精品解析：江西省南昌中学2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

南昌中学2026-2027学年度上学期十月测试 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由题意，直线l的斜率为， 结合斜率与倾斜角的关系，得直线l的倾斜角为． 故选：C． 2. 过点且与直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据与已知直线垂直的直线系方程，可设直线垂直的直线方程，再把点代入，即可求出值，得到所求方程. 【详解】因为所求直线方程与直线垂直，设所求直线的方程为， 因为直线过点，代入可得，解得， 所以所求直线的方程为，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用两条直线的位置关系求解直线的方程，根据与已知直线垂直的直线系方程，设处所求直线方程，代入求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 3. 过点且与圆，相切的直线有几条 A. 0条 B. 1条 C. 2 条 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】利用点与圆心之间的距离，得出点与圆的位置关系的关系，即可得到答案. 【详解】由圆的方程，的圆心坐标为，半径为， 由两点点的距离公式，可得点与圆心之间的距离为， 所以过点且与圆相切的直线由2条，故选C. 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系的应用，其中准确得出点与圆的位置关系是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 4. 已知直线平行，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】对x，y的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出． 【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x+y=4，此时两条直线不平行； 当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行； 当m≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=x+，y=+， ∵两条直线平行，∴，≠，解得m=﹣7． 综上可得：m=﹣7． 故选：A． 【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题． 5. 两圆和的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 【答案】B 【解析】 【分析】求出两圆的圆心与半径，利用圆心距与半径的关系，即可得到结果. 【详解】由圆的圆心为，半径为1， 圆圆心为半径为3， 所以圆心距为，此时，即圆心距等于半径的差，所以两个圆相内切，故选B. 【点睛】本题主要考查了两个圆的位置关系的判定，其中熟记两圆的位置关系的判定方法，准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2或1 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得直线在坐标轴上的截距，列出方程，即可求解. 【详解】由直线，显然， 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 当时，可得，即直线在轴上的截距为； 因为直线在x轴和y轴上的截距相等，可得， 即，解得或. 故选：C. 7. 若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，根据点到直线的距离公式建立方程，解之即可求解. 【详解】由题意知，， 又圆上恰有3个点到l的距离为1， 所以圆心到直线的距离等于半径减去1， 则圆心到直线l的距离为，解得. 故选：D. 8. 直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件. 【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆， 直线的斜率为1，连接和， 要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值. 当直线与重合时，， 当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即， 解得或（舍去）. 所以的取值范围是）. 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角定义，依图象分别判断各选项即可. 【详解】根据直线斜率与倾斜角定义，关系分别判断各选项. 由图像可知， 则， 故选：AD 10. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的方程确定圆心，可求出直线的方程，即可判断A；根据圆和圆外切求出a的值，数形结合，可判断B；根据两圆公切线条数判断两圆相交，列不等式求解判断C；求出两圆的公共弦方程，即可求得两圆的公共弦长，判断D. 【详解】对于A，由圆，， 可知，故直线的方程为， 即，即得直线恒过定点，A正确； 对于B，即， 当圆和圆有三条公切线时，圆和圆外切，则， 解得， 当时，如图示，当共线时,； 同理求得当时，，B正确； 对于C，若圆和圆共有2条公切线，则两圆相交， 则，即，解得，C错误 对于D，当时，两圆相交， ，， 将两方程相减可得公共弦方程， 则到的距离为， 则圆与圆相交弦的弦长为，D正确， 故选：ABD. 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】易知A正确；对于B，根据定义直接计算即可判断；对于C，由定义得，即等号至少有一个成立，可得动点R的轨迹为正方形即可判断；对于D，设， 则，接着分情况讨论得到最值即可． 【详解】由题知，故A正确； 对于B，， 故B正确； 对于C，设，且，所以， 则等号至少有一个成立，∴动点R的轨迹为如下正方形，故C错误； 对于D， 设， 则， 当，即时，，则此时最小值为 当，即或时，，无最小值， 综上，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 【答案】 【解析】 【详解】化简可知，即圆心为. 因为等同于，斜率为，可知新直线斜率为， 由斜率和圆心可知该直线为，即. 13. 平行线和的距离是_____________ 【答案】 【解析】 【分析】现根据两直线平行，求得，得到直线的方程，再利用两平行线之间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，两直线和平行， 可得，解得，即， 由两平行直线之间的距离公式，可得. 【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系和两平行间的距离公式的应用，其中熟记两直线的位置关系，利用两平行线之间的距离公式正确求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 14. 已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设点，求出点的轨迹方程为，分析可知，直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设点，因为点、，且， 则，整理可得， 所以，点在圆上， 又因为点在直线上，且圆的圆心为，半径为， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. （1）求过点且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程； （2）求过点且与原点距离为3的直线方程． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】(1)由题意可设直线方程为，代入点的坐标，求得的值，即可得到答案； （2）当直线的斜率为不存在时，满足题意；当直线的斜率为存在时，设直线方程为：，根据点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】(1)由题意可设直线方程为： 代入点，即 解得： 所以直线方程为： （2）当直线的斜率为不存在时： ，满足题意； 当直线的斜率为存在时，设直线方程为：， 即： ，所以 解得：，所以直线方程为： 综上，直线方程为：或 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，其中解答中根据题意设出所求直线的方程，代入求解是解答的关键，同时注意分类讨论的应用，着重考查了分类讨论思想，以及推理与计算能力. 16. 已知的顶点，直角顶点为，顶点在y轴上； （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设点坐标，然后根据列方程，解方程即可得到点坐标； （2）根据直角三角形外接圆的特点，得到圆心坐标和半径，然后写方程即可. 【小问1详解】 设点，由题意：，，所以， 解得，所以点. 【小问2详解】 因为的斜边的中点为圆心， 所以圆心的坐标为，， 所以圆心的方程为. 17. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质求得圆心坐标和半径，进而求得圆的标准方程. （2）利用点关于直线对称点以及三点共线来求得的最大值. 【小问1详解】 依题可设圆心C的坐标为， 因为，所以， 解得， 则圆心C的坐标为，圆C的半径， 故圆C的标准方程为． 【小问2详解】 因为，所以． 设点关于直线对称的点为， 则， 解得，即． 因为，所以， 当且仅当P，C，三点共线时，等号成立． 又，所以的最大值为15． 18. 某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ （2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 【答案】（1）游客在该摄像头的监控范围内 （2）8.75米 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断； （2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围. 【小问1详解】 设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，， 因为，，则，依题意得，游客所在位置为， 则直线的方程为， 所以圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内． 【小问2详解】 由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住， 所以设直线过点且和圆相切， ①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以或， 即或， 观景直道所在直线方程为， 设两条直线与的交点为D，E， 由，解得， 由，解得， 所以， 答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：. （1）若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； （2）求过点且与圆相切的直线的方程； （3）当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）由两圆相交可得，解之可得的取值范围； （2）分类讨论切线的斜率情况，再由线圆相切得到，解之可得直线的方程； （3）利用弦定长公可将问题转化为圆心到直线与圆心直线的距离相等，由此列出方程化简，可得到等式，再由的无穷多解判定得的取值，进而得求. 【小问1详解】 因为圆：，故，半径为； 又因为：，故，半径为2， 所以两圆圆心距为：， 因为圆与圆有交点， 所以，得，即. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为即， 因为直线与圆相切，则，即， 此时直线的方程为，即， 综上：直线的方程为或. 【小问3详解】 设点坐标为，因为有无数条直线符合要求，不妨设直线与的方程分别为： ，，即：，， 因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，两圆半径相等， 由垂径定理可知圆心到直线与圆心直线的距离相等， 故有，即或， 由于关于的方程有无穷多解，故，或， 解得或，即点坐标为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌中学2026-2027学年度上学期十月测试 高二数学 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为（ ）． A. B. C. D. 2. 过点且与直线垂直的直线方程是 A. B. C. D. 3. 过点且与圆，相切的直线有几条 A. 0条 B. 1条 C. 2 条 D. 不确定 4. 已知直线平行，则实数的值为 A. B. C. 或 D. 5. 两圆和的位置关系是 A. 相交 B. 内切 C. 外切 D. 外离 6. 已知直线在x轴和y轴上的截距相等，则实数a的值是（ ） A. 1 B. C. 2或1 D. 或1 7. 若直线过点，斜率为1，圆上恰有3个点到的距离为1，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆，圆．则下列选项正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 当圆和圆有三条公切线时，若P，Q分别是圆上的动点，则 C. 若圆和圆共有2条公切线，则 D. 当时，圆与圆相交弦的弦长为 11. 在平面直角坐标系中，定义 为两点 的“切比雪夫距离”，又设点P及直线l上任意一点Q，称的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（ ） A. B. 则 C. O为坐标原点，动点R满足，则动点R在平面直角坐标系中所形成的图形是圆 D. 已知点，直线，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求经过圆的圆心，且与直线垂直的直线的一般式方程为_______． 13. 平行线和的距离是_____________ 14. 已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. （1）求过点且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程； （2）求过点且与原点距离为3的直线方程． 16. 已知的顶点，直角顶点为，顶点在y轴上； （1）求顶点的坐标； （2）求外接圆的方程． 17. 已知圆C经过，两点，且圆心C在直线上． （1）求圆C的标准方程； （2）若P是直线上的动点，Q是圆C上的动点，定点，求的最大值． 18. 某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题： （1）在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？ （2）求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度． 19. 在平面直角坐标系中，已知圆：与圆：. （1）若圆与圆有公共点，求正实数的取值范围； （2）求过点且与圆相切的直线的方程； （3）当时，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，试求所有满足条件的点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $