专题03二次函数的概念及图象与性质期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题03二次函数的概念及图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数定义，识别二次函数三要素：整式函数、自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0；能判断式子是否为二次函数，会写出二次函数一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.能根据二次函数定义求参数，牢记隐含条件(a≠0)；会求二次函数自变量取值范围，会代入自变量求函数值。 3.掌握二次函数几种表达式：一般式、顶点式；理解顶点式y=a(x-h)2+k中(a、h、k)的几何意义。 4.掌握二次函数y=ax2图象与性质，知道a决定抛物线开口方向与开口大小；能区分(a>0)开口向上、(a<0)开口向下，会判断增减性、顶点与最值。 5.理解图象平移规律：“左加右减，上加下减”，能对抛物线进行平移变换，根据平移前后解析式互推。 6.会画二次函数图象，掌握五点作图法；能从图象读取信息：顶点坐标、对称轴、最值、增减区间、与坐标轴交点。 7.能根据二次函数图象判断(a、b、c、)的符号，判断相关代数式的正负；会利用对称轴比较抛物线上点的函数值大小。 8.能结合图象求解不等式、方程；理解二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与 x 轴交点个数对应一元二次方程根的情况。 9.梳理易错点：平移只针对自变量x；比较函数值优先看对称轴、开口方向；判断(a,b,c)符号注意图象位置；求参数不忘(a≠0)。 10.强化数形结合思想，能在解析式、图象、文字描述三者之间灵活转化，规范答题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十五 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十六 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 题型十八 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 2.各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 形式名称 表达式 适用条件 / 优点 一般式 y = ax² + bx + c 最通用的形式，适用于已知图象上三个点的坐标。 顶点式 y = a(x - h)² + k 直接给出顶点坐标(h, k)，适用于已知顶点或对称轴的情况。 交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂) 直接给出图象与x轴的两个交点坐标(x₁,0)和(x₂, 0)，适用于已知与 x 轴的交点。 4.一次、反比例、二次函数对比表 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点07:高频易错点 1.概念易错 判断二次函数忽略 a≠0；自变量最高次数为 2，但含 x2系数为 0，误判为二次函数。 2.平移易错 左右平移时忘记给 x 整体加 / 减，直接在 x 后加减数字；平移方向与加减符号记反。 3.图像性质易错 描述增减性不写对称轴分界区间，直接说 y 随 x 增大增大 / 减小； 求顶点横坐标时，漏掉对称轴公式里的负号； 混淆最大值、最小值a>0 有最小，a<0 有最大）。 4.坐标计算易错 求抛物线与 y 轴交点错代 x=1，正确令 x=0； 比较函数值大小，不会利用 “到对称轴距离” 快速判断。 题型一：列二次函数关系式 1．下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义（形如，其中），逐一分析各选项变量间的关系式，判断是否为二次函数即可． 【详解】解：A．正方形的周长与边长的关系为，是一次函数，不符合题意； B．正方形的面积与边长的关系为，符合二次函数形式，符合题意； C．三角形的高一定时，面积与底边的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； D．速度一定时，路程与时间的关系为（为定值），是一次函数，不符合题意； 故选：B． 2．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：1月的研发资金题目直接给出，为10万元； 2月比1月增长率为x，因此2月研发资金月资金×（增长率），即万元； 3月比2月增长率同样为x，因此3月研发资金月资金×（增长率），即 万元； 把三个月的资金相加，得到一季度总研发资金的函数关系式：． 3．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是___________（写出顶点式和一般式均可）． 【答案】 【分析】由图知此抛物线的对称轴为x==20，所以顶点为（20，16），可设y=a（x-20）+16，又图象过（0，0）点，所以可求出其解析式． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为，所以顶点坐标为：， 可设此抛物线的解析式为：，① 又此抛物线过点， 代入①式得：， 解得：． 所以此抛物线的解析式为：． 故答案为 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系，求出顶点的坐标是解题的突破口. 题型二：二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断二次函数的核心是最高次项次数为且二次项系数不为． 【详解】解：选项，未明确，当时不是二次函数； 选项，的最高次项次数为，是一次函数； 选项，，最高次项次数为，是一次函数； 选项，符合二次函数的要求． 5．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是判断各选项中的系数对任意实数是否恒不为0． 【详解】解：二次函数的二次项系数不能为0． 选项A：当时，二次项系数为0，不是二次函数． 选项B：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项C：当时，，二次项系数为0，不是二次函数． 选项D：∵，∴，即对任意实数，二次项系数恒不为0，一定是二次函数． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的定义，一般的，形如（，，是常数，且）的函数叫做二次函数． 【详解】解：①符合定义，是二次函数． ②符合定义，是二次函数． ③，符合定义，是二次函数． ④不符合定义，不是二次函数． ⑤不符合定义，不是二次函数． ⑥，因为为常数，所以，符合定义，是二次函数． ⑦，符合定义，是二次函数． 综上所述，符合条件的二次函数共个，故选C． 题型三：根据二次函数的定义求参数 7．若函数是二次函数，则m的值为______． 【答案】3 【分析】根据形如的函数称为二次函数进行求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， ∴． 8．若是二次函数，则a的值是__________． 【答案】 【分析】根据二次函数定义，分别列出次数和系数的条件，求解后舍去不符合要求的值即可． 【详解】解：根据二次函数定义可得， 解得， ， ， ． 9．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义得到，依据a、b、c的选法通过计算即可得到答案 【详解】由题意， ∴a有四种选法：1、2、3、4， ∵b和c都有五种选法：0、1、2、3、4， ∴共有=100种， 故选：B 【点睛】此题考查二次函数的定义，有理数的乘法运算，根据题意得到a、b、c的选法是解题的关键． 题型四：y=ax2的图象和性质 10．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 【答案】 【分析】根据解析式可得开口方向和对称轴，进而可得增减性，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，二次函数的开口向上，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵二次函数的图象经过点，，且， ∴． 11．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 【答案】D 【分析】本题考查了基本二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，顶点坐标，结合图象进行判断． 【详解】解：由抛物线可知， A.，抛物线开口向上，故选项A正确，不符合题意； B.顶点坐标为，故选项B正确，不符合题意； C.对称轴为直线，故选项C正确，不符合题意； D.当时，y有最小值0，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 12．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 【答案】 【分析】分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、，设，，，则，，，再根据正三角形的边长，分别表示，，的纵坐标，代入抛物线中，求、、的值，得出规律． 【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为、、， 设，，， 由勾股定理则，，， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， 在中，， 代入中，得，解得（负值已舍去），即， …， 以此类推由此可得的边长为． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 13．填空题： （1）把抛物线向_____平移_____个单位长度，就得到抛物线； （2）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （3）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （4）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （5）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （6）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线． 【答案】 上 1 下 1 下 1 上 1 下 2 上 2 【分析】掌握二次函数的图象的平移规律：抛物线上下平移遵循上加下减，向上平移，常数项加；向下平移，常数项减，二次项系数保持不变． 【详解】解：（1）常数项为0，常数项为1，常数项增加1，向上平移1个单位； （2）常数项为1，常数项为0，常数项减少1，向下平移1个单位； （3）常数项为0，常数项为，常数项减少1，向下平移1个单位； （4）常数项为，常数项为0，常数项增加1，向上平移1个单位； （5）常数项为1，常数项为，常数项减少2，向下平移2个单位； （6）常数项为，常数项为1，常数项增加2，向上平移2个单位． 14．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 【答案】2 【分析】设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|，因点P在x轴上方，所以x2-1>0，由勾股定理求得OP=x2+1，即可求得OP-PH=2，得出答案． 【详解】解：设p(x，x2-1)，则OH=|x|，PH=|x2-1|， 当点P在x轴上方时，∴x2-1>0, ∴PH=|x2-1|=x2-1， 在Rt△OHP中，由勾股定理，得 OP2=OH2+PH2=x2+(x2-1)2=(x2+1)2， ∴OP=x2+1， ∴OP-PH=（x2+1）-（x2-1）=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，利用坐标求线段长度是解题的关键． 15．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，二次函数与几何变换．由抛物线与轴交点坐标得出抛物线的解析式，再根据周期为8即可求出的值． 【详解】解：一段抛物线， 图象与轴交点坐标为：，， ， 将绕点旋转得， ， 抛物线， 且曲线的一个周期长为8， 在这种连续变换的图象上，且， ∴． 故选：A． 题型六：y=a(x-h)2的图象和性质 16．函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数顶点式确定顶点坐标特征对各选项的图象分析即可． 【详解】解： 函数解析式为 ， 抛物线的顶点坐标为 ， 抛物线的顶点一定在 轴上 观察图象，A、B、D选项的顶点均在轴上，C选项图象的顶点在轴正半轴上，不在轴上， 该图象不可能是函数的图象． 17．已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 【答案】 【详解】解：， ， ， ∴． 18．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 【答案】A 【分析】先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 题型七：y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数顶点式的性质，由的符号判断开口方向，由确定顶点位置及对称轴． 【详解】解：， 抛物线开口向下，故 C、D不符合题意； 顶点坐标为， 顶点在第二象限，对称轴为直线在轴左侧，故A不符合题意，故B符合题意． 20．已知，是抛物线上两点，则正数__________． 【答案】 【分析】已知两点纵坐标相等，都在抛物线上，将两点坐标代入抛物线解析式，得到关于的等式，分类讨论舍去不符合题意的，即可得到正数的值． 【详解】解：∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． ∵是抛物线上的点， ∴，整理得， ∴． 当时，若，得，不符合两点是不同点的条件，舍去； 若，得，不是正数，舍去． 当时，若，得，不符合条件，舍去； 若，得，符合正数要求． 综上，正数． 21．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次函数顶点式得到顶点坐标，再根据题目给出的“点值”定义列一元一次方程，即可求解出的值． 【详解】解：∵二次函数解析式为顶点式 ， ∴该二次函数图象的顶点坐标为 ， ∵顶点的“点值”为 ， 且点值定义为 ， ∴代入顶点坐标得 ， 整理得 ， 解得 . 题型八：二次函数图象的平移 22．如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位， 得，即； 再向上平移1个单位，得，即. 23．把抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________．（顶点式） 【答案】 【分析】根据抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律，逐步变换得到新抛物线的顶点式解析式． 【详解】解：抛物线平移遵循“左加右减，上加下减”的规律， 抛物线为，向右平移个单位长度，得， 向下平移个单位长度，得， 整理得抛物线解析式为． 24．将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右2个单位长度，再向上3个单位长度 B．向右2个单位长度，再向下3个单位长度 C．向左2个单位长度，再向上3个单位长度 D．向左2个单位长度，再向下3个单位长度 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据顶点平移情况判断整体平移方向．通过比较抛物线的顶点坐标的变化，比较顶点坐标的变化来确定平移方向． 【详解】解：原抛物线 的顶点坐标为 ， 平移后抛物线 的顶点坐标为 ， ∵ 顶点从 平移到 ， ∴ 坐标减少 2，即向左平移 2 个单位； 坐标减少 3，即向下平移 3 个单位． ∴ 平移的方向和距离是向左平移 2 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度． 故选：D． 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 25．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 26．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于_________． 【答案】7或15． 【分析】根据题意可知，抛物线顶点纵坐标是±4，化成顶点式求解即可． 【详解】解：∵抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4， ∴抛物线顶点纵坐标是±4， 抛物线y=x2-6x+c-2化成顶点式为：y=(x-3)2+c-11， c-11=4，c=15， c-11=-4，c=7， 故答案为：7或15． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点坐标，解题关键是理解到x轴的距离是纵坐标的绝对值，注意：分类讨论． 27．在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 【答案】D 【分析】先将二次函数配方确定对称轴，结合开口方向与的取值范围确定最值对应的值，再根据最小值为列方程求出，进而计算； 【详解】解：将二次函数配方得， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点处取得最大值， ∵，对称轴在取值范围内， ∴当时，取最大值，即， 当时，， 当时，， ∵， ∴当时，取最小值，即， 解得， ∴． 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 28．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．最大值为 D．顶点坐标是 【答案】D 【详解】解：， ， 抛物线开口向下，A错误； 由顶点式可得，对称轴为直线，B错误；顶点坐标为，D正确； 抛物线开口向下， 函数最大值为，C错误； 故选：D． 29．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 【答案】2 【分析】首先求出抛物线开口向上，对称轴为直线，得到当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，然后分三种情况讨论，分别求解即可． 【详解】解：∵函数 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 在中： 当时，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 在中： 当时，当时，函数的最小值为， ∴ 解得或（舍去）； 在中： 当时，y随x的增大而减小， 当时，函数的最小值为， ∴ ∴，不符合题意，舍去； 综上所述，． 30．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定抛物线的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的距离，结合增减性判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴开口向下时，抛物线上的点到对称轴的距离越近，对应的值越大． ∵点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 且， ∴． 31．若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】先求出二次函数的对称轴，根据判断开口方向，得到开口向上时，点到对称轴的距离越远函数值越大，再比较A、B两点的函数值大小，推导得到的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越远，函数值越大， 计算得， ∴， ∴A点到对称轴的距离大于B点到对称轴的距离， ∵A点横坐标为，A到对称轴的距离为， ∴， 解不等式得， 观察选项，只有在该范围内，因此的值可能是． 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 32．下列二次函数的图象开口向下的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：二次函数的图象开口向下，则二次项系数小于0，观察四个选项，只有符合． 33．已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象性质，熟练掌握二次函数图象性质是解题的关键． 由点，代入二次函数，根据推导出，再分析a的符号对的影响． 【详解】解：二次函数图象经过点，， 则，， 由于，得 整理得： 令 则， 当时， 则 故选：C． 34．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给图象结合二次函数的图象及性质进行判断即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵与轴交点在轴下方， ∴， ∴，A选项错误； ∵对称轴在轴右侧，抛物线与轴的交点一个在轴左侧，一个在轴右侧， ∴， ∴，C选项错误； ∵， ∴，B选项正确； 当时，， ∴，D选项错误； 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 35．二次函数与一次函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致应为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：因为二次函数的图象开口向上，故可排除B、C； 因为一次函数的图象经过二、三、四象限，故可排除A； 故符合题意的图象为D选项． 36．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象与一次函数的图象特点逐一排除即可． 【详解】解：根据二次函数的图象与一次函数的图象性质逐项分析判断如下： A、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； B、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，符合题意； C、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意； D、此选项由函数图象可得，，由图象可得，，不符合题意． 37．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据抛物线的开口方向和与轴的交点可得，，可知一次函数的图象经过一、二、四象限，再根据对称轴可得二次函数，然后结合图象可得，最后根据一次函数，当时，判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴． ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． ∵抛物线的对称轴是， ∴，即二次函数． 当时，． 对于一次函数，当时，， ∴图象D符合题意． 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 38．已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图像上，则；④方程有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是______.（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①③④ 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图像与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】将，，代入得， ，解得：， ∴二次函数解析式为：， ∴，故①正确； 对称轴为直线，即当时，函数的值最小，故②错误； 将点，点代入二次函数的解析式得： ， ， ∴，故③正确； 方程，即， ∴， ∴， ∴有两个不相等的实数根.其中，故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，理解和掌握二次函数的图像与系数的关系是正确判断的关键． 39．已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有______个． 【答案】3 【分析】根据函数图像和二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图像可知：， ，， ∴，故①正确； 当时，函数有最大值，故②正确； 方程的解是，，故③正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故④错误； 故答案为：3 【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 40．如图，抛物线经过点，，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．方程的解为， D．若抛物线上有点，，，则 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点判断的符号及关系；利用二次函数的性质判断最值问题；利用方程根与系数的关系或倒数关系判断方程的解；利用二次函数图象上点的坐标特征及对称性比较函数值大小 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点，， 对称轴为直线， ，即， 当时，， 由图象可知， ，故A错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，函数取得最小值， 对于任意实数，都有， 即， ，故B错误； 抛物线经过点，， 方程的解为，， 方程的解为原方程解的倒数，即，，故C错误； 抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 离对称轴越远的点，函数值越大， ，，， ， ，故D正确． 题型十四：已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线是轴对称图形，其与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，因此对称轴为两个交点连线的垂直平分线，对称轴对应的横坐标为两个交点横坐标的平均值． 【详解】解：已知两个交点的横坐标分别为2和4，因此对称轴对应的横坐标为： 所以，对称轴为． 42．已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 【答案】 【分析】由抛物线经过点和可得抛物线的对称轴为直线，则，然后求出的值即可． 【详解】解：∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得，即的值是． 43．二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x部分取值与函数y对应关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 4 … 则的值是（     ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由表格中值相等的两组值确定二次函数对称轴，结合对称轴公式计算的值． 【详解】解：由表格可知，当与时，的值均为， ∴ 该二次函数的对称轴为直线， ∵ 二次函数的对称轴为直线， ∴ ， 整理得． 题型十五：根据二次函数的对称性求函数值 44．点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键． 通过直接计算两点对应的函数值，比较大小． 【详解】点在二次函数上， ， 点在二次函数上， ， ， ． 故选：． 45．若抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．先求出抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的对称性求解即可得． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为， ∴这个抛物线与轴的另一个交点的坐标为，即为， 故答案为：． 46．已知二次函数（a、b、c是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … 当时，x的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据表格得出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．根据表格中的数据可知抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合表格及抛物线特征可得当时，自变量的取值范围． 【详解】解：由表格知：抛物线开口向上，顶点坐标为， 故当时与时函数值相同， ∴，当时，即当时， 由表格得． 故答案为：． 题型十六：y=ax2+bx+c的最值 47．二次函数的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ∵，对称轴为， ∴抛物线开口向上，函数的最小值为． 48．当时，函数最大值与最小值之差为______ 【答案】16 【分析】首先将二次函数配方成顶点式，然后得到二次函数开口向下，当时，y取得最大值4，然后得到当时，y取得最小值，进而求解即可． 【详解】解：∵ ∵二次项系数为 ∴二次函数开口向下 ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小 ∴当时，y取得最大值4 ∵，， ∴当时，y取得最小值 ∴ ∴当时，函数最大值与最小值之差为16． 49．已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 【答案】 【分析】先根据二次函数顶点式确定开口方向和顶点坐标，再计算给定x范围内端点的函数值，比较得到y的最值，即可确定y的取值范围． 【详解】解：已知二次函数为， ∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，顶点是函数的最高点， ∵在范围内， ∴的最大值为， 分别计算区间端点的函数值： 当时，， 当时，， ∵， ∴的最小值为， 因此的取值范围是． 50．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可，注意一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，顶点坐标为， ∵且， ∴，分两种情况讨论： ①当时，当时，y取最小值，则，解得：或（均不合题意，舍去）； ②当时，则当时，y取最小值，则，解得：， 当时，y取最大值，则，解得：，（不合题意，舍去）， 综上，， ∴． 题型十七：利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 【详解】解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 52．已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 【答案】 【分析】本题考查了利用二次函数对称性求最短路径，二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质；根据二次函数的对称性可知，当B，C，D三点共线时，的值最小，求出直线的解析式，进而求出D 的坐标． 【详解】解：， 对称轴为直线， 令，得， 解得， ， 令，， ， 如图， 连接，交对称轴于D，则， ， 当B，C，D三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：． 53．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 【答案】C 【分析】如图所示过点P作PE⊥x轴于点E，由抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，得到PE=PF，则△PMF的周长=FM+PM+PF，则要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小，故当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME，由此求解即可． 【详解】解：如图所示过点P作PE⊥x轴于点E， ∵抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等， ∴PE=PF， ∴△PMF的周长=FM+PM+PF， ∴要使△PMF周长最小，则PM+PF最小，即PM+PE最小， ∴当P、M、E三点共线时，PM+PE的值最小，最小为ME， ∵M坐标为（3，6）， ∴ME=6， ∴PF+PM=6 ∵F（0，2）， ∴ ∴△PMF周长的最小值=ME+FM=6+5=11， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够准确读懂题意得到PE=PF． 题型十八：待定系数法求二次函数解析式 54．二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 【答案】D 【分析】将两个点的坐标代入二次函数解析式，得到关于和的方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵ 图象经过点和， ∴ 代入解析式 得， ， 解得 ， 故选：D． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数解析式． 55．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质， 根据抛物线的对称性求得，根据平行四边形的性质求得A的坐标，然后根据待定系数法即可求得． 【详解】解：∵过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，轴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵A的坐标为， ∴， 设抛物线为， 代入D的坐标得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 56．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于， 两点，若，抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定，两点的坐标，求出对称轴，再将点的坐标代入函数解析式即可解答． 【详解】解：，点， ， ， ， ，， , , 将代入得， ， ， ∴抛物线的解析式为． 解答题 57．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)顶点，当时，y随x增大而减小 【分析】（1）根据二次函数的定义求解即可； （2）将函数变为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得，， ∴顶点为,开口向下， ∵， ∴当时，y随x增大而减小． 58．如图①，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象性质、数形结合的思想方法的运用是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先利用待定系数法求出直线解析式，进而求出点C的坐标，根据轴得到点D的纵坐标为，进而求出点D的坐标； （3）先求出直线解析式，再求出直线在时的两点和的坐标，根据平移的性质得到的解析式，根据图象求出抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 抛物线的表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： ， 解得， 直线的解析式为， 设点的横坐标为，则点C的坐标为， 轴， 点D的纵坐标为， 点D在直线上， 将点D的纵坐标为代入得： ， 解得， 点D的坐标为； （3）解：设直线的解析式为， 将点，点代入得： 解得， 直线的解析式为， 当时，，直线对应点为， 当时，，直线对应点为， 将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线， 则的解析式为， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有一个公共点， 则， 解得， 当抛物线经过点时，抛物线与线段有两个公共点， 则， 解得， 当抛物线与直线有唯一公共点时， ， 整理得， ， 解得， 当时，当抛物线与直线只有1个交点时，的取值范围为或． 59．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 【答案】(1)； (2)所作函数图象如图所示． 【分析】（1）将原式化为顶点式即可求解． （2）分别将，，，代入解析式，求得相应函数值，画图即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴该函数的顶点坐标为； （2）解：将代入中， 即； 将代入中， 即； 将代入中，即， 解得：，； 将代入中， 即； ∴函数在时的图象经过，，，，但不包含． 作图略 60．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 【答案】, 【分析】利用抛物线对称性求出另一个x轴交点，设交点式代入B点求解析式，再代得顶点C的坐标． 【详解】解：根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的两个交点的对称轴即为， 设另一个交点为，则有，解得， ∴抛物线与x轴的交点为、， ∴设抛物线交点式为， 又∵抛物线过点， 代入、有，解得， ∴抛物线解析式为， ∵点C为顶点，即代入有， 故． 61．如图，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于、两点，直线过、两点，是位于直线下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线对称轴上一点，则的最小值为______； (3)连接，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，面积最大值 【分析】（1）已知抛物线顶点，设顶点式，代入点坐标求出，展开得到解析式； （2）利用抛物线对称性，、关于对称轴直线对称，则，，两点之间线段最短，最小值就是线段长度； （3）作轴交直线于，面积可以拆分为，底为，高之和等于、的水平距离，面积，先求表达式，再求面积最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线顶点式：． 抛物线过，代入：， 解得， ∴， ∴抛物线解析式：． （2）解：令，， 解得，， ∴，． 抛物线对称轴为直线，是抛物线对称轴上一点，关于对称轴直线对称， ． ， 当三点共线时，最小，最小值为长． 已知， ∴， 最小值为． （3）解：设直线解析式，代入， ， ， ∴直线． 过点作轴交直线于， 设，则， ， ， 这是开口向下的二次函数，当时，面积最大． 把代入抛物线： ， ， 最大面积：． 62．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1)①A的最小值为5， ②B的最大值为6． (2)，理由如下： ，， ， ， ， ； (3) 【分析】（1）①将代数式A通过配方转化为完全平方的形式，再根据完全平方的非负性求最小值； ②先提出一个负号，再对括号内的式子进行配方，最后根据完全平方的非负性求最大值． （2）分别表示出甲、乙两块种植园的面积，然后通过作差法比较大小，同样需要利用完全平方公式进行变形． （3）首先需通过作高构造直角三角形，利用勾股定理建立边a与b的等量关系：然后将该关系代入目标式，转化为关于b的二次函数，最后利用配方法求最值，得到此时b的值． 【详解】（1）解：① ∴当时，， 有最小值，最小值为5，即的最小值为5． ② ∴当时，， 有最大值，最大值为6，即B的最大值为6． （2）略 （3）由题意，作于点D， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴ ∴ 化简，得 设，将代入得： ∴当时，y取得最大值， ∴当最大时，b的值为8． 63．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 【答案】(1)， (2) 证明：∵抛物线的顶点在轴上方，对称轴为， ∴当时，； (3)当时，；当或时，． 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数和x轴交点问题，解题的关键是熟练的掌握二次函数图象与系数的关系． （1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定的符号； （2）根据图象和的函数值确定与0的关系； （3）根据抛物线在x轴上方时；抛物线在x轴下方时求解即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴， ∴， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴； （2）略 （3）根据图象可知， 当时，；当或时，． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03二次函数的概念及图象与性质期中复习讲义 1.理解二次函数定义，识别二次函数三要素：整式函数、自变量最高次数为 2、二次项系数不为 0；能判断式子是否为二次函数，会写出二次函数一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)，分清二次项、一次项、常数项及对应系数。 2.能根据二次函数定义求参数，牢记隐含条件(a≠0)；会求二次函数自变量取值范围，会代入自变量求函数值。 3.掌握二次函数几种表达式：一般式、顶点式；理解顶点式y=a(x-h)2+k中(a、h、k)的几何意义。 4.掌握二次函数y=ax2图象与性质，知道a决定抛物线开口方向与开口大小；能区分(a>0)开口向上、(a<0)开口向下，会判断增减性、顶点与最值。 5.理解图象平移规律：“左加右减，上加下减”，能对抛物线进行平移变换，根据平移前后解析式互推。 6.会画二次函数图象，掌握五点作图法；能从图象读取信息：顶点坐标、对称轴、最值、增减区间、与坐标轴交点。 7.能根据二次函数图象判断(a、b、c、)的符号，判断相关代数式的正负；会利用对称轴比较抛物线上点的函数值大小。 8.能结合图象求解不等式、方程；理解二次函数与一元二次方程的联系：抛物线与 x 轴交点个数对应一元二次方程根的情况。 9.梳理易错点：平移只针对自变量x；比较函数值优先看对称轴、开口方向；判断(a,b,c)符号注意图象位置；求参数不忘(a≠0)。 10.强化数形结合思想，能在解析式、图象、文字描述三者之间灵活转化，规范答题步骤。 题型 考察方向 难度 题型一 列二次函数关系式 ★ 题型二 二次函数的识别 ★ 题型三 根据二次函数的定义求参数 ★★ 题型四 y=ax2的图象和性质 ★★ 题型五 y=ax2+k的图象和性质 ★★ 题型六 y=a(x-h)2的图象和性质 ★★ 题型七 y=a(x-h)2+k的图象和性质 ★★ 题型八 二次函数图象的平移 ★★ 题型九 把y=ax2+bx+c化成顶点式 ★★ 题型十 y=ax2+bx+c的图象与性质 ★★ 题型十一 二次函数图象与各项系数符号 ★★★ 题型十二 一次函数、二次函数图象综合判断 ★★★ 题型十三 根据二次函数的图象判断式子符号 ★★★ 题型十四 已知抛物线上对称的两点求对称轴 ★★ 题型十五 根据二次函数的对称性求函数值 ★★ 题型十六 y=ax2+bx+c的最值 ★★★ 题型十七 利用二次函数对称性求最短路径 ★★★ 题型十八 待定系数法求二次函数解析式 ★★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:二次函数的概念 1. 定义 一般地，形如y=ax²+bx+ c(a、b、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。 三个必备判定条件，缺一不可： 函数解析式是整式； 自变量 x 的最高次数为 2； 二次项系数 a≠0。 2.各部分名称 y=ax2+bx+c (a≠0) ax2：二次项，a 为二次项系数；bx：一次项，b 为一次项系数；c：常数项。 3. 二次函数三种表达式 形式名称 表达式 适用条件 / 优点 一般式 y = ax² + bx + c 最通用的形式，适用于已知图象上三个点的坐标。 顶点式 y = a(x - h)² + k 直接给出顶点坐标(h, k)，适用于已知顶点或对称轴的情况。 交点式 y = a(x - x₁)(x - x₂) 直接给出图象与x轴的两个交点坐标(x₁,0)和(x₂, 0)，适用于已知与 x 轴的交点。 4.一次、反比例、二次函数对比表 函数类型 标准解析式 自变量最高次数 图像 一次函数 y=kx+b (k≠0) 1 直线 反比例函数 y=(k≠0) -1 双曲线 二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0) 2 抛物线 知识点02:特殊形式：y=ax2(a0) 1. 图象特征 图象是抛物线，关于 **y 轴（直线x=0）** 对称。 顶点是原点(0,0)。 ∣a∣ 越大，抛物线开口越窄；∣a∣ 越小，开口越宽。 2. 核心性质 性质 a>0 a<0 开口方向 向上 向下 顶点性质 最低点 最高点 增减性 x<0：y 随 x 增大而减小 x>0：y 随 x 增大而增大 x<0：y 随 x 增大而增大 x>0：y 随 x 增大而减小 最值 当 x=0 时，y最小=0 当 x=0 时，y最大=0 知识点03:参数 a、b、c、Δ 的几何意义. a：决定开口方向与大小；a>0 向上，a<0 向下；∣a∣ 越大开口越窄。 b：与 a 共同决定对称轴位置（左同右异）：ab>0 对称轴在 y 轴左侧；ab<0 对称轴在 y 轴右侧。 c：决定与 y 轴交点；c>0 交 y 轴正半轴；c=0 过原点；c<0 交 y 轴负半轴。 Δ=b2−4ac：决定与 x 轴交点个数；Δ>0 两个交点；Δ=0 一个交点（顶点在 x 轴）；Δ<0 无交点。 知识点04:一般形式：y=ax 2+bx+c (a0) 1. 解析式互化（配方法） 知识点05:图象画法（描点法） 1.化顶点式：将 y=ax2+bx+c 化为 y=a(x−h)2+k。 2.定三要素：开口方向、对称轴 x=h、顶点 (h,k)。 3.对称描点：在对称轴两侧取对称点，用平滑曲线连接。 知识点06:二次函数的平移规律 抛物线的平移是指将抛物线y = ax²的图象进行上下左右移动，得到y = a(x - h)² + k的图象。 1.左右平移：由h的值决定。 *h > 0：抛物线y = ax²向右平移h个单位。 *h < 0：抛物线y = ax²向左平移|h|个单位。 2.上下平移：由k的值决定。 *k > 0：抛物线y = a(x - h)²向上平移k个单位。 *k < 0：抛物线y = a(x - h)²向下平移|k|个单位。 “左加右减”是对x本身进行的变化。 “上加下减”是对整个函数值y进行的变化。 知识点07:高频易错点 1.概念易错 判断二次函数忽略 a≠0；自变量最高次数为 2，但含 x2系数为 0，误判为二次函数。 2.平移易错 左右平移时忘记给 x 整体加 / 减，直接在 x 后加减数字；平移方向与加减符号记反。 3.图像性质易错 描述增减性不写对称轴分界区间，直接说 y 随 x 增大增大 / 减小； 求顶点横坐标时，漏掉对称轴公式里的负号； 混淆最大值、最小值a>0 有最小，a<0 有最大）。 4.坐标计算易错 求抛物线与 y 轴交点错代 x=1，正确令 x=0； 比较函数值大小，不会利用 “到对称轴距离” 快速判断。 题型一：列二次函数关系式 1．下列变量间具有二次函数关系的是（   ） A．正方形的周长y与边长x B．正方形的面积S与边长x C．三角形的高一定时，面积y与底边长x D．速度一定时，路程s与时间t 2．某厂一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 3．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是___________（写出顶点式和一般式均可）． 题型二：二次函数的识别 4．下列函数中，是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 5．对于任意实数k，下列y关于x的函数一定是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 6．下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥（a为常数）；⑦，其中是二次函数的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型三：根据二次函数的定义求参数 7．若函数是二次函数，则m的值为______． 8．若是二次函数，则a的值是__________． 9．已知函数y=ax2+bx+c，其中a，b，c可在0，1，2，3，4五个数中取值，则不同的二次函数的个数共有（　　　） A．125个 B．100个 C．48个 D．10个 题型四：y=ax2的图象和性质 10．若二次函数的图象经过点，，则，的大小关系是________．（用“ ”连接）． 11．已知抛物线，则以下说法中，错误的是（  ） A．开口向上 B．顶点坐标是 C．对称轴是直线 D．当时，y有最大值为0 12．二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点在二次函数位于第一象限的图象上，若，，，…，都为等边三角形，则的边长为________． 题型五：y=ax2+k的图象和性质 13．填空题： （1）把抛物线向_____平移_____个单位长度，就得到抛物线； （2）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （3）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （4）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （5）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线； （6）把抛物线向______平移_____个单位长度，就得到抛物线． 14．如图，已知P是函数y1图象上的动点，当点P在x轴上方时，作PH⊥x轴于点H，连接PO．小华用几何画板软件对PO，PH的数量关系进行了探讨，发现PO﹣PH是个定值，则这个定值为 _____． 15．如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O，；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于…如此变换进行下去，若点在这种连续变换的图象上，则m的值为（   ） A．4 B． C． D．3 题型六：y=a(x-h)2的图象和性质 16．函数的图象不可能是（     ） A． B． C． D． 17．已知抛物线过点，，，则，，的大小关系为______．（用“”号连接） 18．已知二次函数（h为常数），当自变量x的值满足时，与其对应的函数值y的最大值为，则h的值为（     ） A．1或6 B．3或6 C．1或3 D．4或6 题型七：y=a(x-h)2+k的图象和性质 19．二次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 20．已知，是抛物线上两点，则正数__________． 21．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 题型八：二次函数图象的平移 22．如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移1个单位，那么新抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 23．把抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为________________．（顶点式） 24．将表达式为的抛物线经过平移后得到表达式为的抛物线，则平移的方向和距离是（　　） A．向右2个单位长度，再向上3个单位长度 B．向右2个单位长度，再向下3个单位长度 C．向左2个单位长度，再向上3个单位长度 D．向左2个单位长度，再向下3个单位长度 题型九：把y=ax2+bx+c化成顶点式 25．将配方成的形式，结果为（     ） A． B． C． D． 26．如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是4，则c的值等于_________． 27．在平面直角坐标系中，已知二次函数，当自变量满足时，的最大值为，的最小值为，则的值为（     ） A．7 B．11 C．22 D．26 题型十：y=ax2+bx+c的图象与性质 28．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．最大值为 D．顶点坐标是 29．当时，函数的最小值为，则的值为_____． 30．若点，，都在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 31．若二次函数的图象经过，两点，则的值可能是（   ） A． B． C．0 D．4 题型十一：二次函数图象与各项系数符号 32．下列二次函数的图象开口向下的是（     ） A． B． C． D． 33．已知二次函数的图象经过点，，若，则下列判断正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 34．已知二次函数的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型十二：一次函数、二次函数图象综合判断 35．二次函数与一次函数的图象在同一平面直角坐标系中的位置大致应为（     ） A． B． C． D． 36．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 37．已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 题型十三：根据二次函数的图象判断式子符号 38．已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： … 0 2 … … 6 0 6 … 下列结论：①；②当时，函数最小值为；③若点，点在二次函数图像上，则；④方程有两个不相等的实数根.其中，正确结论的序号是______.（把所有正确结论的序号都填上） 39．已知二次函数图像的一部分如图，以下结论：①；②当时，函数有最大值；③方程的解是，；④．其中正确的有______个． 40．如图，抛物线经过点，，下列结论中正确的是（     ） A． B． C．方程的解为， D．若抛物线上有点，，，则 题型十四：已知抛物线上对称的两点求对称轴 41．抛物线与x轴交于点，，则它的对称轴是（     ） A． B． C． D． 42．已知抛物线（为常数）经过和两点，则的值是______． 43．二次函数（a，b，c为常数，）的自变量x部分取值与函数y对应关系如下表： x … 0 1 2 3 … y … 0 0 4 … 则的值是（     ） A． B． C． D．1 题型十五：根据二次函数的对称性求函数值 44．点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 45．若抛物线与x轴的一个交点的坐标为，则它与x轴的另一个交点的坐标为_____________． 46．已知二次函数（a、b、c是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … 当时，x的取值范围是________． 题型十六：y=ax2+bx+c的最值 47．二次函数的最小值是（     ） A． B． C． D． 48．当时，函数最大值与最小值之差为______ 49．已知二次函数，若，则y的取值范围是_______． 50．二次函数，当且时，的最小值为，最大值为，则的值为（     ） A． B． C． D． 题型十七：利用二次函数对称性求最短路径 51．如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为______． 52．已知抛物线与x 轴的交点为 A， B（A在B的左侧），与y 轴交于点C ，在抛物线的对称轴上存在一点D ，且的值最小，则D 的坐标是 _________ ． 53．已知抛物线具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F（0，2）的距离与到x轴的距离相等，点M的坐标为（3，6），P是抛物线上一动点，则△PMF周长的最小值是（   ） A．5 B．9 C．11 D．13 题型十八：待定系数法求二次函数解析式 54．二次函数的图象经过点和，则b，c的值分别是（   ） A．2，4 B．2， C．，4 D．， 55．如图，已知平行四边形顶点的坐标为，点在轴上，且轴，过，，三点的抛物线的顶点坐标为，则抛物线的表达式是__________． 56．如图，已知点，点，抛物线（，均为常数）与线段交于， 两点，若，抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 解答题 57．已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)求这个二次函数图象的顶点坐标．当x取何值时，y随x的增大而减小？ 58．如图①，直线与抛物线：交于点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为直线下方的抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为，则点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示），点坐标为（___________，___________）（用含的代数式表示） (3)如图②，点，连接，将抛物线向上平移个单位长度得到抛物线，当时，当抛物线与直线只有1个交点时，直接写出的取值范围 59．已知二次函数． (1)将化成的形式，并写出其图象的顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出当时此函数的图象． 60．如图，已知抛物线与轴的一个交点为，与轴的交点，其顶点为，对称轴为直线．求顶点的坐标及抛物线的函数表达式． 61．如图，顶点为的抛物线交轴于点，交轴于、两点，直线过、两点，是位于直线下方抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)是抛物线对称轴上一点，则的最小值为______； (3)连接，求当面积最大时点的坐标及该面积的最大值． 62．阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解： ∴当时，． 有最小值，最小值为2，即的最小值为2． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 填空：①代数式，则A的最小值为________； ②代数式，则B的最大值为________． (2)【类比应用】 我校劳动课基地有甲、乙两块长方形种植园，已知甲种植园的两边长分别是米、米，乙种植园的两边长分别是米、米，试比较这两块种植园的面积和的大小，并说明理由． (3)【创新应用】如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 63．已知抛物线，如图所示，直线是其对称轴． (1)确定b，的符号； (2)求证：； (3)当x取何值时，，当x取何值时． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $