2027届高考（新一卷）数学对标练习卷（1）

**基本信息** 2027年高考数学新一卷对标卷（1）以复数、概率统计、立体几何等核心知识为载体，通过扫地机器人概率、椭圆综合题等设计，分层考查数学抽象、运算推理及数据应用能力，适配一模备考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题（单选）|8/40|复数、命题、向量、函数导数|基础巩固，考查抽象能力与运算能力| |选择题（多选）|3/18|二项式定理、函数概念、圆锥侧面运动|能力提升，需推理与空间观念| |填空题|3/15|集合运算、概率应用、三角函数性质|简洁考查数学语言表达| |解答题|5/77|概率统计、解三角形、立体几何证明、椭圆综合、数列与函数证明|创新应用，椭圆定点证明体现模型意识，数列函数证明发展理性精神|

2027年高考（新一卷）对标卷（1） 数 学 注意事项： 1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上； 2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上； 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4. 本卷难度适中。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 1．已知复数满足，则的共轭复数（     ） A． B． C． D． 2．设命题，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（     ） A． B． C．7 D．21 4．已知函数满足，则在处的导数为（    ） A．-5 B．-3 C．2 D．3 5．已知随机变量，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．已知双曲线，过双曲线的左焦点的直线交双曲线的渐近线与，两点，若点满足，则双曲线的离心率（    ） A． B． C． D．3 7．已知，若，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的方程有6个根，则的取值范围为（） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。 9．已知，则（     ） A． B．最大的二项式系数为 C． D．展开式中存在连续三项的系数成等差数列 10．下列四个结论中，正确的结论是（    ） A．与表示同一个函数． B．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 C．函数的值域为 D．已知，，则的取值范围的取值范围是． 11．已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，点在圆锥侧面上运动，且点到底面的距离等于点到顶点的距离，则（    ） A．直线与底面所成的角的正切值为2 B．直线与平面所成角的最大值为 C．存在点，使直线与母线平行 D．存在点，使直线与母线垂直 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．全集，集合，，则________． 13．某款扫地机器人根据接收语音指令完成扫地任务．若语音指令接收清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.9；若语音指令接收不清晰，则成功完成扫地任务的概率为0.5．设语音指令接收清晰的概率为，若该款机器人成功完成扫地任务的概率为0.8，则的值为__________． 14．已知奇函数（，）在上单调递增，若锐角满足，则________. 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤。 15．某校计划举行党的二十大知识竞赛，对前来报名者进行初试，初试合格者进入正赛.初试有备选题6道，从备选题中随机挑选出4道题进行测试，至少答对3道题者视为合格.已知甲、乙两人报名参加，在这6道题中甲能答对4道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立. (1)分别求甲、乙两人进入正赛的概率； (2)记甲、乙两人中进入正赛的人数为，求的分布列及. 16．在锐角中，内角，，所对的边分别是，，，且. (1)求的大小； (2)若，求的范围. 17．如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，，，，点为线段的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正切值． 18．已知椭圆的离心率为，焦距为，以，，为三边的三角形面积为1．过左焦点的直线交于，两点，过点与垂直的直线交于，两点，其中，在轴上方，、分别为、的中点． (1)求椭圆的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求定点坐标； (3)设为直线与直线的交点，当的面积取到最小值时，求直线的方程． 19．已知，数列的首项为，. (1)求的通项公式. (2)记，设函数.证明： （ⅰ）当时，； （ⅱ）. 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案与解析 题号 y 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A B A B B A D C ACD ABD AB 1.A 1+i_(1+i)2 【详解】因为：1-)=1+i则2-0-+i,所以.的共能复数 =-i 2.B 【详解】根据存在量词命题的否定的规定， 由命题p:3xe[0,+o）,e=2x,可得p:x∈[0，+o）,e*≠2x 3.A 【详解】由向量i=(cos8,sin8),可得a=Vcos20+sin20=1, 因为-1，且a与6夹角为60，所以a-6a61cos60 2, 则+2=+4i万+46=1+4+4=7，所a+25万 4.B 【详解】由(x)=r+f0)r-3两边求导，得"()=3x+2f'()x, 当x=1时，f'(0)=3+2f(),解得(0)=-3，所以()在x=1处的导数为-3. 5.B a 【详解】因为随机变量5~N(L.o),且P(传≤0)=P(传≥a),则21，可得a=2, 4投2- 9 当且仅当X=3时，等号成立，所以，x+a-x 1+4(0<x<)的最小值为2· 6.A 【详解】联立直线X= 、2y-C与两渐近线方程P=±》 a x=5y-c √2ac X= 5b-2a 联立方程 得 √2bc: y=-x y= 5b-√2a 2y- -2ac X= x= 2 5b+2a 联立方程 y=-bx 得 2bc y= a 5b+V√2a √2ac V2bc）-v2ac √2bc 故，的坐标为 A B 5b-V2a'5b-√2a 5b+√2a'5b+√2a 2a'c 512b2c 从而 的中点为W AB 25b2-2a2’25b2-2a2 52bc 25b2-2a2 5 由于点在线段 的中垂线上，从而直线 的斜率为，即 2a'c V2 M AB MN 25b2-2a2-2e b21 33V2 故a8,从而a2:b2:c2=8:1:9故双曲线的离心率为2 4 7.D 【详解】因为函数f(x)=-+4为偶函数，且f(x)在(0，+∞)上单调递减， g<h1=0,商以=fn)n)fn引.c=》=得 构造函数8(x)=e-x-1,其中x<0,则8(x)=e-1<0, 屋*流n0上年流可》-1-c-g间-0 3 4 ,利造函数a()=hx-x+1,其中x>1,则()=1=1<0， 3 1 即e4> 所以函数h)在L,+0上单调递减，则4=m In5-5+l-In2 44 5_1<h(四=0， “44 5.1 3 1 5 即n4,所以e4> >n>0 4 a小水可6 8.C 【详解】作出函数()的大致图象， 令1=f(x).当1<0或t>2时，方程f()=t有1个根： 当t=0或t=2时，方程f()=t有2个根： 当0<1<2时，方程f()=t有3个根. 原方程可化为t+t+m+3=0, 要使原方程有6个根，关于的方程必须有两个不同的根，且两个根都属于(0,2)， 令9)=2+mt+m+3 △=m2-4m-12>0 0<-"<2 因为二次项系数为正，所以需满足 2 ，解得 9(0)=m+3>0 7 9(2)=3m+7>0 <m<-2 3 所以m的取值范围为 32 9.ACD 【详解】对于A,令x=0,则1+0)=4，即a,=1,故A正确： 对于B,由m=8,则展开式共有9项，二项式系数最大的项是中间项，为第5项，系数为C, 错误； 对于C,令f(x)=(1+2x)°=a+ax+ax2+…+asx 则f'(x)=16(1+2x)}=a+2a,x++7a,x+8ax, 令x=-1,则f'(-1)=16(-1=a-2a,+…+7a,-8a=-16,故C正确： 对于D,由二项式展开式的通项为T,1=C%1(2x)=Cg2X,则a,=C2, 设连续三项为r,r+1,r+2,(1≤r≤6)， 则其系数为0=Cg2,a1=Cg21,a2=Cg*222 若C2,C2,C2“成等若数列.则2C2=C2+C2 4 1 4 即4Cg=Cg+4Cg*2,即(+1)(7-r)(8-r)(7-r）'(r+2)r+1), 即4(+2)8-r)=(+2)0+1)+4(8-r(7-r）,得9r2-81r+162=9(-3)-6)=0 解得r=3,或r=6, 即存在第4项，第5项，第6项的系数成等差数列：或第7项，第8项，第9项的系数成等差 数列，故D正确. 10,ABD x+1≥0 【详解】对于选项A,y=√+x-x的定义域为1-x≥0，解得-1≤x<1' y=V1-x2的定义域为1-x2≥0，解得-1≤x≤1， 对于同一函数要求定义域相同且y=V+xV一x=V-x解析式相同且值域相同，故A正 确； 对打选顶B一元一次方程ar2+br+c=0有一正一负根的条件为5-<0， a 匿ac<0,则A仔-4c>0,且中。<0，则方程必有二正一负 所以：aC<0”是“一元二次方程a+br+C=0有一正一负根”的充要条件，故B正确； 对于C选项，令1=Vx-2(≥0)，所以x=2+2,所以y=1+2-1≥0)， > 当程)，可以取得水佰为4，所以勇数=--2的值度为+网改C借误 111<-1<1 对于选项D,-2<b<-1,所以1<方<2，则2<b 因为2<a<3,防lk君<3.所以3分-1数D b 故选：ABD 11.AB 【详解】因为圆锥SO的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，因此底面半径OA=OB=1, 圆锥的高S0=√3，母线长为2，圆锥母线与高S0的夹角为6，作PE⊥SO,垂足为E, 延长SP与圆锥底面的交点为F,连接OF, 设EP=r,则SE=V3,SP=2r, 由题意可得，2r=V5-V3r,解得=25-3， 则OE=2r=4W5-6,可知点P的轨迹是半径=2V3-3的圆， 以O为原点，OB为y轴，OS为z轴，过O且垂直于平面SAB的直线为x轴，建立空间直 角坐标系，如图， 则A(0,-1,0),B(01,0),0(0,0,0),S(0,0,V3, P(rcos0,rsin0,2r),0≤0<2π， B 可得0P=(cos0,rsin0,2r）,SP=(rcos0,rsin6,2r-V3), BP=(rcos0,rsin0-1,2r),A否=(0，l,V3）, 对人选&直线0p与底国所成的期为“0引. 因为圆锥底面的法向量可以为元=(0,0，)】 n.OP 则sina=cos元，Opl 2r 2 ma及2，成AF疏 对于B港项，设直线P与千面5台所成角为B0引 因为平面SAB的法向量可以为m=(1,0,0), 则sinB=cosm,Spl m.SP r cos0 m-1xr2+2-p2+2r-5 2,可得 B≤ 6 所以直线SP与平面SAB所成角的最大值为6，故B正确： rcos0=0 rsina 2r 对于C选项，若存在点，使得直线。与母线。平行，则OP‖A$,可得 OP SA 13' cos=0 即 >1，方程无解， sin0=2 所以不存在点P,使得直线OP与母线SA平行，故C错误： 对于D选项，若存在点P,使得直线BP与母线SA垂直，则B萨‖A=rsin0-1+23r=0, 解得Sn823=15,所以不在在点p,使直线D与母践垂直，故D翁 误 12.（-∞，-2U[2,3) 【详解】先求，CuB=(-o,-2]U[2,+oo) An CuB=(-o,-2]U[2,3) 3 13.410.75 【详解】设事件A为语音指令接收清晰，事件B为完成扫地任务； 则P(A)=P,P(4=1-p:P(BA)=0.9,P(BA=0.5,P(B)=0.8, 因为AB与AB互斥， P(B)=P(ABAB)=P(AB)+P(B)=P(4)P(BA)+P()P(B =0.9p+0.5(1-p)=0.4p+0.5=0.8 、3 解得P=4. √5 14.4 解】因为函数fx)=0cos(ox+D是奇函数，且0≤0<2元，所以p=, 2 22，四EOc0sor+=-0smox又0E八，此时数f代 ∈0，π 上单调递减， 与函数f在04 上单调递增矛盾，舍去 3π 当92时，f=cosox+-2)=0sin(or,又aeN,此时函数f)在上 3元、 e0,π 20上单调递增， 因为函数f在(0,4上单调递增。所以0≤2 当o=2时，f()=2sin(2x),又锐角a满足cosx 4,由平方关系得sina=V5 4, fa)）=2sin(2a）-=4 sin=4xix1-V5 444 当o=1时，fa)小=sina=5 4 所以f(a)= 4 15.【详解】山)设印、乙两人答对的题日数分别为X、y,则Y~A4写)， 可得甲进入正赛的橱幸R= c+c-3 C 5, ∠进人r赛车片=PY-3)+PY=4)-C)×兮)- 316 故甲、乙两人进入正赛的概率分别为5’27· (2)由题意可得：5的可能取值为01,2， ,则有： P(5=0)=(1-R)1-B)=5×2715, 21122 Pe=-R-R-0-RR-含9号9品. P6-2)-g-含9 则5的分布列为： 5 0 1 2 22 13 16 P 135 27 45 则E(5)=0x22 13令+1×7× -+2× 16161 45135, 故E(25-1)=2E(5)-1=187 135 16.【详解】(I)因为bcosC+ccosB=2 acosA, 由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2 sinAcos4.即sin(B+C)=2 sinAcos4 因为在aABC巾，s如(8+C)=sin4>0,所以0s1 2, 又0<A<π 所以1- 3. b =2 (2)因为4= 结合正弦定理，得sinB sinC 3a=5 sin 所以b=2sinB,c=2sinC. 在aABc中，nC=s(1+)=smB+ 所以b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sinB+写 -2sinB+2sinBcos+2cosBsin 3 inB+co2in 因为△ABC为锐角三角形， 0<B<π 所以 0<C= π-B<文解得 则 6B、 π，2π 2 <B+ 3 2 63 版a5 所以b+c∈(3,2V3] 17.【详解】(1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,ABc平面ABCD且 AB⊥AD 所以AB⊥平面PAD.又DMC平面PAD,所以DM⊥AB 因为△PAD为等边三角形，且M为PA的中点，所以DM⊥PA, 因为AB∩PA=A,且AB,PAC平面PAB,DM⊥AB,DM⊥PA, 所以DM⊥平面PAB (2)取AD的中点O,连接PO,CO,由等边三角形性质知PO⊥AD, 因为平面PAD⊥平面ABCD,由面面垂直性质可得PO⊥平面ABCD. 因为40=2AD=2=BC且A0/BC, 所以四边形ABCO为平行四边形，得OC/AB,即OC⊥AD. 以O为原点，分别以OC,OD,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图： 则各点坐标为：P0,0,2V3),B(2,-2,0),C(20,0), D(0,2,0）,A(0,-2,0) 因为M为PA的中点，所以M(O,-1,3), A PB=(2,-2,-25),DC=(2,-2,0),DM=(0,-3,5 设平面MCD的法向量为方=(x,y,2), 元.DM=0 -3y+3z=02=V3y 由i.DC=0,得2x-2y=0，x=y，取y=1,则x=1,z=V5 所以平面MCD的法向量万=(1,1，V3】 支直战pgT百McD所成有为A:ROe0引 则sin0=cosP吸，列 PB元 2×1+(-2)x1+(-2W3)xV3 -6 PB-MV22+(-2)}+(-2V3)×VP+12+(325xV5 即sinb=3 π 2,由同角三角函数关系式得 cos0-V1-sin0-4,tano-sine=3 cos0 4 3 因此直线PB与平面MCD所成角的正切值为4· 18 a 5 a=5 【详解】(1)由题可得 a2=b2+c2 ,解得： bc=1 b=2 c=1 B x2 所以椭圆c的方程为5+4=1 (2)由点B,D在x轴上方，直线1斜率存在且不为0， 设直线8x=my-1,联立椭圆4x2+5y2=20,消去x得（4m2+5)y-8my-16=0, 8m 片+y2= 4m2+5 由韦达定理得 -16 ,且1 4m2+5 +a+可 -5 4m c山a则-代普m,得 -5m2 -4m 则 中点M AB 4m2+5'4m2+5 5m2+4'5m2+4 m 9m 所以w一 9m 5 当m1取(.-；.则过司月 当m1.数高（小 综上，直线心注定多 (3)由点M,N分别为AB,DE的中点， -8aese-hm-专4o 由(2知48=+m以-=v1+mV+⅓广-4y= 85(m2+1) 4m2+5 以-d代登%弱1D-8v5+m) 5m2+4 1320(m2+1月 40(m2+1）2 160 S.GMN- 所以ac8(4m2+5)(5m2+4) 4m2+5+4+5m2 81 2 =160 当且仅当4m2+5=5m2+4,即m=士1时，（区.a）-8. 19.【详解】(1)由已知，得a1+1=n+1)(an+1). 当n≥2时，4，+1=2(a+),4,+1=3(4+),…,a.+l=n(a1+l), 所以当n≥2时，a,+1=n-1)×…×2×(4+)=!,故，=n-1 上式对n=l也成立，所以a,=nl(neN) (2②1)由(d)知4，= ,所以/(=1+x+ +…+ 2 n!, 所以f(四=1+x+x+ 2i+…+m-0. 所以f':-)=- n! <0所以f')-f<0,即f"<f. 当x>0时，n! (i)设8()= g由2①，知8)=f四<0， e" 所以8()在0，+切)上单调递减 f)f(0) 因此g()<g(0),即e1，所以f()<e,即l+b+b,+…+bn<e. 所以b+b+…+b,<e-1