精品解析：广东佛山市南海区狮山镇罗村第一初级中学2026-2027学年第一学期八年级数学第一次学情调研

26-27学年第一学期八年级数学科第一次学情调研 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 25的算术平方根表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】明确算术平方根不带的表示形式及非负性，直接判断对应选项． 【详解】解：25的算术平方根表示为． 3. 在实数，，，，，中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先化简可开尽的根式，再逐一判断各数是否为无理数，统计个数． 【详解】解：，，是有理数． ，，是无理数，共3个． 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，不是最简二次根式． ，故选项B、D不是最简二次根式． 不能再化简，是最简二次根式． 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义． ∴． ∴． ∵，只有选项D的满足． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 利用二次根式的相应的运算法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意； B、，正确，故B符合题意； C、与不属于同类二次根式，不能运算，故C不符合题意； D、，错误，故D不符合题意； 故选：B． 7. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最长边所对的为直角，即． 8. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. ，， D. 5，11，12 【答案】A 【解析】 【分析】先确定每组数中的最长边，验证两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可判断能否组成直角三角形. 【详解】解：A选项：∵最长边为，，∴能组成直角三角形； B选项：∵最长边为，，∴不能组成直角三角形； C选项：∵最长边为25，，∴不能组成直角三角形； D选项：∵最长边为12，，∴不能组成直角三角形. 9. 下列说法正确的有（ ） ①9是3的算术平方根；②无理数都是无限小数；③每个数都有一个立方根； ④一个数的平方根是它本身，这个数是1；⑤两个无理数的和还是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数和有理数的定义，实数，平方根，立方根等知识性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①的算术平方根是，3是9的算术平方根，①错误； ②无理数是无限不循环小数，属于无限小数，②正确； ③任意实数都有唯一的立方根，③正确； ④平方根等于它本身的数只有0，1的平方根是，④错误； ⑤与的和为0，0是有理数，⑤错误 综上，正确的说法共2个． 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的比较大小，关键是无理数的估算． 通过比较和的大小关系，从而推导出 与 的大小关系． 【详解】， ∵， ∴， 即． 12. 的平方根是____． 【答案】±3 【解析】 【分析】根据算术平方根、平方根解决此题． 【详解】解：， 实数的平方根是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查算术平方根、平方根，熟练掌握算术平方根、平方根是解题的关键． 13. 如果一个直角三角形的两条边的长度分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的第三边的长度是____________． 【答案】5cm或cm 【解析】 【分析】分两种情况：当4cm为直角边时，利用勾股定理求出第三边；当4cm为斜边时，利用勾股定理求出第三边. 【详解】∵该三角形是直角三角形， ∴①当4cm为直角边时，第三边长为cm； ②当4cm为斜边时，第三边长为cm， 故答案为：5cm或cm. 【点睛】此题考查勾股定理，题中没有确定已知的两条边长是直角边或是斜边，故应分情况讨论，避免漏解. 14. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 【答案】a 【解析】 【分析】根据数轴得到，，进而即可求解． 【详解】解：由数轴上点的位置可得，且， ∴ ． 15. 如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】将长方体侧面展开，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为线段，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意把长方体沿其侧面展开 由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，计算括号内的加减，再计算除法； （2）分别计算各部分的值，再合并得到最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 按要求完成下列各题： （1）如图1，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，用所得到的个直角三角形拼成一个大正方形．由此可得图1中大正方形的边长为____________； （2）尺规作图：在图2的数轴上标出表示数的点． （3）如图3是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．请以格点为顶点画一个三边长都是无理数的直角三角形． 【答案】（1） （2）如图，点即为所求． （3）如图，即为所求． 【解析】 【小问1详解】 解：图1中大正方形的面积为，故其边长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：图略， ，，， ∵， ∴是直角三角形，且三边长都是无理数． 18. 为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 【答案】该四边形土地的面积为 【解析】 【分析】连接，则 为直角三角形，为斜边，通过勾股定理求，根据 判定为直角三角形，根据直角三角形面积计算可以计算该菜地的面积． 【详解】解：连接 ∵ ∴在中 ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且 答：该四边形土地的面积为. 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形面积计算，本题中正确的根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形是解题的关键． 19. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和， （1）求与的值； （2）________． 【答案】（1）1；36 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用“一个正数的两个不相等的平方根互为相反数”的性质，建立互为相反数的两数之和为0的方程，求解得到的值后，将其代入任意一个平方根表达式并平方即可算出正数的值． （2）将第一问求出的的值代入立方根的表达式​中，计算出根号内的数值后直接开三次方得出结果． 【小问1详解】 解：根据平方根的性质：一个正数的两个不相等的平方根互为相反数，互为相反数的两个数和为0， ∴ ， 整理得， 解得． 将代入，得其中一个平方根为， ∴正数是这个平方根的平方，即． 【小问2详解】 解：把代入立方根式子： ． 20. 如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【小问1详解】 解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米； 【小问2详解】 解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 21. 像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：①________；②_______． （2）计算：． （3）已知，，则a_______b．（填“”、“”或“”） 【答案】（1）①；② （2）44 （3） 【解析】 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先进行分母有理化，然后再进行裂项相消法求解即可． （3）分别求出和，先比较和的大小，然后再比较a和b． 【小问1详解】 解：①，②． 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：，， ∴， ， ∵， ∴，即， ∴． 22. 【课本再现】 （1）如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 （2）如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 （3）如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 【答案】（1）解：∵直角三角形两直角边长分别为， ∴中间小正方形的面积为， ∵由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，斜边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∴，即． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两种方法表示中间小正方形的面积，得出等式，即可验证勾股定理； （2）根据外围轮廓线的周长为得出，设，则，，利用勾股定理，列出方程，求出，进而求出，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）设每个直角三角形的面积为，则，，根据可得，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 解：∵外围轮廓线的周长为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴该飞镖状图案的面积为． 【小问3详解】 解：设每个直角三角形的面积为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 23. 如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． （1）求的长； （2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，设点P运动的时间为．当是等腰三角形时，求所有符合条件的t值； （3）如图3，点M是上一动点，点N是上一动点，则最小值是________． 【答案】（1）6 （2）或6或． （3） 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． （3）利用翻折的轴对称性质，得到，将转化为；定点到直线上动点，依据垂线段最短确定最小值位置，再用面积法求出高，计算得到最小值． 【小问1详解】 解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或6或． 【小问3详解】 解：由折叠可知，点、关于直线对称， ． ． 过点作，垂足为，交于点． ，， ，即为平行线与的公垂线段． 根据垂线段最短，此时，即为的最小值． 由(1)得， 由折叠性质：，，， ． ， ，解得． ，，，， ． 最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27学年第一学期八年级数学科第一次学情调研 一、选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1. 计算（ ） A. B. C. D. 2. 25的算术平方根表示为（ ） A. B. C. D. 3. 在实数，，，，，中无理数的个数是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若代数式在实数范围内有意义，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 8. 如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. ，， C. ，， D. 5，11，12 9. 下列说法正确的有（ ） ①9是3的算术平方根；②无理数都是无限小数；③每个数都有一个立方根； ④一个数的平方根是它本身，这个数是1；⑤两个无理数的和还是无理数． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 11. 比较大小：_____（填“”“”或“”）． 12. 的平方根是____． 13. 如果一个直角三角形的两条边的长度分别是3cm和4cm，那么这个直角三角形的第三边的长度是____________． 14. 实数，在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_______． 15. 如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 三、解答题 16. 计算： （1）； （2）． 17. 按要求完成下列各题： （1）如图1，把两个边长为的小正方形沿对角线剪开，用所得到的个直角三角形拼成一个大正方形．由此可得图1中大正方形的边长为____________； （2）尺规作图：在图2的数轴上标出表示数的点． （3）如图3是正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为．请以格点为顶点画一个三边长都是无理数的直角三角形． 18. 为弘扬劳动精神，让同学们在实践中体验劳动、认识劳动，从而培养尊重劳动、热爱劳动、尊重劳动人民的品质，学校准备在校园的一角开垦一块如图所示的四边形土地．经测量，，，，，，请计算该四边形土地的面积． 19. 已知一个正数的两个不相等的平方根分别是和， （1）求与的值； （2）________． 20. 如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米． （1）求B处与地面的距离； （2）完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 21. 像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：①________；②_______． （2）计算：． （3）已知，，则a_______b．（填“”、“”或“”） 22. 【课本再现】 （1）如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 （2）如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 （3）如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 23. 如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． （1）求的长； （2）如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度在线段上运动，设点P运动的时间为．当是等腰三角形时，求所有符合条件的t值； （3）如图3，点M是上一动点，点N是上一动点，则最小值是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $