5.4 二元一次方程与一次函数（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 本练习以“分层进阶”为核心，通过A组巩固基础、B组提升能力、C组拓展思维、中考链接实战的四层设计，构建从单一知识点到综合应用的知识巩固路径，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|求解析式、交点问题、图像面积等基础知识点|选择填空为主，解答题结合简单实际情境，夯实概念理解| |B组能力进阶|一次函数综合应用、图像信息分析|多步骤解答题，融入运动变化、方案优化等中档问题，提升推理能力| |C组思维拔高|新定义题型、跨知识综合|创新情境题（如“交换函数”），培养创新意识与批判性思维| |拓展链接中考|中考真题题型|对接中考考点，强化模型意识与应用能力|

分层作业 5.4 二元一次方程与一次函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一次函数解析式 题型02 方程组的解与两条直线的交点问题 题型03 求图像的面积 题型04 一次函数综合应用问题 题型05 图像信息的应用 题型06 新定义题型 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 求一次函数解析式题型01 一、单选题 1．已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 2．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … … … … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知关于的一次函数图象经过点和，则此函数的解析式为_____________． 4．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 三、解答题 5．求下列函数的表达式： (1)正比例函数的图象经过点． (2)一次函数的图象经过点和． 6．已知一次函数的图象如图所示，求这个函数的表达式． 7．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 8．某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用．场地费用b（元）固定不变，耗材费用与参赛人数x成正比例函数关系，这两部分的总费用为y（元）．已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 9．经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)当该经销商购进20千克草莓时，则付款多少元？ 方程组的解与两条直线的交点问题题型02 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 7．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 8．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 三、解答题 9．已知直线的解析式为，直线的解析式为，如图所示，它们相交于点． (1)b的值是______；关于x、y的方程组的解是______． (2)一次函数的图象是否也经过点P？请说明理由． 10．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，与一次函数的图象相交于点P． (1)求的值； (2)若点P的横坐标为1，求方程组的解． 11．在平面直角坐标系中，我们可以把二元一次方程的一个解用一个点来表示．标出若干个以该方程的解为坐标的点，过其中任意两点作直线，可以发现：这条直线上任意一点的坐标，都是方程的解；反之，方程的任意一个解对应的点，都在这条直线上． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线，则直线就是方程的图象． (1)请你判断在方程的图象上的点有________（填序号）； ①；②；③；④． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 求图像的面积题型03 一、单选题 1．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．与x轴的交点为 B．经过点 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．y的值随x的值的增大而减小 2．已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 二、填空题 4．求直线 与两坐标轴所围成图形的面积___________． 5．将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 6．如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 三、解答题 7．如图，已知函数和的图象相交于点P，点P的横坐标为1． (1)关于x，y的方程组的解是 ． (2)a的值为 ． (3)求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 9．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)的面积是__________； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 10．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 11．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若一次函数的图象与轴交于点，连接，补全图形，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 一次函数综合应用问题题型04 一、填空题 1．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 二、解答题 3．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 4．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 5．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． (1)已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (3)观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 (4)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 图像信息的应用题型05 一、解答题 1．某公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间满足函数关系式． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若该公园需要铺设广场砖的面积为，则选择哪个工程队花费更少？ 2．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 3．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是______； (2)求女子组与的函数关系式； (3)男子组追上女子组时，直接写出两组队员离终点的路程为______． 4．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)A，B两地的路程是______． (2)出发较早的是______，早______h． (3)到达较早的是______，早______h． (4)甲的速度为______，乙的速度为______． (5)乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时？ 5．某学校无人机科研小组对甲、乙两架无人机进行飞行试验．两架无人机从不同的高度同时起飞，匀速上升，当上升时，两架无人机的高度相同．两架无人机上升高度与上升时间之间的函数关系如图所示． (1)分别求甲、乙两架无人机的上升高度y与上升时间x之间的函数关系式． (2)上升多长时间时，甲无人机比乙无人机高? 6．甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． (1)求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 新定义题型题型06 一、解答题 1．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 2．综合与实践 问题情境： 乐器琴弦的振动频率决定音调高低，物理实验得出：在琴弦粗细、长度固定不变时，琴弦受到的拉力（张力）与振动频率的平方满足一次函数关系． 某实验小组取一根粗细、长度均相同的钢丝琴弦做测试，设琴弦拉力为（单位：N），琴弦振动频率的平方为（单位：）． 测得两组实验数据：拉力时，频率的平方；拉力时，频率的平方． 音乐常识： 频率的平方数值越大，音调越高；演奏时调节琴弦松紧，本质就是改变琴弦拉力大小． 解答问题： (1)设与满足一次函数，求出该一次函数的解析式； (2)若弹奏中音时，琴弦拉力为，利用解析式求出此时琴弦的振动频率的平方； (3)演奏乐曲时，中音音调高于中音．已知中音对应的琴弦拉力比中音大，且中音频率的平方恰好是中音频率的平方的倍，设中音拉力为，列方程求出的值，再分别算出中音、的振动频率的平方． 3．深圳科研团队通过绘制全球首个水稻超级泛基因组图谱，成功培育省工省力的“洁田稻”，实现无田“育种”的重大突破． 素材1 已知有两种水稻品种A和品种B，在某种条件下，若培育有株品种A和株品种B，共可获得万穗粒数；若培育有株品种A和株品种B，共可获得万穗粒数． 素材2 实验表明，在氮肥施用量（）范围内，品种A水稻单株穗粒数与近似满足一次函数关系．数据如下表所示： 氮肥施用量（千克） 0 3 6 9 … 品种A单株穗粒数（粒） … (1)求品种A和品种B的单株穗粒数分别是多少？ (2)请阅读素材2，回答下列问题： ①求出与的函数关系； ②为获得更有效的实验成果，某实验田计划培育万株品种A．在素材2的条件下，当氮肥施用量为多少千克时，该实验田可获得的A品种总穗粒数最大，最大为多少万粒？ 4．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果精加工的蔬菜吨数为x，销售利润为y元，试求出y与x之间的函数关系式． 5．已知、为常数，且，，我们称函数与互为“交换函数”，即函数是函数的“交换函数”，函数是函数的“交换函数” (1)一次函数的“交换函数”是 ； (2)在同一平面直角坐标系中，求一次函数的图象与其“交换函数”的图象的交点坐标； (3)若、为常数，且，直线，在平面直角坐标系中，将直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到直线，若直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，求、的值． 一、单选题 1．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 3．“漏壶”是中国古代一种全天候计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 5．一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为________． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 三、解答题 7．某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从下降至时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 8．如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)求的面积． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．直线（为常数，）与直线交于点，且点的横坐标为． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求的值； (3)将直线向上平移个单位长度，得到的新直线交轴于点，当时，求的值． 10．阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 11．学校与图书馆在同一条笔直的道路上，甲从学校去往图书馆，乙从图书馆去往学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，结果乙先到达学校．两人之间的距离与行走时间之间的函数关系如图所示． (1)当________时，甲乙两人相遇； (2)求所在直线对应的函数关系式； (3)当乙到达目的地后，甲又走了________分钟，两人相距． 12．葫芦岛，一座渤海之滨的滨海城市，龙湾公园是市民休闲散步的核心生态公园．图1是龙湾公园内一条游览路线示意图，小明、小亮两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，小明先出发，小亮出发时小明正好走到景点2，于是小亮沿着游览路线追赶小明．图2中，分别表示小明、小亮两人离开景点1的路程（单位：）与小亮的追赶时间（单位：）之间的关系，两人全程匀速行走，途经各个景点时均不停留． (1)求，的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，小明到达景点3后，沿远路前往景点4，小亮到达景点3后，沿近路前往景点4；问两人谁先到达景点4？请说明理由． 13．在长方形中，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图，点在上运动时，求关于的函数表达式； (2)如图，点在上运动时，求关于的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 14．小张和小李相约到羽毛球馆打球，原计划小张骑单车，小李步行，两人同时出发、小张去羽毛球馆需要路过小李家，当小张追上小李后，改变了骑行计划，决定和小李一起步行去羽毛球馆．如图是他们与小李家的距离，（单位：）与小张出发时间（单位：）之间的函数图象（小张和小李无论是骑行还是步行均视作匀速运动）． (1)小张的骑行速度为 ； (2)①小张骑行分钟时，是否追上了小李？若没有追上，请说明理由； ②求小张与小李家的距离与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）． 15．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 (1)表格中的值为______，的值为______； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 (3)观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 一、单选题 1．如图，直线分别与坐标轴交于、两点，点在线段上，连接，将沿线段所在的直线翻折，点落在线段上的点处，以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点的坐标是，正确的结论是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 2．车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 3．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 4．如图，直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，两条直线的交点为点，已知点坐标是，则下列结论中正确的是：____． ① ②点坐标是 ③的面积是 ④若点在直线上，且坐标是，则轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标是 三、解答题 5．某汽车公司在有A、B、C三点一条笔直的公路上测试两辆无人驾驶汽车，两车同时出发，无人快递车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地用0.5小时卸货后按原速继续驶向C地；无人出租车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以原速匀速经过B地驶向A地，快递车比出租车晚小时到达目的地．两车与B地的距离y（单位：千米）与无人快递车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)无人快递车出发多少小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米？请直接写出答案． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 7．如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 8．一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是______，客车行驶______小时到达地； (2)在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； (3)直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 9．我们知道，二元一次方程有无数组解．在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上． 例如：是方程的一个解，对应点．如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还对应点、……将这些点连起来正好在同一条直线上，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解，所以，这条直线就叫做方程的图象． 一般地，任意二元一次方程的解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问： (1)已知，，，则点______（填“A”，“B”或“C”）在方程的图象上． (2)求方程和方程图象的交点坐标． (3)以关于，的二元一次方程组的解为坐标的点在方程的图象上，且关于，的二元一次方程（为正整数）有且仅有两组正整数解（即，均为正整数），求的值． 10．综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， (1)直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． (2)如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 (3)如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 三、解答题 3．图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 4．山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 5．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.4 二元一次方程与一次函数 目 录 A组 巩固过关 题型01 求一次函数解析式 题型02 方程组的解与两条直线的交点问题 题型03 求图像的面积 题型04 一次函数综合应用问题 题型05 图像信息的应用 题型06 新定义题型 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 求一次函数解析式题型01 一、单选题 1．已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点和代入求解即可． 【详解】解：将点和代入，得： ， 解得：． 2．小明同学利用“描点法”画某个一次函数的图象时，列出的部分数据如表： … … … … 经过认真检查，发现其中有一个函数值计算错误，这个错误的函数值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】可借助待定系数法求出符合多数点的一次函数解析式，再结合一次函数图象上点的坐标特征核验所有给定数据，就能找出计算出错的函数值． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 选取表格中前两组坐标和代入解析式得， ， 解得， 一次函数解析式为． 将表格中剩余的值依次代入上述解析式，计算对应的值， 当时，代入得，和表格中给出的一致； 当时，代入得，和表格中给出的不一致； 当时，代入得，和表格中给出的一致； 可以看出，除对应的值外，其余所有点都满足该一次函数关系式，说明表格里错误的函数值为． 二、填空题 3．已知关于的一次函数图象经过点和，则此函数的解析式为_____________． 【答案】 【分析】将已知两点坐标代入一次函数一般式，利用待定系数法即可得到函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式为， 将点和代入解析式得， 解得， 因此该一次函数的解析式为． 4．如图，已知等腰直角的顶点B，C分别在x、y轴上，，点B的坐标是，C的坐标是，则直线的函数关系式为____________． 【答案】 【分析】作轴于点，先根据证明，从而得，即可得直线的函数关系式为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ， 为等腰直角三角形， ，， ， 又，即， ， 在与中， ， ， ，， 又，， ，， ， ， 设直线的函数关系式为， 把，代入，得， 解得：， 直线的函数关系式为． 三、解答题 5．求下列函数的表达式： (1)正比例函数的图象经过点． (2)一次函数的图象经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设正比例函数的表达式为，把代入，解方程求出的值，即可得出答案； （2）设一次函数的表达式为，把和代入，解方程组，求出、的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：设正比例函数的表达式为， ∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得：， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：设一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为． 6．已知一次函数的图象如图所示，求这个函数的表达式． 【答案】 【分析】根据待定系数法求解即可. 【详解】解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 7．如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求，两点的坐标； (2)过点作直线，与轴相交于点，求直线的函数表达式． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）令算出值得到轴交点坐标，令列方程求解值得到轴交点坐标． （2）先设一次函数一般式，把已知两点、坐标代入解析式得到二元一次方程组，解方程组求出、的值，代回式子得到直线函数表达式． 【详解】（1）解：在中，令得， ， 在中，令得： ， 解得， ． （2）设直线的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为． 8．某市举办一场中学生羽毛球比赛，场地和耗材需要一些费用．场地费用b（元）固定不变，耗材费用与参赛人数x成正比例函数关系，这两部分的总费用为y（元）．已知当时，；当时，． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)当支出总费用为3200元时，有多少人参加了比赛？ 【答案】(1) (2) 60人 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出时的自变量的值即可. 【详解】（1）解：设耗材费用与参赛人数的正比例系数为，则总费用； 将，和，分别代入，得： ， 解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：当时，， 解得， 答：有60人参加了比赛. 9．经销商准备从某草莓种植基地购进草莓进行销售，设经销商购进草莓千克，付款元，与之间的函数关系如图所示． (1)求出与之间的函数表达式； (2)当该经销商购进20千克草莓时，则付款多少元？ 【答案】(1) (2)420 【分析】（1）根据图示，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意，把代入解析式即可求解． 【详解】（1）解：当时，，， ∴设， ∴， 解得，； 当时，，，，， ∴设， ∴， 解得，， ∴； 综上，； （2）解：当购进20千克草莓时，， ∴付款为420元． 方程组的解与两条直线的交点问题题型02 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，直线与的交点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两直线交点的坐标同时满足两个直线的解析式，联立解析式求解即可得到交点坐标． 【详解】解：联立， 解得， ∴ 两直线交点坐标为． 2．在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于的方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线交点坐标与对应二元一次方程组解的关系求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵直线与相交于点， ∴该方程组的解为． 3．如图，直线与的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵直线与的图象交于点， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 4．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则方程组的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方程组的解即为两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，一次函数与的图象交点为， 则方程组的解为，即方程组的解为． 二、填空题 6．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据直线过点求出b的值，得到交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴直线与的交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 即的解为． 7．已知一次函数（，为常数，且）与正比例函数的图象交于点，则关于，的二元一次方程组的解是________． 【答案】 【分析】二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标，先求出交点的横坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：把代入，得， 解得， 点坐标为． 将原方程组变形可得， 该方程组的解就是两个一次函数图象交点的坐标，即原二元一次方程组的解为． 8．如图，直线与交点的横坐标为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】先将横坐标为1代入解得两直线交点坐标，再结合图像得出关于，的方程组的解为． 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 故答案为：． 三、解答题 9．已知直线的解析式为，直线的解析式为，如图所示，它们相交于点． (1)b的值是______；关于x、y的方程组的解是______． (2)一次函数的图象是否也经过点P？请说明理由． 【答案】(1)；； (2)直线经过点P．理由如下： 因为经过点， 所以， 所以直线也经过P点． 【分析】（1）直接把代入求出b的值，再利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】（1）解：把代入得； 即交点坐标为， 所以方程组的解为． （2）略 10．如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于点，与一次函数的图象相交于点P． (1)求的值； (2)若点P的横坐标为1，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法求得函数解析式，即可求解； （2）根据二元一次方程组的解为所对的一次函数的交点横纵坐标即可求解． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得：， （2）解：∵点P的横坐标为1， ∴当时，， 则点， ∵一次函数与一次函数的图象相交于点， ∴方程组的解为． 11．在平面直角坐标系中，我们可以把二元一次方程的一个解用一个点来表示．标出若干个以该方程的解为坐标的点，过其中任意两点作直线，可以发现：这条直线上任意一点的坐标，都是方程的解；反之，方程的任意一个解对应的点，都在这条直线上． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象． 结论：一般地，在平面直角坐标系中，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，然后作出直线，则直线就是方程的图象． (1)请你判断在方程的图象上的点有________（填序号）； ①；②；③；④． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程的图象；观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【答案】(1)②④ (2)；， 【分析】（1）取x的值，求出对应的y值即可判断； （2）利用两点确定一条直线，画直线，利用画出的图象写出交点坐标，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标即可得到方程组的解． 【详解】（1）解：在中， 令，则，故①不在方程的图象上； 令，则，故②在方程的图象上； 令，则，故③不在方程的图象上； 令，则，故④在方程的图象上； 故答案为：②④； （2）解：如图所示，取点，作出的图象， 取点，作出的图象； 观察图象，两条直线的交点坐标为，由此得出这个二元一次方程组的解是． 求图像的面积题型03 一、单选题 1．关于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．与x轴的交点为 B．经过点 C．与坐标轴围成的图形面积为 D．y的值随x的值的增大而减小 【答案】D 【分析】根据一次函数和坐标轴交点的坐标，图形面积，一次函数的增减性，逐一验证各选项即可得出结论. 【详解】解：对于选项A，令，代入得，解得， 因此函数与x轴交点为，A错误； 对于选项B，将代入，得，因此函数不经过点，B错误； 对于选项C，可得函数与x轴交点为，与y轴交点为，围成的图形是直角三角形，面积，C错误； 对于选项D，一次函数中，，因此的值随的值增大而减小，D正确. 2．已知直线与x轴交于点A，与直线交于点B．则的面积为（     ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题先根据x轴上点的坐标特征求出点A的坐标，再联立两条直线的解析式求出交点B的坐标，最后利用三角形面积公式计算的面积. 【详解】解：∵ ∴当时，，解得， ∴，即， 联立，解得， ∴交点的坐标为， ∵为坐标原点，在x轴上， ∴. 3．如图，直线与直线交于点A，两条直线分别交x轴于点B，点C，则 的面积为（     ） A． B．5 C． D．7 【答案】A 【分析】联立两个函数求出交点，然后分别求出，，结合图形求面积即可． 【详解】解：联立， 解得：， ∴交点； ， 当时，， ∴与x轴交于点， ，当时，， ∴与x轴交于点， ∴， ∴． 二、填空题 4．求直线 与两坐标轴所围成图形的面积___________． 【答案】/ 【分析】分别求出与坐标轴的交点，再根据面积公式计算即可． 【详解】解：令，则，故与轴交于点， 则， 令，即，解得，故与轴交于点， 则， 所以围成图形的面积． 5．将直线向下平移3个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于、两点，点为坐标原点，则______． 【答案】 【分析】先根据直线平移规律得到平移后的解析式，再分别求出直线与轴、轴交点、坐标，最后利用直角三角形面积公式计算面积． 【详解】解：直线上下平移规律：向下平移个单位，解析式变为 ， 原直线：，向下平移3个单位 ， 时，， ； 时，， ， ， ， ． 6．如图，点、，直线l经过原点，与线段交于点C，把的面积分成两部分，则直线l的解析式为：_________________． 【答案】或 【分析】先算出的面积为，直线的解析式为．按面积比分两种情况：①，算出，得直线解析式为；②，算出，得直线解析式为． 【详解】解：由题意得，，，是直角三角形， ∴， 设直线的解析式为， 将、代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点在上， ∴坐标为， ∵直线过原点，将分成面积比为的两部分， ∴可分为两种情况，如下： （1）， 此时，， ∴， 解得， 将代入中，得， ∴点的坐标为， （2）， 此时，， 同理可得，， 解得， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵直线过原点，设解析式为， 当时，代入得 解得， ∴， 当时，代入得， 解得， ∴， 综上所述，直线l解析式为或． 三、解答题 7．如图，已知函数和的图象相交于点P，点P的横坐标为1． (1)关于x，y的方程组的解是 ． (2)a的值为 ． (3)求出函数和的图象与x轴围成的几何图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)4 【分析】（1）先求出两条直线的交点坐标，进而得出答案； （2）将点代入可解答； （3）先求出两条直线与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点． ∵函数和的图象相交于点， ∴方程组的解是； （2）解：将点代入，得， 解得； （3）解：由（2）知， 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为； 当时，解得，可知直线与x轴交点坐标为， ∴两条直线与x轴围成的三角形的面积是． 8．已知一次函数的图象经过，两点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)画出这个一次函数的图象； (3)求一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标； (4)该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)一次函数的图象如下： (3)图象与轴交于点，与y轴交于点 (4) 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用“两点法”画出函数图象即可； （3）分别令，，即可求解； （4）利用三角形的面积公式解答即可． 【详解】（1）解：设这个一次函数的解析式为：， 将点，代入上式得∶ ， 解得 ， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）略 （3）解：对于，当时， ， ∴图象与y轴交点坐标， 当时， ，则 ∴图象与轴交于点； （4）解：∵图象与轴交于点，与y轴交点坐标， 该直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为． 9．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________； (2)的面积是__________； (3)直线与直线、直线分别交于点、点，当时，直接写出的值：__________ 【答案】(1)； (2)3 (3)或 【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点和两个一次函数的交点坐标求法，即可求解； （2）先求得点的坐标，再结合（1）的点的坐标，即可求解； （3）由题意可得，，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴； ∵直线与直线相交于点， 联立，得， 解得， ∴． （2）解：∵直线与轴交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵直线与直线、直线分别交于点、点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 整理得，或， 解得或， ∴的值为或． 10．在平面直角坐标系中，直线分别交，轴于，两点，直线过点，交轴于点，交直线于点，其中点的横坐标为1． (1)求直线的函数表达式； (2)连接，求的面积； (3)点是轴上一点，且，写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】首先求出，然后利用待定系数法解答即可； 先求出，，然后通过即可求解； 设，则，然后求出的值即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 设，将代入得，解得， ∴的解析式为：； （2）解：如图， 令，则，得；令，； ∴，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵， ∴设， ∴， ∴，解得或， ∴坐标为或． 11．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2)求的面积； (3)在轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)若一次函数的图象与轴交于点，连接，补全图形，试判断是否是直角三角形，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)8 (3)存在，点P的坐标为或 (4)不是直角三角形 理由：如图，连接， 当时，，解得， ， ，， ，，， ， 不是直角三角形. 【分析】（1）将点C横坐标代入求出纵坐标，即可得到C点坐标；利用待定系数法，求解解析式； （2）先求出点A坐标，得到长度，再以为底、点C横坐标的绝对值为高，利用三角形面积公式求解． （3）利用三角形面积公式即可求得； （4）先求出点D的坐标，根据两点间距离公式求出、、，然后根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 设一次函数的解析式为， 把，代入得， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：当时，， ， ， ， ，即中边上的高为2， ． 即的面积为8； （3）解：存在，理由如下： 设P点坐标为， ， ， ， ， ， 或， 解得或， 点P的坐标为或； （4）略 一次函数综合应用问题题型04 一、填空题 1．已知关于x，y的二元一次方程组无解，则k的值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组与一次函数的综合问题． 二元一次方程组无解的条件是两条直线平行，即x的系数相等但b不等，通过令k相等求解k的值． 【详解】解：由方程组无解，得直线与直线平行，故x的系数相等，即 ． 解方程： ， 移项得： ， 即：， 解得：． 故答案为：． 2．无论k为何值，一次函数的图像恒过定点_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． 将一次函数解析式化为关于k的一元一次方程，根据方程有无数解解答即可． 【详解】解：函数可化为， ∵无论k为何值，一次函数的图像恒过一定点， ∴， 解得， ∴无论k为何值，一次函数的图像恒过定点． 故答案为：． 二、解答题 3．【综合与实践】某校七年级数学课外实践活动小组进行了有关二元一次方程的探究活动． 【数学探究】我们知道，每一个二元一次方程都有无数个解．有时根据研究的需要，可以列举出二元一次方程的有限个解．如，二元一次方程也可写成的形式，用表格呈现它的部分解（如下表）： … … … … 我们把的每一个解中的值看作点的横坐标，值看作点的纵坐标，这样每一个解就可以看作成一个点的坐标．即，，，，，，． (1)请你在平面直角坐标系（图）中描出这些点． 【数学发现】 某同学经过反复验证及论证，发现正确结论“这些点在同一条直线上”，即以方程的每一个解看作成一个点的坐标，这些点组成直线．也就是说，方程的每一个解看作一个点的坐标，这些点都在直线上．反过来直线上每一个点的坐标都是方程的解．类似的，可以画出直线，点在直线上，那么是二元一次方程的解．由此可见，点既在直线上，又在直线上，那么直线与的交点坐标是，二元一次方程组的解是． 【数学应用】 (2)已知二元一次方程组的解是，那么直线与的交点坐标是________． 【拓展延伸】 (3)①在同一平面直角坐标系中，二元一次方程的图象和的图象，如图所示．请根据图象，直接判断方程组的解的情况是________． ②已知点，在二元一次方程的图象上，求的值． 【答案】(1)描点见解析 (2) (3)①无解；②， 【分析】（）在平面直角坐标系中描点即可； （）根据二元一次方程组的解即为两直线交点的横纵坐标求解即可； （）①根据图象解答即可； ②把点的坐标代入方程，得到关于和的二元一次方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：描点如图所示： （2）解：∵二元一次方程组的解是， 那么直线与的交点坐标是； （3）解：①由图象可知，图象和图象平行， ∴方程组无解； ②把和代入方程， 得， 解得， 即，． 4．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】 x … 0 1 2 … … 6 m 2 n 2 4 6 … (1)表格中m的值为________，n的值为________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． (3)【探究性质】观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，y的值随x值的增大而增大； ③当时，该函数存在最小值，最小值为0； ④当时，． 其中的正确的是_________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解_________． 【答案】(1)m的值为4，n的值为0 (2) 作图如图： (3)①②③ (4) 作图如图： ， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）略 （3）解：由图可知 函数图象关于直线对称，是轴对称图形，故①正确； 由图可知 当时，，随的增大而增大，故②正确； 由图可知当时，取得最小值，故③正确； 当时，，解得或，并非只有，故④错误； 综上，正确的是①②③； （4）解：当时，，解得， 当时，，解得， 方程组的解就是两个函数图象的交点坐标， 因此方程组的解为： 和 ． 5．【课本再现】 七年级下册教材中我们曾探究过“以方程的解为坐标（的值为横坐标、的值为纵坐标）的点的特性”，了解了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系． 规定：以方程的解为坐标的所有点的全体叫做方程的图象； 结论：一般的，任何一个二元一次方程的图象都是一条直线． 示例：如图，我们在画方程的图象时，可以取点和，作出直线． (1)已知，则点________（填“或或”）在方程的图象上． (2)请你在图所给的平面直角坐标系中画出二元一次方程组中的两个二元一次方程的图象．（提示：依据“两点确定一条直线”，画出图象即可，无需写过程）； (3)观察图象，两条直线的交点坐标为________，由此你得出这个二元一次方程组的解是________． 【拓展延伸】 (4)已知二元一次方程的图象经过两点和，试求的值． 【答案】(1) (2) 画图如图， (3)，； (4)的值为2，的值为． 【分析】本题考查了二元一次方程的解与其图象上点的坐标的关系，解二元一次方程组，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）把分别代入方程中，判断方程左右两边是否相等即可； （2）分别取两个点，让它们的坐标满足方程和，然后过两点画直线即可； （3）观察图象即可求解； （4）把两点和代入，然后解方程组即可． 【详解】（1）解：∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点不在方程的图象上； ∵当时，，解得， ∴点在方程的图象上； 故答案为：； （2）解：由可得， 当时，；当时，，即点，； 由得， 当时，；当时，，即点，； （3）解：观察图象可得两条直线的交点坐标为， 这个二元一次方程组的解是， 故答案为：，； （4）解：∵二元一次方程的图象经过两点和， ∴， 解得：， ∴的值为2，的值为． 图像信息的应用题型05 一、解答题 1．某公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间满足函数关系式． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若该公园需要铺设广场砖的面积为，则选择哪个工程队花费更少？ 【答案】(1) (2)选择甲工程队花费更少 【分析】（1）观察图象，当时，的图象是一条直线，且经过两点，因此先设函数解析式，将两个已知点代入解析式联立方程，求出k、b的值，即可得到关于的函数解析式． （2）分别计算甲、乙两工程队的费用，因为，所以使用时，关于的函数解析式为计算，乙工程队费用根据计算，然后将两工程队的费用进行比较，得出花费更少的即可． 【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为， 由图像可知，该函数图像经过点和， 将这两点坐标代入解析式，得： ， 解得， 所以，当时，关于的函数解析式为． （2） 当时， 甲工程队的费用为：（元）， 乙工程队的费用为：（元）． ∵， ∴选择甲工程队花费更少． 2．蜡烛在燃烧过程中会消耗氧气，因此，将蜡烛放在封闭容器中，随着燃烧时间的不断增长，容器内的氧气含量越来越低．当容器内的含氧量约为时，蜡烛会熄灭．使用氧气含量检测仪器定时测量封闭容器中的氧气含量，得到封闭容器内的氧气含量（单位：）与蜡烛的燃烧时间（单位：）之间的关系如图所示． (1)求蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式； (2)当蜡烛燃烧多长时间时，会因为氧气不足而熄灭？ 【答案】(1) (2) 【分析】利用待定系数法求出一次函数解析式，再代入已知函数值求解对应的自变量即可． 【详解】（1）解：设蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为，将，代入，得， 解得， 蜡烛熄灭前，与之间的函数解析式为． （2）解：当时，， 解得． 答：当蜡烛燃烧时，会因为氧气不足而熄灭． 3．某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了时，男子组恰好跑了．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为．男、女两组队员跑步的路程（单位：）与匀速跑的时间（单位：）的图象如图所示． (1)此次跑步训练的全程是______； (2)求女子组与的函数关系式； (3)男子组追上女子组时，直接写出两组队员离终点的路程为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用男子组的速度乘以匀速跑所用的时间再加上已经跑过的路程，进行求解即可； （2）由图象可知，女子组是关于的一次函数，所以设一次函数解析式，然后代点，解方程组即可； （3）求出男子组的函数关系式，联立两个解析式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，男子组匀速跑所用的时间为， ∵男子组匀速跑的速度为， ∴男子组匀速跑的路程为， ∴此次跑步训练的全程是； （2）解：由图象可知，女子组是关于的一次函数， ∴设女子组与的函数关系式为， 且图象过点， 所以把它们代入中得， ，解得， ∴女子组与的函数关系式为； （3）解：由图象可知，男子组也是关于的一次函数， ∴设男子组与的函数关系式为， 且图象过点， 所以把它们代入中得， ，解得， ∴男子组与的函数关系式为． 联立：，解得， ∴， ∴男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为． 4．甲骑自行车，乙骑摩托车，沿相同路线由A地到B地，行驶路程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的关系如图所示．根据图象回答下列问题： (1)A，B两地的路程是______． (2)出发较早的是______，早______h． (3)到达较早的是______，早______h． (4)甲的速度为______，乙的速度为______． (5)乙在距A地多少千米处追上甲？此时甲行驶了多少小时？ 【答案】(1)80 (2)甲，3 (3)乙，3 (4)， (5)乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时 【分析】（1）（2）（3）根据图象中的数据直接求解即可； （4）根据路程、速度、时间之间的关系求解即可； （5）利用待定系数法求得甲、乙对应图象的函数表达式，进而可求解． 【详解】（1）解：由图象知，A，B两地的路程是； （2）解：由图知，出发较早的是甲，早； （3）解：由图知，到达较早的是乙，早； （4）解：由图象知，甲的速度为； 乙的速度为； （5）解：由图象，甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点代入，得，解得， ∴甲的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为； 设乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴乙的行驶路程y与行驶时间t的函数表达式为， 联立方程组，解得， 答：乙在距A地40千米处追上甲，此时甲行驶了4小时． 5．某学校无人机科研小组对甲、乙两架无人机进行飞行试验．两架无人机从不同的高度同时起飞，匀速上升，当上升时，两架无人机的高度相同．两架无人机上升高度与上升时间之间的函数关系如图所示． (1)分别求甲、乙两架无人机的上升高度y与上升时间x之间的函数关系式． (2)上升多长时间时，甲无人机比乙无人机高? 【答案】(1)； (2)上升时，甲无人机比乙无人机高 【分析】（1）由图象读出甲、乙经过的点，用待定系数法求解析式即可； （2）令列方程求解即可． 【详解】（1）解：设，由图可知过，代入得 ， 解得， ∴； 设，由图可知过、，代入得 ， 解得， ∴； （2）解：由题意得，即， 解得， ∴上升时，甲无人机比乙无人机高． 6．甲、乙两人同时从相距90千米的地前往地，甲乘汽车，乙骑摩托车，甲到达地停留半小时后返回地．如图是他们离地的距离（千米）与时间（）之间的函数关系图象． (1)求甲从地返回地的过程中，直接写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围； (2)若乙出发后108分钟和甲相遇，求乙从地到地用了多少分钟． 【答案】(1) (2)分钟 【分析】（1）结合图象得出点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据一次函数解析式求出乙的行驶距离，然后求出速度，即可得出时间． 【详解】（1）解：假设甲从地返回地的过程中的函数关系式为， 由图可得和，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：108分钟小时， 当时，（千米）， ∴乙的速度为（千米分钟）， ∴乙从地到地用时为（分钟）， ∴乙从地到地用了分钟． 新定义题型题型06 一、解答题 1．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 【答案】(1)b的值为，c的值为1 (2)①1；② 【分析】（1）根据已知条件将点和分别代入图象为L的函数解析式即可求得结果； （2）①先将已知条件代入，得到图象为L的函数解析式，点T的坐标和直线的解析式，再分别令，求得点M和点N的坐标，从而利用纵坐标之差求出线段的长度； （3）根据题意先分析出和的图象，再由点M和点N不重合得到，从而分情况讨论出线段的表达式，最后对线段进行分类讨论，结合图象并利用解一元一次不等式求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵L经过点， ∴，解得：， 又∵L经过点，且， ∴，解得：， ∴b的值为，c的值为1． （2）解：①由（1）知，， 当，时， ，，直线为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴； ②由题意知， 如图，当时： ∴与均呈上升趋势， ∵点M和点N不重合， ∴， 又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N， 如图，此时分情况讨论： （i）当时，； （ii）当时，， 同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同， 对于线段的长进行分类讨论： （i）如图，当时， 此时恒成立，存在最小值，在取得， ∴； （ii）如图，当时， ∴， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是； （iii）如图，当时， ∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值， ∴此时恒不成立， 综上所述，a的取值范围是． 2．综合与实践 问题情境： 乐器琴弦的振动频率决定音调高低，物理实验得出：在琴弦粗细、长度固定不变时，琴弦受到的拉力（张力）与振动频率的平方满足一次函数关系． 某实验小组取一根粗细、长度均相同的钢丝琴弦做测试，设琴弦拉力为（单位：N），琴弦振动频率的平方为（单位：）． 测得两组实验数据：拉力时，频率的平方；拉力时，频率的平方． 音乐常识： 频率的平方数值越大，音调越高；演奏时调节琴弦松紧，本质就是改变琴弦拉力大小． 解答问题： (1)设与满足一次函数，求出该一次函数的解析式； (2)若弹奏中音时，琴弦拉力为，利用解析式求出此时琴弦的振动频率的平方； (3)演奏乐曲时，中音音调高于中音．已知中音对应的琴弦拉力比中音大，且中音频率的平方恰好是中音频率的平方的倍，设中音拉力为，列方程求出的值，再分别算出中音、的振动频率的平方． 【答案】(1)一次函数解析式为． (2)此时琴弦的振动频率的平方为． (3)的值为，中音的振动频率的平方为，中音的振动频率的平方为． 【分析】（1）根据已知条件把两组数据代入，求出，即求出一次函数的解析式． （2）把代入解析式，求出即可； （3）根据已知条件得出中音对应频率的平方：，中音对应频率的平方：，又因为频率的平方频率的平方，求出，由此即可得答案． 【详解】（1）解：已知一次函数：，由题意 得： 解得： 解析式为：； （2）解：把代入解析式，得； （3）解：中音拉力： ，对应频率的平方：， 中音拉力： ，对应频率的平方：， 频率的平方频率的平方， ， 解得：， 中音频率的平方：， 中音拉力：， 中音频率的平方：． 3．深圳科研团队通过绘制全球首个水稻超级泛基因组图谱，成功培育省工省力的“洁田稻”，实现无田“育种”的重大突破． 素材1 已知有两种水稻品种A和品种B，在某种条件下，若培育有株品种A和株品种B，共可获得万穗粒数；若培育有株品种A和株品种B，共可获得万穗粒数． 素材2 实验表明，在氮肥施用量（）范围内，品种A水稻单株穗粒数与近似满足一次函数关系．数据如下表所示： 氮肥施用量（千克） 0 3 6 9 … 品种A单株穗粒数（粒） … (1)求品种A和品种B的单株穗粒数分别是多少？ (2)请阅读素材2，回答下列问题： ①求出与的函数关系； ②为获得更有效的实验成果，某实验田计划培育万株品种A．在素材2的条件下，当氮肥施用量为多少千克时，该实验田可获得的A品种总穗粒数最大，最大为多少万粒？ 【答案】(1)品种A单株穗粒数为粒，品种B单株穗粒数为粒 (2)①（）；②当氮肥施用量为时，该实验田A品种总穗粒数最大，最大为万粒 【分析】（1）设品种A单株穗粒数为粒，品种B单株穗粒数为粒，根据两组培育数量对应的总穗粒数列出二元一次方程组，利用加减消元法求解即可； （2）①利用描点法推出与符合一次函数关系，利用待定系数法求出参数即可得到与的函数关系；②根据一次函数斜率判断函数增减性，结合的取值范围确定取最大值时对应的，再用单株最大穗粒数乘以培育株数，算出总穗粒数最大值． 【详解】（1）解：设品种A单株穗粒数为粒，品种B单株穗粒数为粒， 由题意得， 得， 得， 得，解得， 把代入①得，解得， 故原方程组的解为， 答：品种A单株穗粒数为粒，品种B单株穗粒数为粒； （2）解：①如图， 由图像可得与的函数关系符合一次函数， 故设，代入和得，解得， （）； ②， 当时，取最大值，为， ， 当培育万株品种A时，总穗粒数为万粒， 答：当氮肥施用量为时，该实验田A品种总穗粒数最大，最大为万粒． 4．一家蔬菜公司收购到某种绿色蔬菜140吨，准备加工后进行销售，销售后获利的情况如下表所示： 销售方式 粗加工后销售 精加工后销售 每吨获利（元） 1000 2000 已知该公司的加工能力是：每天能精加工5吨或粗加工15吨，但两种加工不能同时进行．受季节等条件的限制，公司必须在一定时间内将这批蔬菜全部加工后销售完． (1)如果要求12天刚好加工完140吨蔬菜，则公司应安排几天精加工，几天粗加工？ (2)如果精加工的蔬菜吨数为x，销售利润为y元，试求出y与x之间的函数关系式． 【答案】(1) 应安排4天进行精加工，8天进行粗加工 (2) 【分析】（1）设应安排天进行精加工，天进行粗加工，根据题意列二元一次方程组，求解即可； （2）由题意得精加工的蔬菜吨数为，则粗加工的蔬菜吨数为，列出销售利润y与精加工的蔬菜吨数x的函数关系． 【详解】（1）解：设应安排天进行精加工，天进行粗加工， 根据题意得，， 解得， 答：应安排4天进行精加工，8天进行粗加工； （2）解：由题意得精加工的蔬菜吨数为，则粗加工的蔬菜吨数为， ， y与x之间的函数关系式为：． 5．已知、为常数，且，，我们称函数与互为“交换函数”，即函数是函数的“交换函数”，函数是函数的“交换函数” (1)一次函数的“交换函数”是 ； (2)在同一平面直角坐标系中，求一次函数的图象与其“交换函数”的图象的交点坐标； (3)若、为常数，且，直线，在平面直角坐标系中，将直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后得到直线，若直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，求、的值． 【答案】(1) (2)一次函数与其“交换函数”的交点坐标为 (3) 【分析】（1）根据“交换函数”的定义，即可求解； （2）根据“交换函数”的定义，可得一次函数的“交换函数”是，再令，可求出x，y的值，即可求解； （3）根据平移的性质可得对应的函数解析式，再根据直线对应的函数与一次函数互为“交换函数”，即可求解． 【详解】（1）一次函数的“交换函数”是； （2）解：由题意得：一次函数的“交换函数”是，     令，解得， 将代入，得， 一次函数与其“交换函数”的交点坐标为． （3）解：直线先向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到直线， 对应的函数解析式为，         与互为“交换函数”， ， 解得． 一、单选题 1．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线与相交于点求得，即可得到关于的方程的解． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴关于的方程的解是． 2．在平面直角坐标系中，将直线（k为常数，且）先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到直线（b为常数），则下列说法错误的是（     ） A． B．若点，在直线上，且，则 C．直线一定经过第一象限 D．若直线不经过第四象限，则 【答案】D 【分析】由一次函数平移规律得出平移后解析式，得到与的关系式，再结合一次函数性质判断各选项. 【详解】解：将直线向右平移1个单位长度，得，再向上平移3个单位长度，得， ∴，A正确； ∵点，在直线上， ∴，， ∴， ∵， ∴， 即，B正确； 将代入，得， ∴直线恒过定点，该点在第一象限， ∴直线一定经过第一象限，C正确； 若直线不经过第四象限，则需满足且，即且， 解得，故D错误． 3．“漏壶”是中国古代一种全天候计时器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用待定系数法确定水面高度与漏水时间的函数关系，再把代入高度与漏水时间的函数关系，即可计算出水面高度从变化到所用的时间． 【详解】解：设壶中水面高度与漏水时间的函数解析式为， 把点，分别代入， 得， 解得， 高度与漏水时间的函数解析式为， 把代入， 得， 解得， 故水面高度从变化到所用的时间是． 二、填空题 4．已知直线与的交点的坐标为，则关于的二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】根据直线过点求出b的值，得到交点坐标为，即可得到函数解析式组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线过点， ∴， ∴直线与的交点的坐标为， ∴关于的二元一次方程组的解为， 即的解为． 5．一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点，则b的值为________． 【答案】4 【分析】由一次函数图象的平移法则：上加下减，左加右减，得出新的一次函数解析式为，再将代入，计算即可得出结果． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移3个单位长度后，得到的新的一次函数解析式为， ∵一次函数的图象向下平移3个单位长度后，恰好经过点， ∴将代入得， ∴． 6．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，．若为直线上一动点，的面积为2，则点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，再根据，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标分别为，， ∴设直线的解析式为：， 把，代入，得：，解得：， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 三、解答题 7．某款新能源纯电动汽车充满电后，仪表盘上剩余电量的显示值与行驶路程x（单位：）的函数关系如图所示，请根据图象解答下列问题： (1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在（1）中所求函数关系式中常数项的实际意义是什么？ (3)若该款新能源纯电动汽车在高速公路上以的速度匀速行驶，仪表盘上剩余电量的显示值从下降至时，该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了多长时间？ 【答案】(1)，； (2)该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为 (3)该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了 【分析】（1）利用待定系数法求解析式并根据实际意义求出自变量的取值范围； （2）常数项的实际意义为该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为； （3）求出剩余电量的显示值从下降至时行驶的里程，除以速度即为所求时间． 【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为， 由题意可得 解得 ∴y与x的函数关系式为， 当时，， ∴x的取值范围是； （2）解：y与x的函数关系式中常数项的实际意义：该新能源纯电动汽车充满电时，仪表盘上剩余电量的显示值为； （3）解：在中， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴仪表盘上剩余电量的显示值从下降至时， 汽车行驶的路程为， ， 答：该款新能源纯电动汽车在高速公路上行驶了． 8．如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． (1)求直线的解析式和点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解方程组以及割补法求面积： （1）利用待定系数法求解析式，联立两直线的解析式解方程组即可得到交点； （2）先求出点的坐标，再确定的长，的面积减去的面积即为的面积． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点和点代入， 得， 解得：， 直线的解析式为． ，相交于点， ， 解得：， ． （2）解：当时， ， 解得：， ， ， ． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、．直线（为常数，）与直线交于点，且点的横坐标为． (1)点的坐标是________，点的坐标是________； (2)求的值； (3)将直线向上平移个单位长度，得到的新直线交轴于点，当时，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）在直线中，令，求出值，可得点的坐标，令，求出值，可得点的坐标； （2）将代入可求出点的坐标，再将点的坐标代入直线，即可求解； （3）先求出，根据一次函数的平移规律得到直线对应的函数解析式为，进而得到，则，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：在直线中， 令，则， 解得， 令，则， ，； （2）解：将代入，得， ， 将点代入， 得， 解得； （3）解：， ， 直线向上平移个单位长度得到直线，且直线， 直线对应的函数解析式为， 当时，， 解得， ， ， ， 点在点的左侧， ， ， ， 解得． 10．阅读与理解 【阅读材料】 一次函数的图象是一条直线，通常也称为直线，其中称为直线的斜率，若直线上有两点和则．特别地，当直线与直线互相垂直时，． 【理解运用】 (1)已知点，，其中m为常数，且．若直线与直线垂直，求的值； (2)判定点，，三点构成的是否是直角三角形？并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【分析】（1）先根据两点坐标求直线的斜率，再结合垂直关系列方程求解． （2）分别计算三角形三边所在直线的斜率，通过验证斜率乘积判断是否存在垂直关系，进而判断三角形形状． 【详解】（1）解∶ ∵，，， ∴根据斜率公式，直线的斜率为， ∵直线的斜率为，直线与该直线垂直， ∴根据题意得 ， ∴， 解得； （2）解：∵，，， ∴， ∴， 即， ∴ 是直角三角形． 11．学校与图书馆在同一条笔直的道路上，甲从学校去往图书馆，乙从图书馆去往学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，结果乙先到达学校．两人之间的距离与行走时间之间的函数关系如图所示． (1)当________时，甲乙两人相遇； (2)求所在直线对应的函数关系式； (3)当乙到达目的地后，甲又走了________分钟，两人相距． 【答案】(1) (2) (3)8 【分析】（1）根据函数图象即可求解； （2）利用待定系数法求函数关系式即可； （3）根据题意，令求解即可． 【详解】（1）解：由图可知时，， 故当时，甲乙两人相遇； （2）解：设所在直线对应的函数关系式， 又， ，解得， 则所在直线对应的函数关系式； （3）解：由函数图象可知乙在时到达学校， 令，解得， 故当乙到达目的地后，甲又走了8分钟，两人相距． 12．葫芦岛，一座渤海之滨的滨海城市，龙湾公园是市民休闲散步的核心生态公园．图1是龙湾公园内一条游览路线示意图，小明、小亮两人约定的游览路线为：景点1→景点2→景点3→景点4→景点5，小明先出发，小亮出发时小明正好走到景点2，于是小亮沿着游览路线追赶小明．图2中，分别表示小明、小亮两人离开景点1的路程（单位：）与小亮的追赶时间（单位：）之间的关系，两人全程匀速行走，途经各个景点时均不停留． (1)求，的函数表达式； (2)如图1，景点3到景点4有两条道路，小明到达景点3后，沿远路前往景点4，小亮到达景点3后，沿近路前往景点4；问两人谁先到达景点4？请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为；直线的函数表达式为 (2)小亮先到达景点4． 理由如下： 由题意可知：小明从景点1到景点4走远路的路程为， 小亮从景点1到景点4走近路的路程为， 关于小明：将代入，得，即小明在小亮出发44分钟时到达景点4， 关于小亮：将代入，得，即小亮出发41分钟时到达景点4， ， ∴小亮比小明先到达景点4． 【分析】（1）根据待定系数法，即可求解； （2）先求得小明从景点1到景点4走远路的总路程和小亮从景点1到景点4走近路的总路程，再分别代入函数表达式求出相应的时间，即可判断． 【详解】（1）解：（1）设直线的解析式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为， 设直线对应的函数表达式为（）， 把代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． （2）略 13．在长方形中，，，，点从点出发以每秒个单位长度的速度沿方向运动，当点运动到点时停止运动．设运动时间秒，的面积为． (1)如图，点在上运动时，求关于的函数表达式； (2)如图，点在上运动时，求关于的函数表达式； (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)， (2)，； (3)的值为2或 【详解】（1）当点在上运动时，，； （2）在中，， ， 过作， 由，得， 解得， ，的取值范围； （3）Ⅰ．当在上，，则； Ⅱ．当在上，，则； 综上，的值为2或． 14．小张和小李相约到羽毛球馆打球，原计划小张骑单车，小李步行，两人同时出发、小张去羽毛球馆需要路过小李家，当小张追上小李后，改变了骑行计划，决定和小李一起步行去羽毛球馆．如图是他们与小李家的距离，（单位：）与小张出发时间（单位：）之间的函数图象（小张和小李无论是骑行还是步行均视作匀速运动）． (1)小张的骑行速度为 ； (2)①小张骑行分钟时，是否追上了小李？若没有追上，请说明理由； ②求小张与小李家的距离与之间的函数关系式（不必写出自变量的取值范围）． 【答案】(1) (2)①没有追上小李，理由如下： 小李20分钟步行，速度为，当出发14分钟时：小李距离小李家：，小张12分钟到达小李家，之后骑行分钟，距离小李家：，因为，小张位置在小李后方，因此没有追上小李； ②当时：， 当时，，当时， 【分析】（1）计算小张骑行速度：因为小张初始位置距离小李家，12分钟到达小李家，所以用路程除以时间即可得到骑行速度。 （2）①判断14分钟是否追上小李：首先根据小李20分钟走求出小李步行速度，再分别计算14分钟时两人与小李家的距离，比较两者是否相等即可。 ② 求与的函数关系式：分三段处理，第一段是0到12分钟小张骑行到小李家的过程，根据路程速度时间，可以求出对应的函数解析式；第二段是12分钟之后的过程，先求出12分钟后小张的运动速度，再结合题意即可求该段的函数解析式，第三段和的函数表达式一样，根据路程速度时间即可直接得到函数表达式． 【详解】（1）解：由图可知，小张从距离小李家处，12分钟骑行到达小李家，因此速度为：； （2）①略． ② i当（小张未到小李家）时：，即 ； ii追上时间由得：，解得追上时间， 因此当（小张离开小李家骑行，未追上小李）时，函数式为： ，即 ；   iii当（小张追上小李后一起步行）时： 两人同速步行，距离小李家的距离和小李相等，因此 ． 15．学习一次函数时，我们从“数”和“形”两个方面研究一次函数的性质．请运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题． 【初步感知】： （1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点： （3）连线 【问题解决】 (1)表格中的值为______，的值为______； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象． 【探究性质】 (3)观察函数的图象，判断下面关于该函数图象性质的命题： ①该函数图象是轴对称图形； ②当时，的值随值的增大而减小； ③当时，该函数存在最小值，最小值为； ④当时，． ⑤若，两点都在该函数图象上，且，则． 其中正确的是_______________．（请填写正确命题的序号） (4)在同一坐标系中画出一次函数的图象，并根据图象直接写出方程组的解为__________________________． 【答案】(1)， (2)画出函数图象如下： (3)①③⑤ (4)， 【分析】（1）分别将和代入求解即可； （2）利用描点法作图即可； （3）根据画出的函数图象分析即可； （4）方程组的解就是两个函数图象的交点坐标，求出交点坐标即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 故； 把代入， 得， 故； （2）解：（1）列表： 0 1 2 3 1 3 （2）描点（3）连线，略 （3）解：①该函数图象是轴对称图形，对称轴为直线，描述正确； ②当时，的值随值的增大而增大，原描述错误； ③当时，该函数存在最小值，最小值为，描述正确； ④当时，则， ∴， 解得：或．原描述错误； ⑤若，两点都在该函数图象上，且， ∴， ∴．原描述正确； 综上：正确的是①③⑤. （4）解：列表如下： 描点画图如下： 根据图象直接写出方程组的解为，. 一、单选题 1．如图，直线分别与坐标轴交于、两点，点在线段上，连接，将沿线段所在的直线翻折，点落在线段上的点处，以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点的坐标是，正确的结论是（     ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先根据直线解析式求出点、的坐标，利用勾股定理求出的长，判断①；根据折叠的性质可得，从而判断②；设，在中利用勾股定理求出的值，得到点坐标，利用待定系数法求出直线解析式，判断③；过点作轴于，利用三角形面积公式求出的长，进而得到点的纵坐标，再代入直线中，即可得到点的坐标． 【详解】解：由图象可知，点在轴上，点在轴上， 令，得， ∴，， 令，得，解得， ∴，， ∴，故①正确； ∵沿翻折得到， ∴， ∴，故②正确；，，， ∴，， 设，则， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴直线解析式为，故③正确； 如图，过点作轴于， ∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴当时，则， ∴点的坐标为，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 二、填空题 2．车从甲地驶往乙地，车从乙地驶往甲地，两车同时出发．设车行驶的时间为，与两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系．车行驶到达目的地，车继续行驶，直至也到达目的地．若在与相遇时，车以车的速度从乙地出发驶往甲地，根据图中的信息，车行驶________小时时与车相距． 【答案】4或 【分析】由图象时，得甲乙两地总路程为；因为A车走完全程，所以用速度公式可求A车速度．由图象时，可知B车走完全程需要，所以用速度公式可求B车速度．两车同时出发相向而行，相遇时两车路程和为总路程，所以用相遇问题公式可求相遇时间，即C车的出发时间．设C车行驶时间为小时，分两种情况：如果C车还没追上B车，那么B车比C车多走的路程为，列方程求解；如果C车追上B车后超出，那么C车比B车多走的路程为，列方程求解． 【详解】解：由图象和题意可知，甲乙两地距离为，A车10小时走完全程， ∴A车速度： ， B车20小时走完全程，因此B车速度： ， 两车同时出发相向而行，相遇时间为： ， B车从乙地出发开往甲地，相遇时B车距离乙地的路程为： ， 设C车行驶小时后，与B车相距．C车速度等于A车速度，从乙地出发和B车同方向， ∴ 小时后，C距离乙地：，B距离乙地： 两车距离满足： 即， 分两种情况： 未追上B车时： 解得， 追上B车后：，解得． 两个解均符合实际行程， ∴答案为或． 3．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 4．如图，直线：交轴于点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点，两条直线的交点为点，已知点坐标是，则下列结论中正确的是：____． ① ②点坐标是 ③的面积是 ④若点在直线上，且坐标是，则轴上存在一点，使得的值最小，此时点的坐标是 【答案】 ②③④ 【分析】将点代入直线可解答①；再将直线的关系式联立，求出解，判断②；然后求出点，再求出，根据面积公式解答③；先求出点，再根据轴对称，并结合两点之间线段最短可得，最后求出直线的关系式为，进而求出与x轴的交点坐标判断④． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 解得， ∴直线的关系式为，则①不正确； 将直线的关系式联立，得 ， 解得， ∴点，则②正确； 当时，， 解得， ∴点， ∴； ∵点， ∴， ∴， ∴，则③正确； ∵点在直线上， ∴， ∴点． 作点C关于x轴的对称点， 可得，即， 根据两点之间线段最短，可得， 即的最小值为． 将点和代入关系式，得 ， 解得， ∴直线的关系式为． 当时，， 解得， ∴点，则④正确． 正确的有②③④． 三、解答题 5．某汽车公司在有A、B、C三点一条笔直的公路上测试两辆无人驾驶汽车，两车同时出发，无人快递车从A地出发，以m千米/时的速度匀速驶向B地，到达B地用0.5小时卸货后按原速继续驶向C地；无人出租车从B地出发，以n千米/时的速度匀速驶向C地，到达C地后立即调头（调头时间忽略不计），以原速匀速经过B地驶向A地，快递车比出租车晚小时到达目的地．两车与B地的距离y（单位：千米）与无人快递车行驶时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示．请结合图象信息，解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是________千米，________； (2)求图中线段所在直线的函数解析式； (3)无人快递车出发多少小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米？请直接写出答案． 【答案】(1)200，80 (2)线段所在直线的函数解析式为： (3)无人快递车出发0.25或1.55或3.85小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米 【分析】解题的关键是结合函数图象分析运动过程，理解各个节点的实际意义． （1）结合函数图象中点的坐标的实际意义求速度即可； （2）设线段所在直线的函数解析式为，把，代入 ，解方程组求值即可得答案； （3）当无人快递车开往B时，无人出租车开往C时；当无人快递车开往B时，无人出租车到达C后返回B处时；当无人快递车超过B处开往C处时，无人出租车到达B后开往A处时；然后列方程分别求解即可． 【详解】（1）解：根据函数关系图象可知A，B两地之间的距离是200千米， 根据题意知点的横坐标为， ∴； （2）解：根据快递车的速度和到达C处的时间可得的距离为：(千米)， ∵快递车比出租车晚小时到达目的地， ∴，出租车的速度为：(千米/小时)， ∴M的横坐标为(小时)，N的横坐标为 (小时)， ∴， 设线段所在直线的函数解析式为， ∴，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为； （3）解：设无人快递车出发t小时，无人快递车与无人出租车之间相距210千米， ①当无人快递车开往B时，无人出租车开往C时，则，解得； ②当无人快递车开往B时，无人出租车到达C后返回B处时，则，解得； ③当无人快递车超过B处开往C处时，无人出租车到达B后开往A处时，则，解得； ∴无人快递车出发或或小时，无人快递车与无人出租车之间相距千米． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且与正比例函数的图象交于点． (1)求的值，并求一次函数的解析式； (2)求的面积； (3)点在轴上，若为等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为或或或 【分析】（1）先把点纵坐标代入正比例函数解析式求出，确定点横坐标，再将、两点坐标代入一次函数用待定系数法求解析式； （2）求出点的坐标后以为底，点横坐标为高，套用面积公式算面积； （3）设点的坐标为，然后表示出，，，分、、三种情况分类讨论，进而求出点坐标． 【详解】（1）解：在上， 将点坐标代入可得，， 解得， 点的坐标为， 将，代入， 可得， 解得， 一次函数的解析式为． （2）解：如图，过点作轴， 已知一次函数的解析式为， 当，可得， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 故． （3）解：设点的坐标为， ，， ，，， 当时，， 可得， 解得或， 若，点与点重合，舍去， 此时点的坐标为； 当时，， ， 解得或， 此时点的坐标为或； 当时，， 可得， 解得， 此时点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或． 7．如图，已知点在一次函数（）的图像上，过点作轴垂线，垂足为点，点、都在一次函数（）的图像上，直线与直线交于点． (1)求的值； (2)如果的面积是，求、的值； (3)在（2）的条件下，点在函数的图像上，如果，求点的坐标． 【答案】(1) (2)​， (3)或 【分析】（1）将代入即可求解． （2）过作x轴垂线，垂足坐标为，则，根据，，得出，求出或．根据直线过，得出，结合，得，则，．将代入即可求解． （3）联立直线方程，求出，再求出​，​，设，则，根据，或，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得：． （2）解：过作x轴垂线，垂足坐标为， 则， ∵，， ∴， ∴或． ∵直线过， ∴， 解得：， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴． 将代入，得方程组：， 解得：． （3）解：联立直线方程， 解得：， ∴​， ∴​， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得； 或， ∴， 解得：． ∴点的坐标为或． 8．一条公路上依次有三地，一辆私家车从地出发途经地接人，停留一段时间后原速驶往地；一辆客车从地出发，送人到达地后立即原路原速返回地（上下车时间忽略不计）．两车均按各自速度匀速行驶，客车提前半小时出发，却比私家车迟6分钟到达终点，如图是私家车距地的距离（单位：）与私家车的行驶时间（单位：）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中的值是______，客车行驶______小时到达地； (2)在客车从地返回地的过程中，求客车距地的距离与之间的函数表达式； (3)直接写出客车整个行驶过程中与私家车相距时客车行驶的时间． 【答案】(1)； (2) (3)客车行驶的时间为和 【分析】（1）由图可得私家车速度为，进而可得私家车从地到地行驶用的时间为，即，结合题意即可得客车行驶到达地的时间为． （2）由上可得客车从地到地用的时间为，结合题意可得客车刚到地时：，；客车返回地时：，再利用待定系数法即可求得与之间的函数表达式． （3）利用待定系数法分别求出四段路程的解析式，及的取值范围，根据客车整个行驶过程中与私家车相距，求解即可． 【详解】（1）解：由图可得两地之间的距离为，两地之间的距离为， ∵私家车从开始行驶，到地， ∴私家车速度为， ∴私家车从地到地行驶用的时间为， ∴， ∵私家车到地，客车提前半小时出发，客车比私家车迟6分钟到达终点， ∴客车行驶到达地的时间为； （2）解：由上可得客车从地到地，再从地返回地行驶的路程为，时间为小时， ∴客车的速度为，客车从地到地用的时间为， ∵客车提前半小时出发， ∴客车刚到地时：，；客车返回地时：，， 设与之间的函数表达式为，的取值范围是， 将，代入上式，则， 解得：， ∴与之间的函数表达式为． （3）解：由上可得客车提前半小时从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴客车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． 由上可得私家车从地出发时：，；行驶到达地时：，， 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将，代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． 当的取值范围是，相向运动，客车与私家车相距时，则 ， 即 ， 解得：（不合题意，舍去）； 当的取值范围是，客车与私家车相距时， ， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 由上可得私家车行驶从地开始出发时：，；到地出发时：，； 故可设私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为， 将， 代入上式，则， 解得：， ∴私家车从地出发到达地的与之间的函数表达式为． ∵客车从地返回地的过程中，与之间的函数表达式为． 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（均不符合题意，都舍去）； 故当的取值范围是，客车与私家车相距时，， 即 ， 解得：，（不符合题意，故舍去）； 综上可得，客车整个行驶过程中与私家车相距时，的值为和，则客车行驶的时间为和． 9．我们知道，二元一次方程有无数组解．在平面直角坐标系中，我们标出以这个方程的解为坐标的点，就会发现这些点在同一条直线上． 例如：是方程的一个解，对应点．如图所示，我们在平面直角坐标系中将其标出，另外方程的解还对应点、……将这些点连起来正好在同一条直线上，反过来，在这条直线上任取一点，这个点的坐标也是方程的解，所以，这条直线就叫做方程的图象． 一般地，任意二元一次方程的解的对应点连成的直线就叫这个方程的图象．请问： (1)已知，，，则点______（填“A”，“B”或“C”）在方程的图象上． (2)求方程和方程图象的交点坐标． (3)以关于，的二元一次方程组的解为坐标的点在方程的图象上，且关于，的二元一次方程（为正整数）有且仅有两组正整数解（即，均为正整数），求的值． 【答案】(1)C (2)（3，1） (3)k＝1或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）与一次函数的关系，熟练掌握“二元一次方程的解与对应的直线上点的坐标的关系、一次函数图象交点与对应二元一次方程组解的关系”是解题的关键． （1）将点的坐标代入方程，若等式成立，则点在方程图象上，否则不在； （2）两方程图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，通过解方程组来求解； （3）先解出方程组的解，代入，得到的值，代入方程，可得，分类讨论的值，即可． 【详解】（1）解：∵ ∴不在方程的图象上； ∵， ∴不在方程的图象上； ∵， ∴在方程的图象上； 故答案为：C． （2）解：根据题意得 解得， ∴方程和方程图象的交点坐标． （3）解：由 解得（方程组可用其他解法，答案不唯一） ∵该解在方程的图象上， ∴， 解得． 将代入关于，的二元一次方程 ∴， ∵为正整数，方程有且仅有两组正整数解， ∴①当时，或满足条件； ②当时，只有一组解，不满足条件（舍）； ③当时，或满足条件； ④当时，方程无整数解． 综上，当或方程有且仅有两组正整数解． 10．综合与探究 探索发现 如图1，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．(不需要证明) 迁移应用 如图2，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， (1)直接写出___________，___________．在第二象限构造等腰直角，使得，则点的坐标为___________． (2)如图3，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数表达式． 拓展应用 (3)如图4，直线分别交轴和轴于两点，点在第二象限，使以为腰的为等腰直角三角形？请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；；； (2)； (3)或 【分析】（1）利用一次函数解析式求出直线与坐标轴交点，得到线段长度，再作垂线构造型全等，通过角的关系证明三角形全等，结合全等性质计算线段长，从而求出点的坐标； （2）根据直线旋转特征判定等腰直角三角形，构造全等三角形求出直线上定点坐标，再代入两点坐标，利用待定系数法计算参数，求出直线函数表达式； （3）以为等腰直角三角形的腰，分直角顶点在、直角顶点在两种情况，分别构造一线三垂直全等图形，依托全等性质推算线段长度，结合象限特征确定点的坐标． 【详解】（1）解：直线， 令，得， ，； 令，得，解得， ，； 如图，过作轴于， ，， ，， ， 又， ， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． （2）解：如图，过点作交于点，过点作轴于点D， 由（1）知，， ∵直线绕点顺时针旋转得到， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形，， 同（1），可证， ∴，， ∴， 又∵点在第二象限， ∴点坐标为； 设直线的解析式为， 将，代入， 得，解得， ∴的函数表达式为． （3）解：直线，令得， ， 令得， ， 为腰，为等腰直角三角形，在第二象限，分两种情况： ①直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即； ②直角顶点为，，， 如图，过作轴于，同理可得， ，， 点横坐标为，纵坐标为，即． 综上，点坐标为或． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 二、填空题 2．如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 三、解答题 3．图1是某景区的一段游览路线示意图．小聪在观景台1联系小明，发现小明在观景台2，于是沿着游览路线追赶小明．图2中，，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系． (1)表示 （“小聪”或“小明”）到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； (2)分别求出，的函数解析式； (3)若两人的速度保持不变，小聪能否在到达观景台3前追上小明？请通过计算说明． 【答案】(1)小明 (2)的函数解析式为；的函数解析式为； (3)解：小聪能在到达观景台3前追上小明，计算说明如下： 令，解得， 在中，当时，， ∴小聪追上小明时所走的路程为， ∵， ∴小聪能在到达观景台3前追上小明． 【分析】（1）当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0，据此结合函数图象可得答案； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出两人相遇时的时间，进而求出两人相遇时小聪所走的路程即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，当追赶时间为0时，小明到观景台1的路程为，而小聪到观景台1的路程为0， ∴由函数图象可知，表示小明到观景台1的路程与追赶时间之间的关系； （2）解：设的函数解析式为， 把代入得，解得， ∴的函数解析式为； 设的函数解析式为， 把和代入得， ∴， ∴的函数解析式为； （3）略 4．山东省在能源绿色低碳转型过程中，探索出一条“以储调绿”的能源转型路径．某地结合实际情况，建立了一座圆柱形蓄水池，通过蓄水发电实现低峰蓄能、高峰释能，助力能源转型． 已知本次注水前蓄水池的水位高度为5米，注水时水位高度每小时上升6米． (1)请写出本次注水过程中，蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式； (2)已知蓄水池的底面积为万平方米，每立方米的水可供发电千瓦时，求注水多长时间可供发电万千瓦时？ 【答案】(1) (2)注水5小时可供发电万千瓦时． 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用等知识点，正确列出函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据蓄水池的水位高度等于注水时水位每小时升高的高度乘以注水时间与本次注水前蓄水池的水位高度的和，据此列出函数关系式即可； （2）设注水时间为x小时，根据蓄水池的底面积乘以水位的总高度，得出蓄水的总体积，再乘以每立方米的发电量，等于本次要求的发电量，列方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：蓄水池的水位高度y（米）与注水时间x（小时）之间的关系式． （2）解：设注水时间为x小时， 根据题意，得， 解得． 答：注水5小时可供发电万千瓦时． 5．1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：    (1)___________，___________； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 【答案】(1)，30 (2)，； (3)或 【分析】（1）根据1号探测气球的出发海拔和速度即可计算b的值，根据b的值、2号探测气球的出发海拔和运动时间可计算2号探测气球的速度可计算a的值； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为，分别代入计算即可； （3）由题意可得或，分别计算即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，30； （2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为， 设，， 将分别代入可得：， 解得：，， ∴，； （3）由题意可得或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，从图中获取信息是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $