精品解析：辽宁沈阳市南昌中学2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试题

数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当AB=BC时，它是矩形 B. 当AC=BD时，它是菱形 C. 当∠ABC=90°时，它是矩形 D. 当AC=BD时，它是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】在平行四边形的条件下，根据矩形、菱形、正方形的判定方法判断即可． 【详解】解：A、当AB＝BC时，平行四边形ABCD为菱形，所以A选项的结论错误； B、当AC＝BD时，平行四边形ABCD为矩形，所以B选项的结论错误． C、当∠ABC＝90°时，平行四边形ABCD为矩形，所以C选项的结论正确； D、当AC=BD时，平行四边形ABCD为矩形，所以D选项的结论错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定，也考查了菱形、矩形的判定方法．正方形的判定方法：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角． 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的定义判断即可． 【详解】因为两个等边三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等边三角形一定相似， 故A不符合题意； 因为两个等腰直角三角形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个等腰直角三角形一定相似， 故B不符合题意； 因为两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， 所以两个菱形不一定相似， 故C符合题意； 因为两个正方形的对应边成比例，对应角相等， 所以两个正方形一定相似， 故D不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查了相似多边形即对应边成比例，对应角相等的两个多边形，熟练掌握定义是解题的关键． 4. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形中位线的性质，掌握菱形的四条边相等是解题的关键． 先证明是的中位线，再根据三角形中位线的性质求出长，再根据菱形的性质作答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ． ， ． 四边形是菱形， ． 故选：A． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：常用的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．根据比例的性质，由，得，则设，得到，，然后把，，代入中进行分式的运算即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，得到，， ∴， 故选：A． 6. 如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键．先证明三角形是直角三角形，再利用长直角边与短直角边的比值逐一判断，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， A、三条边长分别为、、，且， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为， 此三角形与相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； C、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； D、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； 故选：A． 7. 已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割点的定义，；则，代入数据即可得出的长度． 【详解】解：由于为线段的黄金分割点， 且是较长线段； 则． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算． 8. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； D、不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键. 9. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】设计划组织x支球队参加，根据计划安排36场比赛列方程，解方程即可得到答案. 此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键. 【详解】解：设计划组织x支球队参加， 则， 解得（不合题意，舍去）， ∴参赛队数为个 故选：D 10. 对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或0.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ， 整理得， ∴， 解得或． 故选：D． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】把代入原一元二次方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入方程， 得， 整理得， 解得． 12. 已知，则的值是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设=k，用k分别表示a、b、c，再代入计算即可得到答案. 【详解】设=k，则a=3k，b=5k，c=7k， =， 故答案为：2. 【点睛】此题考查分式的化简计算，利用同一个字母表示分式中的所有字母由此化简分式. 13. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】通过配方法将原方程化为的形式，得到和的值，再代入计算即可. 【详解】解：移项，得， 配方，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得， ∴，， ∴. 14. 如图所示，于点B，于点D，，点E在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，求的长为__________． 【答案】3或 【解析】 【分析】设，则．由题意可得出，即可分类讨论：当时，；当时，，即可分别列出关于x的等式，解出x，即得出答案． 【详解】解：设，则． ∵于点B，于点D， ∴． 分类讨论：当时，，即=， 解得：； 当时，，即=， 解得． 综上可知的长为3或． 故答案为：3或． 【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质．利用分类讨论的思想是解题关键． 15. 已知：如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P在对角线BD上，并且A，O，P组成以OP为腰的等腰三角形，那么OP的长等于___． 【答案】或. 【解析】 【分析】由矩形的性质和勾股定理得出OA＝OB＝OC＝OD＝，当P与B或D重合时，OP＝OB＝OD＝；当AP＝OP时，作PE⊥OA于E，作DF⊥AC于F，则OE＝OA＝， PE∥DF，得出△OPE∽△ODF，得出＝，求出OF＝， 代入比例式得出OP＝即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴AC＝ ， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝， 当P与B或D重合时，OP＝OB＝OD＝； 当AP＝OP时，作PE⊥OA于E，作DF⊥AC于F，如图所示： 则OE＝OA＝，PE∥DF， ∴△OPE∽△ODF， ∴＝， ∵△ADC的面积＝AD×CD＝AC×DF， ∴DF＝ ， ∴OF＝ ， ∴ ， 解得：OP＝ ； 综上所述，A，O，P组成以OP为腰的等腰三角形，那么OP的长等于或； 故答案为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；证明三角形全等是解题的关键，注意讨论． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 或 【小问3详解】 解： 或 【小问4详解】 解： 17. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∵， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，由，可证四边形是平行四边形，由，可得，进而结论得证； （2）由四边形是平行四边形，可得，由四边形是矩形，可得，则，由勾股定理得，，由角平分线与平行线可得，，进而可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 四边形是矩形， ， ， 由勾股定理得，， 平分， ， ∵， ， ， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等角对等边，熟练掌握平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线，等角对等边是解题的关键． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； 【小问2详解】 解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 19. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 【答案】（1）边AB的长为15米； （2）羊圈的总面积不能为500平方米， 由（1）可得：， 化简得：， ∴， ∴羊圈的总面积不能为500平方米． 【解析】 【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：， ∴， 解得：， ∵墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，， ∴， 答：边AB的长为15米； （2）略 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 20. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（）根据平行线的性质得到，再由两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可； （）可证，由比例线段可求出线段的长； 本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 21. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 【答案】（1） （2）万元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据月份和月份的销售量建立方程求解即可； （2）设汽车的售价下调万元，根据总利润等于每辆汽车的利润乘以销售量建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设新能源汽车的售价下调万元， 由题意得，， 整理得， 解得或， ∵此次销售尽量让利于顾客， ∴， ∴． 答：下调后每辆新能源汽车的售价为万元． 22. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线．与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点的坐标； （2）若点是射线上的一个动点，设点的横坐标是的面积是，求与之间的函数关系式： （3）当时，平面直角坐标系内是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件点的坐标：若不存在，说明理由． 【答案】（1）点 （2） （3） 存在，点，， 【解析】 【分析】（1）联立直线与直线的方程，求解交点即可． （2）根据动点坐标求三角形面积的函数关系式即可． （3）根据平行四边形的性质分情况求解． 【小问1详解】 解：直线交轴于点，交轴于点， 点，点， 直线交轴于点，交轴于点， 点，点， 直线，与直线相交于点， ， 解得：， 点． 【小问2详解】 解：若点在线段上，过点作轴，交轴于， 点作轴，过点作轴，交于点，交于点， 点，， ， 若点在线段的延长线上，过点作轴，轴， 过点作轴，交于点，过点作轴，交于点，交于点， 点， 综上所述：． 【小问3详解】 存在，当时，则， ， 点， ，， ， 若四边形是平行四边形，则，， 点， 点， 若四边形是平行四边形，则，， 点， 点， 若四边形是平行四边形， 设为线段的中点，根据平行四边形对角线互相平分，则同时也是线段的中点， 则，， 设点， ，，， ，， ，， 点， 综上所述：点，，． 23. 如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长： （2）连接，求证：四边形是菱形： （3）如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）证明：如图2中， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （3）的值为或 【解析】 【分析】（1）设，由矩形的性质，折叠的性质和勾股定理得出，的值，然后在中利用勾股定理即可求解； （2）由矩形的性质得出，然后根据平行线分线段成比例可求出的长度，进而可求出的长度，则可证明结论； （3）分两种情况：和，分别利用等腰三角形的性质和相似三角形的判定及性质得出的长度，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用即可求解． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，，，， 由折叠的性质可知， ，  ，  ， ． 设，则 ，  ，  ， 解得 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，理由如下： ①若， ∵四边形是菱形， ∴ ，  ． ， ．  ，  ，  ．  ，  ． ，  ，  ； ②若， 过点P作交于点H，  ，  ． ， ，  ． ，  ． ∵四边形是菱形， ∴ ．  ，  ， ， ，  ， ， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（ ） A. 当AB=BC时，它是矩形 B. 当AC=BD时，它是菱形 C. 当∠ABC=90°时，它是矩形 D. 当AC=BD时，它是正方形 3. 下列图形中不一定是相似图形的是（ ） A. 两个等边三角形 B. 两个等腰直角三角形 C. 两个菱形 D. 两个正方形 4. 在菱形中，，分别是，的中点，如果，那么线段的长是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 19 6. 如图，在的方格图中，的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点是线段的黄金分割点（），若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ） A. ∠ABD=∠ACB B. ∠ADB=∠ABC C. AB2=AD•AC D. 9. 某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织x支球队参加，安排36场比赛，则x为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 对于实数a，b，定义运算“※”如下∶，例如∶．若，则x的值为（ ） A. 0 B. C. 0或 D. 0或0.5 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12. 已知，则的值是__________． 13. 用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为___________． 14. 如图所示，于点B，于点D，，点E在上移动，当以为顶点的三角形与相似时，求的长为__________． 15. 已知：如图，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，点P在对角线BD上，并且A，O，P组成以OP为腰的等腰三角形，那么OP的长等于___． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 在平行四边形中，过点作于点，点在上且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，平分，求的长． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 19. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米． （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由． 20. 如图，在中，点，分别在边，上，，． （1）求证：； （2）若，，求线段的长． 21. 某品牌新能源汽车月份销售量为万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，月份的销售量达到万辆． （1）求从月份到月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率； （2）某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出辆；售价每降低万元，平均每周多售出辆，若该公司计划下调售价，使平均每周的销售利润为万元．为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利于顾客，求下调后每辆新能源汽车的售价． 22. 如图在平面直角坐标系中，已知直线交轴于点，交轴于点．直线．与直线相交于点，交轴于点，交轴于点． （1）直接写出点的坐标； （2）若点是射线上的一个动点，设点的横坐标是的面积是，求与之间的函数关系式： （3）当时，平面直角坐标系内是否存在点，使以点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件点的坐标：若不存在，说明理由． 23. 如图1，在矩形中，是边上一点，连接，将矩形沿折叠，顶点恰好落在边上点处，延长交的延长线于点． （1）求线段的长： （2）连接，求证：四边形是菱形： （3）如图分别是线段上的动点（与端点不重合），且，是否存在这样的点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $