期中冲刺（知识梳理＋考点突破＋重难点解析＋易错点辨析＋考点分层精练）2026—2027学年人教版九年级数学上册

九年级上册数学期中冲刺讲义 （知识梳理＋考点突破＋重难点解析＋易错点辨析＋考点分层精练＋参考答案与解析） 一、讲义使用说明 本讲义按“知识系统化＋记忆高效化＋解题技巧化”三位一体设计，覆盖人教版九年级上册第25～28章（一元二次方程、二次函数、旋转）期中必考点，包含六大模块：知识梳理、考点突破、重难点解析、易错点辨析、考点分层精练、参考答案与解析。建议按以下三步使用： ①先读“知识梳理”搭建知识框架，用对比表串起零散概念，再填细节； ②逐考点学习“解题技巧＋典型例题”，先独立思考再看解析，学完一类题并即时对照【解析】查漏补缺； ③用“考点分层精练”限时检测，基础层重过关、提升层重应用、拓展层重迁移，错题回到对应考点重看例题。 二、课标导航与考情速览 【考情速览】结合各校九上期中命题实际，本次考试呈现四个特点：① 一元二次方程是基础：解方程（直接开平方、配方、公式、因式分解）与根的判别式是基础核心；根与系数的关系（韦达定理）作为选学拓展了解；② 二次函数是重头戏：图象与性质、顶点与最值、图象与坐标轴交点及平移综合占分最重；③ 应用建模常压轴：增长率、几何面积、传播握手等实际问题建模是解答题高频考点；④ 旋转与中心对称以概念判断为主：中心对称图形识别、旋转作图与坐标对称经常以选择、填空出现。 章节 内容要求 学业要求 第25章 一元二次方程 理解一元二次方程的概念，掌握直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种解法，理解根的判别式，了解根与系数的关系。 会解一元二次方程，会用判别式判断根的情况，会列方程解决实际应用问题。 第26章 二次函数 理解二次函数的概念，掌握二次函数的图象与性质、平移规律，会用待定系数法求解析式，理解二次函数与一元二次方程的联系。 会画二次函数图象并说出性质，会求顶点、对称轴与最值，会求解析式，能解决简单的实际问题。 第28章 旋转 理解旋转的概念与性质，理解中心对称与中心对称图形，掌握关于原点对称的点的坐标规律。 会识别中心对称图形，会作旋转与中心对称图形，会用坐标表示关于原点对称的点。 三、知识梳理 本模块按第25、26、28章搭建知识框架，用对比梳理把零散概念串成体系，复习时先看框架再填细节。 （一）第25章　一元二次方程 1. 一元二次方程 一元二次方程：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程。一般形式：ax²+bx+c=0（a≠0），其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。 【提示】“a≠0”是定义的必要条件；判断或求系数前，先化成一般形式。 2. 一元二次方程的解法 ①直接开平方法：形如 (x+n)²=p（p≥0）的方程，两边直接开平方；②配方法：移常数项、化二次项系数为1、两边加上一次项系数一半的平方，配成 (x+n)²=p 再开平方；③公式法：当 Δ=b²−4ac≥0 时，x=；④因式分解法：化为 ab=0 的形式，得 a=0 或 b=0。 【提示】Δ>0 时有两个不相等的实数根；Δ=0 时有两个相等的实数根；Δ<0 时没有实数根。 3. 根与系数的关系（韦达定理）：若 x₁、x₂ 是方程 ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则 x₁+x₂=，x₁x₂=。 4. 一元二次方程的应用：增长率（下降率）问题、几何图形面积问题、传播与握手（单循环）问题、利润问题等。 （二）第26章　二次函数 1. 二次函数：形如 y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的函数。 2. 图象与性质：图象是一条抛物线。a>0 时开口向上，顶点是图象的最低点；a<0 时开口向下，顶点是图象的最高点；|a| 越大，开口越小。对称轴为直线 x=，顶点坐标为 (，)。 【提示】顶点式 y=a(x−h)²+k 的对称轴是直线 x=h，顶点是 (h，k)，求顶点、最值直接用顶点式最快。 3. 图象的平移：抛物线的平移规律是“上加下减、左加右减”。 4. 图象与坐标轴的交点：与 y 轴交于点 (0，c)；与 x 轴的交点是 ax²+bx+c=0 的根——Δ>0 时有两个交点，Δ=0 时有一个交点（顶点在 x 轴上），Δ<0 时没有交点。 5. 待定系数法求解析式：已知三点用一般式；已知顶点用顶点式；已知与 x 轴的两个交点用交点式。 （三）第28章　旋转 1. 旋转：把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转。性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等。 2. 中心对称：把一个图形绕某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点对称。性质：对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分。 3. 中心对称图形：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与自身重合，这个图形就是中心对称图形。 4. 关于原点对称的点的坐标：点 (x，y) 关于原点的对称点为 (−x，−y)。 四、考点突破 本模块按期中高频考点逐点突破，每个考点先给解题技巧，再配一道典型例题，学完即会用。 （一）考点1　一元二次方程的概念 【解题技巧】判断一元二次方程看三点：①只含一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程（分母中不含未知数）。可先化简再判断。 典型例题1　下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【解析】A 含有两个未知数，是二元一次方程；B 分母中含有未知数，是分式方程；C 含有两个未知数，是二元二次方程；D 只含一个未知数、最高次数为2且是整式方程，是一元二次方程。故选 D。 【知识点睛】判断一元二次方程必须同时满足“一元、二次、整式”三个条件，化简要彻底（如去括号后可能变成一次方程）。 （二）考点2　一元二次方程的解法 【解题技巧】先观察方程结构：①能直接开平方的用直接开平方法；②能因式分解的（提公因式、十字相乘、平方差）优先用因式分解法；③二次项系数为1且一次项系数为偶数时配方法较方便；④其余情况用公式法。 典型例题2　解方程：x(x-5)=2x-10. 【解析】移项：x(x−5)−2(x−5)=0，提公因式：x(x−5)−2(x−5)=(x−5)(x−2)=0，所以 x−5=0 或 x−2=0，解得 x₁=5，x₂=2。 【知识点睛】因式分解法解方程的“四字诀”：移（移项）、分（因式分解）、零（ab=0）、解（分别求解）。注意移项后要变号。 （三）考点3　根的判别式 【解题技巧】判别式 Δ=b²−4ac：Δ>0 两个不相等的实数根；Δ=0 两个相等的实数根；Δ<0 没有实数根。判断前先确定 a、b、c。 典型例题3　已知关于x的一元二次方程 请你判断方程根的情况，并说明理由. 【解析】a=1，b=−2，c=m，Δ=(−2)²−4×1×m=4−4m。因为 m<0，所以 4−4m>0，即 Δ>0，故方程有两个不相等的实数根。 【知识点睛】判别式判断的是“根的情况”，与开口方向无关；当判别式含参数时，先判断参数范围再定 Δ 的符号。 （四）考点4　根与系数的关系（韦达定理） 【解题技巧】两根之和 x₁+x₂=，两根之积 x₁x₂=。求“倒数之和、平方和”等对称式时，先化为含 x₁+x₂ 与 x₁x₂ 的式子再整体代入。 典型例题4　已知，是方程的两个根，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解析】x₁、x₂ 是方程 x²−2x−1=0 的两个根，x₁+x₂=2，x₁x₂=−1；+===−2。故选 D。 【知识点睛】使用韦达定理前必须化为一般形式并确认 a≠0；符号不要记反：两根和是 ，两根积是 。 （五）考点5　一元二次方程的应用 【解题技巧】面积类问题：把“小道”平移靠边，种植区域拼成一个规则矩形，再列方程；传播握手类：单循环（每两队赛一场）总数=·n(n−1)，互发信息类（每人向其余各人各发一条）=n(n−1)；增长率类：a(1±x)²=b。 典型例题5　如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长米、宽米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为米，则根据题意，列方程为（　　） A． B． C． D． 【解析】将三条小道平移靠边，种植区域拼成一个矩形，其长为 (35−2x) 米、宽为 (20−x) 米，种植面积为600平方米，可列方程 (35−2x)(20−x)=600。故选 C。 【知识点睛】列方程的关键是“平移转化”：把不规则种植区域拼成规则图形；还要注意小道重叠部分不能重复扣除。 （六）考点6　二次函数的图象与性质 【解题技巧】看图象定符号：开口向上 a>0、向下 a<0；与 y 轴交点在 x 轴上方 c>0、下方 c<0；对称轴在 y 轴右侧时 a、b 异号。与 x 轴交点个数决定 Δ 的符号。 典型例题6　如图，二次函数 （a，b，c为常数，且a≠0）的图象的对称轴为直线 小明观察该函数图象后，得出了下面五个结论：①abc≥0；②-4ac>0；③a-b+c>0；④2a-3b=0；⑤当−1<x<1时，y<0，其中正确的结论有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【解析】①开口向上 a>0，与 y 轴交于负半轴 c<0，对称轴 x=>0 得 b<0，故 abc=(+)(−)(−)>0，abc≥0 成立，①对；②与 x 轴有两个交点，Δ=③x=−1 时图象在 x 轴上方，a−b+c>0，③对；④对称轴 x=−4ac>0，②对；③x=−1 时图象在 x 轴上方，a−b+c>0，③对；④对称轴 x=，由=得 2a+3b=0，不是 2a−3b=0，④错；⑤−1<x<1 内图象有部分在 x 轴上方，y<0 不恒成立，⑤错。综上正确的有①②③共 3 个，故选 C。 【知识点睛】图象信息题“一看开口、二看对称轴、三看交点”：逐个结论结合图象判断，特殊点（如 x=−1、x=1）代入也很有效。 （七）考点7　二次函数的顶点与最值 【解题技巧】求顶点：配方法化为 y=a(x−h)²+k，顶点为 (h，k)；或直接代入 x= 求纵坐标。已知顶点求解析式用顶点式。 典型例题7　已知函数 的图象与y轴的交点坐标为(0，10)，求函数图象的顶点坐标. 【解析】图象与 y 轴交于点 (0，10)，当 x=0 时 y=k²+1=10，k=±3；k=3 时 y=x²−6x+10=(x−3)²+1，顶点为 (3，1)；k=−3 时 y=x²+6x+10=(x+3)²+1，顶点为 (−3，1)。故顶点坐标为 (3，1) 或 (−3，1)。 【知识点睛】“由图象与 y 轴交点求参数”：x=0 代入即可；配方法求顶点要熟练，注意开口方向决定最值类型。 （八）考点8　二次函数与坐标轴的交点 【解题技巧】与 y 轴交点 (0，c)；与 x 轴交点个数看 Δ：Δ>0 两个、Δ=0 一个、Δ<0 零个。抛物线与坐标轴“只有一个交点”即只与 y 轴相交，与 x 轴无交点。 典型例题8　在平面直角坐标系中，抛物线是常数与坐标轴有且只有一个交点，写出一个满足条件的a值　 　． 【解析】抛物线必与 y 轴有一个交点；与坐标轴有且只有一个交点，则与 x 轴无交点。令 y=0，2x²+4x−a=0，Δ=4²−4×2×(−a)=16+8a<0，解得 a<−2，如 a=−3（答案不唯一）。 【知识点睛】“与坐标轴只有一个交点”分两类：只与 x 轴相切、只与 y 轴相交。本题开口向上、必过 y 轴，故只能是与 x 轴无交点。 （九）考点9　旋转与中心对称 【解题技巧】判断中心对称图形：把图形绕某点旋转180°后能否与自身重合；判断轴对称图形：找一条直线使两侧能完全重合。既对称又中心对称的图形（如圆、正方形）常作干扰项。 典型例题9　某学校开展了“共走平安路”交通安全主题教育活动．以下交通标识图形既是中心对称图形又是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D． 【解析】A 是轴对称图形，但不是中心对称图形；B、C 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；D 既是轴对称图形，又是中心对称图形。故选 D。 【知识点睛】轴对称“沿直线折”，中心对称“绕点转180°”；画旋转图形时先找旋转中心、旋转角与对应点连线。 五、重难点解析 （一）重点1　一元二次方程解法的选择 【讲透】四种解法各有所长：直接开平方只用于 (x+n)²=p；因式分解法最简，但要会提公因式、平方差与十字相乘；配方法思路通用但计算量大；公式法是“万能解法”，任何一元二次方程都适用。 【典型设问】解一元二次方程时，如何快速选择解法？ 【思路】①观察是否可化为 (x+n)²=p，可则直接开平方；②看左边能否因式分解，能则用因式分解法；③二次项系数为1、一次项系数为偶数，配方法较方便；④都不便时用公式法，先化为一般形式，算出 Δ 再代入求根。 【变式】含参数或系数较大的方程，优先公式法；解完后代入检验，防止计算错误。 （二）重点2　二次函数图象与系数 a、b、c 的关系 【讲透】a 决定开口方向，c 决定与 y 轴交点位置，a、b 联合决定对称轴位置（左同右异）。由图象可以读出 a、b、c 的符号、判别式符号及特殊点的函数值。 【典型设问】由二次函数图象，如何判断 abc、Δ、a±b+c 的符号？ 【思路】①开口方向定 a；②与 y 轴交点定 c；③对称轴在 y 轴左（右）侧时 a、b 同（异）号；④与 x 轴交点个数定 Δ 的符号；⑤x=1、x=−1 对应点的位置定 a+b+c、a−b+c 的符号。 【变式】已知对称轴方程与一个系数符号，可推另一个系数的符号，如对称轴 x=1 时 =1，b=−2a。 （三）重点3　旋转与中心对称的作图与性质 【讲透】旋转作图三要素：旋转中心、旋转角、旋转方向。对应点与旋转中心的连线夹角等于旋转角；中心对称是旋转角为180°的特殊旋转。 【典型设问】画一个图形绕某点旋转 90° 后的图形，如何下手？ 【思路】①确定旋转中心与旋转方向；②连接每个关键点与旋转中心；③按旋转方向作等于旋转角的角，在角的另一边截取相等距离，得到对应点；④顺次连接对应点。 【变式】找旋转中心：连接两对对应点，分别作垂直平分线，交点即为旋转中心。 六、易错点辨析 易错点1　忽略二次项系数 a≠0 一元二次方程 ax²+bx+c=0 中 a≠0 是定义的必要条件。形如“关于 x 的方程 kx²+2x−1=0 是一元二次方程”时，必须取 k≠0；若只说“是一元二次方程”，不能把 k=0 的情形混入。 易错点2　用公式法前未化为一般形式 公式法必须在一元二次方程的一般形式 ax²+bx+c=0 下使用，先确认 a、b、c 的值，再代入 x=。符号容易出错，代入时建议先算 Δ 再求根。 易错点3　二次函数平移方向记反 抛物线平移“上加下减、左加右减”是作用在解析式上的：向上平移加常数，向下平移减常数；向左平移在括号内加，向右平移在括号内减。记反方向是常见错误。 易错点4　旋转角与中心对称图形判断出错 旋转角是“对应点与旋转中心连线的夹角”，不是图形的某个内角；判断中心对称图形要绕某点旋转180°后与自身重合，不要与轴对称图形混淆。 【学习主张】拒绝死记硬背：解方程先观察结构再选方法；图象性质结合图形理解“为什么”；错题重做一遍胜过背十遍结论。 【记忆口诀】一元二次看三样：一个未知、次数二、整式方程；判别式定根况：大于零两不等，等于零两相等，小于零无实根；和是负a分之b，积是a分之c；开口看 a，交点看 c，对称轴左同右异记心间；平移上加下减、左加右减；旋转三要素，中心角与方向。 七、考点分层精练 按考点分层编排，基础层重过关、提升层重应用、拓展层重迁移；建议基础层20分钟、提升层15分钟、拓展层12分钟。 （一）基础层（第1～10题，覆盖一元二次方程基础与二次函数初步） 1．抛物线y=+4的顶点坐标是（　　） A．(3， 4) B．(-3， 4) C．(-3，-4) D．(3，-4) 2．已知二次函数 则其二次项系数a、一次项系数b、常数项c分别为 (　　) A．a=2， b=-3， c=1 B．a=2， b=3， c=1 C．a=1， b=3， c=2 D．a=1， b=-3， c=2 3．用14米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为10平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列方程为(　　) A．x(7-x)=10 B．x(7+x)=10 C．x(14-x)=10 D．x(14-2x)=10 4．如果x=4是关于x的一元二次方程 的一个根，则常数a的值是(　　) A．2 B．-2 C．±4 D．4 5．下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．﹣y+1＝0 B．x﹣＝0 C．﹣1＝0 D．﹣2x(x+7)＝0 6．若关于x的方程的一个根是x=1，则a的值是(　　) A．-3 B．3 C．-6 D．6 7．一元二次方程 的根的情况是（  ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 8．用配方法解一元二次方程，下列配方正确的是（　　） A． B． C． D． 9．一个QQ群里共有x个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息420条，则可列方程为(　　) A． B．x(x-1)=420 C． D．x(x+1)=420 10．用配方法解方程配方后可化为(　　) A． B． C． D． （二）提升层（第11～16题，覆盖顶点式、韦达定理与平移、旋转综合） 11．已知抛物线 则该抛物线的对称轴是(　　) A．直线x=-2 B．直线x=-1 C．直线x=1 D．直线x=3 12．抛物线 (m是常数)的顶点坐标是(4，3)，则m的值为(　　) A．2 B．-4 C．4 D．±4 13．组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（　　） A． B． C． D． 14．已知关于x的方程 有一个根为1，则方程的另一个根为(　　) A．- 1 B．1 C．2 D．- 2 15．将抛物线 先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则所得到的抛物线的解析式是(　　) A． B． C． D． 16．如图的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（　　） A．点A B．点B C．点C D．点D （三）拓展层（第17～20题，综合迁移与几何、代数论证） 17．已知抛物线的顶点坐标为（3，-1），该抛物线的图象在x轴上截得的线段长为2. （1）求该抛物线图象与x轴的交点坐标. （2）求该抛物线的表达式. 18．已知二次函数 （h为常数）的图象经过点 A(−2，3)。 （1）求此二次函数的解析式； （2）将抛物线先向左平移n(n>0)个单位，再向上平移5个单位，平移后的函数图象恰好经过原点，求n的值. 19．已知关于的一元二次方程（为常数）． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根． 20．（1）解方程：x(x-2)=x-2；（2）解方程：=。 八、参考答案与解析 1．【答案】A 【解析】与顶点式 y=a(x−h)²+k 对比，h=3，k=4，顶点坐标为 (3，4)。 2．【答案】D 【解析】一般形式 y=ax²+bx+c 中，a=1，b=−3，c=2。 3．【答案】A 【解析】矩形窗框周长 14 米，相邻两边之和为 7 米；一边为 x 米，另一边为 (7−x) 米，面积 x(7−x)=10。 4．【答案】D 【解析】把 x=4 代入 x²−3x−a=0：16−12−a=0，解得 a=4。 5．【答案】C 【解析】A 含有两个未知数；B 分母含未知数，不是整式方程；D 化简后得 −14x=0，是一元一次方程；C 符合一元二次方程的定义。 6．【答案】D 【解析】把 x=1 代入 6x²−ax=0：6−a=0，解得 a=6。 7．【答案】B 【解析】Δ=(−4)²−4×1×4=16−16=0，方程有两个相等的实数根。 8．【答案】B 【解析】x²−2x−1=0 移项得 x²−2x=1，两边加 1 得 x²−2x+1=2，即 (x−1)²=2。 9．【答案】B 【解析】每个好友给其他 (x−1) 人发信息，x 个好友共发 x(x−1) 条，即 x(x−1)=420。 10．【答案】A 【解析】2x²−x=4，两边除以 2 得 x²−x=2，配方：x²−x+=2+=，即 (x−)²=。 11．【答案】C 【解析】顶点式 y=a(x−h)²+k 的对称轴为直线 x=h，y=−2(x−1)²+3 的对称轴是直线 x=1。 12．【答案】B 【解析】顶点为 (4，3)，h=4，由 y=−(x+m)²+3 知 −m=4，m=−4。 13．【答案】B 【解析】单循环赛总场数=x(x−1)，计划安排 7 天、每天 4 场，共 28 场，故 x(x−1)=28。 14．【答案】C 【解析】由韦达定理，两根之和 x₁+x₂=3；一根为 1，另一根为 3−1=2。 15．【答案】B 【解析】y=x² 向右平移 2 个单位得 y=(x−2)²，再向上平移 3 个单位得 y=(x−2)²+3。 16．【答案】B 【解析】旋转中心在对应点连线的垂直平分线交点处，作 PP₁、NN₁ 的垂直平分线，交点落在点 B。 17．【答案】解：（1）(2，0)、(4，0)；（2）y=(x−3)²−1。 【解析】（1）顶点为 (3，−1)，对称轴为直线 x=3；在 x 轴上截得的线段长为 2，两个交点关于 x=3 对称，坐标分别为 (2，0)、(4，0)。（2）设 y=a(x−3)²−1，代入 (2，0)：a×(2−3)²−1=0，a=1，解析式为 y=(x−3)²−1。 18．【答案】解：（1）y=−(x+1)²+4；（2）n=2。 【解析】（1）把 A(−2，3) 代入 y=−(x+1)²+h：3=−(−1)²+h=−1+h，h=4，解析式为 y=−(x+1)²+4。（2）左移 n 个单位、上移 5 个单位后为 y=−(x+1+n)²+9；过原点，代入 (0，0)：−(1+n)²+9=0，(1+n)²=9，n=2 或 n=−4，n>0，故 n=2。 19．【答案】解：（1）方程总有两个不相等的实数根；（2）k=2，另一个根为 1。 【解析】（1）Δ=(k+2)²−4(2k−1)=k²+4k+4−8k+4=k²−4k+8=(k−2)²+4。因为 (k−2)²≥0，所以 (k−2)²+4>0，即 Δ>0，方程总有两个不相等的实数根。（2）把 x=3 代入：9−3(k+2)+2k−1=0，9−3k−6+2k−1=0，k=2；方程为 x²−4x+3=0，即 (x−3)(x−1)=0，x₁=3，x₂=1，另一个根为 1。 20．【答案】解：（1）x₁=2，x₂=1；（2）x₁=1，x₂=−1。 【解析】（1）x(x−2)−(x−2)=0，(x−2)(x−1)=0，x−2=0 或 x−1=0，x₁=2，x₂=1。（2）(3x−4)²−(4x−3)²=0，[(3x−4)+(4x−3)]·[(3x−4)−(4x−3)]=0，(7x−7)(−x−1)=0，7x−7=0 或 −x−1=0，x₁=1，x₂=−1。 学科网（北京）股份有限公司 $