5.4 二元一次方程与一次函数 5.5 三元一次方程组 课堂同步分层训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.4 二元一次方程与一次函数+5.5 三元一次方程组_课堂同步分层训练卷_解析卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.4 二元一次方程与一次函数（方程组的解与图象交点、图象法解方程组、用图象解决简单问题）与 *5.5 三元一次方程组（定义、消元求解、简单应用）。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．把二元一次方程 2x－y＝3 变形为 y＝2x－3 后可知：这个方程的每一组解，都对应一次函数 y＝2x－3 图象上的一个点。下列各点中，在这个一次函数图象上的是（　） A．(1，－1) B．(－1，1) C．(2，3) D．(0，3) 【答案】A 把 x＝1 代入 y＝2x－3，得 y＝2×1－3＝－1，所以点 (1，－1) 在图象上。 B：x＝－1 时 y＝－5；C：x＝2 时 y＝1≠3；D：x＝0 时 y＝－3≠3。故选 A。 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 三元一次方程组要同时满足：含有三个未知数、每个方程含未知数的项的次数都是 1、且共有三个方程。 B 只有两个方程；C 中 xy 是二次项；D 中 是分式。故选 A。 3．三元一次方程组 的解是（　） A．x＝3，y＝1，z＝2 B．x＝2，y＝1，z＝3 C．x＝1，y＝3，z＝2 D．x＝3，y＝2，z＝1 【答案】A 把 x＝3，y＝1，z＝2 逐一代入检验： ①3＋1＋2＝6；②3－1＝2；③1－2＝－1，三个方程都成立。故选 A。 4．如图，直线 l₁：y＝－x＋5 与直线 l₂：y＝2x－1 交于点 P，则关于 x、y 的方程组 的解是（　） A． B． C． D． 【答案】A 方程组的解就是两条直线交点的坐标。 由图读出交点 P 的横、纵坐标分别为 2、3，所以方程组的解是 。 也可由 －x＋5＝2x－1 解得 x＝2，再得 y＝3，与图象一致。故选 A。 5．解三元一次方程组 时，要消去未知数 y，下列做法正确的是（　） A．①＋②，①＋③ B．①＋②，②＋③ C．①－③，②－③ D．只能由①＋②消去 y 【答案】A ①＋②：3x＋2z＝15，消去了 y；①＋③：2x＋3z＝18，也消去了 y。 再看其他组合：②＋③ 得 3x－2y＋3z＝13，没有消去 y；①－③ 得 2y－z＝2，消去的是 x。 所以要得到两个只含 x、z 的方程，应选 ①＋② 与 ①＋③。故选 A。 6．如图，直线 l₁：y＝2x＋1 与直线 l₂：y＝2x－3，则关于 x、y 的方程组 的解的情况是（　） A．有唯一一组解 B．无解 C．有无穷多组解 D．无法确定 【答案】B 两条直线的比例系数 k 相同、截距不同，所以两直线平行，没有交点。 方程组对应两直线的交点，没有交点就说明方程组无解。故选 B。 7．三元一次方程组 的解中，x 的值为（　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 由①得 z＝12－x－y，代入②：x＋2y－(12－x－y)＝6，即 2x＋3y＝18 ④。 代入③：2x－y＋(12－x－y)＝7，即 x－2y＝－5 ⑤。 由⑤得 x＝2y－5，代入④：2(2y－5)＋3y＝18，7y＝28，y＝4，所以 x＝2×4－5＝3。故选 B。 （此时 z＝12－3－4＝5，方程组的解为 x＝3，y＝4，z＝5。） 8．已知关于 x、y 的方程组 的解是 ，且直线 y＝kx＋b 与 y 轴交于点 (0，1)，则 k、b 的值分别为（　） A．k＝2，b＝1 B．k＝1，b＝2 C．k＝3，b＝1 D．k＝2，b＝－1 【答案】A 方程组的解 (1，3) 是两直线的交点，所以点 (1，3) 在直线 y＝kx＋b 上：k＋b＝3。 又直线与 y 轴交于点 (0，1)，所以 b＝1。 代入得 k＝2。检验：y＝2x＋1 与 y＝x＋2 交于 (1，3)，与条件一致。故选 A。 9．已知 x、y、z 满足 ，则 x＋y＋z 的值为（　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 三个方程相加：2x＋2y＋2z＝5＋7＋6＝18， 两边同除以 2，得 x＋y＋z＝9。故选 B。 10．如图，直线 y＝2x－4 与直线 y＝－x＋5 交于点 P，两直线分别与 y 轴交于点 A、B，则△PAB 的面积为（　） A．13.5 B．9 C．6.75 D．27 【答案】A 由 2x－4＝－x＋5 得 3x＝9，x＝3，y＝2，所以 P(3，2)。 两直线与 y 轴的交点为 A(0，－4)、B(0，5)，所以 AB＝5－(－4)＝9。 △PAB 以 AB 为底，点 P 到 y 轴的距离 3 就是这条底上的高， 所以 S＝×9×3＝13.5。故选 A。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．把二元一次方程 3x－y＝6 用含 x 的式子表示 y，得 y＝            ；若一次函数 y＝3x－6 图象上一点的横坐标为 2，则这个点的纵坐标为            。 【答案】y＝3x－6；0 由 3x－y＝6 移项得 y＝3x－6。 把 x＝2 代入 y＝3x－6，得 y＝0，所以这个点的坐标为 (2，0)。 12．三元一次方程组 的解是            。 【答案】x＝3，y＝1，z＝5 三式相加得 2(x＋y＋z)＝18，所以 x＋y＋z＝9。 用 9 分别减去每个方程：z＝9－4＝5，x＝9－6＝3，y＝9－8＝1。 所以方程组的解是 x＝3，y＝1，z＝5。 13．如图，直线 y＝x＋1 与 y＝－x＋3 交于点 P，它们与 x 轴分别交于点 A、B，则△PAB 的面积为            。 【答案】4 由 x＋1＝－x＋3 得 x＝1，y＝2，所以 P(1，2)。 直线 y＝x＋1 与 x 轴交于 A(－1，0)，直线 y＝－x＋3 与 x 轴交于 B(3，0)，所以 AB＝4。 △PAB 的高是点 P 的纵坐标 2，所以 S＝×4×2＝4。 14．已知 ，则 x＋y＋z＝            。 【答案】6 把三个方程相加，左边的 x 项为 x＋x－x＝x，y 项为 y－y＋y＝y，z 项为 －z＋z＋z＝z， 所以左边正好是 x＋y＋z，右边是 0＋2＋4＝6，即 x＋y＋z＝6。 15．如图，直线 y＝2x 与 y＝－x＋3 交于点 P，直线 y＝－x＋3 与 x 轴交于点 A，则方程组 的解为            ，△POA 的面积为            。 【答案】方程组的解为 ，△POA 的面积为 3 方程组的解就是两直线交点 P 的坐标，由图读出 P(1，2)。 直线 y＝－x＋3 与 x 轴交于 A(3，0)，所以 OA＝3。 △POA 以 OA 为底，点 P 的纵坐标 2 为高，S＝×3×2＝3。 16．已知 x、y、z 都是非零数，且满足 ，则 x∶y∶z＝            ，＝            。 【答案】4∶11∶5；4 由 x＋y＝3z 得 y＝3z－x，代入 y＋z＝4x，得 3z－x＋z＝4x，即 4z＝5x， 所以 z＝x，y＝3×x－x＝x。 因此 x∶y∶z＝1∶∶＝4∶11∶5。 取 x＝4k，y＝11k，z＝5k，则 ＝＝4。 三、解答题（共 46 分） 17．解三元一次方程组 。 【答案】 ①＋② 得 3x＋2z＝9 ④；②＋③ 得 3x＋y＝5，即 y＝5－3x ⑤。 把⑤代入①：x＋(5－3x)＋z＝6，得 z＝1＋2x ⑥。 把⑥代入④：3x＋2(1＋2x)＝9，7x＝7，x＝1。 所以 y＝5－3×1＝2，z＝1＋2×1＝3。 检验：1＋2＋3＝6；2－2＋3＝3；1＋4－3＝2，都成立。 故原方程组的解是 。 18．如图，直线 l₁：y＝2x－2 与直线 l₂：y＝－x＋4 交于点 P，l₁ 与 x 轴交于点 A，l₂ 与 x 轴交于点 B。 （1）直接写出点 P 的坐标； （2）直接写出方程组 的解； （3）求△PAB 的面积。 【答案】（1）P(2，2)；（2）；（3）3 （1）由图象读出两直线交于点 P(2，2)。（也可由 2x－2＝－x＋4 解得 x＝2，y＝2。） （2）方程组的解就是两直线交点的坐标，所以解为 。 （3）l₁ 与 x 轴交于 A(1，0)，l₂ 与 x 轴交于 B(4，0)，所以 AB＝4－1＝3。 △PAB 以 AB 为底，点 P 的纵坐标 2 为高，S＝×3×2＝3。 19．小明在学习“二元一次方程与一次函数”时遇到这样的问题： 已知关于 x、y 的方程组 。 小明说：“我在图上看到两条直线交于点 (2，1)，所以这个方程组的解就是 ，不必再解方程。” （1）小明的说法是否正确？请说明理由； （2）若直线 y＝kx＋b 还经过点 (0，5)，求 k、b 的值，并验证 (2，1) 是这个方程组的解。 【答案】（1）正确，理由见解析；（2）k＝－2，b＝5，验证成立 （1）正确。方程组的解必须同时满足两个方程，也就是同时落在两条直线上； 而两条直线的交点既在 l₁ 上、又在 l₂ 上，所以交点的坐标就是方程组的解。 （2）直线 y＝kx＋b 经过点 (0，5)，所以 b＝5。 又它经过交点 (2，1)，把 x＝2、y＝1 代入 y＝kx＋5：1＝2k＋5，解得 k＝－2。 验证：把 x＝2 代入 y＝2x－3，得 y＝1；代入 y＝－2x＋5，也得 y＝1，两式同时成立， 所以 (2，1) 确实是原方程组的解。 20．甲、乙、丙三个数的和是 41，甲数比乙数的 2 倍少 3，乙数比丙数大 4。求甲、乙、丙三个数。 【答案】甲 21，乙 12，丙 8 设甲数为 x，乙数为 y，丙数为 z。 由题意得 。 由第三个方程得 z＝y－4，把 x＝2y－3、z＝y－4 都代入第一个方程： (2y－3)＋y＋(y－4)＝41，即 4y－7＝41，4y＝48，y＝12。 所以 x＝2×12－3＝21，z＝12－4＝8。 检验：21＋12＋8＝41，21＝2×12－3，12－8＝4，都符合题意。 答：甲数是 21，乙数是 12，丙数是 8。 21．已知直线 l₁：y＝2x－1，l₂：y＝－x＋5，l₃：y＝kx＋7。 （1）求 l₁ 与 l₂ 的交点 P 的坐标； （2）若 l₃ 也经过点 P，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，求 l₃ 与 x 轴交点的坐标。 【答案】（1）P(2，3)；（2）k＝－2；（3）(，0) （1）联立 y＝2x－1 与 y＝－x＋5：2x－1＝－x＋5，3x＝6，x＝2，y＝3，所以 P(2，3)。 （2）因为 l₃ 经过点 P，把 x＝2、y＝3 代入 y＝kx＋7：3＝2k＋7，解得 k＝－2。 （3）此时 l₃ 为 y＝－2x＋7。令 y＝0，得 －2x＋7＝0，x＝。 所以 l₃ 与 x 轴的交点坐标是 (，0)。 22．已知关于 x、y、z 的方程组 的解中，x、y、z 都是正整数，求 k 的值。 【答案】k＝1 ①－② 消去 z：－x＋2y＝2，所以 x＝2y－2。 把 x＝2y－2 代入①：(2y－2)＋y＋z＝6，得 z＝8－3y。 因为 z 是正整数，所以 8－3y＞0，y≤2；又 x＝2y－2 是正整数，所以 2y－2＞0，y≥2。 于是 y＝2，此时 x＝2，z＝2。 把它们代入③：2＋4＋2k＝8，解得 k＝1。 检验：k＝1 时，方程组的解为 x＝2，y＝2，z＝2，三个方程都成立，符合题意。 23．如图，直线 l₁：y＝x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 l₂：y＝－2x＋8 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PBC 的面积； （3）求△POC 的面积。 【答案】（1）P(2，4)；（2）6；（3）8 （1）由 x＋2＝－2x＋8 得 3x＝6，x＝2，y＝4，所以 P(2，4)。 （2）由图象得 B(0，2)、C(4，0)、P(2，4)。 S△OBP＝×OB×2＝×2×2＝2（OB＝2，点 P 到 y 轴的距离为 2）； S△OPC＝×OC×4＝×4×4＝8（OC＝4，点 P 到 x 轴的距离为 4）； 所以四边形 OBPC 的面积为 2＋8＝10， S△PBC＝10－S△OBC＝10－×4×2＝10－4＝6。 （3）O(0，0)，C(4，0)，P(2，4)，以 OC＝4 为底，点 P 的纵坐标 4 为高， S△POC＝×4×4＝8。 24．如图，直线 l₁：y＝2x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 l₂：y＝－x＋5 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D，两直线交于点 P。 （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求点 P 的坐标及△PBC 的面积； （3）若点 Q 在 x 轴上，且△PBQ 的面积为 4，求点 Q 的坐标。 【答案】（1）A(－1，0)，B(0，2)，C(5，0)，D(0，5)；（2）P(1，4)，S△PBC＝6；（3）Q(3，0) 或 Q(－5，0) （1）令 y＝0 得 A(－1，0)，令 x＝0 得 B(0，2)；同理 C(5，0)，D(0，5)。 （2）由 2x＋2＝－x＋5 得 x＝1，y＝4，所以 P(1，4)。 S△PBC＝|0×(0－4)＋5×(4－2)＋1×(2－0)|＝|0＋10＋2|＝6。 （3）设 Q(t，0)。△PBQ 的三个顶点为 P(1，4)、B(0，2)、Q(t，0)，由坐标面积公式得 S△PBQ＝|0×(4－0)＋1×(0－2)＋t×(2－4)|， 即 S＝|－2－2t|＝|t＋1|。由 |t＋1|＝4 得 t＝3 或 t＝－5。 所以点 Q 的坐标为 (3，0) 或 (－5，0)。 （验证：Q(3，0) 时，B(0，2)、P(1，4)、Q(3，0) 组成的三角形面积为 4；Q(－5，0) 时同样为 4。） 5.4 二元一次方程与一次函数+5.5 三元一次方程组_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 二元一次方程与一次函数+5.5 三元一次方程组_课堂同步分层训练卷_空白卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为 5.4 二元一次方程与一次函数（方程组的解与图象交点、图象法解方程组、用图象解决简单问题）与 *5.5 三元一次方程组（定义、消元求解、简单应用）。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．把二元一次方程 2x－y＝3 变形为 y＝2x－3 后可知：这个方程的每一组解，都对应一次函数 y＝2x－3 图象上的一个点。下列各点中，在这个一次函数图象上的是（　） A．(1，－1) B．(－1，1) C．(2，3) D．(0，3) 2．下列方程组中，是三元一次方程组的是（　） A． B． C． D． 3．三元一次方程组 的解是（　） A．x＝3，y＝1，z＝2 B．x＝2，y＝1，z＝3 C．x＝1，y＝3，z＝2 D．x＝3，y＝2，z＝1 4．如图，直线 l₁：y＝－x＋5 与直线 l₂：y＝2x－1 交于点 P，则关于 x、y 的方程组 的解是（　） A． B． C． D． 5．解三元一次方程组 时，要消去未知数 y，下列做法正确的是（　） A．①＋②，①＋③ B．①＋②，②＋③ C．①－③，②－③ D．只能由①＋②消去 y 6．如图，直线 l₁：y＝2x＋1 与直线 l₂：y＝2x－3，则关于 x、y 的方程组 的解的情况是（　） A．有唯一一组解 B．无解 C．有无穷多组解 D．无法确定 7．三元一次方程组 的解中，x 的值为（　） A．2 B．3 C．4 D．5 8．已知关于 x、y 的方程组 的解是 ，且直线 y＝kx＋b 与 y 轴交于点 (0，1)，则 k、b 的值分别为（　） A．k＝2，b＝1 B．k＝1，b＝2 C．k＝3，b＝1 D．k＝2，b＝－1 9．已知 x、y、z 满足 ，则 x＋y＋z 的值为（　） A．8 B．9 C．10 D．12 10．如图，直线 y＝2x－4 与直线 y＝－x＋5 交于点 P，两直线分别与 y 轴交于点 A、B，则△PAB 的面积为（　） A．13.5 B．9 C．6.75 D．27 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．把二元一次方程 3x－y＝6 用含 x 的式子表示 y，得 y＝            ；若一次函数 y＝3x－6 图象上一点的横坐标为 2，则这个点的纵坐标为            。 12．三元一次方程组 的解是            。 13．如图，直线 y＝x＋1 与 y＝－x＋3 交于点 P，它们与 x 轴分别交于点 A、B，则△PAB 的面积为            。 14．已知 ，则 x＋y＋z＝            。 15．如图，直线 y＝2x 与 y＝－x＋3 交于点 P，直线 y＝－x＋3 与 x 轴交于点 A，则方程组 的解为            ，△POA 的面积为            。 16．已知 x、y、z 都是非零数，且满足 ，则 x∶y∶z＝            ，＝            。 三、解答题（共 46 分） 17．解三元一次方程组 。 18．如图，直线 l₁：y＝2x－2 与直线 l₂：y＝－x＋4 交于点 P，l₁ 与 x 轴交于点 A，l₂ 与 x 轴交于点 B。 （1）直接写出点 P 的坐标； （2）直接写出方程组 的解； （3）求△PAB 的面积。 19．小明在学习“二元一次方程与一次函数”时遇到这样的问题： 已知关于 x、y 的方程组 。 小明说：“我在图上看到两条直线交于点 (2，1)，所以这个方程组的解就是 ，不必再解方程。” （1）小明的说法是否正确？请说明理由； （2）若直线 y＝kx＋b 还经过点 (0，5)，求 k、b 的值，并验证 (2，1) 是这个方程组的解。 20．甲、乙、丙三个数的和是 41，甲数比乙数的 2 倍少 3，乙数比丙数大 4。求甲、乙、丙三个数。 21．已知直线 l₁：y＝2x－1，l₂：y＝－x＋5，l₃：y＝kx＋7。 （1）求 l₁ 与 l₂ 的交点 P 的坐标； （2）若 l₃ 也经过点 P，求 k 的值； （3）在（2）的条件下，求 l₃ 与 x 轴交点的坐标。 22．已知关于 x、y、z 的方程组 的解中，x、y、z 都是正整数，求 k 的值。 23．如图，直线 l₁：y＝x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 l₂：y＝－2x＋8 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PBC 的面积； （3）求△POC 的面积。 24．如图，直线 l₁：y＝2x＋2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 l₂：y＝－x＋5 与 x 轴、y 轴分别交于点 C、D，两直线交于点 P。 （1）求点 A、B、C、D 的坐标； （2）求点 P 的坐标及△PBC 的面积； （3）若点 Q 在 x 轴上，且△PBQ 的面积为 4，求点 Q 的坐标。 5.4 二元一次方程与一次函数+5.5 三元一次方程组_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $