空间向量的应用解答题专项训练-2027届高三数学一轮复习

空间向量的应用专题（解答题）（三大题型） 目录 核心知识点梳理 1 空间向量基础 1 空间向量解决立体几何核心公式 1 解题通用步骤（坐标法） 1 题型一：利用空间向量证明平行、垂直关系 2 题型二：二面角综合计算 4 题型三：点到平面距离综合题型 6 课后练习 8 核心知识点梳理 空间向量基础 1. 空间向量的坐标运算：若 2. 向量平行与垂直 ； . 空间向量解决立体几何核心公式 设平面的法向量为，直线方向向量 1. 线面平行：，且直线不在平面内； 1. 线面垂直：； 1. 线面角：； 1. 二面角：两个面法向量，，根据图形判断二面角是锐角还是钝角； 1. 点到平面距离：点，平面内一点，. 解题通用步骤（坐标法） 1. 建系：寻找三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系； 1. 求坐标：写出所有关键点坐标； 1. 求向量：写出方向向量、平面内两个不共线向量； 1. 求法向量：联立方程组求解平面法向量； 1. 代入公式，计算角度/距离； 1. 结合几何意义写出结论。 题型一：利用空间向量证明平行、垂直关系 例题【2025 武汉高二期中】四棱锥，底面为矩形，底面，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值。 举一反三 1.【2025 长沙高二期末】直三棱柱，，. （1）求证：平面。 （2）求与平面所成角的正弦值。 2．【2026 南京高二月考】四棱锥，底面为直角梯形，，底面，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角正弦值。 题型二：二面角综合计算 例题【2025 广州高二期中】四棱锥，底面是正方形，底面，. （1）求证：平面； （2） 求二面角的余弦值； 举一反三 1．【2025 成都高二期末】直三棱柱，. （1）求二面角的正弦值； （2）点为上一点，若平面，求. 2．【2026 济南高二月考】三棱锥，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； 题型三：点到平面距离综合题型 例题【2025 杭州高二期中】三棱锥，底面，是边长为2的正三角形，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求点到平面的距离。 举一反三 1.【2025 天津高二期末】四棱锥，底面为菱形，边长为2，，底面，是交点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 2．【2026 合肥高二月考】三棱柱，底面等边三角形，侧棱底面，. （1） 求与平面所成角； （2） 求点到平面的距离。 课后练习 1.【2025 武汉高二期末】已知四棱锥，底面为矩形，底面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 2.【2026 苏州高二月考】直三棱柱，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； 3.【2025 深圳高二期中】三棱锥，底面，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角； （3）求二面角的余弦值。 · 学科网（北京）股份有限公司 $ 空间向量的应用专题（解答题）（三大题型） 目录 核心知识点梳理 1 空间向量基础 1 空间向量解决立体几何核心公式 1 解题通用步骤（坐标法） 1 题型一：利用空间向量证明平行、垂直关系 2 题型二：二面角综合计算 4 题型三：点到平面距离综合题型 6 课后练习 8 核心知识点梳理 空间向量基础 1. 空间向量的坐标运算：若 2. 向量平行与垂直 ； . 空间向量解决立体几何核心公式 设平面的法向量为，直线方向向量 1. 线面平行：，且直线不在平面内； 1. 线面垂直：； 1. 线面角：； 1. 二面角：两个面法向量，，根据图形判断二面角是锐角还是钝角； 1. 点到平面距离：点，平面内一点，. 解题通用步骤（坐标法） 1. 建系：寻找三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系； 1. 求坐标：写出所有关键点坐标； 1. 求向量：写出方向向量、平面内两个不共线向量； 1. 求法向量：联立方程组求解平面法向量； 1. 代入公式，计算角度/距离； 1. 结合几何意义写出结论。 题型一：利用空间向量证明平行、垂直关系 例题【2025 武汉高二期中】四棱锥，底面为矩形，底面，. （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求直线与平面所成角的正弦值。 解析： 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系。 . （1），平面中. 平面法向量： · 令，。 ，又平面，平面。 （2）， ， . （3）平面在平面，法向量可取， . 设线面角， · 直线与平面所成角正弦值为. 举一反三 1.【2025 长沙高二期末】直三棱柱，，. （1）求证：平面。 （2）求与平面所成角的正弦值。 解析： 以为原点，为轴，为轴，为轴建系。 . （1），平面向量 ，平面. （2）平面法向量， 2．【2026 南京高二月考】四棱锥，底面为直角梯形，，底面，. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角正弦值。 解析： 以为原点，为轴，为轴，为轴建系。 . （1），，，平面，平面，平面. （2），平面，平面. （3）. 平面法向量： · 令，. · 直线与平面线面角正弦值为. 题型二：二面角综合计算 例题【2025 广州高二期中】四棱锥，底面是正方形，底面，. （1）求证：平面； （2） 求二面角的余弦值； 解析： 以为原点，为轴，为轴，为轴建系。 . （1），平面，平面. （2）平面：在平面，法向量. 平面，向量. 设平面法向量 · 令，. · 二面角为，余弦值为. 举一反三 1．【2025 成都高二期末】直三棱柱，. （1）求二面角的正弦值； （2）点为上一点，若平面，求. 解析： 以为原点，为轴，为轴，为轴建系。 . （1）平面法向量，. · 平面， （2）设，. 平面法向量，， ， 当为中点，，满足平行条件。 2．【2026 济南高二月考】三棱锥，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）求二面角的余弦值； 解析： 以为原点，为轴，为轴，过平行向上为轴。 . （1），平面。平面，平面平面. （2）平面向量，法向量. 平面向量，法向量. · 二面角为锐角，余弦值. 题型三：点到平面距离综合题型 例题【2025 杭州高二期中】三棱锥，底面，是边长为2的正三角形，. （1）求直线与平面所成角正弦值； （2）求点到平面的距离。 解析： 建立坐标系，取中点，。. （1）平面法向量，. （2）点到平面距离：，直接得出. 举一反三 1.【2025 天津高二期末】四棱锥，底面为菱形，边长为2，，底面，是交点，. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 解析： 以原点，为轴，为轴，为轴。 菱形，。. （1），平面. （2）平面法向量. 平面，. 法向量： （3）平面法向量，. 2．【2026 合肥高二月考】三棱柱，底面等边三角形，侧棱底面，. （1） 求与平面所成角； （2）求点到平面的距离。 解析： 取中点，. （1）平面法向量，. （2）平面，. 法向量： · ​ · 点到平面距离为. 课后练习 1.【2025 武汉高二期末】已知四棱锥，底面为矩形，底面，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离。 解析： 以原点，为轴，为轴，为轴。. （1），平面. （2）平面：，法向量： · 平面：，法向量： · 观察图形二面角为钝角，. （3）平面向量，法向量. 2.【2026 苏州高二月考】直三棱柱，，. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值； 解析： 以原点，为轴，为轴，为轴。. （1）. ； ；，平面. （2）平面法向量. 平面法向量. 3.【2025 深圳高二期中】三棱锥，底面，，. （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角； （3）求二面角的余弦值。 解析： 以原点，为轴，为轴，为轴，. （1），平面。平面，平面平面. （2）平面，即为线面角。 ，，. （3）平面法向量. 平面向量，法向量： · 二面角为锐角，余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $