精品解析：湖南邵东市第一中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试题

邵东一中2026年下学期高一第一次月考数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 4. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 5. 已知，则取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 8. 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 11. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. （1）若“，”为假命题，求实数m的取值范围； （2）若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求，的值； （3）求当时，的值域． 17. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 19. （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邵东一中2026年下学期高一第一次月考数学试题 时间：120分钟 总分：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合，利用一元一次不等式的解法化简集合，再根据集合交集计算即可. 【详解】因为集合， 集合， 所以. 故选：B 2. 下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个选项推导或举反例判断即可. 【详解】对A，若，，则，故A错误； 对B，若，则，但，故B错误； 对C，若，则，但，故C错误； 对D，若，则，故，即，故D正确. 故选：D 3. 设，若，求实数a组成的集合的子集个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】先解方程得集合A，再根据得，根据包含关系求实数，根据子集的定义确定实数a的取值组成的集合的子集的个数. 【详解】 因为，所以，因此或或， 当时，，当时，，当时，， 实数a的取值组成的集合为，其子集有，，，，，，，，共8个， 故选：D． 4. 若关于的不等式的解集为，且，则实数的值为（   ） A. B. C. 1或-1 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为，利用根与系数的关系，结合题意，列出方程，即可求解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，且，解得， 因为，所以，解得或（舍去）. 所以实数的值为. 5. 已知，则取得最大值时的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，则，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，则， 由，当且仅当时，即时等号成立． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理推算是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 6. 若，，，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式串 可判断选项A错误，B错误，D正确.利用基本不等式可得C错误. 【详解】对于选项A：∵，当且仅当时取等号，∴A错误； 对于选项B： ，，∴B错误； 对于选项C ：， 因为 ∴C错误； 对于选项D：∵，当且仅当时取等号， ∴，D正确； 故选：D 7. 某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量（单位：千辆/小时）与车速（单位：公里/小时）近似满足，为保障最大车流量，应建议车速为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，利用均值不等式进行求解即可. 【详解】由题意知，则， ， 当且仅当即时，等号成立； 所以当汽车的平均速度为公里/小时时，车流量最大. 故选：B 8. 设，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得恒成立，讨论，，运用基本不等式，可得最值，进而得到所求范围． 【详解】恒成立， 即为恒成立， 当时，可得的最小值， 由， 当且仅当取得最小值8，即有，则； 当时，可得的最大值， 由， 当且仅当取得最大值，即有，则， 综上可得．故选． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和分类讨论思想，以及基本不等式的应用，意在考查学生的转化思想、分类讨论思想和运算能力． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. “”是“”的必要条件 D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】BD 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定可判定A，利用充分条件、必要条件的定义结合反例可判定B、C、D. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，由可知，满足充分性， 而推不出，比如，不满足必要性，故B正确； 对于C，由不能推出，故C错误； 对于D，若，则方程判别式， 有两个不等根，且，所以两个根异号，满足充分性， 若方程有一正一负根，则需， 解之得，满足必要性，故D正确. 故选：BD 10. 若，则下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 的最小值为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A. 利用怍差法判断；B.由判断；C.利用对勾函数的性质判断；D.由，利用“1”的代换结合基本不等式判断. 【详解】A. 因为，故正确； B.因为，所以解得，所以，当且仅当取等号，故正确； C. 因为，，则由对勾函数的性质得在上递增，所以其最小值为，故错误； D.因为，则，当且仅当，即时，取等号，故正确； 故选：ABD 11. 下列说法正确的是（　　） A. ，则实数的取值范围为 B. ，则实数的取值范围为 C. ，则实数的取值范围为 D. ，使得不等式成立，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，参变分离得；对于B，参变分离得；对于C，根据题意可得，再解不等式即可；对于D，不等式可变形为，则，则，再求出最值即可． 【详解】对于A：， 则，故A正确； 对于B：， 则，故B错误； 对于C：原式子可化为， 则，即，解得， 所以实数的取值范围为，故C正确； 对于D：不等式可变形为，则，解得， 因，则，此时，即， 所以的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知实数使得有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根号被开方数大于或等于0，分式分母不为0，即可求出的取值范围. 【详解】由题可得，则，所以的取值范围为. 13. 高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有______人. 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解. 【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合. 要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人. 故答案为：9. 14. 已知正实数，满足，且恒成立，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】先求得的最大值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，，， 解得，则 ， 当且仅当，时等号成立. 所以， 解得或，即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】利用基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，正是说利用时，必须是正数，定是指定值，相等指的是等号成立的条件，三者缺一不可.另外，如果是负数，求的最值，可转化为，再结合基本不等式来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 设集合，集合. （1）若“，”为假命题，求实数m的取值范围； （2）若中有只有三个整数，求实数m的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设，讨论、分别求出对应参数范围； （2）由题意，讨论、求参数范围. 【小问1详解】 由题意，知，则 ①，即，得； ②，则，此时有或，解得，此时m无解； 综上：m的取值范围为. 【小问2详解】 因，故中有只有三个整数时，可能为，0，1或0，1，2， 当时，，解得，即； 当时，，解得，无解； 综上：m的取值范围为. 16. 已知函数． （1）求函数的解析式； （2）求，的值； （3）求当时，的值域． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）令，根据条件代入即可求解； （2）利用（1）中结果，将代入即可求解； （3）利用分段函数的性质，分别求出和的值域，即可求解. 【小问1详解】 令，得，代入原式得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以，. 【小问3详解】 因为，当时，；当时，， 又，当时，在区间上单调递增， 又，，所以当时，， 当时，在区间上单调递增，又，， 所以当时，， 综上，当时，的值域. 17. 某厂家拟在2025年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）满足（k为常数），如果不搞促销活动，那么该产品的年销售量只能是3万件.已知生产该产品的固定投入为9万元，每生产1万件该产品需要再投入18万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本（此处每件产品年平均成本按元来计算）的1.5倍. （1）将2025年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数； （2）该厂家2025年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，为35.5万元. 【解析】 【分析】（1）根据，求出，从而可求出，再根据利润公式求函数关系式即可； （2）利用基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意知，当时，， 则，解得， 所以. 因为每件产品的销售价格为元， 所以2025年该产品的利润 , 即. 【小问2详解】 因为当时，. 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故该厂家2025年的促销费用投入2万元时，厂家的利润最大，最大为万元. 18. 已知关于的二次函数 （1）若关于的不等式的解集为，求实数、的值； （2）若实数，满足，求关于的不等式的解集．（答案用含有字母a的形式表示） （3）已知 有两个正实数根，，，且满足 ，求的最大值 【答案】（1），； （2）当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理列方程求解； （2）将代入，因式分解，对a的正负以及根1和的大小作分类讨论，写出不等式解集； （3）先由韦达定理与得到的关系式，结合正根、不等根条件求出a的取值范围，再将目标式化为单变量a的函数，换元后用基本不等式求最大值. 【小问1详解】 不等式的解集为，得，方程两根为，所以，得，； 【小问2详解】 由，得，即， 因为，所以， 当，不等式化为， 若即，解集为； 若即，，无解； 若即，解集为； 当，不等式化为，此时，故解集为或； 综上所述，当，解集为或；当，解集为；当，解集为；当，解集为； 【小问3详解】 由得，两根，由韦达定理得， 因为，所以，所以， 由，得判别式，即，得，故或， 由得，所以， 由，得， 令，由得，所以， 因为，所以，故，当且仅当，即，即时取等号， 所以，故， 所以当时，最大值为. 19. （1）若正实数，满足，求的最小值； （2）若实数，，，满足，求证：； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 【答案】（1）； （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且同号时等号成立．此时满足. （3）时，取得最小值． 【解析】 【分析】（1）利用“1”的代换凑配出积为定值，从而求得和的最小值； （2）利用已知，，然后由基本不等式进行放缩：，再利用不等式的性质得出大小．并得出等号成立的条件． （3）令，，构造，即，即，然后利用（2）的结论可得． 【详解】（1）因为,， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是． (2)略 （3）令，，由得， ， 又，所以， 构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即，． 所以时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $