3.3一元一次不等式及其解法（分层作业，7大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 3.3 一元一次不等式及其解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元一次不等式的定义 题型02 不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的解集 题型04 在数轴上表示不等式的解集 B组 能力进阶 题型 求一元一次不等式的整数解 C组 思维拔高 题型01 求一元一次不等式解的最值 题型02 解|x|≥a型的不等式 一元一次不等式的定义题型01 1．下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．依此即可求解． 【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意； B、未知数的次数不是1，故B不符合题意； C、是一元一次方程，故C不符合题意； D、是一元一次不等式，故D符合题意． 故选D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式，只含有一个未知数，并且未知数的次数是，两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一元一次不等式； ②中左边是分式，不是一元一次不等式； ③中含有个未知数，不是一元一次不等式； ④是一元一次不等式； ∴一元一次不等式有个， 故选：． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：． 【详解】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ③是一元一次不等式，符合题意； ④不是不等式，不符合题意； ⑤是一元一次不等式，符合题意； ∴一元一次不等式一共有2个， 故选：A． 4．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 5．（24-25七年级下·广东云浮·期末）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的定义，正确掌握定义是解决此题的关键．由一元一次不等式未知数x的次数为1且系数不为0，求出的值即可． 【详解】一元一次不等式未知数x的次数为1， ， 解得：或， 一元一次不等式未知数x的系数不为0， ， 解得：， 综上，a的值为0． 故选：C． 6．已知是关于的一元一次不等式，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 7．判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 【答案】（1）是；（2）不是；（3）不是 【分析】根据一元一次不等式的定义逐个判断即可， 【详解】解：（1）是一元一次不等式； （2）是二元一次不等式，不是一元一次不等式； （3）不等式的左边不是整式，不是一元一次不等式； 故答案为：（1）是；（2）不是；（3）不是． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义的内容是解题的关键． 8．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 【答案】m=0， n≠3． 【分析】根据一元一次不等式的定义知道二次项系数为零，一次项系数不为零，即可求出m、n的取值. 【详解】解∵不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式， ∴二次项系数为零，一次项系数不为零， 又∵3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3化简为: mx2+(n-3)x≥0 ∴解得：m=0，n﹣3≠0． 故m=0，n≠3． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义（只有一个未知数，且未知数的次数为1，系数为零，左右两边为整式），熟记一元一次不等式的定义是解题的关键. 不等式的解集题型02 1．下面各数中，是不等式a＜﹣2的解的是（    ） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据不等式的解集的定义，即可求解． 【详解】解：A.因为-3＜﹣2，所以-3是不等式a＜﹣2的解，故本选项符合题意； B.因为-2=-2，所以-2不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意； C.因为0＞-2，所以0不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意； D.因为1＞-2，所以1不是不等式a＜﹣2的解，故本选项不符合题意； 故选：A. 【点睛】本题考查了不等式的解集，熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，也就是说，满足这个不等式的所有解组成解集是不等式的解集是解题的关键． 2．下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质3，两边都除以m-1后得到x＞1，可知m-1＜0，解之可得． 【详解】∵不等式（m-1）x＜m-1的解集为x＞1， ∴m-1＜0，即m＜1， 故选：B． 【点睛】此题考查不等式的解集，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 4．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤及不等式的基本性质是解题的关键．解不等式，得，据此知都能使不等式成立，再分和以及分别求解． 【详解】解：由不等式，得， 都能使不等式成立， 当，即时，则都能使恒成立； 当时，不等式的解集为，不符合题意， ，即， 不等式的解集为， 都能使不等式成立， ， 解得：， ∴此时 综上，实数m的取值范围是， 故选：C． 5．像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做______．像a≠2这样的式子也叫做不等式． 使不等式成立的未知数的值叫做______． 【答案】 不等式 不等式的解 【解析】略 6．已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，那么k的值是_________． 【答案】2 【分析】根据数轴和不等式分别可以求出x的取值范围，再根据范围一样可以列出等式，解不等式即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 又由数轴可得：， ∴， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是解不等式以及不等式在数轴上的表示，注意在数轴上表示不等式时：有等于号是实心，没有等于号是空心． 7．写出一个解集为的一元一次不等式___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合要求的不等式即可． 【详解】解：解集为的一元一次不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义及解集，解题的关键是理解一元一次不等式解集的定义． 8．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 【答案】(1)，，0，能使不等式成立 (2)满足的数的特点是比2小 【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及一元一次不等式解的特点，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）解不等式求得其解集后进行判断即可； （2）根据其解集即可求得答案． 【详解】（1）解：， 则， 那么，，0，能使不等式成立； （2）解：满足的数的特点是比2小． 求一元一次不等式的解集题型03 1．分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后根据分式方程的解为正数且原方程不能有增根列式求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， ∵原方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴且， 故选：B． 2．已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的求解方法以及求绝对值的法则，解不等式要依据不等式的基本性质，通过分类讨论求绝对值是解题的关键． 首先解不等式，求得x的范围，即可根据x的范围去掉中的绝对值符号，即可确定最大与最小值，从而求得． 【详解】解：， 去分母得： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 把系数化为1得：， 当时，， ， ∴， 当时， ， ， ∴的最小值为，最大值为， ∴， ∴． 故选：B． 3．不等式的解集为______． 【答案】 【分析】本题考查求不等式的解集，根据解不等式的步骤，求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 4．若（m﹣2）x2m+1﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为​ ________ 【答案】x＜﹣3 【详解】根据不等式是一元一次不等式可得：2m+1=1且m−2≠0， ∴m=0， ∴原不等式化为：−2x−1>5，解得x<−3. 故答案为x＜﹣3. 5．解不等式： 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是能根据不等式的性质解出不等式．根据不等式的性质求出不等式的解即可． 【详解】解：两边同时乘以6得，， 去括号得，， 移项得，， 整理得， 系数化为1得，． 6．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 【答案】 【分析】先把原不等式系数化为1，表示出解集，根据已知解集确定出a与b的关系，即可求出所求不等式的解集． 【详解】解：不等式的解集是， ，且， ，， 整理，得：，， 把代入，得， 解得：， ， 解集为：， 把代入得：， 不等式的解集． 【点睛】本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出的关系是解题关键． 7．（1）计算： （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 【答案】（1）；（2）任务一：①乘法分配律；②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变；任务二： 【分析】本题主要考查实数的混合运算，求不等式的解集等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的性质是解题关键． （1）先计算负整数幂，零指数幂，化简绝对值，代入特殊三角函数值，计算即可； （2）根据不等式的性质3判断并计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）任务一：①乘法分配律；②五，不等式两边都除以，不等号的方向没有改变； 任务二： ， 该不等式的正确解集为：． 在数轴上表示不等式的解集题型04 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式解集，正确掌握相关方法是解题的关键，根据不等式解集表示出即可． 【详解】解：将不等式的解集在数轴上表示为： 故选：A． 2．有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设这个数为x，由这个数不小于a可得，把它在数轴上表示出来即可求解． 【详解】解：设这个数为x，由题意得：， 把在数轴上表示为： 故选：D． 【点睛】本题考查了列不等式，在数轴上表示解集，根据不等关系列出不等式，并根据数轴上表示解集的方法表示出来是解题的关键． 3．将不等式的解集表示在数轴上的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得解集，再根据数轴逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， 在数轴上表示如下： ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心原点与空心原点的区别是解答此题的关键． 4．（24-25九年级下·江苏南通·月考）关于x的不等式的解集如图，那么a的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查根据不等式的解集求参数的值．解题的关键是正确的求出不等式的解集．根据数轴上表示的解集，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 由数轴知，不等式的解集为， ∴， 故选：C． 5．已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：A． 6．（25-26八年级·山西太原·学情自测）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 【答案】 【分析】由数轴可知，左边端点是空心圆，右边端点是实心点，所以不等式的解集是． 【详解】解：由数轴可知，不等式的解集是． 7．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 将解集表示在数轴上如下： 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1，可得解集为，解集在数轴上的表示见解析． 【详解】解：， ， ， ， 则． 8．数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据_____________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．乘法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____________同学，这一步错误的原因是________________________________________________． 任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是_____________．并把它的解集在数轴上表示出来． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】任务一：①C；②戊，不等式的两边同时乘以，不等号的方向没有改变； 任务二：， 数轴表示如图： 任务三：去括号时，括号前面是“”，去括号后，括号内的每一项都要变号 【分析】本题考查解一元一次不等式，在数轴上表述不等式的解集： 任务一：①根据乘法分配律去括号；②最后一步系数化1时，不等号的方向没有改变，出现错误； 任务二：系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上进行表示即可； 任务三：对于易错点进行说明即可 【详解】解：任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据乘法分配律进行变形的； 故选：C； ②出现错误的是：戊；原因是：不等式的两边同时乘以，不等号的方向没有改变； 任务二：∵， ∴； 任务三：去括号时，括号前面是“”，去括号后，括号内的每一项都要变号． （答案不唯一，合理即可） 求一元一次不等式的整数解题型 1．不等式的非负整数解有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，根据一元一次不等式的解集，确定非负整数解即可，根据解集确定非负整数解是解题的关键． 【详解】解：不等式的非负整数解有，共4个， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对在数轴上表示不等式组的解集，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据数轴得出不等式组的整数解是解此题的关键． 根据数轴得出不等式组的解集，根据解集求出即可． 【详解】解：观察数轴可知，这个不等式的解集是， 所以这个不等式的正整数解是． 故选：A． 3．不等式的正整数解有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先求出不等式的解集，然后求出其正整数解即可． 【详解】解： 移项得：， 合并同类项得：， ∴不等式的解集为， ∴不等式的正整数解有4，3，2，1一共4个， 故选B． 【点睛】本题主要考查了求一元一次不等的整数解，正确求出不等式的解集是解题的关键． 4．不等式的非负整数解是__________． 【答案】0，1，2，3，4，5 【分析】本题考查不等式的解法及整数解的确定．首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整数即可． 【详解】解：去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 非负整数解是0，1，2，3，4，5． 故答案为：0，1，2，3，4，5． 5．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 【答案】 3 【分析】本题主要考查一元一次不等式的整数解，借助数轴利用数形结合的思想得到的取值范围是解题关键． （1）根据题意可将在数轴上表示出来，利用数形结合的思想即可求出的取值范围，由于为整数，即可求出的值； （2）由（1）即可求出答案． 【详解】解（1）将不等式在数轴上表示出来，如图所示， ∵的正整数解为，的正整数解为， ∴， 又为整数， ， 故答案为：； （2）由（1）可知，的取值范围是． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 【答案】，负整数解为：，． 【分析】本题考查了解一元一次不等式，关键是掌握不等式的解法． 根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求解即可． 【详解】解： 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． ∴原不等式负整数解为：，． 7．（24-25七年级下·广东中山·月考）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 【答案】1，2，3，4 【分析】本题考查了解二元一次方程组及解一元一次不等式，解方程组得，将此代入，解不等式，即可求解． 【详解】解：， ①②得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴满足条件的正整数的值为1，2，3，4． 8．对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式及一元一次不等式的整数解等知识，正确求解是解题的关键； （1）根据定义的法则，可得关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）根据定义的法则，可得关于x的一元一次不等式，解不等式，根据解集的负整数解为，可得关于k的不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：， 即x的值为6； （2）解：由，得， 解得：； 由于关于x的不等式的负整数解为，则， 解得：， 即满足条件的k的取值范围为：． 求一元一次不等式解的最值题型01 1．满足的最大整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】逐项分析，求出满足题意的最大整数即可． 【详解】A选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意， B选项，，但不是满足的最大整数，故该选项不符合题意， C选项，，满足的最大整数，故该选项符合题意， D选项，，不满足，故该选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题较为简单，主要是对不等式的理解和最大整数的理解． 2．（2026·陕西韩城·模拟）不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】先解不等式得到解集，再在解集中找出最小整数即可得到答案． 【详解】解： 解得， ∴解集中的最小整数为． 3．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解关于的不等式求得，根据不等式的最小整数解是即可作答． 【详解】解：， 移项，得：， 不等式的最小整数解是， ， 故选：B． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 （    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：， 移项得：， 即， 解得：． 因此，不等式的最大整数解为． 将代入方程，得：，即． 解得． 故选：A． 5．已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件用表示，结合不等式得到的取值范围，再将所求代数式化为关于的单变量式子进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得， 把代入得：， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大， 当取最大值时，原式取得最大值， 代入得：， 即的最大值为． 6．（25-26八年级下·河南郑州·期末）现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 【答案】 【分析】根据给定的新运算规则列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，即可求出的最大值． 【详解】解：，且， ，解得， 的最大值为2． 7．（25-26九年级下·陕西·学情自测）解不等式，并写出最小整数解． 【答案】，最小整数解为 【分析】按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而求出其最小整数解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 不等式最小整数解为． 8．若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解． 【答案】3 【分析】本题考查解二元一次方程组，求不等式的整数解，先求出方程组的解，根据解的情况列出不等式，求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵， ∴， ∴， ∴的最小整数解为：3． 解|x|≥a型的不等式题型02 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据绝对值性质分、，去绝对值符号后解相应不等式可得x的范围． 【详解】 解：①当，即时，原式可化为：， 解得：， ； ②当，即时，原式可化为：， 解得：， ， 综上，该不等式的解集是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的能力，根据绝对值性质分类讨论是解题的关键． 2．不等式的解集是______． 【答案】## 【分析】根据“|a|”的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离即可解答． 【详解】解：根据绝对值的几何意义可得：“”可理解为数在数轴上对应的点到原点的距离小于， 不等式的解集是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知是整数），则的值是_____． 【答案】或或或0或1或2或3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，解不等式可得，再根据x是整数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵x是整数， ∴x的值是或或或0或1或2或3， 故答案为：或或或0或1或2或3． 4．（25-26下·黑龙江绥化·月考）若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·学情自测）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【答案】(1)；或 (2) (3)或 【分析】（1）根据给出的示例，得出解集即可； （2）根据示例得出，求解即可； （3）根据示例得出或，求解即可 【详解】（1）解：根据题意得，不等式的解集为； 的解集为或； （2）解：根据题意得，不等式的解集为， 解得； （3）解：根据题意得，不等式的解集为或， 解得或； 6．解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4. 【答案】x＜0或x＞4 【详解】试题分析：此题是一个带绝对值的复合不等式，应分为x≤1，1＜x≤3，x＞3，三种情况，再根据绝对值的性质化简原式，解不等式即可. 试题解析：当x≤1时，原式可变形为 1－x＋3－x＝4－2x＞4，解得x＜0. 当1＜x≤3时，原式可变形为 x－1＋3－x＞4，得2＞4，不合题意． 当x＞3时，原式可变形为 x－1＋x－3＝2x－4＞4，解得x＞4. ∴x＜0或x＞4. 点睛：此题主要考查了带绝对值的复合不等式的解法，解题关键是要根据绝对值的性质，分情况讨论，然后根据绝对值的性质求解不等式既能解决，解题时注意不等式的基本性质的应用. 7．已知对任意都成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值不等式，先求出，再由对任意都成立得，即可求解． 【详解】解：由题意得有解， ， ， 对任意都成立， ， 解得：， 故的取值范围． 8．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）由绝对值的几何意义即可得出答案； （2）由绝对值的几何意义即可得出答案； （3）由知，据此得出，再结合可得出关于、的方程组，解之即可求出、的值，从而得出答案； （4）两个方程相加化简得出，由知，据此得出，解之求出的取值范围，继而可得答案． 【详解】（1）解：根据绝对值的定义得：， 解得； （2）根据绝对值的定义得：或， 解得或； （3）解：， ， 解得， 解集为， ， 解得， 则； （4）解：两个方程相加，得：， ， ， ， ， 解得， 又是正整数， 或． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.3 一元一次不等式及其解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元一次不等式的定义 题型02 不等式的解集 题型03 求一元一次不等式的解集 题型04 在数轴上表示不等式的解集 B组 能力进阶 题型 求一元一次不等式的整数解 C组 思维拔高 题型01 求一元一次不等式解的最值 题型02 解|x|≥a型的不等式 一元一次不等式的定义题型01 1．下列为一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·月考）下列各式：①，②，③，④．其中一元一次不等式的个数是（   ） A． B． C． D． 3．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 5．（24-25七年级下·广东云浮·期末）若是关于x的一元一次不等式，则a的值为（   ） A．2 B．－1 C．0 D．0或2 6．已知是关于的一元一次不等式，则______． 7．判断下列不等式是不是一元一次不等式． （1）．    （2）．    （3）． 8．若不等式3（x﹣1）≤mx2+nx﹣3是关于x的一元一次不等式，求m、n的取值． 不等式的解集题型02 1．下面各数中，是不等式a＜﹣2的解的是（    ） A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．1 2．下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 3．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若不等式的解都能使不等式成立，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．像156＞155，155＜156，x＞50，这样，我们把用符号“＞”或“＜”连接而成的式子叫做______．像a≠2这样的式子也叫做不等式． 使不等式成立的未知数的值叫做______． 6．已知关于x的一元一次不等式的解集在数轴上表示如图，那么k的值是_________． 7．写出一个解集为的一元一次不等式___________． 8．在下列各数中：，，0，，2，4． (1)x取哪些数能使不等式成立？ (2)满足的数有什么特点？ 求一元一次不等式的解集题型03 1．分式方程的解为正数，则的取值范围（　　） A． B．且 C． D．且 2．已知有理数满足，若的最小值为，最大值为，则的值为（    ） A． B．5 C． D．1 3．不等式的解集为______． 4．若（m﹣2）x2m+1﹣1＞5是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为​ ________ 5．解不等式： 6．已知关于的不等式的解集是，求不等式的解集 7．（1）计算： （2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 ……第五步 任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据_________（运算律）进行变形的； ②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_________； 任务二：请直接写出该不等式的正确解集． 在数轴上表示不等式的解集题型04 1．（24-25七年级下·河北石家庄·月考）不等式的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．有一个数不小于a，这个数在数轴上表示，正确的是（  ） A． B． C． D． 3．将不等式的解集表示在数轴上的是（　　） A．   B．   C．   D．   4．（24-25九年级下·江苏南通·月考）关于x的不等式的解集如图，那么a的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级·山西太原·学情自测）若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则该不等式的解集是__________． 7．（24-25七年级下·北京·期中）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 8．数学课堂上，李老师设计了“接力游戏”，规则：一列同学每人只完成解不等式的一步变形，即前一个同学完成一步，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步变形，直至解出不等式的解集．请根据下面的“接力游戏”回答问题． 接力游戏老师： 甲同学： 乙同学： 丙同学： 丁同学： 戊同学： 任务一：①在“接力游戏”中，乙同学是根据_____________进行变形的． A．等式的基本性质 B．不等式的基本性质 C．乘法的分配律 ②在“接力游戏”中，出现错误的是_____________同学，这一步错误的原因是________________________________________________． 任务二：在“接力游戏”中该不等式的正确解集是_____________．并把它的解集在数轴上表示出来． 任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，针对解不等式时还需要注意的事项给同学们提一条建议． 求一元一次不等式的整数解题型 1．不等式的非负整数解有（　） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25八年级下·山西运城·期末）一个不等式的解集如图所示，则这个不等式的正整数解为（    ） A． B． C． D． 3．不等式的正整数解有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．不等式的非负整数解是__________． 5．已知不等式的正整数解为1，2，3． （1）当为整数时，的值为_____． （2）当为实数时，的取值范围为_____． 6．（24-25七年级下·上海·月考）解不等式，并写出它的所有负整数解． 7．（24-25七年级下·广东中山·月考）已知关于，的方程组的解满足，请求出满足条件的正整数的值． 8．对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 求一元一次不等式解的最值题型01 1．满足的最大整数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·陕西韩城·模拟）不等式的最小整数解是（     ） A． B． C． D．3 3．若关于x的不等式的最小整数解是，则m的取值范围是⋯（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·湖南永州·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 （    ） A．1 B．3 C．5 D．7 5．已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·河南郑州·期末）现引入一种新的运算符号“”，规定：，若，则的最大值是_________． 7．（25-26九年级下·陕西·学情自测）解不等式，并写出最小整数解． 8．若关于的二元一次方程组的解满足，求的最小整数解． 解|x|≥a型的不等式题型02 1．不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 2．不等式的解集是______． 3．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知是整数），则的值是_____． 4．（25-26下·黑龙江绥化·月考）若，则x的取值范围_______． 5．（25-26八年级下·山东枣庄·学情自测）请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 6．解不等式：|x－1|＋|x－3|＞4. 7．已知对任意都成立，求的取值范围． 8．请阅读绝对值不等式和的解集的过程． 对于绝对值不等式，从图1的数轴上看，大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为； 对于绝对值不等式，从图2的数轴上看，小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或． (1)不等式的解集为_______； (2)解不等式； (3)已知绝对值不等式的解集为，求的值； (4)已知关于，的二元一次方程组的解满足，且m是正整数，请直接写出m的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $