空间向量应用专项测试-2027届高三数学一轮复习

空间向量应用测试 （测试时间120分钟，总分150分） 姓名：___________班级：___________ 一、单选题(每题5分，共40分） 1．已知是直线的方向向量，是平面的法向量.若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（   ） A．∥ B． C．∥或 D．，相交但不垂直 3．如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角大小为（    ） A． B． C． D． 4．已知，，，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 5．在长方体中，为上一点且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．已知正方体的棱长为2， M、N分别为棱的中点，点在线段上，则当的面积最小时，点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是和的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 8．在如图所示的试验装置中，正方形框的边长为2，长方形框的长，且它们所在平面形成的二面角的大小为，活动弹子分别在对角线和上移动，且始终保持，则的长度最小时的取值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每题6分，共18分） 9．关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．已知向量，，则在上的投影向量为 10．给出以下命题，其中错误的是（   ） A．平面的法向量分别为，则 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 D．平面经过三个点，向量是平面的法向量，则 11．如图，在棱长为1的正方体中，为边的中点，点在底面内运动（包括边界），则下列说法正确的有（   ）. A．不存在点，使得 B．点到平面的距离为 C．点到直线的距离为1 D．点在棱上，且，若，则点的轨迹是圆 三、填空题（每题5分，共15分） 12．已知点，，，则点A到直线BC的距离是________． 13．如图，正方形ABCD和正方形CDEF所在的平面互相垂直.P为棱AB上的动点，DQ⊥平面EPC，Q为垂足.给出下列四个结论： ①EQ=CQ； ②线段DQ的长随线段BP的长减小而增大； ③存在点P，使得PQ平面EDA； ④存在点P，使得. 其中所有正确结论的序号是______. 14．已知在平面内，点到直线（，）的距离.此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面的一般方程为（，），则点到平面的距离.如图，底面边长与高都为2的正四棱锥中，点到侧面的距离等于______. （备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面） 四、解答题（共77分） 15．（13分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，．    (1)求证：平面； (2)求平面的一个法向量． 16．（15分）如图1，在平面四边形中，，.点是线段上靠近端的三等分点，将沿折成四棱锥，且，连接，如图2.      (1)在图2中，证明：平面； (2)求图2中，直线与平面所成角的正弦值. 17．（15分）在如图所示的六面体中，矩形平面，，，，．    (1)设为的中点，证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）如图，在四棱柱中，底面ABCD是矩形 平面平面ABCD，点E，F分别为棱的中点. （1）证明：、E、、F四点共面； （2）求平面与平面夹角的余弦值. 19．（17分）如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，，. (1)在线段上是否存在点F，使得平面.说明理由； (2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《空间向量应用测试》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A C B C B A ACD ABD 题号 11 答案 AB 1．A 【分析】由线面平行得直线的方向向量与平面的法向量数量积为. 【详解】由得，， 则. 故选：A.    2．C 【分析】通过判断直线的方向向量和平面的法向量的位置关系，从而判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为， 所以， 所以∥或 故选：C. 3．A 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线与所成角大小. 【详解】在直三棱柱中，平面，且， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、，所以，，， 所以，，则，所以，异面直线与所成角为. 故选：A. 4．C 【分析】利用空间向量求出平面的法向量，再由点到平面距离的向量求法即可得. 【详解】易知，，， 设平面的法向量，则即 令，则，，所以平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离． 故选：C． 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式即可得解. 【详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， ， 则，设平面的法向量为， 则有，即，取，则，即. 则点到平面的距离. 故选：B. 6．C 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据条件，将问题转化成求到直线的距离的最小值，利用点到直线的距离的向量法，得到，再利用二次函数的性质，即可求解. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为分别为棱的中点， 则，所以，， 又点在线段上，设，则， 所以，设点到直线的距离为， 则， 由题易知，，则当的面积最小时，即最小， 由二次函数的性质知，时，最小，此时，    故选：C. 7．B 【分析】建立空间直角坐标系，根据题意，求得向量和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系中有棱长为2的正方体， 点分别是和的中点， 可得， 则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角，则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B.    8．A 【分析】作出点在线段上的投影，利用空间向量运算求出长的函数关系，进而求出最小值. 【详解】在正方形内过作于，则，，， 在矩形内过作于，则，，， ，由二面角的大小为， 得，又， 因此 ，当且仅当时取等号， 所以当的长度最小值时，. 故选：A 9．ACD 【分析】利用空间向量共面定理可判断三向量共面和四点共面，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，不一定能判断线面平行，还有可能线在面内，利用投影向量的定义来计算出结果. 【详解】对于A选项，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B选项，直线的方向向量为，平面的法向量为，则，则，所以或，B错误； 对于C选项，对空间中任意一点，有， 则， 整理得，， 由此可得有公共点的三向量共面，即，，，四点共面，C正确； 对于D选项，则在方向上的投影向量为 ，D正确． 故选：ACD. 10．ABD 【分析】根据平面的法向量不具有倍数关系可判断A；根据直线的方向向量和平面的法向量的数量积可安短B；根据直线的方向向量的数量积判断C；根据平面的法向量的求法可判断D. 【详解】对于A，由可知两向量不具有倍数关系，故不平行，A错误； 对于B，由于，，则， 故，则或，B错误； 对于C，由于，即得，C正确； 对于D，由于，故， 向量是平面的法向量，则，解得， 故，D错误， 故选：ABD 11．AB 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，，， ，，，，设， 对于A：，，则，所以与不垂直， 即不存在点，使得，故A正确； 对于B：，，，设平面的法向量为， 则，取， 则点到平面的距离，故B正确； 对于C：，所以点到直线的距离，故C错误； 对于D，因为，所以，， ， 即，可得轨迹为圆：， 所以圆心， 又，所以轨迹为圆被四边形截得的4段圆弧，所以D错误. 故选：AB 12． 【分析】利用空间向量的方法求点点到直线的距离. 【详解】设直线与直线夹角为， ，，， ， ， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 13．①②③ 【分析】根据给定条件，以点D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面EPC的法向量，进而求出点Q的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案. 【详解】由题意，以点D为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，令AB=1， 设，则， ， 设平面EPC的一个法向量为， 则有，取y=1，可得， 由DQ⊥平面EPC于Q，得， 即，则， 显然，解得， 于是， 对于①，，故①正确； 对于②，在[0，1]上单调递增， 当线段BP的长减小时，t增大，此时|DQ|随之增大，故②正确； 对于③，平面EDA的一个法向量为， 而， 由，得λ=t，即， 整理得，令 显然函数在上的图象连续不断， 而 因此存在使得， 此时PQ⊄平面EDA，因此存在点P，使得PQ平面EDA，故③正确； 对于④，， 则， 若， 显然 即不存在，使得，④错误； 所以所有正确结论的序号是①②③. 故答案为：①②③. 14．/ 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由待定系数法求得面的方程，由定义求得点到面的距离. 【详解】如图，以底面的中心为原点，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面PAB的一般方程为（，）， 因为不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面， 所以将坐标代入，得 解得，，， 由题知不全为0，所以， 所以，即， 所以点到侧面PAB的距离. 故答案为：. 15．(1) 因为底面为正方形，故； 平面，平面，故， 平面， 故平面； (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，根据法向量的求法即可得答案. 【详解】（1）略 （2）以D为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    设，则， 故， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， 故平面的一个法向量为. 16．(1) 连接交于点，连接， ， 平面平面平面，    (2). 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）在图1中，， 在图2中，， 平面，平面， 平面，所以，而， 由此以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 设平面的法向量为，则， 可取，又， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17．(1) 证明：四边形为矩形，， 平面平面，平面平面，平面， 平面， 则以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，中点，； 平面轴，平面的一个法向量， ，即，BH不含于面ADEF平面. (2) 【分析】（1）由面面垂直性质可证得平面，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由线面平行的向量证明方法可证得结论； （2）利用面面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）略 （2）由（1）知：，， 设平面的法向量， ，令，解得：，； 平面轴，平面的一个法向量， ，即平面与平面所成角的余弦值为. 18．(1)取中点G，连接AG，EG，则有 所以四边形CDGE为平行四边形，所以 又因为所以 所以四边形ABEG为平行四边形，所以 又因为所以四边形为平行四边形， 所以所以所以B，E，，F四点共面. (2) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形，利用平面的基本性质得出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用向量方法求面面角. 【详解】（1）略 （2）取DC中点O，AB中点M，连接 因为所以侧面是菱形， 所以 因为平面平面ABCD，平面平面平面 所以平面ABCD，进而有 因为底面ABCD是矩形，所以所以OM，OC两两互相垂直. 如图所示建系， 由知平面ABCD，所以是平面的一个法向量. 设则因此 设平面的法向量，则 所以所以 取则于是是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为 即平面与平面夹角的余弦值为 19．(1)存在，理由为： 记中点为M，连结，为正三角形，, 则，且. 因为平面平面 ，平面平面，平面ACD, 所以平面，又因为平面， 所以. 延长交于点G，则为平面与平面的交线， 因为，故，所以B为的中点， 取中点F，连结，则，因为平面 ，平面， 所以平面. 即线段上存在点F，当时，平面. (2) 【分析】（1）记中点为M，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论； （2）连结，过点B作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，解三角形，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）连结，则为平面与平面的交线， 在平面内，过点B作的垂线，垂足为H. 连结，因为平面，平面，故, 平面，故平面， 平面，故, 则为平面与平面所成的二面角的平面角. 为正三角形，，故，则, 且, 故在中，， 故，而， 故,又因为， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的正切值为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $