湖南长沙市岳麓实验中学2026-2027学年高一上学期10月学情检测数学试题

岳麓实验2026年下学期高一10月学情检测 数学（参考答案） 一、单选题 1.B【解析】原命题为存在量词命题，存在量词命题的否定需改写量词并否定结论， 即将存在量词改为全称量词，否定结论得， 由此可得原命题的否定为. 故选：B. 2.A【解析】时，恒成立. 故A正确. 当时，. 故B错误. 当时，. 故C错误. 当时，. 故D错误. 故选：A. 3.D【解析】，且， 由此可得. 故选：D. 4.A【解析】由得，又， 由同向不等式加法性质得， 化简得， 即的取值范围是. 故选：A. 5.B【解析】由”“为假命题，得其否定为真命题. 时，不等式化为，恒成立，满足条件. 当时，二次不等式恒大于需开口向上且判别式小于， 即， 化简得， 解得. 结合两种情况得， 即的取值范围为. 故选：B. 6.C【解析】平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 故①错误； 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 因此②正确； 经过不在同一直线上的三个点确定一个圆， 所以③错误. 时，反比例函数的图象在一、三象限，取，，得，，满足但， 由此可得不随的增大而减小， 故④错误. 三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三边垂直平分线的交点， 因此⑤正确. 综上，错误命题共个. 故选：C. 7.C【解析】设使用过共享单车的学生组成集合,使用过扫码支付的学生组成集合. 由题意得. 由集合容斥原理得, 代入数值得. 故选:C. 8.C【解析】2＋2 ＝x2＋＋＋y2＋＋ ＝＋＋ ≥2＋2＋2＝4， 当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时，取等号． 二、多选题 9.ACD【解析】对于选项A： 由特称命题的否定为全称命题, 命题的否定是,故A正确. 对于选项B： 若,取,则, 故不能推出； 若,取,则, 故不能推出, 所以”“是”“的既不充分也不必要条件,故B错误. 对于选项C： 由得, 因为时，, 故,即的取值范围为,故C正确. 对于选项D： 关于的方程有一正一负根, 由韦达定理及判别式得, 解得, 故”“是”关于的方程有一正一负根”的充要条件,故D正确. 答案为ACD. 10.ABC【解析】解方程，得， 由， 可得. 当时，方程无实根， 故. 当时，或是方程的根， 代入得或. 故选：ABC. 11.ABC【解析】由不等式的解集为，得， 且方程的两根分别为，. 由韦达定理得, 结合，解得，， 故，可得选项A、B正确. 计算得，故选项C正确. 计算得， 由得，即，故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题 12.4【解析】， 若，则，违反集合元素互异性，舍去. 若， 解得，此时集合为，满足题意. 故答案为：. 13.【解析】由，，结合，得. 14.【解析】令,原不等式化为,该式不成立. 故此时不等式解集为,符合要求. 设,原不等式为一元二次不等式. 结合解集为的条件,得. 化简判别式得. 因式分解得. 解得. 综上,实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 解：(1)命题为真， 即存在满足，二次函数开口向下， 故判别式， 化简得， 解得， 故实数的取值范围为. (2)命题为真， 即方程有两个不相等的负根，结合判别式与韦达定理得， 化简得. 命题和有且只有一个为真，分为真假和假真两种情况，真假时，为真得，为假得， 解得，假真时，为假得或，为真得， 解得. 综上，实数的取值范围是或. 16.(1) 解：因为，由基本不等式得， 当且仅当且，即时等号成立. 整理得， 故函数的最大值为. (2) 解：因为，所以， 变形得. 由基本不等式得， 当且仅当即时等号成立，从而， 故函数的最大值为. 17.(1) 解：设矩形用地平行于横向过道的边长为， 由每个矩形面积为得另一边长为，所用篱笆总长为. 由均值不等式得， 当且仅当即时等号成立， 故矩形长和宽均为时，所用篱笆最短. 此时菜园总面积为. (2) 解：设菜园总面积为， 由题意得，展开整理得. 由均值不等式得， 当且仅当即时等号成立. 此时矩形另一边长为， 故矩形长为、宽为时，菜园总面积最小. 18.(1) 解：因式分解得, 解得或, 故. (2) 解：,代入, 得, 整理得, 因式分解得, 解得或. 当时,方程化为, 解得或,即,,符合条件. 当时,方程化为, 解得或,即,,符合条件. 故或. (3) 解：,故. 当时,方程无实根,, 展开化简得, 解得. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 当时,由韦达定理得解得且,矛盾,无解. 综上,实数的取值范围为. 19.(1) 解：时，，由， 根据的定义得，结合，故集合是的恰当子集. (2) 解：是的恰当子集， 由定义得，故， 由，又，得或. 时，，得，此时，满足条件； 时，，得，此时，满足条件， 故或. (3) 解：若，由的定义得，故， 即. 时，取，计算得， 满足，故存在符合条件的集合. 时，需， 由得且， 由得或. 若， 设，枚举验证可知不存在满足条件的； 若，设，枚举验证可知同样不存在满足条件的， 故时不存在符合要求的集合. 由此可得的最大值为. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 岳麓实验2026年下学期高一10月学情检测 数学 考试范围：必修一1-2章；考试时间：120分钟，满分150分。 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题(共8小题,共40分) 1.（5分）命题：“”的否定是（） A. B. C. D. 2.（5分）若，则下列不等式中成立的是（） A. B. C. D. 3.（5分）已知元素，且，则的值为（） A. B. C. D. 4.（5分）若，则的取值范围是（） A. B. C. D. 5.（5分）若“”是假命题，则的取值范围为（） A. B. C. D. 6.（5分）下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数的图象在一、三象限，随的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.（5分）“高铁、扫码支付、共享单车和网购”称为中国的“新四大发明”．某中学为了解本校学生对“新四大发明”的使用情况，随机调查了位学生，其中使用过共享单车或扫码支付的学生共有位，使用过扫码支付的学生共有位，使用过共享单车且使用过扫码支付的学生共有位，则使用过共享单车的学生人数为（） A. B. C. D. 8.（5分）若xy是正数，则2＋2的最小值是(　　) A.3   B.   C.4   D. 二、多选题(共3小题,共18分) 9.（6分）下列说法中正确的有（ ） A.命题，则命题的否定是 B.“”是“”的必要条件 C.若命题“”是真命题，则的取值范围为 D.“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10.（6分）集合，且，实数的值为（） A.0 B.1 C. D.2 11.（6分）已知关于的不等式的解集为，则下列说法中正确的有（） A. B. C. D. 三、填空题(共3小题,共15分) 12.（5分）已知，则实数的值为                   ． 13.（5分）已知集合，，若，则实数的取值范围是                   . 14.（5分）已知关于的不等式，若此不等式的解集为，则实数的取值范围是                    四、解答题(共5小题,共77分) 15.（13分）已知命题成立；命题：方程有两个不相等的负根. (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题和命题有且只有一个是真命题，求实数的取值范围. 16.（15分）解答下列题目： (1) （7分）已知，求的最大值; (2) （8分）已知，求的最大值. 17.（15分）某农户计划在一片空地上修建一个田字形的菜园如图所示，要求每个矩形用地的面积为且需用篱笆围住，菜园间留有一个十字形过道，纵向部分路宽为，横向部分路宽为. (1) （6分）当矩形用地的长和宽分别为多少时，所用篱笆最短？此时该菜园的总面积为多少？ (2) （9分）为节省土地，使菜园的总面积最小，此时矩形用地的长和宽分别为多少？ 18.（17分）已知集合，集合. (1) （4分）求集合； (2) （6分）若集合，求实数的值； (3) （7分）若，求实数的取值范围． 19.（17分）已知，是的子集，定义集合，若，则称集合是的恰当子集．用表示有限集合的元素个数． (1) （4分）若，，求并判断集合是否为的恰当子集； (2) （5分）已知是的恰当子集，求，的值并说明理由； (3) （8分）若存在是的恰当子集，并且，求的最大值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $