福建省莆田市荔城区2026-2027学年上学期人教版九年级数学期中复习卷

福建省莆田市荔城区2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习卷 一、单选题 1．观察下列图形，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程配方后可变形为（   ） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 4．二次函数y=ax2+bx+c，自变量x与函数y的对应值如表： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 … 下列说法正确的是（　　） A．抛物线的开口向下 B．当x＞﹣时，y随x的增大而增大 C．二次函数的最小值是﹣2 D．抛物线的对称轴是x=1 5．二次函数图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 6．方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 7．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，点C在y轴的负半轴上，若，则k的值为（   ） A．2 B．1 C．8 D．4 8．已知是抛物线上的点，则（     ） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m，n是常数，）的大致图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴为且经过点．下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则⑤其中，其中说法正确的是（   ） A．①②④⑤ B．①②④ C．②④⑤ D．③④⑤ 二、填空题 11．点关于原点对称的点的坐标是________． 12．若函数是二次函数，则m的值为_______． 13．将函数的图象向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的二次函数解析式____________________________________． 14．在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于A，B两点，点A的坐标为，则点B的坐标为_________． 15．已知实数a、b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是________． 16．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，反比例函数（x＞0）交于点F，当点G是OB的中点时，连接DG，若△DBG的面积为9，则k＝_____． 三、解答题 17．用适当方法解方程： (1)； (2)． 18．已知抛物线y=x2+（b-2）x+c经过点M（-1，-2b）． （1）求b+c的值． （2）若b=4，求这条抛物线的顶点坐标． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求m的值． 20．某地为有力推进乡村全面振兴，拓宽农产品的销售渠道，利用互联网技术，通过电商平台，让农产品直接面向消费者，提高农产品销售效率．其中，销售一批成本为元的农产品，按销售单价不低于成本价，且不高于元销售，经调查发现，该商品每天的销售量与销售单价（元）之间的关系如图所示，设每天的销售利润为元． (1)请求出与的函数解析式； (2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润最大？最大利润是多少？ 21．如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，． (1)求二次函数的表达式； (2)若点的横坐标为，线段交轴于点，求的面积． 22．阅读下面的材料： 材料一：∵和3是方程的解． ∴； 材料二：如果实数a，b满足，则可以将a，b看作是方程的两实数根． 问题解决： (1)若两个不同的实数m、n满足，，求的值； (2)已知实数a，b，c满足，，且，求c的最大值． 23．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围． 24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴是直线x＝1 (1)求抛物线的函数表达式； (2)若点P为第四象限内抛物线上一点，且△PBC是直角三角形，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，在直线BC上是否存在点Q，使∠PQB＝∠CPB，若存在，求出点Q坐标：若不存在，请说明理由． 25．如图，矩形的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线的中点，反比例函数在第一象限内的图象经过点 D，与AB相交于点 E，且点B． (1)求反比例函数的关系式； (2)求的面积； (3)若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与、轴正半轴交于点、，求直线的函数关系式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《福建省莆田市荔城区2026-2027学年人教版九年级数学上册期中复习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B B A D B C A 1．C 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2．D 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程．根据方程两边都加上一次项系数一半的平方进行运算即可得到答案． 【详解】解：， ∴， 则， 故选：D． 3．C 【分析】反比例函数上点满足，依次计算各选项横纵坐标乘积，找出乘积等于的点. 【详解】解：∵反比例函数解析式为， ∴图象上的点满足， 选项、、的横纵坐标乘积均为，不符合题意. 选项的横纵坐标乘积为，符合题意. 4．B 【分析】利用待定系数法求出函数的解析式，再根据二次函数的性质逐项分析四个选项即可得出结论． 【详解】将点（-4，0）、（-1，0）、（0，4）代入到二次函数y=ax2+bx+c中， 得：，解得：， ∴二次函数的解析式为y=x2+5x+4． A、a=1＞0，抛物线开口向上，A不正确； B、-，当x＞-时，y随x的增大而增大，B正确； C、y=x2+5x+4=（x+）2-，二次函数的最小值是-，C不正确； D、-，抛物线的对称轴是x=-，D不正确． 故选B． 【点睛】本题考查了待定系数求函数解析式以及二次函数的性质，解题的关键是利用待定系数法求出函数解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键． 5．B 【分析】根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标． 【详解】∵二次函数y=﹣(x+2)2+6， ∴该函数的顶点坐标为(﹣2，6)， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，关键是熟记：抛物线的顶点坐标是，对称轴是． 6．A 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解． 【详解】解：∵ 方程 中，， ， ， ∴ ， ∴ 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7．D 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵AB⊥x轴，点C在y轴上，△ABC的面积为2， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，正确求出是解题的关键． 8．B 【分析】通过直接计算抛物线上的点的纵坐标，并比较大小即可． 【详解】解：将三点横坐标分别代入，得 ， ， ． ， ． 9．C 【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m，n的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m，n的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确． 【详解】A选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A选项错误； B选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B选项错误； C选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C选项正确； D选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D选项错误． 故选：C． 10．A 【分析】本题考查了二次函数的图象及其性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用抛物线开口方向得到，利用抛物线的对称轴方程得到，抛物线与轴的交点在轴上方，得到，则可对①进行判断；利用抛物线经过点，得到，则可对③进行判断；同时得到，则可对②进行判断；通过比较点到直线的距离和点到直线的距离大小可对④进行判断；利用当时，函数值最大，可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴上方， ∴， ∴，所以①正确； ∵抛物线经过点， ∴，所以③错误； ∵， ∴，∴， ∴，所以②正确；∵点到直线的距离比点到直线的距离大， ∴，所以④正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数值最大， ∴， 即，其中，所以⑤正确； 正确的有①②④⑤． 故选：A ． 11． 【分析】本题主要考查关于原点对称的点坐标的关系，解题的关键是掌握点关于原点对称的坐标规律．平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，从而可得出答案． 【详解】解：根据中心对称的性质，得点关于原点对称点的坐标是． 故答案为：． 12． 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得：． 13． 【分析】本题考查了二次函数的图象平移变换规律，解题的关键在于熟记并正确应用平移口诀：“上加下减”：针对整个函数值（在解析式末尾加减常数，影响纵坐标）；“左加右减”：针对自变量 （在本身上加减常数，影响横坐标，注意方向与平移方向相反）；根据二次函数图象平移的规律，向上平移改变常数项，向右平移替换为 ． 【详解】将函数 向上平移个单位，得； 再向右平移3个单位，将替换为 ，得 故答案为 ． 14． 【分析】先把点A坐标代入反比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A坐标代入正比例函数解析式求出正比例函数解析式，再联立两解析式即可求出点B的坐标． 【详解】解：把代入反比例函数解析式中得，解得， ∴， 把代入正比例函数解析式中得， ∴正比例函数解析式为， 联立，解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，正确求出正比例函数的解析式是解题的关键． 15．6 【分析】根据a－b2＝4得出，代入代数式a2－3b2＋a－14中，通过计算即可得到答案． 【详解】∵a－b2＝4 ∴ 将代入a2－3b2＋a－14中 得： ∵ ∴ 当a=4时，取得最小值为6 ∴的最小值为6 ∵ ∴的最小值6 故答案为：6． 【点睛】本题考查了代数式的知识，解题的关键是熟练掌握代数式的性质，从而完成求解． 16．12 【分析】连接OD，根据题意以及反比例函数系数k的几何意义得到，从而表示出矩形的面积，设G (m，)，则B(2m，)，最后列出方程求解即可． 【详解】解∶连接OD， ∵矩形OA BC的OA边在x轴的正半轴上，OC边在y轴的正半轴上，矩形交反比例函数（x＞0）于点D、F， ∴， ∵点G是OB的中点，△DBG的面积为9， ∴， ∴， ∴， ∴矩形OABC的面积为36+k， 设G (m，)，则B(2m，)， ∴， 解得k= 12， 故答案为∶12． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，三角形的面积，能用含k的式子表示出矩形的面积以及点B的坐标是解题的关键． 17．(1)， (2)， 【详解】（1）解： ， （2）解： 或 ， 18．（1）-3；（2）（-1，-8） 【分析】（1）直接把M点代入求出b+c的值即可； （2）把b=4代入，首先得出M点坐标，进而得出c的值，进而得出顶点坐标． 【详解】（1）∵抛物线y=x2+（b﹣2）x+c经过点M（﹣1，﹣2b），∴﹣2b=1﹣（b﹣2）+c，则﹣2b=1﹣b+2+c，故b+c=﹣3； （2）当b=4时，y=x2+2x+c，把（﹣1，﹣8）代入得：﹣8=1﹣2+c，解得：c=﹣7，故y=x2+2x﹣7=（x+1）2﹣8，则这条抛物线的顶点坐标为：（﹣1，﹣8）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质以及配方法求二次函数顶点坐标，正确得出c的值是解题的关键． 19．(1) 证明：， ， ， 故不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键． （1）根据根的判别式进行计算即可． （2）根据根与系数的关系求出，代入求值即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，， ， ， 解得． 20．(1)与的函数解析式为； (2)销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （）依据题意，运用待定系数法求解即可； （）依据题意，根据与的函数解析式为，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案． 【详解】（1）解：设该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， 由图可得：，解得：， ∴该商品每天的销售量与销售单价之间的关系为， ∵销售单价不低于成本价，且不高于元销售， ∴， ∴每天的销售利润为， ∴与的函数解析式为； （2）解：由（）得与的函数解析式为， ∴， ∵，， ∴当时，每天获得的利润最大，最大利润是元， 答：销售单价定为元时，每天获得的利润最大，最大利润是元． 21．(1) (2)6 【分析】本题主要考查二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式． （1）依据题意，将，代入建立方程组求出，即可得解； （2）依次求出，，的坐标，再根据求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将，代入得 二次函数的表达式为． （2）解：令，解得， ∵，二次函数的图象与轴交于，两点， ∴点B的坐标为； 当时，， ∴点P的坐标为， 设直线解析式为，则线段交轴于点， 把，代入得， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．(1)7 (2)1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，，也考查了判别式的意义． （1）根据、是方程的两根，利用根与系数的关系可求得和的值，然后利用整体代入的方法计算原式的值； （2）将、看作是方程的两实数根，利用判别式的意义得到，所以，解得，从而得到的最大值． 【详解】（1）解：∵，实数、满足，， 即实数、满足，， ∴、可看作方程的两根， ， ∴． （2）解：∵，， ∴将看作是方程的两实数根； ， 而， ， ∴，即， ∴的最大值为1． 23．(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 点，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是或． 24．(1)y＝﹣x2+2x+3 (2)P（，） (3)存在，Q的坐标为（，）或（，） 【分析】（1）由抛物线过A、C两点及对称轴，可得关于a、b、c的方程组，解方程组即可； （2）如图1，过点P作x轴的垂线，垂足为F，可求得直线BC的解析式，易得Rt△CBO∽Rt△BPF，则可BF=3PF，设点P的坐标为，则由BF=3PF可得关于t的方程，解方程即可求得点P的坐标； （3）如图2，当∠CPB＝∠PQB时，可得∠CPQ=90゜，求出直线PC、PQ的解析式，建立方程组求出点Q的坐标，再利用对称性求出满足条件的点 即可． 【详解】（1）由题意，， 解得， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3． （2）如图1中，连接BC，由题意，点P在第四象限，所以∠CBP＝90°， 过点B作BP⊥BC交抛物线于P，连接PC，过点P作x轴的垂线，垂足为F． 对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令y＝0，可得x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1或3， ∴B（﹣1，0）， ∴OB=1 ∵C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y＝3x+3，OC=3 ∵PB⊥BC，PF⊥BF ∴∠CBO+∠BCO=∠CBO+∠PBO=90゜ ∴∠BCO=∠PBF ∴Rt△CBO∽Rt△BPF ∴ 即BF=3FP 设P ，则BF=t+1， ∴ 解得：t=−1（舍去）， ∴P（，）． （3）如图2中，当∠CPB＝∠PQB时， ∵∠CPB+∠PCB＝90°， ∴∠PQB+∠PCB＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PQ⊥PC， ∵C（0，3），P（，）， ∴直线PC的解析式为yx+3，直线PQ的解析式为yx， 由，解得， ∴Q（，）， 根据对称性可知，点Q关于点B的对称点Q′也满足条件， 设，则点B是线段的中点， ∵B(−1，0) ∴Q与Q′两点的纵坐标互为相反数，即 解得 ∴Q′（，）， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（，）或（，）． 【点睛】本题属于二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与二元一次方程组的关系，相似三角形的判定与性质等知识，关键是学会构建函数，利用方程组确定交点坐标，体会数形结合思想． 25．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用中点坐标公式求出点的坐标为，代入反比例函数解析式即可求出，即可得解； （2）利用矩形的性质和点的横坐标，得到点，，，根据三角形面积公式计算即可； （3）设，利用勾股定理求出，得到，证明得到，求出的值得到，利用待定系数法求出直线的函数关系式即可． 【详解】（1）解：矩形的顶点，点为对角线的中点， ， 把代入反比例函数得：， 反比例函数解析式为； （2）解：连接，点在上， 当时，求得， ，，， ； （3）解：连接、，设， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， ， 解得， ， 点， 设， ，， 根据折叠的性质得， 在中，， 即， 解得：， ， 过点作，垂足为点， 由折叠可知， ，， ， ， ， 设， ，， ， 解得：， ， 设直线的函数关系式为， 代入和得： ， 解得， 直线的函数关系式为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式、一次函数解析式，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $