在中，， ， （米）． 在中，， ， （米）． ∵， ∴，解得， ∴． 答：拱顶E到水面的距离约为23.5米． 5．威利斯开利（）于1928年发明了家用空调，为人们的生活带来了巨大的便利．夏天到了，小丽打算给自己的房间安装一台空调，想要通过测量计算出空调安装的高度， 如下是某空调挂机安装的相关说明及小丽家对空调安装的要求： 名称 XX品牌空调 安装 出风最小角：， 出风最大角：． 示意图 技术参数 空调尺寸：（宽×深×高，单位：mm） 安装要求 （1）空调安装尽量避免正对着床； （2）空调底部需与墙面垂直 （3）冷风不得直吹床铺 小丽家房屋室内层高为，房间内的床长，高，空调安装在床头墙面． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)求空调安装的最低高度．（结果精确到） (2)为了更美观，小丽想把空调机身完全嵌入床头墙面安装，请判断该安装方式在小丽房间内能否实现，如能，请求出空调安装的最低高度，如不能，请说明理由． （参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)该安装方式在小丽房间内不能实现，理由如下： 当机身完全嵌入墙面时，空调顶部 E 与墙顶齐平，此时空调底部 F 到地面的最大高度为：， 如图：当空调安装在此位置恰好符合要求， 由题意可得：，， 在中，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴该安装方式在小丽房间内不能实现． 【分析】（1）如图：连接，过点F作于点O，构造出直角三角形和矩形，结合题意推出，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可，即点G与点A重合，在中，根据题意得出，利用得到，进而得到的长度，最后根据即可求解； （2）先求出空调底部 F 到地面的最大高度为，如图：当空调安装在此位置恰好符合要求，然后结合已知条件求得的长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接，过点F作于点O，则四边形是矩形， ∴，， ∴ 由题意知，要使空调风不直接吹到床上，只需当空调出风角最小时，出风在床的边缘A之外即可， ∴当空调出风角最小时，且出风恰好在床的边缘A处时，空调安装的高度最低，此时， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 答：空调安装的最低高度约为． （2）解：略． $