福建省莆田市仙游片区2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习卷

福建省莆田市仙游片区2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习卷 一、单选题 1．下列汽车标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A． B． C． D． 2．一元二次方程可变形为（   ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=1 5．二次函数图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．一元二次方程x2-3x+5=0的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．如图，点是反比例函数在第一象限内图象上的一点，过点作轴于点，点为的中点，连接，若的面积为2，则的值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．已知点，，在二次函数的图象上，则（     ） A． B． C． D． 9．已知，函数与在同一个平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则⑤其中，其中说法正确的是（   ） A．①②④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 二、填空题 11．已知平面直角坐标系中的点A （2，﹣4）与点B关于原点中心对称，则点B的坐标为_____ 12．若函数是二次函数，则m的值为_______． 13．将二次函数的图象向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象的函数表达式为______． 14．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为_________． 15．已知实数满足，则代数式的最小值是_____． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边，落在坐标轴上，反比例函数的图象分别交，于点，点，且，若，则的值为_____________． 三、解答题 17．解下列方程： (1)； (2)． 18．已知抛物线y=x2+（b-2）x+c经过点M（-1，-2b）． （1）求b+c的值． （2）若b=4，求这条抛物线的顶点坐标． 19．已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0． (1)求证∶不论k为何值，方程总有两不相等实数根． (2)设x1，x2是方程的根，且 x12-2kx1+2x1x2=5，求k的值． 20．某超市销售一种商品，成本价为20元/千克，经市场调查，每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于30元，且不高于80元． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设每天的总利润为w元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 21．如图，已知二次函数的图像交轴于点，交轴于点． (1)求这个二次函数的表达式． (2)若是二次函数图像上的一点，且点在轴下方，线段交轴于点，，求点的坐标． 22．【阅读材料】 材料1：一元二次方程的两个根有如下的关系： 材料2：有些数学问题看似与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决． 下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数满足，且，则可将看作是方程的两个不相等的实数根． 方法2：利用根与系数的关系逆向构造．例如，如果实数满足，则可以将看作是方程的两实数根． 根据上述材料解决下面问题： (1)已知一元二次方程的两根，则___________，___________； (2)已知实数满足，且，求的值； (3)已知实数满足，且，求的最大值． 23．如图，任平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）与反比例函数（m为常数，且）的图象交于点，． (1)当时，根据图象写出的取值范围． (2)求反比例函数和一次函数的解析式； (3)求的面积． 24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1 (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由． 25．如图，矩形OABC中，OC＝4，OA＝3，分别以OC、OA所在的直线为x轴、y轴，建立如图所示的坐标系，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）一次函数y＝ax﹣1的图象与y轴交于点D，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点E，且△ADE的面积为6，求一次函数的解析式； （3）将线段OE沿x轴以每秒1个单位长度的速度向右平移，设运动时间为t，平移后的线段与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点F，与x轴交于点G，t为何值时，GF＝OE？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《福建省莆田市仙游区2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B B B D D A A A 1．D 【详解】沿着某条直线折叠能够完全重合的图形是轴对称图形，某个图形绕着中心旋转180度能够完全重合的图形是中心对称图形，据此可知D既是轴对称图形又是中心对称图形，故选D 2．B 【分析】本题考查的知识点是用配方法解一元二次方程，解题关键是熟练掌握完全平方公式． 首先移项，然后根据完全平方公式配方，即可得出答案． 【详解】解：， ， ． 故选：． 3．B 【分析】对于反比例函数，图象上任意点的横纵坐标乘积等于，只需计算各选项点的横纵坐标乘积，判断是否等于本题的即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴函数图象上的点满足， 验证选项： 选项A：，不满足条件； 选项B：，满足条件； 选项C：，不满足条件； 选项D：，不满足条件． 4．B 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4． A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确； B、-，当x＞-时，y随x的增大而增大，B正确； C、y=x2+5x+4=（x+）2-，二次函数的最小值是-，C不正确； D、-，抛物线的对称轴是x=-，D不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 5．B 【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标． 【详解】∵二次函数y=﹣(x+2)2+6， ∴该函数的顶点坐标为(﹣2，6)， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是． 6．D 【详解】试题解析：∵△=9-20=-11＜0， ∴方程没有实数根． 故选D． 7．D 【分析】本题考查反比例函数的图象及其几何意义，过双曲线上任意一点向轴、轴作垂线，所围成的矩形的面积等于．过点作轴的垂线，垂足为，求出矩形的面积等于，根据图象所在象限即可得到答案． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为，如图， 则矩形的面积等于图中的面积的倍， ∵的面积为2，点为的中点， ∴的面积为 矩形的面积等于， ， 双曲线位于一、三象限， ， 的值为． 故选：D 8．A 【分析】将各点的横坐标代入解析式表示出函数值，然后进行比较大小即可． 【详解】解：分别将，，代入，得 ， ， ， ∵， ∴． 9．A 【分析】根据一次函数与y轴的正半轴相交，即可排除C、D两项，再根据一次函数和反比例函数中的系数k的符号即可作答． 【详解】当时，， 即一次函数与y轴的正半轴相交，交点为：，故C、D两项错误，不符合题意， A项，由一次函数的图象经过一、二、三象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，故A项正确，符合题意； B项，由一次函数的图象经过一、二、四象限可知，由反比例的图象经过一、三象限可知，二者矛盾，故B项错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的综合题型，掌握反比例函数和一次函数的图象所经过的象限与各项系数的关系是解决此题的关键． 10．A 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，抛物线与轴的交点在轴上方，得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点，得到，则可对③进行判断；同时得到，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离和点到直线的距离大小可对④进行判断；利用当时，函数值最大，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线经过点， ∴，所以③错误； ∵， ∴，∴， ∴，所以②正确；∵点到直线的距离比点到直线的距离大， ∴，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴， 即，其中，所以⑤正确； 正确的有①②④⑤． 故选：A ． 11．（﹣2，4） 【分析】根据点P(x,y)关于原点对称的点为（-x,-y）即可得解． 【详解】解：∵点A （2，-4）与点B关于原点中心对称， ∴点B的坐标为：（-2，4）． 故答案为（-2，4）． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键． 12． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得：． 13． 【分析】根据二次函数的图象平移规律即可得． 【详解】将二次函数的图象向左平移1个单位长度可得到的图象，再向上平移3个单位长度可得到的图象 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，熟记函数图象的平移规律是解题关键．对于二次函数的平移规律为：（1）向左平移b个单位长度可得到，向右平移b个单位长度可得到；（2）向上平移b个单位长度可得到，向下平移b个单位长度可得到；可总结为“左加右减、上加下减”．每经过一次平移，可以用函数的顶点坐标变化进行验证，如本题顶点坐标在平移过程中的变化为． 14． 【分析】先把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入正比例函数解析式求出正比例函数解析式，再联立两解析式即可求出点B的坐标． 【详解】解：把代入反比例函数解析式中得，解得， ∴， 把代入正比例函数解析式中得， ∴正比例函数解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出正比例函数的解析式是解题的关键． 15．5 【分析】把m-n2=1变形为n2=m-1，代入所求式子，根据配方法进行变形，根据偶次方的非负性解答即可 【详解】∵，∴，，∴．∵，∴，∴，∴，∴代数式的最小值是5． 【点睛】本题考查配方法的应用和非负数的性质，解题的关键是掌握配方法的应用和非负数的性质. 16． 【分析】过点 作 与点，连接可以设 ， ，，求出 ，再根据得出进而求出，在根据求出，在根据可以解答出答案． 【详解】如图，连接过点 作 与点设 ， ， 则 （同高） 又 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数、相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解：移项，得． 由此可得， 解得，． （2）解：，，， ， 故该方程有两个不相等的实数根． 代入公式，得 ， 即，． 18．（1）-3；（2）（-1，-8） 【分析】（1）直接把M点代入求出b+c的值即可； （2）把b=4代入，首先得出M点坐标，进而得出c的值，进而得出顶点坐标． 【详解】（1）∵抛物线y=x2+（b﹣2）x+c经过点M（﹣1，﹣2b），∴﹣2b=1﹣（b﹣2）+c，则﹣2b=1﹣b+2+c，故b+c=﹣3； （2）当b=4时，y=x2+2x+c，把（﹣1，﹣8）代入得：﹣8=1﹣2+c，解得：c=﹣7，故y=x2+2x﹣7=（x+1）2﹣8，则这条抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣8）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及配方法求二次函数顶点坐标，正确得出c的值是解题的关键． 19．(1) 已知关于x的一元二次方程x2-2kx+k2-2=0， ∴△=（-2k）2-4×（k2-2）=2k2+8， ∵2k2+8＞0恒成立， ∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）要保证方程总有两个不相等的实数根，就必须使△＞0恒成立； （2）欲求k的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵x1、x2是方程的两个根， ∴x1+x2=2k，x1•x2=k2-2， ∴x12-2kx1+2x1x2=x12-（x1+x2）x1+2x1x2=x1x2=k2-2=5， 解得k=±． 20．（1）y=-x+180；（2）销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润6000元 【分析】（1）将点（30，150）、（80，100）代入一次函数表达式，即可求解； （2）由题意得：w=（x-20）（-x+180）=-（x-100）2+6400，根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）将点(30,150)、(80,100)代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：y=-x+180 （2）由题意得：w=(x-20)(-x+180)=-(x-100)2+6400 ∵-1＜0，故当x＜100时，w随x的增大而增大， ∵30≤x≤80， 当x=80时，w取最大值，此时，w=6000． 故销售单价定为80元时，该超市每天的利润最大，最大利润6000元． 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 21．(1) (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合应用等知识，运用数形结合的思想分析问题是解题关键． （1）将点代入二次函数，求解即可获得答案； （2）首先确定点坐标，进而解得，结合是二次函数图像上的一点，且点在轴下方，可设，则，根据可得关于的一元二次方程，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入二次函数， 可得， 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）对于二次函数， 当时，可有，即， ∵， ∴，， ∴， ∵是二次函数图像上的一点，且点在轴下方， ∴可设，则， ∵， ∴， 整理可得， 解得， ∴点的坐标为或． 22．(1)2， (2) (3)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义，熟练掌握相应知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程的根与系数的关系即可得结论； （2）可以看作是方程的两根，利用根与系数的关系即可求解； （3）将看作是方程的两实数根，利用判别式的意义即可求解． 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得，，． 故答案为：2，． （2）解：∵，实数满足，， ∴可看作方程的两根， ∴， ∴原式 ∴原式的值为． （3）解：∵， ∴将看作是方程的两实数根； ∴，且， ∴， ∴， 解得， ∴的最大值为1． 23．(1)或 (2)反比例函数解析式为，一次函数的解析式为； (3)6 【分析】本题属于反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，利用了数形结合的思想，熟练掌握待定系数是解本题的关键． （1）由图象直接可得自变量x的取值范围； （2）利用待定系数法求解即可； （3）设一次函数与y轴交于点D，首先求出，得到，然后利用的面积代数求解即可． 【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点，， ∴由图象可得， 当时，或； （2）将代入得，， ∴； 将代入得，， ∴， 将，代入 得，， 解得， ∴； （3）如图所示．设一次函数与y轴交于点D， 当时，， ∴， ∴， ∴的面积． 24．(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)P（，） (3)存在，Q的坐标为（，）或（，） 【分析】（1）由抛物线过A、C两点及对称轴，可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可； （2）如图1，过点P作x轴的垂线，垂足为F，可求得直线BC的解析式，易得Rt△CBO∽Rt△BPF，则可BF=3PF，设点P的坐标为，则由BF=3PF可得关于t的方程，解方程即可求得点P的坐标； （3）如图2，当∠CPB＝∠PQB时，可得∠CPQ=90゜，求出直线PC、PQ的解析式，建立方程组求出点Q的坐标，再利用对称性求出满足条件的点 即可． 【详解】（1）由题意，， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）如图1中，连接BC，由题意，点P在第四象限，所以∠CBP＝90°， 过点B作BP⊥BC交抛物线于P，连接PC，过点P作x轴的垂线，垂足为F． 对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴B（﹣1，0）， ∴OB=1 ∵C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y＝3x+3，OC=3 ∵PB⊥BC，PF⊥BF ∴∠CBO+∠BCO=∠CBO+∠PBO=90゜ ∴∠BCO=∠PBF ∴Rt△CBO∽Rt△BPF ∴ 即BF=3FP 设P ，则BF=t+1， ∴ 解得：t=−1（舍去）， ∴P（，）． （3）如图2中，当∠CPB＝∠PQB时， ∵∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠PQB+∠PCB＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PQ⊥PC， ∵C（0，3），P（，）， ∴直线PC的解析式为yx+3，直线PQ的解析式为yx， 由，解得， ∴Q（，）， 根据对称性可知，点Q关于点B的对称点Q′也满足条件， 设，则点B是线段的中点， ∵B(−1，0) ∴Q与Q′两点的纵坐标互为相反数，即 解得 ∴Q′（，）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，相似三角形的判定与性质等知识，关键是学会构建函数，利用方程组确定交点坐标，体会数形结合思想． 25．（1）；（2）；（3）秒 【分析】（1）先确定出点B（4，3），再将点B的坐标代入反比例函数y＝（x＞0）中，即可得出结论； （2）先求出点D（0，﹣1），进而求出AD＝4，即可求出点E（3，4），将点E（3，4）代入y＝ax﹣1中，即可得出结论； （3）先求出OM＝3，EM＝4，过点F作FN⊥x轴于N， ∴∠OME＝∠GNF＝90°，再构造出△OME∽△GNF，得出进而求出OM＝，EM＝4，即可求出点F（6，2），进而求出OG，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵在矩形OABC中，OC＝4，OA＝3， ∴AB＝OC＝4，BC＝OA＝3，AB∥x轴，BC∥y轴， ∴B（4，3）， ∵点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴m＝3×4＝12， ∴反比例函数的解析式为 （2）针对于一次函数y＝ax﹣1， 令x＝0， ∴y＝﹣1， ∴D（0，﹣1）， ∵OA＝3， ∴A（0，3）， ∴AD＝3﹣（﹣1）＝4， ∵△ADE的面积为6， ∴×4xE＝6， ∴xE＝3， 由（1）知，反比例函数解析式为， ∴yE＝4， ∴E（3，4）， 将点E（3，4）代入y＝ax﹣1中得，3a﹣1＝4， ∴a＝， ∴一次函数的解析式为y＝x﹣1； （3）如图， 由（2）知，E（3，4）， 过点E作EM⊥x轴于M， ∴OM＝3，EM＝4， 过点F作FN⊥x轴于N， ∴∠OME＝∠GNF＝90°， 由平移知，FG∥OE， ∴∠EOM＝∠FGN， ∴△OME∽△GNF， ∴ ∵GF＝OE， ∴OM＝2GN＝，EM＝2NF＝4， ∴NF＝2， ∴点F的纵坐标为2， ∵点F在反比例函数的图象上， ∴F（6，2）， ∴ON＝6， ∴OG＝ON﹣GN＝， ∴t＝÷1＝秒． 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的性质，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，平移的性质，构造出相似三角形是解本题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $