精品解析：福建省莆田市仙游县片区联考2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题

2025年秋季郊尾、枫亭、盖尾十校教研片区 期中考九年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称图形、中心对称图形，理解轴对称图形和中心对称图形是解答的关键． 2. 一元二次方程x2＝－2x的解是（ ） A. x1＝x2＝0 B. x1＝x2＝2 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝－2 【答案】D 【解析】 【分析】先移项、然后再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解 ：x2＝－2x x2+2x=0 x（x+2）＝0， x＝0或x+2＝0， 所以x1＝0，x2＝-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键． 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考查二次函数的性质及将解析式化为顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线． 已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标． 【详解】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为， 故选：B． 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理，即可求得∠BOC的度数． 【详解】解：∵点A、B、C都在⊙O上，∠BAC=38°， ∴∠BOC=2∠BAC=76°． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．按照抛物线平移的公式即可求解． 【详解】解：将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度， 所得到的抛物线为． 故选：D． 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是三角形的旋转，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解． 【详解】解：根据旋转的性质，可得， ， 故选：B． 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【分析】连接OA，根据垂径定理求出AD，根据勾股定理求出OD，再求出答案即可． 【详解】解：连接OA，则OA=10cm， ∵OC⊥AB，OC过点O，AB=16cm， ∴∠ODA=90°，AD=BD=8cm， 在Rt△ODA中，由勾股定理得 OD=cm， ∵OC=10cm， ∴CD=OC-OD=4cm， 故选C． 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理．能根据垂径定理求出AD的长是解题的关键． 8. 共享单车计划年、、月连续月投放新型单车，计划月投放台，月投放台，每月按相同的增长率投放，设增长率为则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据增长率定义，月投放量应等于月投放量乘以，所以可列方程． 【详解】解：月投放台，每月增长率为， 月投放量应为， 可列方程． 故选：C． 9. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题的关键．利用表中的对应值和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线，根据表中数据进而判断开口方向以及增减性即可． 【详解】解：由表可知，和时对应的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为直线，此时抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下，故选项A、B错误， ∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小， 故选项C错误，选项D正确， 故选：D． 10. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，解题的关键是掌握点关于原点对称的坐标规律．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 12. 已知方程有一个根是，则代数的值为____________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，根据一元二次方程根的定义得到，则有，再对所求代数式进行变形并整体代入计算即可． 【详解】解：∵方程有一个根是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2025． 13. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，连接与交于点，证明为等边三角形，从而即可得到答案，正确把握正六边形的中心角，半径与边长的关系是解题的关键． 【详解】解：如图，连接与交于点， ∵为正六边形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∵正六边形的周长约为， ∴， ∴， ∴该正六边形的外接圆半径长为， 故答案为：20． 14. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据，代入数据即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查抛物线的对称性，熟练掌握抛物线对称轴的相关知识是解题的关键．根据对称性得出抛物线与轴的另一个交点． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为，即， 故答案为：3． 16. 如图，正方形的边长为6，它的中心为O，的半径为2，于O，点E，F分别在上，则图中阴影部分的面积为______ （结果保留） 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求扇形面积，正方形的性质，全等三角形的判定和性质．证明，可得，再根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 故答案为： 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用直接开平方法解方程即可； （2）利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： ∴，； 【小问2详解】 解： ， ∴，． 18. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图． （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【答案】（1）△AB 1C 1如图所示；见解析；（2）△A 2B 2C 2如图所示；见解析． 【解析】 【分析】（1）依据△ABC绕点A顺时针旋转90°，即可得到△AB1C1； （2）依据中心对称的性质进行作图，即可得到△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 【详解】（1）△AB1C1如图所示； （2）△A2B2C2如图所示． 【点睛】本题主要考查了利用旋转变换进行作图，解题时注意：旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素有旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系； （1）将原式整理为一元二次方程的一般式，然后根据根的判别式进行解答即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求值即可． 【小问1详解】 证明：方程为：， 方程总有两个不相等的实数根； 【小问2详解】 解：由（1）得， 解得：， 实数的值为． 20. 如图，等腰直角中，，，将边绕点A逆时针旋转（），得到线段，连接，过点C作交于E，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数． 【答案】（1） 补全图形如下： （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可； （2）根据旋转的性质得，，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，同理可得，利用角的和差得到，再利用直角三角形的性质即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由旋转的性质得，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 【答案】直径为 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先过O点作交于点E，延长交于点F．结合垂径定理得，，再根据勾股定理列式，因为半径相等得，解得，即可作答． 【详解】解：如图所示，假设O点为圆心所在位置． 过O点作交于点E，延长交于点F．连接 由矩形纸条可得， ∵ ∴，即E，O，F三点共线, ∵纸条宽度． ∴ ∵，，， ∴， 设， 则， 则 ∵半径相等， ∴ ∴ 解得， ∴, 答：碗口直径为 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）y=﹣2x+80（20≤x≤28）；（2）每本纪念册的销售单价是25元；（3）该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【解析】 【分析】（1）用待定系数法列方程组求一次函数解析式． （2）根据（1）中解析式，列一元二次方程求解． （3）总利润=单件利润销售量：w＝(x-20)(-2x＋80)，得到二次函数，先配方，在定义域上求最值． 【详解】(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b． 把(22，36)与(24，32)代入，得 解得， ∴y＝-2x＋80（20≤x≤28）． (2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x元， 根据题意，得：(x-20)y＝150，即(x-20)(-2x＋80)＝150． 解得x1＝25，x2＝35(舍去)． 答：每本纪念册的销售单价是25元． (3)由题意，可得w＝(x-20)(-2x＋80)＝-2(x-30)2＋200． ∵售价不低于20元且不高于28元，当x＜30时，y随x的增大而增大， ∴当x＝28时，w最大＝-2×(28-30)2＋200＝192(元)． 答：该纪念册销售单价定为28元时，能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元． 【点睛】本题考查了一次函数解析式的求法，列一元二次方程并求解，再根据二次函数的求最值问题，这是一道综合题，解题的关键是能读懂题意，找到关键点． 23. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 24. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 【答案】（1） 证明：连接， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）①； ②F是线段的中点．理由如下， 连接，延长和交于点G，如图， 由（1）知，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即F是线段的中点． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，根据证明，即可证明； （2）①连接，由勾股定理求得，利用全等三角形的性质和平行线的性质求得，推出，据此求解即可； ②连接，延长和交于点G，证明，求得，得到，再证明，据此即可证明F是线段的中点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， ∵，， ∴， 由旋转的性质知，，， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②略 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； （3）将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）m的范围是或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）当顶点为时，图象恰好过点、，当抛物线与直线相切时，联立抛物线与直线解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点，其对称轴为， ∴， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：点为第二象限抛物线上一点，设交轴于，如图： 在中，令 得， 解得：或， ，， ，， ， ， ， ， 又， ，即， ， ， ， ， 由，设直线解析式为：， 则， ∴， ∴直线解析式为； 联立， 解得：或舍去， ； 【小问3详解】 解：抛物线的函数解析式为：，顶点为， 将图象沿直线平移，由，同上可得直线解析式为； 将抛物线沿轴翻折后顶点为， 顶点运动的轨迹为， 图象的顶点坐标为， 则图象对应的函数解析式为：， 当图象过点时， ，解得 或； 当图象过点时， ，解得或； 当顶点为时，图象恰好过点、； 当抛物线与线段相切时， 联立和抛物线的表达式得：， 即； 令得：，此时， 的范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求二次函数解析式，角度问题，全等三角形的判定与性质，二次函数与一次函数综合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季郊尾、枫亭、盖尾十校教研片区 期中考九年级数学科试卷 （总分：150分，考试时间：120分钟） 友情提示：本试卷分为“试题”和“答题卡”两部分，答题时，请按答题卡中的“注意事项”认真作答，答案写在答题卡上的相应位置． 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一元二次方程x2＝－2x的解是（ ） A. x1＝x2＝0 B. x1＝x2＝2 C. x1＝0，x2＝2 D. x1＝0，x2＝－2 3. 二次函数的图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠BAC＝38°，则∠BOC的度数为（ ） A. 80° B. 76° C. 62° D. 52° 5. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若点落在线段的延长线上，则大小为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　） A. 2cm B. 3cm C. 4cm D. 5cm 8. 共享单车计划年、、月连续月投放新型单车，计划月投放台，月投放台，每月按相同的增长率投放，设增长率为则可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 抛物线中，y与x的部分对应值如表： x … 1 3 6 8 … y … 8 18 18 8 … 下列结论中，正确的是（　　） A. 抛物线开口向上 B. 对称轴是直线 C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大 10. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 点关于原点对称的点的坐标是________． 12. 已知方程有一个根是，则代数的值为____________． 13. 中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则该正六边形铁块的外接圆的半径为__________． 14. 已知圆锥的侧面积为，母线长为5，则圆锥的底面半径是_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，则与轴的另一个交点的横坐标_____． 16. 如图，正方形的边长为6，它的中心为O，的半径为2，于O，点E，F分别在上，则图中阴影部分的面积为______ （结果保留） 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图． （1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1； （2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两实数根为，且满足，试求出的值． 20. 如图，等腰直角中，，，将边绕点A逆时针旋转（），得到线段，连接，过点C作交于E，连接． （1）依题意补全图形； （2）求的度数． 21. 晨晨在学习了圆的有关性质后，想利用所学知识测量家中盛汤用的碗口的直径．以下是他的测量方案和相关数据： 测量主题 测量碗口的直径 测量工具 一张矩形纸条和刻度尺 测量方案 将纸条拉直并紧贴碗口，纸条的上下边沿分别与碗口相交于，，，四点，分别测量出纸条的宽度、纸条的上下边沿与碗口相交的线段长度 实物图及测量示意图 测量说明 CD为纸条上沿与碗口相交的线段，为纸条下沿与碗口相交的线段，测量时纸条处于拉直状态且纸条和碗均未发生移动 测量数据 ，，纸条宽度． 请你根据上述方案和数据计算出碗口直径． 22. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y（本）与每本纪念册的售价x（元）之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本． （1）求出y与x的函数关系式； （2）当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ （3）设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 24. 在中，．将绕点A顺时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． （1）如图1，求证：； （2）当时， ①如图2，若，求线段的长； ②如图3，连接，延长交于点F，判断F是否为线段的中点，并说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点，其对称轴为直线． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）已知点D为第二象限抛物线上一点，连接，若，求点D的坐标； （3）将抛物线关于x轴作轴对称变换，得到图象G，现将图象G沿直线平移，得到新的图象M，图象M与线段只有一个交点，求图象M顶点横坐标m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $