精品解析：辽宁省大连市普兰店市2024-—2025学年九年级上学期10月月考数学试卷

2024—2025学年度第一学期九年级数学练习 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 7. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 8. 在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 10. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列四个结论中： ①抛物线开口向下 ②对称轴是直线 ③当时，y随x的增大而减小 ④当时，y随x的增大而增大 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 13. 若二次函数的图象经过点，，则______ （选填：，，）． 14. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 15. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 已知二次函数． （1）用描点法画出该二次函数的图象： x 0 1 2 3 4 y 0 3 ①补全表格， ②在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）该二次函数图象的对称轴是______； 18. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆．求前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率． 19. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 20. 4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 21. 如图，已知二次函数的图象经过点，点，是二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，若，的面积是6，求m的值． 22. （1）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点，…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：． ①三角形点阵中前10行的点数和是______； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为136，求a的值； ③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． （2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…， ①直接写出这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）； ②这个二角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，试用一元二次方程说明道理． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点． （1）求的面积； （2）当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （3）当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期九年级数学练习 注意事项： 1．请在答题卡上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷共三道大题，23道小题．满分120分．考试时间120分钟． 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 一元二次方程中一次项系数、常数项分别是（ ） A. 2， B. 0， C. 1， D. 1，0 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式( ，，是常数且)，熟练掌握二次项系数的定义是解题的关键．根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的一次项系数和常数项即可． 【详解】解：中一次项系数、常数项分别是，， 故选：． 2. 抛物线与轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令x=0代入求得y，即可得到抛物线与y轴的交点坐标. 【详解】当x=0时，y=-1，所以抛物线与y轴的交点坐标为：（0，-1）. 故本题答案应为：B. 【点睛】二次函数与坐标轴的交点是本题的考点，令x=0，求得y是解题的关键. 3. 将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”进行求解即可得答案． 【详解】解：将二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是， 故选：C． 4. 若关于的方程的一个根是，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义，一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把3代入方程求解可得k的值． 【详解】解：关于的方程的一个根是， ， ， 故选：B． 5. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，k的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得： 且， 故选：B． 7. 若是某个一元二次方程的根，则这个一元二次方程可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 8. 在手拉手学校联谊活动中，参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条，设参加活动的同学有x个，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设参加活动的同学有x个，根据“参加活动的每个同学都要给其他同学发一条励志短信，总共发了110条”列出一元二次方程即可求解． 【详解】解：设参加活动的同学有x个，根据题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 9. 如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为，则关于x的方程的解为（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，根据抛物线与轴的交点的横坐标即为对应的一元二次方程的解，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， ∵二次函数的部分图象与x轴的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， ∴关于x的方程的解为，； 故选C． 10. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 4 6 … y … 8 18 20 18 … 下列四个结论中： ①抛物线开口向下 ②对称轴是直线 ③当时，y随x的增大而减小 ④当时，y随x的增大而增大 其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由图可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故①正确、②错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故③错误，④正确， 故选：C． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 方程的解是______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题可采用直接开平方法或因式分解法求解一元二次方程，依据平方根的定义或因式分解的性质得出方程的解． 【详解】解：方法一：直接开平方法 移项，得 根据平方根的定义，正数的平方根有两个，且互为相反数 则，即 故，． 方法二：因式分解法 将方程左边因式分解，得 则或 故，． 12. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，的顶点坐标是．根据题目中的解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标． 【详解】解：的顶点坐标是， 故答案为：． 13. 若二次函数的图象经过点，，则______ （选填：，，）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在宽为20米，长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为 __________________． 【答案】(32-x)(20-x)=540 【解析】 【分析】如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了，进而列出方程即可． 【详解】解：如图所示，将道路通过平移都移到靠近边侧，则图中阴影部分就为草坪了， 由题意可知长为(32-x)米，宽为(20-x)米， 由矩形的面积公式则可得：(32-x) (20-x)=540． 故答案为：(32-x) (20-x)=540． 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是列出正确的方程． 15. 在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为________． 【答案】8米 【解析】 【分析】令求解即可． 【详解】解：当时，， 解得，（舍去）． 故答案为：8米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）移项，利用直接开平方法解答即可； （）移项，利用公式法解答即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 即或， 解得，； 【小问2详解】 ， ， ，，， ∵ ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 17. 已知二次函数． （1）用描点法画出该二次函数的图象： x 0 1 2 3 4 y 0 3 ①补全表格， ②在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象； （2）该二次函数图象的对称轴是______； 【答案】（1），，； 如图： （2）直线． 【解析】 【分析】（）把的值分别代入即可求解，从而填表即可； 通过描点，连线即可； （）把配成顶点式即可， 本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 补全表格： 故答案为：，，； 略 【小问2详解】 由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线． 18. 随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某品牌电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了万辆．求前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率． 【答案】前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为． 【解析】 【分析】设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x，由某品牌电动汽车在今年第一季度和第三季度的销量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为x， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：前三季度该品牌汽车销售量的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19. 已知关于x的方程 （1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】（1），； （2）∵， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可； （2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可． 【详解】解：（1）设方程的另一根为x1， ∵该方程的一个根为1， ∴， 解得． ∴a的值为，该方程的另一根为． （2）略 【点睛】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，注意：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，则x1+x2，x1•x2，要记牢公式，灵活运用． 20. 4月19日，瓦房店市第七届桃花节暨2024年群众文化艺术节在复州城镇盛装启幕，景区售卖一种当地特产，每袋成本为3元，经调查，每天的销售量y（袋）与每袋的售价x（元）之间的函数关系式如图所示． （1）求y与x的函数关系式； （2）设每天的总利润w（元），每袋特产的售价定为多少元时，获利最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法，求出函数解析． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据题意得出，根据二次函数的最值，求出结果即可． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得： ， 解得， 所以y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意，可知： ∵， ∴该抛物线开口向下， ∴对称轴为直线时，w有最大值，最大值为， 答：每袋的售价定为元时获利最大，最大利润是元． 21. 如图，已知二次函数的图象经过点，点，是二次函数的图像上的两个动点． （1）求此二次函数的表达式； （2）此二次函数的图象与x轴的正半轴交于点B，点P在直线的上方，过点P作轴于点C，交于点D，连接，，若，的面积是6，求m的值． 【答案】（1） （2）或2 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数面积综合题， 待定系数法求一次函数以及二次函数解析式． （1）用待定系数法求二次函数解析式即可． （2）先求出点B的坐标，再求出的解析式，点P、D的坐标分别为：、，然后根据三角形的面积公式可得出，解一元二次方程即可得出m的值． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线表达式得：， 则， 即抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：令，， 则， 则点， 设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴， ∴点P、D的坐标分别为：、， 则， ∴， 即 解得：，； ∴m的值是或2． 22. （1）探究；已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…第n行有n个点，…容易发现，10是三角形点阵中前4行的点数和．（提示：． ①三角形点阵中前10行的点数和是______； ②若三角形点阵中前a行的点数之和为136，求a的值； ③三角形点阵中前b行的点数之和能是600吗？若能，求出b的值；若不能，试用一元二次方程说明道理． （2）拓展：若果把（1）的三角形点阵中各行的点数依次换为2，4，6，…，，…， ①直接写出这个三角形点阵中前n行点数和（用含n的代数式表示）； ②这个二角形点阵中前n行点数和能是600吗？若能，求出n；若不能，试用一元二次方程说明道理． 【答案】（1）①55； ②； ③三角点阵中前b行的点数的和不能是600．理由如下： 依题意，得， 即， ， ∵b为整数， ∴三角点阵中前b行的点数的和不能是600； （2）①； ②三角点阵中前n行的点数的和能是600，且． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． （1）①由于第一行有1个点，第二行有2个点…，第n行有n个点…，则前10行共有个点； ②前a行共有个点，然后求它们的和，前a行共有 个点，则，然后解方程得到a的值； ③由（1）得，求b的值即可； （2）①根据，求n的值，进而得出这个三角形点阵中前n行点数和； ②由①得，求n的值即可． 【详解】解：（1）①三角形点阵中前10行的点数和为： ； 故答案为：55； ②由题意可得：，即， 整理得， ∴，， ∵a为正整数， ∴； ③略 （2）①这个三角形点阵中前n行点数和为： ； ②三角点阵中前n行的点数的和能是600．理由如下： 依题意，得， 即， 解得： （舍），， 答：三角点阵中前n行的点数的和能是600，且． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点抛物线上一动点． （1）求的面积； （2）当n随m的增大而减小时，直接写出m的取值范围； （3）当n随m的增大而增大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q．使得是以O为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由； （4）作点P关于x轴的对称点，设为点，过点P作轴，垂足为D，以PD，为邻边构造矩形，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）6 （2） （3）存在，或 （4），，，， 【解析】 【分析】（1）先求出点A，B，C的坐标，然后根据计算即可； （2）配方得到顶点式，即可得到对称轴，然后利用二次函数的增减性解题即可； （3）过点作轴于点，点作轴于点，证明，利用三角形的全等的性质解题即可； （4）分段画出图形，利用数形结合进行解题即可． 【小问1详解】 解：令，则，解得，， ∴点A，B的坐标为，， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴； 【小问2详解】 ， ∴当时，n随m的增大而减小时； 【小问3详解】 由（2）知当时，随的增大而增大， ∴点P在对称轴右侧， 过点作轴于点，点作轴于点， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， 当时，即 解得： (舍去)， 当时，即 ， 解得： (舍去)， ∴点的坐标为或； 【小问4详解】 当时，解得， 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点， 当时， 如图，矩形除顶点P外其余点都在抛物线内，即有一个公共点； 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点； 当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点； 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点； 当时， 如图，抛物线与矩形的边有一个公共点； ，点E在抛物线与y轴交点处，解得，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点； 令，则抛物线的顶点在上，这时，（舍去）， ∴当时， 如图，抛物线与矩形的边有三个公共点； 当时， 如图，抛物线与矩形的边有两个公共点； 综上所述，当抛物线与矩形的边有两个公共点时，出m的取值范围为，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合，掌握二次函数的图像和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $