第27章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 ·2026--2027学年人教版九年级数学上册

第27章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握反比例函数图象与性质，能由图象信息判断k符号与参数范围 · 灵活运用k的几何意义解决面积与比例系数综合题 · 突破反比例函数与几何（相似、菱形、矩形、旋转）压轴题 · 综合一次函数与反比例函数解决交点、不等式、面积压轴 · 解决实际问题中的反比例函数建模与最值问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数图象与性质 双曲线关于原点对称，k>0在一、三象限递减，k<0在二、四象限递增 由图象分布反推k符号，由增减性求参数范围 不等式解集看一次函数与反比例函数图象上下位置 多函数图象综合题由系数符号逐一判断 概念辨析例题：y= 在每个象限内y随x增大而增大，求k范围。 答案：k<0 解析：由增减性知图象在二、四象限，故k<0。 ☆ 2.k的几何意义与面积 双曲线上点向坐标轴作垂线，矩形面积=|k|，三角形面积= 结合三角形中位线、相似三角形求面积比 由面积反求k时注意k的符号 概念辨析例题：A在 y= 上，AB⊥x轴，△ABO面积=4，求k。 答案：k=±8 解析：=4，|k|=8，k=±8。 ☆ 3.反比例函数与几何综合 结合相似三角形、菱形、矩形、正方形性质求点坐标 旋转、轴对称变换后求对应点坐标再代入解析式 勾股定理与解直角三角形求线段长 概念辨析例题：菱形OABC顶点A在 y= 上，∠AOC=60°，边长为2，求k。 答案：k=2 解析：A坐标为(2cos60°,2sin60°)=(1,，k=xy==2。 ☆ 4.一次函数与反比例函数综合 联立方程组求交点，由交点求解析式 不等式解集看图象上下位置，注意分段 求直线围成图形面积用交点坐标分割 概念辨析例题：y=kx+b与 y= 交于(2,3)和(-3,-2)，求不等式kx+b>解集。 答案：-3<x<0或x>2 解析：看图象一次函数在反比例函数上方的区间，注意双曲线分两支。 📋 知识总结表 压轴模型 方法要点 注意事项 图象信息题 由k符号判断象限 分象限比较 k面积题 矩形|k|，三角形 注意k符号 几何综合 相似/菱形/旋转求坐标 坐标化条件 交点不等式 联立求交点看上下 注意分段 面积最值 坐标表示面积 自变量范围 实际应用 建模+不等式 注意实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数图象与性质（第1-4题） · 由k符号判断象限与增减性 · 多函数图象综合由系数符号逐一排除 1．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26九年级上·山东泰安·期末）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【考点2】反比例函数与几何综合（第5-10题） · 把几何条件（相似、菱形、矩形、旋转）转化为点坐标 · 用勾股、解直角三角形求线段长 · 代入解析式求k，注意k符号 5．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 _______________． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点 C刚好在x轴上，点D在反比例函数 的图象上，则________． 7．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 8．（2025·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点落在反比例函数上，且，点落在反比例函数上，则___________． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线过点且与反比例函数在第二象限交于点，已知点横坐标为 (1)求和的值； (2)过点作//轴交于点，求出的面积 10．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 【考点3】一次函数与反比例函数综合（第11-21题） · 联立方程组求交点坐标与解析式 · 不等式解集看图象上下位置，分段写 · 面积用交点坐标分割三角形 11．（第二十六章反比例函数突破11反比例函数与代数问题（五）数形结合）函数的图象与直线的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 12．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）从，，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数中k的值．那么，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是________． 13．（2025·浙江绍兴·二模）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则________． 14．（2025·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为_____． 15．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 16．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，，求四边形的面积． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的值． 18．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例函数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 19．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 20．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 21．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【考点4】实际问题与反比例函数（第22-32题） · 建立反比例模型，注意自变量实际范围 · 结合不等式、一次函数求最值 · 读懂图象信息是关键 22．（25-26九年级上·广西贺州·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 24．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 25．（25-26九年级上·山西晋中·期末）王明同学在眼镜店进行近视矫正治疗，验光师对阶段治疗检测中近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）绘制了如图所示示意图，王明发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由图示可知经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．150度 B．200度 C．250度 D．300度 26．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 27．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，，根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 28．（2025·广东清远·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 30．（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 31．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 32．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示（恒温系统开启前的温度是），段为开启恒温系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度与时间之间满足关系式为：，段是恒温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度与时间之间的关系是某反比例函数图象的一部分（段），请根据图中信息解答下列问题： (1)求a的值； (2)若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 💯 课后巩固 复习建议 · 反比例函数压轴题先定k符号，再分析图象位置 · 面积题牢记三角形面积=，注意k正负 · 几何综合题把边长、角度转化为点坐标 · 交点不等式要分段写，不要漏x=0附近 · 实际问题注意自变量实际取值范围 【作业1】．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【作业2】．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【作业3】．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【作业4】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【作业5】．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，轴于点，轴于点，矩形的面积为5．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为___________． 【作业6】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，函数和的图象交于点，，若，则的取值范围是__________． 【作业7】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：________． 【作业8】．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，过反比例函数图象上的点A作x轴的垂线，垂足为B，点分别为的中点，四边形的面积为3，则k的值为_______． 【作业9】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【作业10】．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【作业11】．（2025·重庆·一模）如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 0 1 2 3 5 6 8 0 6 0 6 3 2 1 （三角形+全等三角形+轴对称）·2026人教版八年级数学上册 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章·反比例函数·期中复习·满分压轴讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年人教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 熟练掌握反比例函数图象与性质，能由图象信息判断k符号与参数范围 · 灵活运用k的几何意义解决面积与比例系数综合题 · 突破反比例函数与几何（相似、菱形、矩形、旋转）压轴题 · 综合一次函数与反比例函数解决交点、不等式、面积压轴 · 解决实际问题中的反比例函数建模与最值问题 📚 知识梳理 ☆ 1.反比例函数图象与性质 双曲线关于原点对称，k>0在一、三象限递减，k<0在二、四象限递增 由图象分布反推k符号，由增减性求参数范围 不等式解集看一次函数与反比例函数图象上下位置 多函数图象综合题由系数符号逐一判断 概念辨析例题：y= 在每个象限内y随x增大而增大，求k范围。 答案：k<0 解析：由增减性知图象在二、四象限，故k<0。 ☆ 2.k的几何意义与面积 双曲线上点向坐标轴作垂线，矩形面积=|k|，三角形面积= 结合三角形中位线、相似三角形求面积比 由面积反求k时注意k的符号 概念辨析例题：A在 y= 上，AB⊥x轴，△ABO面积=4，求k。 答案：k=±8 解析：=4，|k|=8，k=±8。 ☆ 3.反比例函数与几何综合 结合相似三角形、菱形、矩形、正方形性质求点坐标 旋转、轴对称变换后求对应点坐标再代入解析式 勾股定理与解直角三角形求线段长 概念辨析例题：菱形OABC顶点A在 y= 上，∠AOC=60°，边长为2，求k。 答案：k=2 解析：A坐标为(2cos60°,2sin60°)=(1,，k=xy==2。 ☆ 4.一次函数与反比例函数综合 联立方程组求交点，由交点求解析式 不等式解集看图象上下位置，注意分段 求直线围成图形面积用交点坐标分割 概念辨析例题：y=kx+b与 y= 交于(2,3)和(-3,-2)，求不等式kx+b>解集。 答案：-3<x<0或x>2 解析：看图象一次函数在反比例函数上方的区间，注意双曲线分两支。 📋 知识总结表 压轴模型 方法要点 注意事项 图象信息题 由k符号判断象限 分象限比较 k面积题 矩形|k|，三角形 注意k符号 几何综合 相似/菱形/旋转求坐标 坐标化条件 交点不等式 联立求交点看上下 注意分段 面积最值 坐标表示面积 自变量范围 实际应用 建模+不等式 注意实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】反比例函数图象与性质（第1-4题） · 由k符号判断象限与增减性 · 多函数图象综合由系数符号逐一排除 1．（2025·浙江杭州·一模）函数图象上有两点（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 据此对每个选项进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象经过第二、四象限，且在每一个象限内，y随着x的增大而增大， A、时，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故A错误，不符合题意； B、可举反例，若，则，则在第二象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故B错误，不符合题意； C、可举反例，若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故C错误，不符合题意； D、若，则，则在第四象限， ∵y随着x的增大而增大， ∴，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东泰安·期末）二次函数的图像如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】根据二次函数图像确定、、的符号，即可判定一次函数图像与反比例函数图像所经过的象限． 【详解】解：∵抛物线的图像开口方向向下，且对称轴在轴的右侧， ∴，， ∴， 又∵该抛物线图像与轴有个交点， ∴， ∴直线经过第一、二、三象限， 如图，该抛物线图像与轴的一个交点在直线的右侧，且图像开口方向向下， ∴当时，，即， ∴反比例函数经过第一、三象限， 综上所述，符合条件的图像是A选项． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数、二次函数以及反比例函数的图像，熟练掌握图像与函数关系式中系数的关系是解题的关键． 3．（25-26八年级下·上海·期末）已知反比例函数图像（）上三点，，，（）那么a，b，c的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】先根据判断函数的增减性与所在象限，再结合三个点横坐标的大小关系，即可比较纵坐标的大小． 【详解】解：∵ 反比例函数中，， ∴ 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∵ ， ∴ ，， ∵，三个点的横坐标都为正数， ∴ 三点都在第四象限， ∴，即． 4．（26-27九年级上·江苏南通·阶段检测）在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一次函数解析式判断其经过的象限、判断反比例函数图象所在象限、一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 【考点2】反比例函数与几何综合（第5-10题） · 把几何条件（相似、菱形、矩形、旋转）转化为点坐标 · 用勾股、解直角三角形求线段长 · 代入解析式求k，注意k符号 5．（24-25九年级下·河北沧州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 _______________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P 的坐标． 【详解】解：正方形中，， 点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图像上， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小， 点M关于x轴的对称点， ， 设直线的表达式为， 将点、N的坐标代入得 ， 解得， 直线的表达式为， 令，则， 点P 的坐标为． 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，在y轴上，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转得到，点 C刚好在x轴上，点D在反比例函数 的图象上，则________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】由绕点A逆时针旋转得到，可得为等边三角形，再通过点A的坐标为可求得，最后过点D作轴构造直角三角形求出点D坐标即可求解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转得到， ，，， 为等边三角形， ∴， ∴ ∵， ∴， 点A的坐标为， ， 设则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， 过点D作轴如图： ∴， ∴， ，，， 点D坐标为， 点D在反比例函数上， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、坐标与图形的变化—旋转，勾股定理，等边三角形的判定及性质，角直角三角形的性质，解答本题的关键是铅锤法构造直角三角形求点的坐标，利用数形结合的思想解答． 7．（26-27九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知矩形的两邻边、分别落在正半轴与正半轴上，反比例函数的图象经过点，的图象分别与、交于点、．若顶点的坐标是，，则的面积是________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、根据矩形的性质求面积、 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】根据已知条件求出两点的坐标，即可求出的面积，用矩形的面积减去上面三个三角形的面积即可求出答案． 【详解】解：四边形是矩形，点的坐标是， ， ， ， 点的坐标是， 代入得：， ， ， 由题意知：点的纵坐标为，代入得：， 点的坐标为， ，， ， ． 8．（2025·江苏盐城·二模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，点落在反比例函数上，且，点落在反比例函数上，则___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、利用菱形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查反比例函数与几何的综合及三角函数，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 过点作轴的垂线，垂足分别为，然后根据特殊三角函数值结合勾股定理求得，，再求得点，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，垂足分别为， ， ， 设，则， 点在反比例函数上， ， 或（舍去）， ， ， ， 四边形为菱形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 点在反比例函数上， ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线过点且与反比例函数在第二象限交于点，已知点横坐标为 (1)求和的值； (2)过点作//轴交于点，求出的面积 【答案】(1)， (2)12 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用； （1）把点代入直线，可得，进一步求解的坐标即可得到答案； （2）先求解的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ，解得， 直线的解析式为， 点横坐标为． ， ， ． （2）解：由（1）可知反比例函数解析式为， 当时，， ， ． 10．（26-27九年级上·安徽亳州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知和点均在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点．求矩形的面积． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积 【分析】根据点在反比例函数的图象上，得到反比例函数的解析式，进而根据反比例函数图象上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积等于，即可得到答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴由题意得， ∴， 设点的坐标为， 矩形的面积． 【考点3】一次函数与反比例函数综合（第11-21题） · 联立方程组求交点坐标与解析式 · 不等式解集看图象上下位置，分段写 · 面积用交点坐标分割三角形 11．（第二十六章反比例函数突破11反比例函数与代数问题（五）数形结合）函数的图象与直线的交点个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，含有绝对值的函数图象，会画含有绝对值的函数图象是解题的关键． 画出函数的图象与直线，结合一次函数的性质进行求解即可． 【详解】解：当时，；当时， ∴函数的图象为和图象组成的，    因此可以画出函数的图象与直线如图： ∵经过第二象限，而也过第二象限，故会有1个交点， 联立和， 即， ∴ 故直线和有且只有一个公共点． 综上所述的图象与直线共有2个公共点， 故选：C． 12．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）从，，1，2，4五个数中任意取出一个数作为反比例函数中k的值．那么，一次函数与反比例函数的图象在第一象限的部分没有公共点的概率是________． 【答案】 【知识点】根据概率公式计算概率、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】联立一次函数与反比例函数的解析式，利用一元二次方程根的判别式判断两个函数图象在第一象限没有公共点时k的取值范围，统计符合条件的k的个数，最后根据概率公式计算所求概率． 【详解】解： 联立得， 整理得 ∵两个函数图象在第一象限没有公共点， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 在这五个数中，满足的数有，共个． ∴所求的概率为． 13．（2025·浙江绍兴·二模）已知点是反比例函数图象上一点，将点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点仍在这个反比例函数图象上，则________． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查了点的平移、反比例函数的性质等知识点，根据题意得出平移后的坐标是解题的关键．先求出点A向右平移2个单位，再向下平移4个单位后的点的坐标，然后根据平移后的点仍在这个反比例函数图象上，得出，求出m的值，再求出k的值即可． 【详解】解：把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位后的点的坐标为， ∵点A和点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故答案为：6． 14．（2025·安徽宣城·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，若点A的坐标为，则的面积为_____． 【答案】16 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，涉及面积的求解，正确求出交点坐标是解题的关键． 先求出，再求出反比例函数解析式，与一次函数解析式联立求得，然后利用求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得：， ∴ 将代入得， ∴反比例函数解析式为：， ∴， 解得：或 ∴， 记直线与轴交于点，如图： 当，， ∴， ∴， 故答案为：16． 15．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点A的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， 将，代入，得 ∴点， ∴， 16．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与，轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，反比例函数的图象与性质，割补法求四边形面积等知识，掌握反比例函数的图象与性质是关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中，求得的值，即可求得反比例函数解析式； （2）由、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，进而求得点的坐标为；点在反比例函数的图象上，纵坐标为2，则可求得点的横坐标，利用四边形的面积等于， 面积的和即可求解． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ，即， ∴反比例函数的表达式为． （2）设直线的表达式为， 将，两点的坐标代入，得，解得 直线的表达式为． 令，得， 点的坐标为． 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标为， ， 解得，即点的横坐标为． 由题意知，， ． 17．（25-26八年级下·吉林长春·期末）一个反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、求反比例函数值 【详解】（1）解：函数的图象经过点 将点代入，得， 该反比例函数的表达式为； （2）解：当时，． 18．（24-25九年级上·山东聊城·期末）正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点，是反比例函数图象上的一动点， (1)求正比例函数和反比例函数的解析式； (2)如图，当，过点M作直线轴，交y轴于点B，过点A作直线轴交x轴于点C、交直线于点D．当四边形的面积为4时，在x轴上取一点P，使最小，求点P的坐标． 【答案】(1)正比例和反比例函数的表达式分别为：， (2)点坐标为 【知识点】反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用列式计算求得点M的坐标为，求得点M关于x轴的对称点的坐标，连接交x轴与点P，此时最小，再利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：将点A的坐标分别代入两个函数表达式得：，， 解得：，， 则正比例和反比例函数的表达式分别为：，； （2）解：由点A、M的坐标得，点，即， 则四边形的面积； 四边形的面积， 解得：． 点M的坐标为， 点M关于x轴的对称点的坐标， 连接交x轴与点P，此时最小， 设直线的解析式为， ，代入得 ，解得 直线的解析式为 当时， 点坐标为． 【点睛】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：反比例函数与一次函数的交点，矩形的判定与性质，利用待定系数法求一次函数解析式，以及点与坐标的关系，利用了数形结合及方程的思想，是中考中常考的题型． 19．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于、两点，与y轴交于点C． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据待定系数法求出一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，找到的图象在的图象上方部分的图象所对应的自变量取值范围即可． 【详解】（1）解：将代入得， ∴反比例函数的表达式为， 将代入得， ∴， 将、代入得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）根据图象，当时，也就是的图象在的图象上方，所以在点A的左侧及y轴和点B之间的图象，即或． 20．（26-27九年级上·河南新乡·阶段检测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)6 (3)或 【知识点】求一次函数解析式、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，进而求出直线解析式，求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）图象法求出不等式的解集即可. 【详解】（1）解：∵，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 把，代入，得 ，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴的面积为. （3）解：由图象可知，不等式的解集为或. 21．（2026·江苏淮安·中考真题）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、求直线围成的图形面积、求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 【考点4】实际问题与反比例函数（第22-32题） · 建立反比例模型，注意自变量实际范围 · 结合不等式、一次函数求最值 · 读懂图象信息是关键 22．（25-26九年级上·广西贺州·阶段检测）如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点并将其吊起来．在中点的左侧距离它有（）处挂一个重（）的物体，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧秤与中点的距离（单位：）及弹簧秤的示数（单位：）满足．若弹簧秤的示数不超过，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据得到，求出当时，，再结合反比例函数的增减性求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 当时，， ∵， ∴F随L的增大而减小， ∴当弹簧秤的示数不超过，的取值范围是， 故选：D． 23．（25-26八年级下·福建漳州·期末）某综合实践小组的学生借助自制的密度计，对不同液体的密度进行测量，当该密度计在各类液体中处于悬浮状态时，浸在液体中的高度（）是液体的密度（）的反比例函数，其图象如图所示（），下列说法正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、实际问题与反比例函数 【分析】待定系数法求出反比例函数解析式为，然后结合图象逐项分析求解判断即可． 【详解】解：由图象得，当时，，故A错误； 设反比例函数解析式为， 将代入得，， 解得， ∴， ∴当时，，故C错误； 当时，， ∵当时，h随的增大而减小， ∴当时，，故B正确； 由图象得，当时，，故D错误． 24．（2025·河北沧州·一模）力作用于物体，产生的压强与物体受力面积之间满足，在某次实验中，当一定时，关于的函数图象如图所示．若压强由40增压至60，则物体受力面积（   ） A．减小了 B．增大了 C．减小了 D．增大了 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，关键是掌握反比例函数的性质．结合图象得到，再分别求出当压强为40和60时的受力面积，并进行比较，即可解题． 【详解】解： 一定， 结合图象可知 ，即， 当压强为40时，有，解得 ， 当压强为60时，有，解得 ， ， 压强由40增压至60，则物体受力面积减小了， 故选：A． 25．（25-26九年级上·山西晋中·期末）王明同学在眼镜店进行近视矫正治疗，验光师对阶段治疗检测中近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）绘制了如图所示示意图，王明发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，由图示可知经过一段时间的矫正治疗后，他的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（    ） A．150度 B．200度 C．250度 D．300度 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．用待定系数法求出反比例函数解析式，再分别把、代入解析式求出对应的y值并求差即可． 【详解】解：设y关于x的函数解析式为， 把代入， ∴， ∴函数解析式为， 当时，， 当时，， ∴度数减少了（度）． 故选：B． 26．（2026·河北邯郸·二模）如图，是某海洋公园“水上滑梯”的侧面图，矩形为梯子，梯子的高米，宽米，滑梯可以近似看成双曲线的一段，为水面，且米，以点为原点，建立平面直角坐标系，轴．当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等，则他距离点的水平距离为（   ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数、根据矩形的性质求线段长 【分析】设反比例函数的表达式为，可得．求解，，进一步可得答案． 【详解】解：四边形为矩形， ， 点B的坐标为． 设反比例函数的表达式为， ， ． ， ∴， ∵轴． ∴， ∵当一人在滑梯上的点处时，此时他到的距离与到的距离相等， ∴，即， ∴， ∴他距离点的水平距离为． 27．（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度ρ（单位：）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，，根据图象可知，下列说法不正确的是（    ） A．ρ与V的函数关系式是 B．当时， C．当时， D．当时，ρ的变化范围是 【答案】C 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用．设，把代入求出k，即可判断A；令，求出，即可判断B；结合图象即可判断C；当或9时，求出的对应值，即可判断D． 【详解】解：设， 把代入上式得，， ∴， ∴， 故选项A正确，不符合题意； 当时，， 故选项B正确，不符合题意； 由图象可得，当时，， 故选项C不正确，符合题意； 当时，，时，， ∴时，， 故选项D正确，不符合题意． 故选：C． 28．（2025·广东清远·一模）近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间是反比例函数关系（其中，均为正数），当近视眼镜的度数是100度时，镜片焦距为0.1米．则配制一副度数小于100度的近视眼镜，镜片焦距的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，首先根据函数图象中点的坐标求出反比例函数的解析式，再根据近视镜的度数的取值范围求出焦距的取值范围． 【详解】解：由题意可知：设近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 把代入可得：， 解得：， 近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）的函数关系式为， 当时，可得， 解得： 焦距的取值范围是． 故选：D． 29．（2025·山西晋中·一模）在温度不变的条件下，某汽缸内气体压强与体积成反比例函数关系，其图象如图所示，若压强由加压到，则气体体积压缩了______． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】先求出反比例函数关系式，再分别求出气体体积，作差求解即可． 【详解】解：设反比例函数关系式为， 反比例函数图象经过点， ，解得， 反比例函数关系式为． 当时，即，解得； 当时，即，解得， ． 即气体体积压缩了． 30．（25-26八年级下·上海普陀·期末）随着低空物流的发展，城市配送无人机广泛投入使用．某物流公司购买了一批同一型号的物流无人机，用于开展一项新型配送业务．物流公司收到订单后，用满电电能的无人机从仓库出发运送货物至指定地点，以下为该型号物流无人机的相关资料． 资料1 无人机的相关数据如图所示    资料2 已知在规定载重范围内，忽略空气阻力等干扰因素，无人机匀速飞行的速度（单位：）可以看作其载重（单位：）的一次函数，下表为此无人机载重情况与相应飞行速度的部分数据． 载重（单位：） 0 2 4 6 8 10 飞行速度（单位：） 72 69.84 67.68 65.52 63.36 61.2 资料3 已知无人机飞行时功率恒定，每公里消耗电能（单位：）与其飞行速度（单位：）成反比例，当飞行速度为时，每公里消耗电能为． 根据上述资料，回答下列问题： (1)根据资料3，每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为_______________； (2)根据资料1和2，飞行速度关于其载重的函数表达式为_______________，自变量m的取值范围是_______________； (3)该物流公司收到的一份订单，需要给距离仓库的某地配送重量为的货物，请结合以上资料，判断该无人机能否完成这份订单？（在电能耗尽前能送到指定地点即可完成订单，不考虑其它因素） 【答案】(1) (2)， (3)能完成订单 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】（1）设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为，再结合当飞行速度为时，每公里消耗电能为，计算即可得出结果； （2）设飞行速度关于其载重的函数表达式为，利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出飞行的总耗电量，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：设每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为， ∵当飞行速度为时，每公里消耗电能为， ∴， ∴， ∴每公里消耗电能关于飞行速度的函数表达式为； （2）解：设飞行速度关于其载重的函数表达式为， 将和代入函数表达式得， 解得， ∴飞行速度关于其载重的函数表达式为， 由资料1知最大载重为，且载重， ∴自变量m的取值范围是； （3）解：当时，， 将代入得， 飞行的总耗电量：， ∵最大电能为，且， ∴能完成订单． 31．（24-25九年级上·山东淄博·期中）某运输公司有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，已知需运送的土石方总量为立方米，甲车队每天运送的土石方为V（立方米/天），完成任务所需要的时间为t． (1)求V与t的函数关系式？当时，求V的取值范围； (2)若甲车队派出全部的20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方100立方米，工程进行了8天后，因车队接到了其它任务，需要提前4天完成，则乙车队至少需要派出多少辆同样的卡车才能按时完成任务？ 【答案】(1) (2)乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、实际问题与反比例函数 【分析】此题主要考查了反比例函数和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出函数解析式． （1）根据工作量时间土石方总量可得，进而可得函数解析式，再根据，即可解答； （2）20辆卡车完成任务需20天，工程进行了8天后，需要提前4天完成任务，设需要增加辆卡车，根据题意列出不等式即可． 【详解】（1）解：根据题意：解：， ，， 随的增大而减小，当时，有最小值， ； （2）解：设乙车队需要派出x辆同样的卡车才能按时完成任务． 则原计划需要的天数为： 解得， 答：乙车队需要派出10辆同样的卡车才能按时完成任务． 32．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培蔬菜．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示（恒温系统开启前的温度是），段为开启恒温系统后，温度升高阶段，此时大棚内温度与时间之间满足关系式为：，段是恒温阶段，关闭恒温系统后，大棚内温度与时间之间的关系是某反比例函数图象的一部分（段），请根据图中信息解答下列问题： (1)求a的值； (2)若大棚里栽培的一种蔬菜在温度为到的条件下最适合生长，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？ 【答案】(1)； (2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、实际问题与反比例函数 【分析】本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用． （1）应用待定系数法求段反比例函数图象的关系式，当时，即可求得； （2）分别求出段和段温度为的时间，再相减即可即可． 【详解】（1）解：设对应函数解析式为， 把代入中得： ， ， 当时，， 解得，即； （2）解：当时，， 解得， ， 解得， （小时）， 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 💯 课后巩固 复习建议 · 反比例函数压轴题先定k符号，再分析图象位置 · 面积题牢记三角形面积=，注意k正负 · 几何综合题把边长、角度转化为点坐标 · 交点不等式要分段写，不要漏x=0附近 · 实际问题注意自变量实际取值范围 【作业1】．（2026·四川雅安·一模）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】利用反比例函数图象上点的坐标特征，用表示出矩形的长和宽，结合矩形面积建立关于的方程求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是矩形，点在轴上，点在轴上， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∴，， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 【作业2】．（25-26九年级上·山东临沂·期末）已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．根据反比例函数的性质，分情况讨论的取值范围，比较和的大小关系即可． 【详解】解：对于反比例函数，知图象分别位于第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，且第二象限内对应的函数值大于第四象限内对应的函数值． ∵ 点 和在反比例函数的图象上， ∴ ，， ∴． ∴ 当 时，，即． 当 时，，即 ． ∵A选项与B选项中，与的值的大小不确定， ∴选项 A 和 B 不一定正确； ∵ 当 时，， ∴点 和都在第四象限内的反比例函数的图象上，在此象限内，随的增大而增大． ∴，选项 C 正确，符合题意； 选项 D 中，当时，点 和不一定都在同一象限内的反比例函数的图象上， ∴选项 D 不一定正确，不符合题意． 故选：C． 【作业3】．（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）已知点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】将三个点的横坐标代入反比例函数解析式，计算出对应纵坐标的值，再比较大小即可． 【详解】解：当时，；当时，；当时，， ，即． 【作业4】．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，点A在函数图象上，点B、C在反比例函数（）的图象上，轴，轴． （1）若点A的坐标为且，连接，则______； （2）若点A是函数图象上的任意一点，阴影部分的面积为4，则______． 【答案】 6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值． （1）延长交轴于点，求得，，据此即可求解； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设，可得到四边形、、都是矩形，点是函数图象上的任意一点，可得，根据点、在反比例函数的图象上，从而得到，，然后根据阴影部分的面积为4列方程即可解答． 【详解】解：（1）延长交轴于点，如图， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）延长交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∵轴，轴， 又∵在平面直角坐标系中，轴和轴互相垂直， ∴轴，轴，， ∴四边形、、都是矩形， ∴，， ∵点是函数图象上的任意一点， ∴， ∴， ∵点、在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 【作业5】．（25-26九年级下·陕西·期中）如图，点在反比例函数（为常数，且）的图象上，轴于点，轴于点，矩形的面积为5．若点也在该反比例函数的图象上，则的值为___________． 【答案】 【知识点】求反比例函数值、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】先由反比例函数的的几何意义得出，再结合反比例函数的图象得出，从而可得反比例函数的解析式为，再将点代入反比例函数计算即可得出结果． 【详解】解：∵点在反比例函数（为常数，且）的图象上，轴于点，轴于点，矩形的面积为5， ∴， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点也在该反比例函数的图象上， ∴． 【作业6】．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，函数和的图象交于点，，若，则的取值范围是__________． 【答案】 或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】根据函数图象求出一次函数图象在反比例函数图象下方时对应的的取值范围即可； 【详解】解：∵函数和的图象交于点，， ∴根据函数图象可得当或时，． 【作业7】．（24-25八年级下·江苏南京·阶段检测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于和两点．若点P在y轴上，点Q在反比例函数的图象上，当以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，写出所有符合条件的Q点的坐标：________． 【答案】或 【知识点】反比例函数与几何综合、利用平行四边形的性质求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，平行四边形的性质等知识，利用和两点在一次函数的图象上求出，得到，，即可求出反比例函数解析式，设为，，分四边形是平行四边形和四边形是平行四边形两种情况，利用中点坐标公式分别进行解答即可． 【详解】解：∵和两点在一次函数的图象上， ∴， ∴，， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数解析式为， 设为，， ，， 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意； 当四边形是平行四边形时，根据中点坐标公式可得，即， 此时，，符合题意， 综上所述，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 坐标为或， 故答案为：或． 【作业8】．（24-25九年级上·河南漯河·期末）如图，过反比例函数图象上的点A作x轴的垂线，垂足为B，点分别为的中点，四边形的面积为3，则k的值为_______． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、与三角形中位线有关的证明、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，由相似三角形的性质求得三角形的面积是解题的关键．根据题意得是的中位线，易证，相似三角形的性质可求得的面积，由反比例函数比例系数的几何意义即可求和k的值． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为3， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 由反比例函数比例系数的几何意义得：， 由题意知：， ∴； 故答案为：． 【作业9】．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【答案】6 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 【作业10】．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，并与反比例函数的图象交于横坐标为的点，过点作轴于点已知． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若是点关于轴的对称点，、分别是轴和线段上的动点，求周长的最小值． 【答案】(1)一次函数和反比例函数的表达式分别为， (2) 【知识点】化为最简二次根式、求反比例函数解析式、用勾股定理解三角形、坐标与图形变化——轴对称、根据成轴对称图形的特征进行求解、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出，，则，然后求出一次函数与轴的交点，则，再由三角形面积建立方程求解，再根据待定系数法求解函数表达式即可； （2）过点作直线的对称点，连接，则，那么当点共线时，的周长取得最小值，即为，然后证明为直角三角形，再由勾股定理求解最小值即可． 【详解】（1）解：由题意得，将代入，则， ∴ ∵轴 ∴，， 对于一次函数，当时，，解得 ∴ ∴， ∵轴 ∴ ∴， 解得，（舍去） ∴一次函数表达式为， ∴， 将点代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：对于直线，当时，，解得；当时， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵是点关于轴的对称点， ∴， ∴ 过点作直线的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点共线时，的周长取得最小值，即为， ∵ ∴， ∴的周长最小值为． 【作业11】．（2025·重庆·一模）如图1，在矩形中，．动点以每秒1个单位长度从点出发，沿着运动，当点到达点时停止运动．动点以每秒0.5个单位长度从点出发，沿方向运动，两点同时停止运动．点为直线上的动点，满足．设点的运动时间均为秒（），记的面积为，点到的距离为． (1)请直接写出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出当时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】(1)；； (2)如图： 当时随的增大而增大，当时随的增大而减小 (3) 【知识点】解直角三角形的相关计算、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形，反比例函数解析式，一次函数的解析式，根据解析式画函数的图象等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． （1）分两种情况讨论，当时，作于点，利用正弦函数的定义求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；当时，求得，利用三角形面积公式列式计算求解即可；求得，根据，据此求解即可； （2）列表，描点，连线，作出函数图象，根据图形，即可写出函数的一条性质； （3）数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：当时，作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，如图， ∵，∴， 综上，； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：列表： 0 1 2 3 5 6 8 0 6 0 6 3 2 1 描点，连线，作出函数图象如下： 函数的一条性质：当时随的增大而增大，当时随的增大而减小； （3）解：当时的取值范围：． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $