第5讲空间距离专项训练（提高）-2027届高三数学一轮复习

空间距离 立体几何 · 专题篇 几何体中的距离 提高一档的题，图形更复杂，但工序反而更固定：先把第一问要证的垂直关系用足，再建系，最后把距离写成一个向量投影的式子。第一问往往正是在交代「折起后哪两条直线互相垂直」，而这些垂直关系就是三条坐标轴。所以读题时要把第一问的结论当作已知条件接着用，不要第二问另起炉灶重新找垂直。 建系之后，点与平面的距离写成一条统一的式子：取平面上任意一点与目标点连成向量，让它与平面的法向量作数量积、取绝对值，再除以法向量的模。式子里的那个「任意一点」取谁都可以，取坐标最简单的那个能少算几步。平面与平面平行，或者直线与平面平行时，同样化成点到平面的距离，不必另立公式。 等体积法在提高档也常用，而且往往是不建系时的唯一出路。用法上有一点要留神：同一个三棱锥换顶点时，底面要选那个「面积好算、高就是要找的距离」的，而不是随便换。图形里已经算过某个三角形的面积、或者某个顶点到底面的高已知时，优先拿它当对照的那一次计算。 还有一类题把距离当成条件用：已知某个点到平面的距离等于给定值，反过来求某条棱的长或者某个位置。这时距离公式就是一条方程。列方程之前先把这条棱或者这个位置用一个字母表示出来，让所有的坐标都带上它；解完之后别忘了检验，长度为正、而且这个取值确实落在图形存在的范围内。 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，。已知，。 （1）若为棱的中点，求证：平面PAB；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点A到平面的距离。 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点。 （1）证明：平面平面；（2）若，点为的中点，求点到平面的距离。 变式1-2（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点。 （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与直线间的距离。 变式1-3（解答·★★★★☆） 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN；（2）求与平面PMN所成角的正弦值；（3）求点P到平面AMN的距离。 例2（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点。 （1）证明：；（2）若，，，求E到平面ACD的距离。 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点。 （1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离。 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，分别是线段，的中点。 （1）证明：平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离。 例3（解答·★★★★☆） 如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，。 （1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离。 距离的最值与存在性 提高档的动态题，第一步仍然是把动点参数化，但参数怎么选有讲究。所求的量随动点在线段上的位置变化时，就用这段长度作参数；所求的量随折起的角度变化时，就直接用那个角作参数。参数选得对，后面的式子会短很多；选得不对，会平白多出两层根号。折起角度还有个小便宜可以占：距离式里出现的是这个角的余弦或正弦的组合，换成半角的三角函数往往更简洁。 第二步是把所求的量写成函数。点到平面的距离写成法向量与斜线向量的数量积再除以法向量的模；点到直线的距离写成平方差再开根。这两条式子都要把参数代进坐标之后再算，不要在符号层面硬推，那样容易算错。另一个常用的化简是让参数取到使某个投影为零的位置，这时的坐标最简单，适合先算一遍当作检验。 第三步是求最值或者判根。函数里带根号时，先看根号里面那一部分 ——它通常是二次式，配方之后最小值一目了然；若参数有范围，要看顶点是否落在范围里，落在里面取顶点值，落在外面取端点值。判根时同样要看区间：把两端的函数值算出来、再看顶点值，用这三个数与零的大小关系就能判断根的个数，不必真的把根解出来。 还有一类题多走一步：动点的位置不是自由的，而是被另一个条件先定住了 ——比如某个距离等于定值，或者某两条直线垂直。这时应该先用那个条件把动点确定下来，再去算要求的距离。反过来做也能得到结果，但会把两个未知量纠缠在一起，解方程时容易出现增根，检验起来更麻烦。 例4（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点。 （1）若为棱的中点，求证：平面；（2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 变式4-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且。 （1）证明：平面；（2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 变式4-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，。 （1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求线段的长；（3）是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由。 例5（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面。 （1）证明：；（2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；（3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值。 变式5-1（解答·★★★★☆） 在三棱锥中，，，D为CA中点，点E在DB上，。 （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面；（2）若，平面。设点B到的距离为a，到平面的距离为b，求的取值范围。 例6（解答·★★★★☆） 如图①所示将边长为的正方形，沿翻折如图②所示，点 分别为的中点，在折叠过程中。 二面角的范围为 . （1）求证:四边形 EFGH为矩形；（2）求点到平面距离的最大值。 变式6-1（解答·★★★★★） 如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙。 （1）当二面角为时，求的长；（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间距离 立体几何 · 专题篇 几何体中的距离 提高一档的题，图形更复杂，但工序反而更固定：先把第一问要证的垂直关系用足，再建系，最后把距离写成一个向量投影的式子。第一问往往正是在交代「折起后哪两条直线互相垂直」，而这些垂直关系就是三条坐标轴。所以读题时要把第一问的结论当作已知条件接着用，不要第二问另起炉灶重新找垂直。 建系之后，点与平面的距离写成一条统一的式子：取平面上任意一点与目标点连成向量，让它与平面的法向量作数量积、取绝对值，再除以法向量的模。式子里的那个「任意一点」取谁都可以，取坐标最简单的那个能少算几步。平面与平面平行，或者直线与平面平行时，同样化成点到平面的距离，不必另立公式。 等体积法在提高档也常用，而且往往是不建系时的唯一出路。用法上有一点要留神：同一个三棱锥换顶点时，底面要选那个「面积好算、高就是要找的距离」的，而不是随便换。图形里已经算过某个三角形的面积、或者某个顶点到底面的高已知时，优先拿它当对照的那一次计算。 还有一类题把距离当成条件用：已知某个点到平面的距离等于给定值，反过来求某条棱的长或者某个位置。这时距离公式就是一条方程。列方程之前先把这条棱或者这个位置用一个字母表示出来，让所有的坐标都带上它；解完之后别忘了检验，长度为正、而且这个取值确实落在图形存在的范围内。 例1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥P-ABCD中，已知平面，底面为直角梯形，，。已知，。 （1）若为棱的中点，求证：平面PAB；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点A到平面的距离。 【切入点】底面是直角梯形、侧棱垂直于底面，底面里的直角与侧棱正好凑成三条坐标轴；第三问直接取第二问已经求出的法向量。 【关键】第一问：取 的中点 ，连接 、。 是 的中点，故 且 ，结合 得四边形 是平行四边形，于是 ； 平面 ， 不在该平面内，所以 平面 。取 为原点、、、 为 、、 轴建系。由 、 且 得 、、、、。平面 中 、，取法向量 。平面 中 、，取法向量 。故两平面夹角的余弦值为 。又 ，点 到平面 的距离为 。 【易错】一是把 的坐标写成 ， 且 ， 的纵坐标是 。二是第三问重新设一个法向量，第二问求出的 就是平面 的。三是求点面距离时用了不在平面上的点去连线，本题里 在平面 上，用 最省事。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 变式1-1（解答·★★★★☆） 如图，已知斜三棱柱中，，，，点为的中点。 （1）证明：平面平面；（2）若，点为的中点，求点到平面的距离。 【切入点】三条棱两两成 、底面又是等腰直角，先用长度反推出各条棱，再证明 处三条线两两垂直。 【关键】第一问：由 、 知 是等腰直角三角形， 为斜边 的中点，故 。又 ，结合 、 得 ，所以 ，于是 。由 与 相交于 得 平面 ，而 平面 ，故平面 平面 。 是等腰直角三角形， 为斜边中点，故 且 ，。由 得 。又 ，故 与 都是正三角形，，于是 ，。以 为原点、、、 为轴建系，、、、。由 、 得 ，。取平面 的法向量 ，又 ，故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是第一问只证 ，漏掉 ，面面垂直就证不出来。二是第二问没有先证明 就建系，坐标系其实不成立。三是求 时忘了 是 的中点，要从 经 与 各走一半。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式1-2（解答·★★★★☆） 如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点。 （1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求直线与直线间的距离。 【切入点】第三问先说清两条直线的位置关系： 与 的方向向量成倍数，说明它们平行，于是「两条直线的距离」化成「一点到一条直线的距离」。 【关键】第一问：建系（见下）后 ，它的竖坐标分量为零，说明 平行于底面 ，故 平面 。建系后 、，取平面 的法向量 。由 得直线 与平面 所成角的正弦值为 。第三问中 、，故 ，两条直线的距离化为点 到直线 的距离。由 得 ，，故距离为 。 【易错】一是第三问直接套点到平面的距离公式，两条平行直线之间要用点到直线的距离。二是没有先说明 就搬公式。三是第二问把 写成 ，线面角要用正弦。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 变式1-3（解答·★★★★☆） 如图，直三棱柱中，，，，M是的中点，N是BC的中点，过点N作与平面平行的直线PN，交于点P． （1）证明：平面AMN；（2）求与平面PMN所成角的正弦值；（3）求点P到平面AMN的距离。 【切入点】第一问的结论给出了平面 的一个法向量，第三问就不必再设未知向量；难点在第二问：要先由「平行于侧面」把点 的位置定下来。 【关键】第一问：建系后 、、、，，、。由 、 得 、，而 与 相交于 ，所以 平面 。以 为原点、、、 为轴建系，、， 是 中点， 是 中点。设 ，平面 的法向量取 ，由 平面 得 ，解得 ，即 。取平面 的法向量 ，由 得 。又由第一问知平面 的法向量就是 ，而 ，故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是第二问忘了先用「 平行于侧面」解出 的位置，直接设 就去算夹角。二是把平面 与平面 弄混，第二问用前者、第三问用后者。三是第三问又设一个新的法向量，第一问的结论就摆在那里。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 例2（解答·★★★★☆） 如图，三棱锥中，是等边三角形，，E为BC的中点。 （1）证明：；（2）若，，，求E到平面ACD的距离。 【切入点】四个量里先解决 ： 给出一个直角三角形，用勾股定理就能把 求出来； 是 的中点，于是 也知道了。 【关键】第一问：取 的中点 。由 是等边三角形得 ；又 、 分别是 、 的中点，故 ，结合 得 。于是 平面 ，所以 。由 、、 得 ，故 。又 ，故 。 是等边三角形且 ，所以 。取 的中点 ，连接 、，则 ， 且 。在 中用余弦定理，。再由 得 。因为 、，故 平面 ，平面 平面 。以 为原点、 为 轴、 为 轴、在平面 内作 平面 ，则 、、。取平面 的法向量 ，，故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是把 的负号丢掉， 也要取负，否则 会算成 。二是忘了 是等边三角形这一条，用不上 。三是建系时把 的竖坐标写成 ， 在平面 内与 成 ，要按余弦、正弦分解。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式2-1（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，是等边三角形，底面是菱形，平面平面，，是的中点。 （1）证明：平面；（2）若，求点到平面的距离。 【切入点】第二问可以先做纯几何版本：把点 到平面 的距离化到一个直角三角形里，它就是这个三角形斜边上的高。 【关键】第一问：连接 。 是等边三角形且 是 中点，故 ；又 ，结合 与 相交于 得 平面 ，所以 。由平面 平面 、交线为 且 ，得 平面 。，由第一问 平面 得 ，故 。 是等边三角形且 ，故 。由 与 、 得 、，所以 平面 。在平面 内作 于 ，则 ，结合 得 平面 ，所以 就是所求的距离。又 平面 得 ，故 是等腰直角三角形（两条直角边都是 ），斜边 ，斜边上的高 。 【易错】一是把 算成 （ 是 中点，，，要用勾股定理）。二是没有先说明 平面 ，就不敢断定 垂直于平面 。三是把 当成棱锥的高， 在平面 内，不垂直于底面。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式2-2（解答·★★★★☆） 如图，四棱锥的底面是直角梯形，底面且，分别是线段，的中点。 （1）证明：平面；（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求；（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离。 【切入点】第二问把 设为字母，两个平面的法向量都带上这个字母，再让夹角的余弦等于题给的值，解方程。 【关键】第一问：取 的中点 。由 且 得 且 ，故四边形 是平行四边形， 与 互相平分，所以 是 的中点。又 是 的中点，故 是 的中位线，；而 平面 ，所以 平面 。取 的中点 ，以 为原点、、、 方向为轴建系，设 。由 得 ，于是 、、、、。、，取平面 的法向量 ；，取平面 的法向量 。由两平面夹角的余弦值为 得 ，两边平方化简得 ，解得 （负值舍去），即 。此时 、，，故点 到平面 的距离为 。 【易错】一是把 读成 ，它是 且 。二是解方程时忘了两边平方会产生增根，解完要回代检验。三是第三问重新设平面 的法向量，第二问的 可以直接用。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 例3（解答·★★★★☆） 如图，四棱台中，底面是边长为4的菱形，，。 （1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）若该四棱台的体积等于，且，求直线到平面的距离。 【切入点】要求的是「直线 到平面 的距离」。直线到平面的距离要先说明这条直线与平面平行，再化成直线上任意一点到平面的距离。 【关键】第一、二问的证明按标准构造给出，这里从略：连结 、 交于点 ，连结 ，由四棱台上下底对应边平行、对应点连线共点，可证 ，从而 平面 ；再由 与 可证 平面 （即 是该棱台的高）。设菱形 的边长为 ，，则 。四棱台中 ，故 。又 平面 （第二问已证），棱台的高 ，由棱台体积公式 ，解得 。由 得 到对角线交点的距离大于 到它的距离，故 ，所以 。取 的中点 ，则 、，以 为原点、、、 为轴建系，、、。平面 就是平面 ，取法向量 。又 ，故 平面 ，于是直线 到平面 的距离等于点 到该平面的距离：。 【易错】一是把「直线到平面的距离」直接当成「两点间距离」，没有先说明 平面 。二是求 时漏掉 这一条， 对应两个角。三是棱台体积公式里漏掉 这一项。 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 距离的最值与存在性 提高档的动态题，第一步仍然是把动点参数化，但参数怎么选有讲究。所求的量随动点在线段上的位置变化时，就用这段长度作参数；所求的量随折起的角度变化时，就直接用那个角作参数。参数选得对，后面的式子会短很多；选得不对，会平白多出两层根号。折起角度还有个小便宜可以占：距离式里出现的是这个角的余弦或正弦的组合，换成半角的三角函数往往更简洁。 第二步是把所求的量写成函数。点到平面的距离写成法向量与斜线向量的数量积再除以法向量的模；点到直线的距离写成平方差再开根。这两条式子都要把参数代进坐标之后再算，不要在符号层面硬推，那样容易算错。另一个常用的化简是让参数取到使某个投影为零的位置，这时的坐标最简单，适合先算一遍当作检验。 第三步是求最值或者判根。函数里带根号时，先看根号里面那一部分 ——它通常是二次式，配方之后最小值一目了然；若参数有范围，要看顶点是否落在范围里，落在里面取顶点值，落在外面取端点值。判根时同样要看区间：把两端的函数值算出来、再看顶点值，用这三个数与零的大小关系就能判断根的个数，不必真的把根解出来。 还有一类题多走一步：动点的位置不是自由的，而是被另一个条件先定住了 ——比如某个距离等于定值，或者某两条直线垂直。这时应该先用那个条件把动点确定下来，再去算要求的距离。反过来做也能得到结果，但会把两个未知量纠缠在一起，解方程时容易出现增根，检验起来更麻烦。 例4（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是棱上的一点。 （1）若为棱的中点，求证：平面；（2）若平面平面，是否存在点，使得点到平面的距离为。若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【切入点】点 在棱 上，把 写成 ，距离就是 的一次式，让它是题给的数就能解出 。 【关键】第一问：连接 交 于点 ，连接 。由菱形的对角线互相平分知 是 的中点，又 是 的中点，故 ； 平面 ， 不在该平面内，所以 平面 。取 的中点 ， 与 都是正三角形（边长 ），故 、；结合平面 平面 得 平面 。以 为原点、、、 为轴建系，、、、。平面 中 、，取法向量 。设 ，其中 ，则点 到平面 的距离为 ，解得 ，落在允许范围内。所以存在这样的点 ，此时 。 【易错】一是把答案写成 ，题目问的是 。二是没有先说明 平面 就建系。三是解出 后不检验它是否在 内。 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 变式4-1（解答·★★★★☆） 如图，在三棱柱中，平面平面，，，，，为线段上一点，且。 （1）证明：平面；（2）是否存在实数，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。 【切入点】点 在棱 上， 已经把参数定好了；让点 到平面 的距离等于题给的值，解这个方程。 【关键】第一问：由 、 得 ，故 ；又平面 平面 ，交线为 ，所以 平面 ，。已知 ，而 与 相交于 ，所以 平面 。由第一问 平面 得 ，故四边形 是菱形。取 的中点 ，由 得 是正三角形，，结合 得 ；又 平面 ，所以 、、 两两垂直。以 为原点建系，、、、。于是 ，，。取平面 的法向量 。又 ，点 到平面的距离为 ，即 ，展开整理得 ，解得 或 。两者都在 内，故存在。 【易错】一是没有先证出 、、 两两垂直。二是化简 时忘了先通分，直接展开容易漏项。三是解得两个根后没有检验它们是否落在 内。 【答案】（1）证明见解析；（2）存在， 或 变式4-2（解答·★★★★☆） 如图，在四棱锥中，平面，，，，，。 （1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求线段的长；（3）是否存在线段上一点，使得到点的距离都相等？说明理由。 【切入点】「到四点距离都相等」不要一上来就设未知数硬列方程。先看其中的 、 两点：到它们距离相等的点都在 的垂直平分线上，再与 在 上这个条件合起来， 的位置就被唯一定出来了。 【关键】第一问：由 平面 得 ；又 且 与 交于点 ，所以 平面 ；而 平面 ，故平面 平面 。由 得 。又 ，故 ，从而 ，即 是点 在直线 上的垂足。在 中（ 为垂足），所以 。设 ，由 得 ，故 。要使 到四点距离都相等，只需 ，即 ，整理得 。记 为左边，则 ，而顶点处 ，判别式 ，故方程在 内有两个不同的解。所以这样的点 存在。 【易错】一是直接对四个距离列四个方程，未知量纠缠在一起很难解。二是忘了 平面 给出 ，于是 与 相等，只要再令它等于 即可。三是算出判别式为正就下结论，还要看两个根是否都落在区间内。 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，理由见解析 例5（解答·★★★★☆） 如图，在三棱锥中，点E，F分别在棱，上，平面，平面。 （1）证明：；（2）记直线与平面所成的角为，平面与平面的夹角为，证明：为定值；（3）若，E为线段的中点，设平面与平面的交线为l，Q为l上的点，求点B到平面的距离的最大值。 【切入点】点 在平面 与平面 的交线 上，把 当作一条坐标轴， 就只有一个参数；距离是这个参数的函数，配方求最值。 【关键】第一问：由 平面 得 ；由 平面 得 ，故 平面 。又 平面 且平面 平面 ，所以 ，结合 得 。第二问：直线 与平面 所成的角是 的余角，而交线 且 平面 ，故二面角的平面角就是 ，于是 ，又 ，即 ，所以 ，为定值。 平面 ，取 为原点、 为 轴、交线 为 轴、 为 轴建系。由 、 为 的中点得 、、、。设 ，则 、。取平面 的法向量 。又 ，故点 到平面 的距离为 。当 时分母最小，距离取最大值 。 【易错】一是把 的参数写错方向， 是 轴， 的坐标只有 分量。二是化简 时忘了配方，直接对端点取值会漏掉最小值。三是求点面距离时用了 之外的向量，注意 在所求平面上，用它可以少算一步。 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 变式5-1（解答·★★★★☆） 在三棱锥中，，，D为CA中点，点E在DB上，。 （1）若二面角的余弦值为，，求证：平面；（2）若，平面。设点B到的距离为a，到平面的距离为b，求的取值范围。 【切入点】题目把两个距离分别记成了字母 、，那就先把它们各自算出来（都带一个参数），再作比求范围。 【关键】第一问：由 、 且 为 的中点得 、，故 是二面角 -- 的平面角，。由 与余弦定理得 ，而 ，故 。又由 、 得 平面 ，所以 ；结合 与 相交于 得 平面 。由 、 平面 得 、、 两两垂直。设 、（），以 为原点、、、 为轴建系，、、。由 为 中点得 ，再由 得 。、，由点到直线的距离公式得 。平面 中 、，取法向量 ，故 。于是 。因为 ，所以 ，，故 的取值范围为 。 【易错】一是把 的坐标写错， 说明 在 到 的三分之一处。二是求 时忘了点到直线的距离要开方，公式里是「模的平方减去投影的平方再开根」。三是求范围时只看出 与 两个极端，没有说明 关于 单调。 【答案】（1）证明见解析；（2） 例6（解答·★★★★☆） 如图①所示将边长为的正方形，沿翻折如图②所示，点 分别为的中点，在折叠过程中。 二面角的范围为 . （1）求证:四边形 EFGH为矩形；（2）求点到平面距离的最大值。 【切入点】折痕是 ，翻折时 绕 转；把二面角作参数，点 的坐标就带上了它，距离随之成为这个角的函数。 【关键】第一问：、、、 分别是四边的中点，故 、，四边形 是平行四边形。在正方形中 ，故 ，所以四边形 是矩形。取 的中点 ，正方形边长 给出 ，故 ，且 。以 为原点、 为 轴、 为 轴、过 且垂直于平面 的方向为 轴建系，则 、、；设二面角 -- 的平面角为 ，则 。平面 中 、，取法向量 。又 ，故点 到平面 的距离为 。把 写成 ，得 。因为 ，所以 的最小值在 处取到，为 。故 。 【易错】一是把 的取值范围用错， 越小分母越小、距离越大。二是没有把 化成 ，直接对 求最值要绕很多。三是把 的坐标写成 。 【答案】（1）证明见解析；（2） 变式6-1（解答·★★★★★） 如图甲，在等腰梯形中，为的中点，将沿着翻折至，如图乙。 （1）当二面角为时，求的长；（2）在翻折过程中，是否存在某个位置，使得平面平面，若存在，求出此时点P到平面的距离；若不存在，请说明理由。 【切入点】折痕是 。先看清平面图形：、 且 是 的中点，把图形切成两个菱形；再把「平面 平面 」翻译成两条法向量垂直。 【关键】连 交 于 。由 、 知 与 都是菱形， 与 都是正三角形，故 ， 是 与 的公共中点，， 是二面角 -- 的平面角。以 为原点、 为 轴、 为 轴、过 且垂直于平面 的方向为 轴建系，则 、、、；设 ，则 。平面 的法向量可取 ；平面 中 、，法向量可取 。若两平面垂直，则 ，解得 ，即 ，此时点 落回平面 内，图形退化，所以这样的位置不存在。 【易错】一是没有先说明 是 与 的公共中点，就找不到二面角的平面角。二是把 的坐标写成只含一个三角函数，折起时它在垂直于 的平面里转，余弦与正弦各占一个分量。三是解出 后没有说明这是退化情形。 【答案】（1）；（2）不存在 学科网（北京）股份有限公司 $