九年级数学上学期期中模拟卷（新教材鲁教版五四制）

2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】试题分析：对于反比例函数y=，当k>0时，函数图像在一、三象限；当k<0时，函数图像在二、四象限.根据题意可得：k=－2. 考点：反比例函数的性质 2．已知在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，在直角三角形中正确识别角的对边与斜边是解题的关键． 根据题意画出图形，明确的对边及斜边，根据正弦定义列式，代入即可求解． 【详解】解：如图，在中，，的对边是，斜边是， 又∵， ∴． 故选：B． 3．抛物线经过平移得到，平移方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位 【答案】A 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为（0,0）， 而平移后抛物线的顶点坐标为（-1，-5） ∴平移方法为向左平移1个单位，再向下平移5个单位． 故选A． 【点睛】本题考查了抛物线的平移规律..关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律． 4．如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数关系分别表示出，的长进而得出答案． 【详解】解：∵，，，， ∴， 则， 而， 故， ∵， ∴， 则． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确表示出的长是解题关键． 5．若点都在反比例函数的图象上，且．则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的增减性解题即可． 【详解】解：反比例函数中k=−3<0 ∴函数图像的两支分别位于二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵ ∴A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在第四象限，C(x3，y3)点在第二象限， ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的特征，掌握相关知识是解题关键． 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一次函数和反比例函数的解析式确定一次函数的图象和反比例函数的图象，关键是熟练掌握两类函数的性质． 【详解】若，则反比例函数的图象分别在第二、四象限，一次函数的图像经过一、二、四象限； 若，则反比例函数的图象分别在第一、三象限，一次函数的图像经过一、三、四象限； 符合的为选项D， 故选D． 7．如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可作出图形，然后易得，，则有，进而根据勾股定理可得，最后问题可求解． 【详解】解：由题意可得如图所示： ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【点睛】本题主要考查勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、等腰三角形的性质及三角函数是解题的关键． 8．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，利用反比例函数系数k的几何意义，分别得到四边形AEOD的面积为4，四边形BEOC的面积为12，即可得到矩形ABCD的面积． 【详解】过点A作AE⊥y轴于点E， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为4， ∵点B在双曲线上，且AB//x轴， ∴四边形BEOC的面积为12， ∴矩形ABCD的面积为12-4=8， 故选：C． 【点睛】此题考查了反比例函数系数k的几何意义，熟记k的几何意义并灵活运用其解题是关键． 9．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象的轴对称性，是解题的关键． 根据表格，可知：该抛物线的对称轴是：直线，当时，随的增大而增大，从而可得到答案． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴该抛物线的对称轴是：直线，故D错误； ∵该抛物线的对称轴是：直线， ∴点和点是对称点，即点在抛物线上，故C正确； ∵由表格可知：当时，随的增大而增大， ∴该抛物线开口向下，该抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故A，B错误； 故选：C． 10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，作轴，轴，可证明，利用面积比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：作轴，垂足为G，轴，垂足为H， ∵点A在函数图象上，点B在反比例函数图象上， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线 的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 【答案】 直线 【分析】根据抛物线顶点式的性质，可直接得出对称轴和顶点坐标． 【详解】解：抛物线为， 抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是． 12．若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为 __． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，正确地求得的值是解题的关键．由题意得即可求解． 【详解】解：反比例函数的图象在第一、三象限， ， 解得：或， ， ， ． 故答案为：4． 13．已知关于 x 的二次函数 y ＝( m +6) x 2 +2( m －1) x +( m +1)的图象与 x 轴总有交点，则 m 的取值范围是________． 【答案】m≤－且m ≠－6 【详解】关于x的二次函数y=(m+6)x2+2(m−1)x+(m+1)的图象与x轴总有交点， 所以4(m−1)2−4(m+6)(m+1)≥0， 解得m≤－， 又因为该函数是关于x的二次函数， 所以m+6≠0，所以m≠−6， 所以m的取值范围是：m≤－且m≠−6. 14．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即 ．试用公式，求出的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解答此题要熟记特殊角的三角函数值，并能把“新定义”的问题转化为已知问题解答．将化为和两个特殊角，然后根据给出的公式及特殊角的三角函数值来解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15．如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数，当时，函数最大值为，最小值，则其值域差为，已知二次函数，当时，该函数的“值域差”是________． 【答案】4 【分析】本题主要考查了新定义“值域差”、二次函数的图像与性质等知识，正确解得二次函数在时的最大值与最小值是解题关键．首先解得该二次函数图像的对称轴，然后根据二次函数的图像与性质解得在时的最大值与最小值，即可获得答案． 【详解】解：二次函数的对称轴为， 当时， ∵，即该二次函数图像开口向上， ∴当时，， 当时，， ∴， 故答案为：4． 16．如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，作，，，，，垂足分别为，，，，，，连接，，，，，得到一组，，，，，则的面积为______.    【答案】 【分析】根据反比例函数图像上点的特征和三角形的面积公式求出的面积为，的面积为，的面积为，……，的面积为，然后化简即可. 【详解】设 同理可求 的坐标 的面积为，的面积为，的面积为，……， 的面积为 【点睛】本题是结合反比例函数的一道规律题，根据所给条件找到规律是解题的关键. 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值得性质分别计算即可； 【详解】（1）原式， ， ， ； （2）原式, , ． 【点睛】本题主要考查了实数运算，结合特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值的性质计算是解题的关键． 18．（本题8分）已知二次函数y=x2-（2m+1）x+（m2-1）. （1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），求该二次函数的表达式. 【答案】（1）证明见解析（2）y=x2-5x+1；y=x2-13x+17 【详解】试题分析：(1)、利用配方法得出b2-4ac的值恒为正数，则二次函数图像与x轴总有两个不同的交点；(2)、将点(2m-2，-2m-1)代入函数解析式，从而求出m的值，得出函数解析式. 试题解析：（1）∵b2-4ac=（2m+1）2-4（m2-1）=（4m2+4m+1）-2m2+4=2m2+4m+5=2（m+1）2+3， ∴不论m取什么实数，方程x2-（2m+1）x+（m2-1）=0都有两个实数根， ∴不论m取什么实数，该二次函数图象总与x轴有两个交点； （2）∵该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1）， ∴（2m-2）2-（2m+1）（2m-2）+（m2-1）=-2m-1， 解得m1=2，m2=6， 即：m=2时，该二次函数的表达式为y=x2-5x+1； m=6时，该二次函数的表达式为y=x2-13x+17． 19．（本题12分）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，或 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）解方程组求出点B的坐标，利用割补法求三角形的面积； （3）设，表示出，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； （3）存在，设点， ∵，， ∴， ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． 【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，待定系数法，三角形的面积，勾股定理等知识，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型． 20．（本题9分）如图，一艘渔船以20海里/时的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在渔船北偏东方向上距A 52海里处，航行1小时后到达点B，在B处测得灯塔D在渔船北偏东方向上．已知灯塔D在灯塔C的正北方向上，求灯塔C和灯塔D之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：） 【答案】32海里 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定和性质．作，交的延长线于点E，F．通过证明四边形是矩形，推出．再利用三角函数解和，即可求解 【详解】解：如图，过点A，B分别作，交的延长线于点E，F． ， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． 根据题意，得，． 在中， ， ，． 在中， ， （海里）． 答：灯塔C和灯塔D之间的距离约为32海里． 21．（本题10分） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 【答案】(1)与墙垂直的一边的长度为 (2)，要想使花圃的面积最大，则，最大面积为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式建立方程求解即可； （2）表示出平行于墙的一边的长度，再根据矩形面积计算公式列出S关于x的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， 答：与墙垂直的一边的长度为； （2）解：由题意得， ， ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴，且， ∴， ∵， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴要想使花圃的面积最大，则，最大面积为． 22．（本题10分）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题： (1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元． (2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？ 【答案】(1)当这种优质水果售价为元时，每天可获得利润元 (2)当售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）先根据题意求得销量与售价的关系，然后根据销量乘以每千克的利润等于总利润，列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）设利润为，根据题意列出二次函数，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设每天的销售量为千克，每千克的售价为元，根据题意得， ， ， 解得：， ∵为让利给顾客， ∴， 答：当这种优质水果售价为元时，每天可获得利润元； （2）解：设利润为，则， ∴时，最大，最大利润是元， 答：当售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意列出方程和函数关系式是解题的关键． 23．（本题15分）如图1，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”（），中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高（）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．    解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接，当点运动到顶点时，求的铅垂高及；    (3)是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)；（平方单位） (3)；； 【分析】（1）已知了顶点坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据点的坐标可求出二次函数的解析式．然后根据求出的二次函数的解析式，求出点的坐标，然后可用待定系数法用、的坐标求出所在直线的解析式； （2）要求的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出，两点纵坐标，点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出点的纵坐标，那么，两点的纵坐标的差的绝对值就是的铅垂高，而水平宽是点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方法得出的面积； （3）可先根据（2）中的面积得出的面积，由于点在抛物线上运动，分四种情况：①在第一象限；②在第二象限；③在第三象限；④在第四象限分别作图，由三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半列式求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 将代入得，解得， 抛物线解析式为：； 设直线的解析式为：， 抛物线与轴于点， 点的坐标为， 将，代入得，解得， 直线解析式为：； （2）解： 点坐标为，抛物线，直线， 当时，，，即，， ； ，， （平方单位）； （3）解：存在一点，使． 由（2）知， ， 设， ①当在第一象限时，过点作轴交于，如图所示：    则， ， 即，则，解得， ； ②当在第二象限时，过点作轴于，如图所示：      则， ， 即，解得， 由于第二象限中，点的横坐标为负值，则取， ； ③当在第三或四象限时，情况相同，如图所示：    则、， ， 即，解得， 当，，点不可能在第三象限； 当，，点在第四象限； ； 综上所述：存在一点，使，点坐标有三种情况；； ． 【点睛】本题结合三角形面积的求法考查了二次函数以及一次函数的综合应用，读懂题意，弄清水平宽和铅垂高的意义是解题的关键． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材鲁教版五四制九年级数学上册第1~2章。 5．难度系数：0.64 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 2．已知在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线经过平移得到，平移方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位 4．如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 5．若点都在反比例函数的图象上，且．则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线 的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 12．若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为 __． 13．已知关于 x 的二次函数 y ＝( m +6) x 2 +2( m －1) x +( m +1)的图象与 x 轴总有交点，则 m 的取值范围是________． 14．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即 ．试用公式，求出的值是_____． 15．如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数，当时，函数最大值为，最小值，则其值域差为，已知二次函数，当时，该函数的“值域差”是________． 16．如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，作，，，，，垂足分别为，，，，，，连接，，，，，得到一组，，，，，则的面积为______.    三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知二次函数y=x2-（2m+1）x+（m2-1）. （1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），求该二次函数的表达式. 19．（本题12分）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题9分）如图，一艘渔船以20海里/时的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在渔船北偏东方向上距A 52海里处，航行1小时后到达点B，在B处测得灯塔D在渔船北偏东方向上．已知灯塔D在灯塔C的正北方向上，求灯塔C和灯塔D之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：） 21．（本题10分） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 22．（本题10分）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题： (1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元． (2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？ 23．（本题15分）如图1，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”（），中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高（）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．    解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接，当点运动到顶点时，求的铅垂高及；    (3)是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B B A C D D C C C A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11． 直线 12． 13． m≤－且m ≠－6 14． 15．4 16． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 分） 17．（本题8分）【详解】（1）原式， ， ， ； ······（4分） （2）原式, , ． ······（8分） 18．（本题8分）【详解】试题分析：(1)、利用配方法得出b2-4ac的值恒为正数，则二次函数图像与x轴总有两个不同的交点；(2)、将点(2m-2，-2m-1)代入函数解析式，从而求出m的值，得出函数解析式. 试题解析：（1）∵b2-4ac=（2m+1）2-4（m2-1）=（4m2+4m+1）-2m2+4=2m2+4m+5=2（m+1）2+3， ∴不论m取什么实数，方程x2-（2m+1）x+（m2-1）=0都有两个实数根， ∴不论m取什么实数，该二次函数图象总与x轴有两个交点； ······（4分） （2）∵该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1）， ∴（2m-2）2-（2m+1）（2m-2）+（m2-1）=-2m-1， 解得m1=2，m2=6， 即：m=2时，该二次函数的表达式为y=x2-5x+1； m=6时，该二次函数的表达式为y=x2-13x+17． ······（8分） 19．（本题12分）【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； ······（3分） （2）联立，解得：或， ∴， ∵，当时，， ∴， ∴； ······（6分） （3）存在，设点， ∵，， ∴， ······（8分） ∵点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形， ①当为斜边时：，解得：； ②当为斜边时：，解得：； ∴或． ······（12分） 20．（本题9分）【详解】解：如图，过点A，B分别作，交的延长线于点E，F． ， ， ······（1分） 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ． ······（3分） 根据题意，得，． 在中， ， ，． ······（7分） 在中， ， （海里）． ······（9分） 答：灯塔C和灯塔D之间的距离约为32海里． 21．（本题10分【详解】（1）解：由题意得，， ······（2分） 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，， ······（5分） 答：与墙垂直的一边的长度为； （2）解：由题意得， ， ······（6分） ∵平行于墙的一边的长不能超过墙的长度， ∴，且， ∴， ······（7分） ∵， ∴当时，S随x增大而减小， ∴当时，S有最大值，最大值为， ∴要想使花圃的面积最大，则，最大面积为． ······（10分） 22．（本题10分）【详解】（1）解：设每天的销售量为千克，每千克的售价为元，根据题意得， ， ······（2分） ， 解得：， ∵为让利给顾客， ∴， ······（4分） 答：当这种优质水果售价为元时，每天可获得利润元； （2）解：设利润为，则， ∴时，最大，最大利润是元， ······（10分） 答：当售价定为元时，每天可获得最大利润，最大利润是元． 23．（本题15分）【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 将代入得，解得， 抛物线解析式为：； 设直线的解析式为：， 抛物线与轴于点， 点的坐标为， 将，代入得，解得， 直线解析式为：； ······（3分） （2）解： 点坐标为，抛物线，直线， 当时，，，即，， ； ，， （平方单位）； ······（5分） （3）解：存在一点，使． 由（2）知， ， 设， ······（7分） ①当在第一象限时，过点作轴交于，如图所示：    则， ， 即，则，解得， ； ······（9分） ②当在第二象限时，过点作轴于，如图所示：      则， ， 即，解得， 由于第二象限中，点的横坐标为负值，则取， ； ······（12分） ③当在第三或四象限时，情况相同，如图所示：    则、， ， 即，解得， 当，，点不可能在第三象限； 当，，点在第四象限； ； ······（14分） 综上所述：存在一点，使，点坐标有三种情况；； ． ······（15分） 【点睛】本题结合三角形面积的求法考查了二次函数以及一次函数的综合应用，读懂题意，弄清水平宽和铅垂高的意义是解题的关键． 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材鲁教版五四制九年级数学上册第1~2章。 5．难度系数：0.64 第一部分（选择题 共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知函数的图象过点，则该函数的图象必在（ ） A．第二、三象限 B．第二、四象限 C．第一、三象限 D．第三、四象限 2．已知在中，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．抛物线经过平移得到，平移方法是（    ） A．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 B．向左平移1个单位，再向下平移5个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移5个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移5个单位 4．如图，中，，，，，则（　　）    A． B． C． D． 5．若点都在反比例函数的图象上，且．则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，，，作等腰三角形ABD，使．，且点C不在射线AD上．过点D作，垂足为E．则的值为（    ）． A． B． C． D． 8．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（    ） A．4 B．6 C．8 D．12 9．已知抛物线上部分点的横坐标和纵坐标的对应值如下表 0 1 3 4 5 根据上表，下列判断正确的是（  ） A．该抛物线开口向上 B．沿x轴正方向，该抛物线在对称轴左侧部分是下降 C．该抛物线一定经过点 D．该抛物线的对称轴是直线 10．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（    ） A．3 B． C．9 D． 第二部分（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．抛物线 的对称轴是___________，顶点坐标是___________． 12．若反比例函数的图象在第一、三象限，则的值为 __． 13．已知关于 x 的二次函数 y ＝( m +6) x 2 +2( m －1) x +( m +1)的图象与 x 轴总有交点，则 m 的取值范围是________． 14．下面是我们将在高中阶段所要学习的一个内容，请先阅读这段内容．再解答问题，三角函数中常用公式，求的值，即 ．试用公式，求出的值是_____． 15．如果一个函数在某个自变量取值范围内有最大值和最小值，则最大值与最小值的差叫做这个函数在该自变量范围内的“值域差”如一次函数，当时，函数最大值为，最小值，则其值域差为，已知二次函数，当时，该函数的“值域差”是________． 16．如图，在轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点，，，，，分别过这些点作轴的垂线与反比例函数的图象相交于点，，，，，作，，，，，垂足分别为，，，，，，连接，，，，，得到一组，，，，，则的面积为______.    三、解答题（本大题共7小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题8分）已知二次函数y=x2-（2m+1）x+（m2-1）. （1）求证：不论m取什么实数，该二次函数图象与x轴总有两个交点； （2）若该二次函数图象经过点（2m-2，-2m-1），求该二次函数的表达式. 19．（本题12分）综合与探究：如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，B两点，分别连接． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求出点B的坐标及的面积； (3)在坐标轴y轴上是否存在一点P，使以点B，A，P为顶点的三角形是以为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（本题9分）如图，一艘渔船以20海里/时的速度沿正北方向航行，在A处测得灯塔C在渔船北偏东方向上距A 52海里处，航行1小时后到达点B，在B处测得灯塔D在渔船北偏东方向上．已知灯塔D在灯塔C的正北方向上，求灯塔C和灯塔D之间的距离．（结果精确到1海里，参考数据：） 21．（本题10分） 如图，一农户要建一个矩形花圃，花圃的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设矩形与墙垂直的一边长为米，矩形花圃的面积为S平方米．    (1)花圃面积为，求与墙垂直的一边的长度． (2)求S与之间的函数关系式；要想使花圃的面积最大，应为多少？最大面积是多少？ 22．（本题10分）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题： (1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元． (2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？ 23．（本题15分）如图1，过的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”（），中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高（）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．    解答下列问题： 如图2，抛物线顶点坐标为点，交轴于点，交轴于点． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连接，当点运动到顶点时，求的铅垂高及；    (3)是否存在一点，使，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $