专题18 反比例函数与几何压轴计算（重难点培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题18 反比例函数与几何压轴计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 题型04 反比例函数的性质 题型05 整点问题 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 题型07 反比例函数与跨学科问题 题型08 反比例函数中的平行与相等 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 题型10 反比例函数与几何综合 题型11 反比例函数的对称问题 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 题型14 反比例函数与其它存在性问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 几何综合常用知识 1、 反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1． 设双曲线上点：常设  2． 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3． 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 二、常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积，是本章最基础、最高频模型． 模型2 双曲线上两点面积模型 若在同一双曲线上，则可通过割补法、铅垂高法快速求解． 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若  在双曲线上，则对称点 也在双曲线上． 三、几何综合常用公式 1． 两点距离公式： 2． 铅垂高面积公式（万能）： 3． 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 【针对训练】 例1．如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案为：，； （2）解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 例2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 例3．如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，利用数形结合思想是解题的关键． （1）结合矩形的性质可得点A的坐标为，点E的坐标为，即可求解； （2）根据勾股定理可得，从而得到，可设点E的坐标为，可得点F的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵点B坐标为， ∴， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴， ∴，点A的坐标为， ∵E是的中点， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得：； 设经过A、E两点的一次函数的表达式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴经过A、E两点的一次函数的表达式为； （2）解：如图， ∵矩形的两边的长分别为3、8， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数 的图象经过点E，， ∴可设点E的坐标为， ∴点F的横坐标为， ∵反比例函数 的图象经过点F， ∴，解得：， ∴反比例函数的解析式为． 例4．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、作一个角等于已知角，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，延长交轴于点，由，即轴，可得轴，又四边形是菱形，从而可设，结合，则，，，利用勾股定理，可得的值，故可判断得解； （2）依据题意，根据作一个角等于已知角得，结合同位角相等，两直线平行，即可作图得解； （3）依据题意，由是的中点，，则，根据轴，可得的纵坐标为，结合在反比例函数，进而代入计算可以得解． 【详解】（1）解：如图，延长交轴于点， ，四边形为菱形， ，即轴，， 轴． 可设． ， ，，． 在中，， ． ． ． ． 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，根据作一个角等于已知角，结合同位角相等，两直线平行，可以作图如下． （3）解：由题意，是的中点，， ． 轴， 的纵坐标为． 在反比例函数， 的横坐标为． ． ． 例5．如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）根据、两点坐标，得出，再结合正方形的性质，即可得到点A的坐标； （2）根据正方形性质先求出点D坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征解得k值，继而得到反比例函数解析式． 【详解】（1）解：点B的坐标为，点C的坐标为， ，， ， 四边形为正方形． ，轴， ； （2）解：四边形为正方形， ，轴， ， 将的代入反比例函数得：， ， 反比例函数的解析式为： 典例精析 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 【典例1】小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 【答案】(1)①； ②③如图： (2)①图象关于y轴对称；②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大（不唯一）． (3)或 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，列表、描点、连线是作函数图象的基本方法，利用图象得出性质和结论是解决问题的根本目的． （1）把代入解析式即可求得，进而即可描点连线，补充图象； （2）根据（1）中的图象，从函数的对称性，增减性方面得出函数图象的两条性质即可； （3）根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：（1）①把代入， 得， 故答案为：； ②略 ③略 （2）解：答案不唯一，如：①图象关于y轴对称； ②当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ③函数值小于0． （3）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围或． 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 【典例2】（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 【答案】(1)陌生；友好 (2)或； (3) 【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可； （2）根据图象判断时，的取值范围；联立与，由求出的值； （3）设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为，将与联立，并结合可得，进而计算出点的坐标为，同理，点的坐标为．由可得，利用完全平方公式变形可计算出的值． 【详解】（1）解：对于①与②，联立得， 整理，得， ∵， ∴该方程无实数解，即与无交点， ∴①与②是“陌生函数”， 对于①与③，联立得， 整理，得， ∴， ∴与有两个交点， ∴①与③是“友好函数”； （2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为和，且在和部分，反比例函数的图象高于一次函数的图象， ∴当时，的取值范围是或； 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， 解得； （3）解：设直线的函数解析式为，直线的函数解析式为， 联立与，得， ， 整理，得， ∵与是“相连函数”， ∴， ∴，即， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 同理，点的坐标为， ∴，即， ∴． 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 【典例3】如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)解：不会，理由如下： 如图，连接、，设与轴的交点为， ∵轴， ∴，轴， 由反比例函数的几何意义可知， ，， ∴为定值． 【分析】（1）先求出点、的坐标，再求出的面积即可； （2）连接、，设与轴的交点为，由反比例函数的几何意义可知，，由等积变形可得为定值． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∵点是轴上任意一点， ∴点到直线的距离为， ∴； （2）略 题型04 反比例函数的性质 【典例4】已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． (1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； (2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． (3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． (4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 【答案】(1)；二、四 (2)A，C (3) (4) 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，比较反比例函数值大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将代入即可求出；然后得到反比例函数，根据即可得到该反比例函数的图象在第二、四象限； （2）分别将点A，B，C的横坐标代入求解判断即可； （3）分别求出时和时的函数值，然后根据增减性求解即可； （4）首先判断出点D，E在第二象限，点F在第四象限，然后根据该反比例函数的图象在第二、四象限和增减性求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得； ∴反比例函数， ∵， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限； （2）解：将代入， ∴点在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点不在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点在该反比例函数的图象； ∴在该反比例函数的图象上的点是A，C； （3）解：∵该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，； ∴该反比例函数的函数值的取值范围为； （4）解：∵，，在反比例函数图象上，且， ∴点D，E在第二象限， ∵， 又∵该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴点F在第四象限， ∴， ∴． 题型05 整点问题 【典例5】在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 【答案】(1)4 (2)①11；② (3) 【分析】本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． （）根据点A在的图象上，可求出的值； （）标出区域，再统计区域内的整数点即可； 过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可 【详解】（1）解：∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）解：当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； ∵区域的整点个数为4，且点横坐标满足， ∴区域内的整点为，，，，如图所示： ∴纵坐标的取值范围为； （3）解：由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时， 解得：， 故的取值范围是：． 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 【典例6】如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，4 (2)或 (3)，，， 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）将点、的坐标代入反比例函数解析式，即可得出、的值，从而得出点、的坐标，再利用待定系数法计算即可得出一次函数的解析会，计算出直线与轴、轴的交点坐标为、，再由三角形的面积公式即可得解； （2）由，，再结合函数图象即可得解； （3）由题意可得，设，即，再由列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点， 将与坐标代入反比例解析式得：，， 、， 代入一次函数解析式得： ， 解得：，， 则一次函数的解析式为， 当时，，当时，则， 解得， ∴直线与轴、轴的交点坐标为、， ∴； （2）解：∵，， ∴反比例函数值小于一次函数值的的取值范围为或； （3）解：∵， ∴， 设，即， ， ∴， 解得：或， ∴，， 同理可得：，， 综上所述，点的坐标为，，，． 题型07 反比例函数与跨学科问题 【典例7】（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 【答案】(1)①；②零刻度所对应的点与点之间的距离为 (2)生锈秤砣的质量为 (3) 【分析】（1）①根据公式代入已知数量可得答案；②由零刻度时，，即可求解； （2）根据题意可得当一个物体的质量为，，设生锈的秤砣的质量为，可得，即可求解； （3）把 ，代入，可得，从而得到越大，越小，即可求解． 【详解】（1）解：① ，，， ， ． ②∵零刻度时， ， ． ∴零刻度所对应的点与点之间的距离为． （2）解：∵当一个物体的质量为， ， ， 设生锈的秤砣的质量为， ， 解得：， ∴生锈秤砣的质量为． （3）解：由题意得： ，代入．得： ， ， ， 越大，越小， 当时，， ． 题型08 反比例函数中的平行与相等 【典例8】如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 【答案】(1)， (2)7.5 (3) 证明：∵轴，轴， ∴， 又，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【分析】此题考查了反比例综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式，以及三角形的面积求法，灵活运用待定系数法是解本题的关键． （1）由的面积求出m的值，由m的值确定出A的坐标，将A的坐标代入反比例解析式中，即可求出k的值； （2）先求出，再根据待定系数法求出直线的解析式为，进而确定，即可求解； （3）推出，，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：点代入得， 设直线的解析式为， 由得， ∴， 令得， ∴， ∴． （3）略 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 【典例9】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)①；②6 (3)4 【分析】本题主要考查了二次函数综合运用，涉及到反比例函数和一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． （1）由题意得：，即可求解； （2）①由，即可求解；②由的面积，即可求解； （3）由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：，联立上式和抛物线的表达式得：或，则且或且，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，“等距点”所在的函数表达式为：， ∴， ∵直线与直线平行， ∴， 解得：， ∴， 即函数的“等距点”为； （2）解：①将点的坐标代入函数表达式得：， 则函数的表达式为：，与直线有交点， 则，即， 解得：， ∵时， 则点， 故答案为：； ②根据函数的对称性， 则的面积； （3）解：由题意得“等距点”所在的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：或， 则或， 解得：． 题型10 反比例函数与几何综合 【典例10】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【详解】（1）解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． （2）解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． （3）已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 题型11 反比例函数的对称问题 【典例11】（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)当是等腰三角形时，的值为或 【分析】（1）由矩形的性质可得点的坐标为，结合平移可得点的坐标为，进一步求解即可； （2）表示平移个单位长度后，点的坐标为，点的坐标为．可得，再进一步求解即可； （3）利用矩形的性质求解．当是等腰三角形时，分三种情况讨论：①当时，②当时，此时点与点重合，③当时，设，再进一步结合反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解： 四边形是矩形，，， ∴，， 点的坐标为． 由平移得：点的坐标为． 把代入，得， 该双曲线的解析式为：． （2）解：平移个单位长度后，点的坐标为， 边平移后所在的直线为，， 点的坐标为． 点、在图象上， ， 解得：， 点的坐标为． （3）解：如图3，四边形是矩形， ． 当是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当时， 由平移可得：，． ． 点、在图象上， ． 解得． ②当时，此时点与点重合， ，． 点、在图象上， ， 解得． ③当时，设． 由平移可得，， ， ， 解得， ． 点、在图象上， ． 解得． ， 这与题意不符，舍去． 综上所述，当是等腰三角形时，的值为或． 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 【典例12】如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 【典例13】如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)；；； 【分析】（1）根据二次根式的非负性、平方数的非负性求解即可； （2）为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为，设，根据中点坐标公式可用含t的式子表示出点D的坐标，根据平行四边形的性质可表示出点C的坐标，将点代入反比例函数解析式求解即可； （3）设，，①当为边时：分为平行四边形和为平行四边形两种情形画出图形，再根据平行四边形的性质求解即可；②当为对角线时：利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，解得，， ∴，． （2）解：由（1）可知，，， ∴，， ∴ ∵为中点，且点E的横坐标为0，设点D的横坐标为， ∴， ∴，设， 如图，过点D作轴于点F，过点C作于点G， ∴轴， ∴， ∴，且，， ∴， ∴，， ∴， ∵点，都在双曲线的图像上， ∴， ∴，解得：， ∴， ∵在双曲线上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：设，， ①当为边时： 第一种情况：如图所示，若为平行四边形，则，，即轴 ， ∴点P的纵坐标为，即，解得：， ∴，即， ∴，解得：， ∴； 第二种情况：如图所示，若为平行四边形， ∴，解得：， ∴； ②当为对角线时：如图所示， ∵， ∴点P、B的横坐标相同，即，解得：， ∴，即， ∴， ∴，解得：， ∴． 综上，；；． 题型14 反比例函数与其它存在性问题 【典例14】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）将点，坐标代入反比例函数解析式中，即可求出，，再利用待定系数法即可求出一次函数解析式； （2）根据图像结合，，即可作答； （3）先求出，，设，根据，列出方程即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中得， ，，， 则点，坐标为，，将其代入得, ， 解得， 则一次函数解析式为； （2）解：观察函数图像可知，当时，或； （3）解：对于，当时，，当时，， 则，， 设， 则，， ， ， ， 则点的坐标为． 【点睛】本题是反比例函数综合问题，考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法，函数与不等式的关系，三角形面积的求法，能够构建方程解决问题是解题的关键． 1．如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质．延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可求出，继而可得点A坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出k值即可． 【详解】解：如图，延长交y轴于点D， ∵点的坐标为， ∴，， ∵平行四边形的面积为6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴将代入得， ∴． 故选：D． 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数系数k的几何意义即可得到结论． 【详解】∵点A、B、C为反比例函数y＝（）上不同的三点，轴，过点B、C分别作，垂直x轴于点E、F ∴，， ∴ ∴ 故答案为：B． 3．如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，则对角线交点的坐标为，，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是用字母表示出各个点的坐标． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为，， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 由已知得， ， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ，， ． 故选：A 4．在中，将放在如图所示的平面直角坐标系中，的边轴． ，点在轴上，点在反比例函数的图像上，将先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，此时点在反比例函数的图像上． 与此图像交于点，则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先由边AC∥x轴，AC＝1，点C在函数的图像上，求得点C的坐标，继而求得点A与点B的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得△A1B1C1各顶点的坐标，再由点A1在函数的图像上，B1C1与此图像交于点P，求得答案． 【详解】解：∵边AC∥x轴，AC＝1， ∴点C的横坐标为1， ∵点C在函数的图像上， ∴y＝2， ∴点C的坐标为：（1，2）， ∴点A的坐标为：（0，2），点B的坐标为：（1，0）， ∵将先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，， ∴A1的坐标为：（-3，﹣3），B1的坐标为：（-2，-5），C1的坐标为：（-2，﹣3）， ∵点A1在函数的图像上， ∴k＝xy＝-3×（﹣3）＝9， ∴此反比例函数的解析式为：， ∵线段B1C1的解析式为：x＝-2， ∴点P的横坐标为：-2， ∴点P的纵坐标为：． 故选：A． 【点睛】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求反比例函数解析式、旋转的性质、平移的性质以及点与函数的关系．注意求得△A1B1C1各顶点的坐标是关键． 5．如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】过点作轴于点，设，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，进而得到，，设，列出表示面积的等式，即可得到的值． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴设， ∵点位于第二象限， ∴，， ∴， 解得：． 6．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于，P为线段上一动点（不包含端点），过点P作轴交反比例函数的图象于点Q，连接，。当面积最大时，点P的坐标为___________。 【答案】 【分析】首先将点代入直线，解得，易知该直线的解析式为，再将点代入直线，进而确定点，将其代入求出反比例函数解析式，设与x轴交于点，设，则，，易知，，利用三角形面积公式可得，结合平方的非负性可得当时，面积取最大值，然后确定点的坐标即可． 【详解】解：将点代入直线， 可得，解得， ∴该直线的解析式为， ∵直线与反比例函数的图象交于点， ∴将点代入直线， 可得，即， 将代入反比例函数， 可得，解得， ∴这个反比例函数的表达式为； 如图，设与轴交于点， ∵为线段上一动点，且过点作轴交反比例函数的图象于点， ∴可设，则，， ∴，， ∴， ∴当时，面积取最大值，最大值为4， 此时． 7．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点，在轴的正半轴上，连接，，，已知，．若的面积为，则四边形的面积是______． 【答案】 【分析】过点作于点，由等腰三角形的三线合一得，结合得，又的面积为，可得，进而可得即四边形的面积为，的面积为，两者相减即可得到四边形的面积． 【详解】解：如图，过点作于点． ， ， 又， ， ． ， ， ，， 轴，，， 四边形是矩形， ， ． 8．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 【答案】 4 【分析】 将横坐标代入到反比例函数中，得出纵坐标的值；数形结合，利用的面积求出k的值，从而得出的值． 【详解】 解：由题意可知：，，， ， ， ， ． 9．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或者 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数上点的特征，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）①将点代入函数解析式，求得，再比较大小即可；②利用，求得或，然后再代入求出横坐标即可． 【详解】（1）解：为双曲线上一点， ， ； （2）解：①点和在双曲线上， ， ， ； ②不妨设， 点的坐标为， ， ， ， 或， 当代入，得到； 当代入，得到； 或者． 10．如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】连接，过点B作轴于点E，由菱形的性质及面积可得，证得四边形为矩形，即可得出答案． 【详解】解：连接交于点，过点B作轴于点E， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵轴，轴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴． 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用可证明，据此可判断①；由全等三角形的性质得到，由等边对等角推出，则可证明，据此可证明四边形是平行四边形，则可判断③；由平行四边形的性质得到，即轴；延长交y轴于点E，证明四边形是矩形，推出；根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则可得到，据此可判断④；根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误． 【详解】解：∵轴，， ∴， 又∵，， ∴，故①正确； ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故③正确； ∴，即轴； 如图所示，延长交y轴于点E， 则轴，即， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴； ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴，即，故④错误； 根据现有条件无法得到点C是的中点，故②错误； 综上所述，正确的有①③，共2个． 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点D作于点H，由点B的坐标结合矩形的性质可得点D的坐标，点E的横坐标，得到的长，根据待定系数法求出反比例函数的解析式，将点E的横坐标代入，可得点E的坐标，从而求出的长，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点D作于点H， ∵四边形是矩形，对角线与相交于点， ∴点D是的中点，轴， ∵， ∴，点E的横坐标为， ∴． ∵反比例函数的图象经过， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴， ∴． 13．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：点在的图象上， ， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为， 点、都在函数上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变． 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，边交反比例函数的图象于点D，点A，C分别在y轴、x轴上，过点D作轴于点E，若四边形的面积为8，则k的值为_____________． 【答案】4 【分析】由题意可得四边形、四边形均为矩形，再结合反比例函数的几何意义计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形，且轴， ∴四边形、四边形均为矩形， ∵点B在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴， ∴． 15．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 【答案】 / 【分析】根据平行四边形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数和直线的解析式，联立解析式求出点的坐标，最后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形， ， ， 点的纵坐标为4，横坐标为， ， 反比例函数经过点， ， 反比例函数的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得， 直线的解析式为， 联立， 整理得，解得， ， ， 当时，， ， ． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求出点A的坐标，据此得出反比例函数的解析式，再结合平移后点D落在反比例函数的图象上求出m的值即可． 【详解】解：∵点D坐标为， ∴， ∵四边形是菱形且点B在y轴上， ∴且轴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为， ∵平移后点D刚好落在反比例函数的图象上， 则将代入得， ， ∴． 17．如图，直线与双曲线 交于，两点，且，连接，， 轴于点， 轴于点，则________． 【答案】 【分析】设点，，由反比例函数性质得，将代入双曲线解析式整理得，由一元二次方程根与系数的关系得，进而得出， ，即可得、，延长、交于，先证四边形为矩形再证其为正方形，得到，进而得，在中借助的长度利用勾股定理求出的长，最后通过线段等量代换得到即可求解． 【详解】解：设点，， ∵点、在双曲线上， ∴， ∵将代入双曲线解析式整理得， ∴由根与系数的关系得， .∵且， ∴，同理可得， ∴，， 如图，延长、交于点， ∵轴，轴，坐标轴互相垂直， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴，即， 在中，， ∴，解得， ∴． 18．如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 【答案】(1) (2)，点M的坐标为 【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等算出C点坐标，再将C点坐标代入反比例函数中求得k即可； （2）向上平移，B点和F点横坐标相等得到F点横坐标，根据F点在双曲线上算出F点纵坐标，对比B点和F点纵坐标得到长度；M点的纵坐标可由向上平移到得出，将点M纵坐标代入反比例函数解析式得M点横坐标，即可． 【详解】（1）解：点， ， 四边形是平行四边形， ， 点C坐标为， 点C在反比例函数的图象上， 反比例函数的表达式为； （2）解：向上平移得到， 点F的横坐标与点B的横坐标相等，都是， 点F在反比例函数的图象上， 点F的坐标为， ， ， 点M的纵坐标， 点M在反比例函数的图象上， 点M的横坐标为， 点M的坐标为． 19．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点A作于点E，设点，则点，根据是等腰三角形，可得，从而得到点C的坐标为，点D的纵坐标为，进而得到，再由，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，设与y轴交于点F， 设点，则点， ∴，， ∵是等腰三角形， ∴， ∴． ∵底边轴， ∴点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的横坐标为， ∴点D的纵坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得：． 20．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质以及反比例函数可得，即、．再根据的面积为10列方程可求得，即；再利用轴对称和勾股定理求最值即可． 【详解】解：∵正方形的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6， ∴， ∴，． ∵的面积为10， ∴， 解得：， ∴． 如图：作M关于x轴的对称点，连接交x轴于P，则，的最小值为的长． ∴，， ∴． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①设点的坐标为，点的坐标为，分别用含a的式子得出，，，，再列式证明即可；②证明四边形是矩形，得出，结合由结论①，即可判断②是否正确；③由结论①正确得，得出，利用，即可证明；④连接，证明，得出，证明四边形和四边形都是平行四边形，得出，，即可证明． 【详解】①点，在函数的图象上， 设点的坐标为，点的坐标为， 轴于点，轴于点，与交于点， ，，，， ，， ，， ， 故结论①正确； ②轴于点，轴于点，与交于点， ， 四边形是矩形， ， ， 由结论①正确得：， 无法判定， 不一定成立， 故结论②不正确； ③， ，， 由结论①正确得：， ， ， ， 即， 故结论③正确； ④连接，如图所示： 四边形是矩形， ， 由结论①正确得：， 在和中， ，， ， ， ， 即， 轴于点，轴于点， ，， 四边形和四边形都是平行四边形， ，， ， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论的序号是①③④． 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 【答案】 【分析】过点作轴于，过点作，进而可证明，根据全等性质得，，设，根据反比例函数的图象在第一象限，可判断，，，根据反比例函数的几何意义得：，进一步求出、等于，，，即可得，再根据列方程即可得，进一步得，把的坐标代入解析式，列出方程，解出即可得的值，代入计算即可得的值． 【详解】解：如图， 过点作于，过点作， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设， ∵反比例函数的图象在第一象限， ∴，，， 根据反比例函数的几何意义得：， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴，解得：，即：， ∴， ∵的图象经过点， ∴，化简得：，解得：，（舍）， ∴． 23．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 【答案】 【分析】连接，由反比例函数图象的对称性可知点关于原点对称，进而知与的面积比为，从而设，根据的坐标关系建立方程即可． 【详解】解：如图，连接， 由题意知，、关于原点对称， ， 与四边形的面积之比为， ， ， 过点B作轴于点M，作轴于点N， ∴， ∴， ∴， ∴，． 设，则， ∴，， ∴， ∴点B的横坐标为． ∵，即， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴． ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，， ∴， ， ， 把代入，得， 解得， ． 24．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 【答案】或 【分析】设点的横坐标为，根据轴表示出点的坐标，进而用含的代数式表示线段的长及的高，利用三角形面积公式建立关于的方程求解即可 【详解】解：设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵轴，点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵的边上的高为点到直线的距离，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，整理得， 解得， 当时，整理得， ∵， ∴该方程无实数根， 当时，，此时， 当时，，此时， 综上所述，点的坐标为或． 25．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)12 (2)①；②或. 【分析】（1）根据题意，易得，进而求出点坐标，待定系数法进行求解即可； （2）①先求出点坐标，进而求出四边形的面积，得到的面积，求出直线的解析式，过点作，交轴于点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标，根据平行面积转化以及三角形的面积公式进行求解即可；②分两种情况，构造一线三垂直全等模型，表示出点或点的坐标，代入解析式进行求解即可. 【详解】（1）解：∵作轴，垂足为，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，解得， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴当时，；当时，， ∴，， ∴， 由（1）知：，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴， 设，过点作，交轴于点， 则直线的解析式为，， ∴当时，， ∴， ∴， 解得或（舍去）； ∴； ②当为等腰直角三角形时，分两种情况： 当时，则，过点作轴，作于点，作于点，如图，设， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴； 当时，则，过点作轴，作，作，如图， 同理可得， ∴， 设，则， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得或（舍去）； ∴， ∴， 综上：或. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 反比例函数与几何压轴计算 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 题型04 反比例函数的性质 题型05 整点问题 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 题型07 反比例函数与跨学科问题 题型08 反比例函数中的平行与相等 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 题型10 反比例函数与几何综合 题型11 反比例函数的对称问题 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 题型14 反比例函数与其它存在性问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 必备知识 知识点1 几何综合常用知识 1、 反比例函数几何解题通用思想 所有反比例几何综合题，只有一个核心：用坐标表示几何量 1． 设双曲线上点：常设  2． 几何条件转化：平行、垂直、等长、面积、直角、等腰 → 转化为坐标方程 3． 反比例独有结论：，整体代换，无需单独求x、y 二、常见几何模型结论 模型1 平行坐标轴矩形模型 双曲线上一点向坐标轴作垂线，矩形面积，是本章最基础、最高频模型． 模型2 双曲线上两点面积模型 若在同一双曲线上，则可通过割补法、铅垂高法快速求解． 模型3 对称模型 双曲线关于原点对称：若  在双曲线上，则对称点 也在双曲线上． 三、几何综合常用公式 1． 两点距离公式： 2． 铅垂高面积公式（万能）： 3． 垂直判定：直线垂直 （一次函数与双曲线综合垂直必考） 【针对训练】 例1．如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． (1)点的坐标为______，反比例函数解析式为______； (2)连接，求的面积． 例2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 例3．如图，矩形的两边的长分别为3、8，E是的中点，反比例函数 的图象经过点E，与交于点F． (1)若点B坐标为，求k的值及图象经过A、E两点的一次函数的表达式； (2)若，求反比例函数的表达式． 例4．如图，菱形的顶点为原点，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，点在轴正半轴上，点为的中点． (1)求反比例函数的解析式； (2)尺规作图：过点作轴的平行线，交反比例函数的图象于点（保留作图痕迹，不写作法）； (3)求点的坐标． 例5．如图，四边形为正方形．点B的坐标为，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)点A的坐标为______； (2)求反比例函数关系式． 典例精析 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 【典例1】小灵同学在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质．其探究过程如下： (1)绘制函数图像 … 1 2 3 … … … ①列表：下表是x与y的几组对应值，其中______； ②描点：根据表中各组对应值，在平面直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出了部分图象，请你把图象补充完整． (2)探究函数性质 通过观察图象，写出该函数的两条性质： ①_______ ②_______ (3)运用图象和函数性质，当时，写出自变量的取值范围______． 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 【典例2】（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系 【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点． 根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法： 【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所以它们是“陌生函数” 【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定与的关系时，由函数表达式得，去分母得，因为，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数” 【问题解决】 (1)对于函数①，②，③．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”； (2)若与是“友好函数”，如图2，当时，的取值范围是______；若与是“相连函数”，则的值为______； (3)如图3，过点的直线、对应的函数分别与（，），（，）是“相连函数”，相连点分别为，，、与轴分别交于，两点，已知，，求的值． 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 【典例3】如图，点 是反比例函数的图象上一点，过点作轴交反比例函数的图像于点．点是轴上任意一点，连接 、． (1)如果点的横坐标为，求的面积； (2)如果点是反比例函数的图像上任意一点，那么的面积会发生改变吗？给出你的判断并通过计算说明理由． 题型04 反比例函数的性质 【典例4】已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． (1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； (2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． (3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． (4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 题型05 整点问题 【典例5】在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值 (2)如图1，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点，记为线段、双曲线所围成的区域为（含边界）， ①当时，区域的整点个数为 ； ②当区域的整点个数为4时，点横坐标满足，则纵坐标取值范围为 ； (3)直线将分成两部分，直线上方（不包含直线）区域记为，直线下方（不包含直线）区域记为，当的整点个数之差不超过2时，则的取值范围为 ． 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 【典例6】 如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、点． (1)求一次函数的解析式及面积； (2)直接写出使反比例函数值小于一次函数值的的取值范围． (3)若点坐标轴上的一点，且满足的面积等于面积的倍，直接写出点的坐标． 题型07 反比例函数与跨学科问题 【典例7】（2026·河北石家庄·二模）杆秤是中国传统的不等臂杠杆式称重工具，是古代度量衡的代表．如图，杆秤由秤杆、秤砣、秤盘、提纽组成．秤盘固定悬挂在秤杆的端点处，提纽固定在点处，秤砣悬挂的位置记为点．杆秤称物符合杠杆原理“动力动力臂阻力阻力臂”． 设秤盘的质量为，秤砣的质量为，物体的质量为，，．根据杠杆原理、可得：．（秤杆自身的质量忽略不计，秤砣可以悬挂在点处．） (1)已知一款秤杆长度，提纽到秤盘固定点距离； ①根据题意，求出关于的函数表达式； ②在秤杆上可以标出质量的刻度，求零刻度所对应的点与点之间的距离； (2)在（1）的条件下．由于秤砣生锈，秤砣的质量会变大，导致杆秤称物的质量有偏差．用生锈的秤砣称得一个物体的质量为，若该物体的实际质量为，求生锈秤砣的质量； (3)若杆秤可用长度，为保证杆秤的最大刻度不小于，请计算的取值范围． 题型08 反比例函数中的平行与相等 【典例8】如图，反比例函数的图象经过点，过点A作垂直y轴于点B， 的面积为5． (1)求k和m的值； (2)已知点在反比例函数图象上，直线交x轴于点M，求的面积； (3)过点C作轴于点D，连结，证明：四边形是平行四边形． 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 【典例9】定义：函数图象上，到两坐标轴距离相等的点，我们称为这个函数的“等距点”．如图1，图象上的点就是这个函数的“等距点”． (1)求函数的“等距点”； (2)如图2，点，都是函数（是常数）的“等距点”， ①点的坐标为 ； ②点的坐标是，连接，求的面积； (3)若二次函数只有一个“等距点”，请直接写出的值． 题型10 反比例函数与几何综合 【典例10】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． (1)求的值； (2)若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 题型11 反比例函数的对称问题 【典例11】（25-26八年级下·福建漳州·期末）【问题背景】 在平面直角坐标系中，矩形的顶点与坐标原点重合，在轴的正半轴上，，，对角线、相交于点． 【构建联系】 (1)如图1，将矩形向右平移3个单位长度，得到矩形，点的对应点为，若双曲线经过点，求该双曲线的解析式． 【深度拓展】 (2)如图2，若将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，且与交于点，若，求点的坐标． 【动态延伸】 (3)如图3，将矩形向右平移个单位长度，得到矩形，点的对应点为，双曲线经过点，与边交于点，连接，若是等腰三角形，求的值． 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 【典例12】如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 【典例13】如图1，已知点，，且、满足，平行四边形的边与轴交于点，且为中点，双曲线经过、两点．      (1)________，________； (2)求反比例函数表达式； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出满足要求的所有点的坐标． 题型14 反比例函数与其它存在性问题 【典例14】（2026·山东淄博·一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)利用图象，直接写出不等式的解集； (3)在第三象限的反比例函数的图象上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1．如图，函数的图像经过平行四边形的顶点在轴上，点的坐标为，平行四边形的面积为6，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接、、，过点A作轴于点D，过点B、C分别作，垂直x轴于点、，与相交于点M，记、、四边形的面积分别为、、，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在以O为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，将反比例函数 的图像向下平移n个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点A，且图像与边交于点 D，则 的值是（     ） A． B． C． D． 4．在中，将放在如图所示的平面直角坐标系中，的边轴． ，点在轴上，点在反比例函数的图像上，将先向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，此时点在反比例函数的图像上． 与此图像交于点，则点的纵坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 6．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与y轴交于，P为线段上一动点（不包含端点），过点P作轴交反比例函数的图象于点Q，连接，。当面积最大时，点P的坐标为___________。 7．如图，在平面直角坐标系中，P是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点，在轴的正半轴上，连接，，，已知，．若的面积为，则四边形的面积是______． 8．如图，在反比例函数的图象上有点，，，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线段．图中阴影部分的面积记为，，若，则的值为_______． 9．在平面直角坐标系中，为双曲线上一点． (1)求的值； (2)在（1）的条件下： ①点和在双曲线上，比较与的大小； ②点在双曲线上，点的坐标为．若的面积为8，求点的坐标． 10．如图，点，是反比例函数图象上的点，点，分别在轴，轴正半轴上．若四边形为菱形，轴，，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 11．如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，轴于点B，点A在第一象限，C为斜边上一点，且，过点C作（点D在直线的右侧），已知，点D在反比例函数的图象上，反比例函数的图象过点A．结合图象判断下列结论中：①；②点C是的中点；③四边形是平行四边形；④k的值是2．正确的有（     ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 12．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴的负半轴与轴的正半轴上，对角线与相交于点．反比例函数的图象经过，并交于点．已知，则的面积是（     ） A． B． C． D． 13．反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 14．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点B在反比例函数的图象上，边交反比例函数的图象于点D，点A，C分别在y轴、x轴上，过点D作轴于点E，若四边形的面积为8，则k的值为_____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，，四边形是平行四边形，过点A作反比例函数，图象交于点D，连结，则的面积是 ____________________ ． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 17．如图，直线与双曲线 交于，两点，且，连接，， 轴于点， 轴于点，则________． 18．如图，平行四边形放置在平面直角坐标系中，已知点，，点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式； (2)将平行四边形向上平移得到平行四边形，使点在反比例函数的图象上，与反比例函数图象交于点．连接，求的长及点的坐标． 19．如图，是等腰三角形，过原点，底边轴，双曲线过，两点，过点作轴交双曲线于点，若，则的值是（） A． B． C． D． 20．在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与边长是的正方形的两边，分别相交于，两点．的面积为若动点在轴上，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 21．如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数的图象上，直线交x轴于点C，交y轴于点D，过点A作轴于点E，过点B作轴于点F，与交于点G，连接，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 22．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点为坐标系的原点，顶点在轴上，已知，四边形的面积为4，反比例函数的图象经过点和点，则_____． 23．如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于，在的左侧，连结并延长交双曲线的另一分支于点，连结，交轴于点．已知与四边形的面积之比为，，则的值是______． 24．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．若点为直线上的动点，过点作轴，与反比例函数的图象交于点．当的面积为24时，所有满足条件的点的坐标为______________． 25．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，作轴，垂足为，． (1)求的值； (2)点是反比例函数的图象上的一点，且在点的右侧，连接． ①连接，．若，求点的坐标： ②在的延长线上存在一点，使为等腰直角三角形，求点的坐标． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $