第五章 二元一次方程组 单元综合 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

【第五章 二元一次方程组】单元综合【基础卷】 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组单元综合检测（基础卷），覆盖 5.1 二元一次方程组的概念、5.2 代入消元法与加减消元法、5.3 二元一次方程组的应用、5.4 二元一次方程与一次函数、*5.5 三元一次方程组。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列各组数中，是二元一次方程 2x－3y＝12 的解的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把各组数分别代入方程左右两边，看是否相等。 A：2×3－3×(－2)＝6＋6＝12，左边＝右边，成立； B：2×6－3×2＝12－6＝6≠12；C：2×0－3×4＝－12≠12；D：2×(－3)－3×2＝－12≠12。 所以只有 A 是方程的解，故选 A。 2．关于二元一次方程（组），下列说法正确的是（　） A．解一定是唯一的 B．解必满足组内每一个方程 C．含两未知数即一次 D．解一定是正整数 【答案】B A 错：给 x 一个值就能求出对应的 y，二元一次方程有无数个解； B 对：方程组的解必须同时满足组中的每一个方程，这是方程组解的定义； C 错：如 x2＋y＝3 含两个未知数，但项 x2 的次数是 2，不是一次； D 错：如 的解是 ，其中 y 不是正整数。故选 B。 3．某篮球队在一个赛季中共比赛 12 场，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，该队共得 20 分。设该队胜 x 场、负 y 场，可列方程组为（　） A． B． C． D． 【答案】A 共比赛 12 场，所以 x＋y＝12； 胜 x 场得 2x 分、负 y 场得 1·y 分，共 20 分，所以 2x＋y＝20。 故选 A。（解得 x＝8，y＝4，即胜 8 场、负 4 场。） 4．一次函数 y＝2x－6 的图象与 x 轴的交点坐标是（　） A．(3，0) B．(0，3) C．(－3，0) D．(0，－6) 【答案】A 图象与 x 轴的交点，纵坐标为 0，所以令 y＝0：2x－6＝0，解得 x＝3。 所以交点坐标是 (3，0)，故选 A。 （注意 (0，－6) 是与 y 轴的交点，不要混淆。） 5．直线 y＝x－1 与直线 y＝－2x＋5 的交点在第（　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 令 x－1＝－2x＋5，得 3x＝6，x＝2，所以 y＝2－1＝1。 交点为 (2，1)，横、纵坐标都是正数，在第一象限。故选 A。 6．解二元一次方程组的基本思想是“消元”，这里的“消元”是指（　） A．消去一个未知数，化为一元一次方程 B．消去方程组中的常数项 C．使同一未知数的系数相等 D．把两个方程直接相加减 【答案】A 二元一次方程组含两个未知数，直接求解有困难， 所以通过代入或加减，先消去一个未知数，把它转化为会解的一元一次方程，这就是“消元”。 B、C、D 都只是消元过程中可能用到的某一具体手段，不是“消元”本身的含义。故选 A。 7．下列方程组中，解为 的是（　） A． B． C． D． 【答案】A 把 x＝2、y＝－1 逐一代入各方程组，两个方程都成立才是它的解。 A：2＋(－1)＝1 成立；2×2－(－1)＝5 成立，两个方程都满足； B：2－(－1)＝3≠4，不满足；C：2×2＋(－1)＝3≠5，不满足；D：3×2＋2×(－1)＝4≠5，不满足。 故选 A。 8．今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，10 年后父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，则今年儿子（　）岁 A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 设今年儿子 x 岁、父亲 y 岁，则 y＝3x，且 y＋10＝2(x＋10)。 把 y＝3x 代入：3x＋10＝2x＋20，解得 x＝10。 所以今年儿子 10 岁（父亲 30 岁）。检验：10 年后父子分别为 40 岁、20 岁，40＝2×20，符合。故选 B。 9．若直线 y＝kx＋3 与直线 y＝2x－1 的交点在 x 轴上，则 k 的值为（　） A．－6 B．6 C．－3 D．3 【答案】A 交点在 x 轴上，说明交点纵坐标为 0。先求直线 y＝2x－1 与 x 轴的交点： 令 y＝0，得 2x－1＝0，x＝，即交点为 (，0)。 把这个点代入 y＝kx＋3：0＝k＋3，解得 k＝－6。故选 A。 10．已知点 P(a，b) 在一次函数 y＝2x－3 的图象上，且 a＋b＝3，则点 P 的坐标为（　） A．(2，1) B．(1，－1) C．(3，3) D．(0，－3) 【答案】A 点 P 在图象上，所以 b＝2a－3；又 a＋b＝3。 把 b＝2a－3 代入 a＋b＝3：a＋(2a－3)＝3，即 3a＝6，a＝2。 所以 b＝2×2－3＝1，点 P 的坐标为 (2，1)。故选 A。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．已知二元一次方程 x－2y＝5，用含 y 的式子表示 x，得 x＝            。 【答案】2y＋5 把含 y 的项移到等号右边：x＝5＋2y，即 x＝2y＋5。 12．在解三元一次方程组 时，若先消去 z，则由 ①－② 得            ，由 ①＋③ 得            。 【答案】y＝2；3x＋2y＝11 ①－②：(x＋y＋z)－(x－y＋z)＝2y，右边 6－2＝4，所以 2y＝4，即 y＝2； ①＋③：(x＋y＋z)＋(2x＋y－z)＝3x＋2y，右边 6＋5＝11，所以 3x＋2y＝11。 这样就把三元方程组化成了关于 x、y 的二元一次方程组。 13．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (1，3) 和 (－1，5)，则 k＝            ，b＝            。 【答案】k＝－1，b＝4 把两个点的坐标分别代入 y＝kx＋b，得 。 两式相加得 2b＝8，b＝4；代入 k＋b＝3 得 k＝－1。 所以 k＝－1，b＝4，即 y＝－x＋4。 14．用浓度为 60% 和 30% 的两种酒精溶液配制 500 克浓度为 48% 的酒精溶液，需浓度为 60% 的酒精溶液            克。 【答案】300 设需 60% 的溶液 x 克，则需 30% 的溶液 (500－x) 克。 由纯酒精的质量不变：0.6x＋0.3(500－x)＝500×48%＝240， 即 0.6x＋150－0.3x＝240，0.3x＝90，x＝300。 所以需 60% 的溶液 300 克（另一溶液 200 克）。 15．若方程组 的解对应的点 P 的坐标为 (a，b)，则 a＋b＝            。 【答案】3 方程组的解就是点 P 的横、纵坐标。先解方程组：由 ② 得 y＝2x－3， 代入 ①：x＋2(2x－3)＝4，5x＝10，x＝2，所以 y＝2×2－3＝1。 即 P(2，1)，a＝2，b＝1，a＋b＝3。 16．甲、乙、丙三个数的和是 21，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数大 1，则甲数是            。 【答案】10 设乙数为 x，则甲数为 2x，丙数为 x＋1。 由三数之和为 21 得 2x＋x＋(x＋1)＝21，即 4x＝20，x＝5。 所以甲数是 2×5＝10（丙数是 6）。检验：10＋5＋6＝21，符合题意。 三、解答题（共 46 分） 17．解下列方程组： （1）用代入消元法解 ； （2）用加减消元法解 。 【答案】（1）；（2） （1）把 x＝2y－1 代入第二个方程：3(2y－1)＋y＝11，即 6y－3＋y＝11，7y＝14，y＝2。 所以 x＝2×2－1＝3，解为 。 （2）①×2 得 4x＋6y＝14 ③，②×3 得 9x－6y＝12 ④， ③＋④ 得 13x＝26，x＝2；把 x＝2 代入 ①：4＋3y＝7，y＝1。 所以解为 。 18．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩 4.5 尺；把绳子对折后再量这根木头，木头还多出 1 尺。求木长和绳长各是多少尺。 【答案】木长 6.5 尺，绳长 11 尺 设木长 x 尺、绳长 y 尺。 “引绳度之，余绳四尺五寸”即绳比木长 4.5 尺：y－x＝4.5； “屈绳量之，不足一尺”即绳对折后比木短 1 尺：x－＝1。 由第一式得 y＝x＋4.5，代入第二式：x－＝1，两边乘 2 得 2x－x－4.5＝2， 所以 x＝6.5，y＝6.5＋4.5＝11。 检验：绳长 11 尺比木长 6.5 尺多 4.5 尺；绳对折后长 5.5 尺，比木短 1 尺，都符合题意。 答：木长 6.5 尺，绳长 11 尺。 19．如图，直线 l1：y＝x＋1 与 y 轴交于点 D，直线 l2：y＝－2x＋7 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）直接写出方程组 的解； （3）求点 D 的坐标，并说明点 D 的坐标是二元一次方程 x－y＝－1 的一组解。 【答案】（1）P(2，3)；（2）；（3）D(0，1)，理由见解析 （1）两条直线的交点同时满足两个函数表达式：x＋1＝－2x＋7，3x＝6，x＝2， 所以 y＝2＋1＝3，即 P(2，3)。 （2）方程组的解就是两直线交点 P 的坐标，所以解为 。 （3）令 x＝0，由 y＝x＋1 得 y＝1，所以 D(0，1)。 把 x＝0、y＝1 代入方程 x－y＝－1：左边＝0－1＝－1＝右边， 所以点 D 的坐标是方程 x－y＝－1 的一组解（这说明直线 l1 上每个点的坐标都是该方程的解）。 20．解下面的三元一次方程组，并写出消元的过程：。 【答案】 ①－② 消去 x、z：(x＋y＋z)－(x－y＋z)＝2y，右边 6－2＝4，所以 2y＝4，y＝2； ①－③ 消去 x、y：(x＋y＋z)－(x＋y－z)＝2z，右边 6－4＝2，所以 2z＝2，z＝1； 把 y＝2、z＝1 代入 ①：x＋2＋1＝6，x＝3。 检验：3＋2＋1＝6；3－2＋1＝2；3＋2－1＝4，都成立。 所以原方程组的解是 。 21．已知关于 x、y 的方程组 的一组解为 ，求 a 与 b 的值。 【答案】a＝2，b＝3 方程组的解同时满足两个方程，把 x＝2、y＝3 分别代入，得 。 由 ② 得 2b＝3a，即 b＝a，代入 ①：2a＋a＝13， 两边乘 2 得 4a＋9a＝26，13a＝26，a＝2。 所以 b＝×2＝3。即 a＝2，b＝3。 检验：2×2＋3×3＝13，3×2－2×3＝0，都成立。 22．某家具厂生产桌子和椅子，1 张桌子要配 4 把椅子。现有 56 名工人，每人每天可生产 5 张桌子或 12 把椅子。为使每天生产的桌子和椅子刚好配套，应安排多少名工人生产桌子、多少名工人生产椅子？ 【答案】生产桌子 21 人，生产椅子 35 人 设安排 x 名工人生产桌子、y 名工人生产椅子，则 x＋y＝56。 每天生产桌子 5x 张、椅子 12y 把。1 张桌子配 4 把椅子，所以椅子数应是桌子数的 4 倍： 12y＝4×5x，即 12y＝20x，化简得 y＝x。 代入 x＋y＝56：x＋x＝56，x＝56，x＝21，所以 y＝35。 检验：21 人生产桌子 105 张，35 人生产椅子 420 把，105×4＝420，刚好配套。 答：应安排 21 名工人生产桌子，35 名工人生产椅子。 23．某商店用 200 元购进甲、乙两种文具，甲种每件 15 元，乙种每件 25 元。若两种文具都要购买，且购买的件数都是正整数，问共有几种进货方案？请写出所有方案。 【答案】共 2 种：甲 10 件、乙 2 件；甲 5 件、乙 5 件 设购进甲种 x 件、乙种 y 件，其中 x、y 都是正整数，由题意得 15x＋25y＝200。 两边同除以 5：3x＋5y＝40，所以 3x＝40－5y。 因为 x 是正整数，所以 40－5y 必须大于 0 且能被 3 整除，即 y＜8，且 y 除以 3 余 2。 把 y＝2、5 逐一代入：y＝2 时 3x＝30，x＝10；y＝5 时 3x＝15，x＝5； y＝8 时 3x＝0，x＝0 不是正整数，不合题意。 所以只有两组正整数解： 与 。 检验：15×10＋25×2＝200，15×5＋25×5＝200，都符合。 答：共有 2 种进货方案——甲 10 件、乙 2 件；甲 5 件、乙 5 件。 24．如图，直线 l1：y＝x－1 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B；直线 l2：y＝－2x＋8 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PAC 的面积； （3）求△PBC 的面积。 【答案】（1）P(3，2)；（2）S△PAC＝3；（3）S△PBC＝4.5 （1）令 x－1＝－2x＋8，得 3x＝9，x＝3，所以 y＝3－1＝2，即 P(3，2)。 （2）令 y＝0，由 y＝x－1 得 A(1，0)；由 y＝－2x＋8 得 C(4，0)，所以 AC＝3。 △PAC 以 AC 为底，点 P 到 x 轴的距离 2 就是这条底上的高， 所以 S△PAC＝×3×2＝3。 （3）令 x＝0，由 y＝x－1 得 B(0，－1)。 求 △PBC 的面积，可把它用 x 轴分成上下两块： 因为线段 PB 恰好经过点 A(1，0)，所以 △PBC 被 x 轴分成 △PAC 与 △ABC 两部分， S△PBC＝S△PAC＋S△ABC＝3＋×3×1＝3＋1.5＝4.5。 （也可用坐标面积公式：S△PBC＝|0×(0－2)＋4×(2＋1)＋3×(－1－0)|＝4.5，结果一致。） 第五章 二元一次方程组 单元综合【基础卷】　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 【第五章 二元一次方程组】单元综合【基础卷】 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组单元综合检测（基础卷），覆盖 5.1 二元一次方程组的概念、5.2 代入消元法与加减消元法、5.3 二元一次方程组的应用、5.4 二元一次方程与一次函数、*5.5 三元一次方程组。满分 100 分，建议用时 90 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列各组数中，是二元一次方程 2x－3y＝12 的解的是（　） A． B． C． D． 2．关于二元一次方程（组），下列说法正确的是（　） A．解一定是唯一的 B．解必满足组内每一个方程 C．含两未知数即一次 D．解一定是正整数 3．某篮球队在一个赛季中共比赛 12 场，胜一场得 2 分，负一场得 1 分，该队共得 20 分。设该队胜 x 场、负 y 场，可列方程组为（　） A． B． C． D． 4．一次函数 y＝2x－6 的图象与 x 轴的交点坐标是（　） A．(3，0) B．(0，3) C．(－3，0) D．(0，－6) 5．直线 y＝x－1 与直线 y＝－2x＋5 的交点在第（　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 6．解二元一次方程组的基本思想是“消元”，这里的“消元”是指（　） A．消去一个未知数，化为一元一次方程 B．消去方程组中的常数项 C．使同一未知数的系数相等 D．把两个方程直接相加减 7．下列方程组中，解为 的是（　） A． B． C． D． 8．今年父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍，10 年后父亲的年龄是儿子年龄的 2 倍，则今年儿子（　）岁 A．8 B．10 C．12 D．15 9．若直线 y＝kx＋3 与直线 y＝2x－1 的交点在 x 轴上，则 k 的值为（　） A．－6 B．6 C．－3 D．3 10．已知点 P(a，b) 在一次函数 y＝2x－3 的图象上，且 a＋b＝3，则点 P 的坐标为（　） A．(2，1) B．(1，－1) C．(3，3) D．(0，－3) 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．已知二元一次方程 x－2y＝5，用含 y 的式子表示 x，得 x＝            。 12．在解三元一次方程组 时，若先消去 z，则由 ①－② 得            ，由 ①＋③ 得            。 13．已知一次函数 y＝kx＋b 的图象经过点 (1，3) 和 (－1，5)，则 k＝            ，b＝            。 14．用浓度为 60% 和 30% 的两种酒精溶液配制 500 克浓度为 48% 的酒精溶液，需浓度为 60% 的酒精溶液            克。 15．若方程组 的解对应的点 P 的坐标为 (a，b)，则 a＋b＝            。 16．甲、乙、丙三个数的和是 21，甲数是乙数的 2 倍，丙数比乙数大 1，则甲数是            。 三、解答题（共 46 分） 17．解下列方程组： （1）用代入消元法解 ； （2）用加减消元法解 。 18．《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺。”意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子还剩 4.5 尺；把绳子对折后再量这根木头，木头还多出 1 尺。求木长和绳长各是多少尺。 19．如图，直线 l1：y＝x＋1 与 y 轴交于点 D，直线 l2：y＝－2x＋7 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）直接写出方程组 的解； （3）求点 D 的坐标，并说明点 D 的坐标是二元一次方程 x－y＝－1 的一组解。 20．解下面的三元一次方程组，并写出消元的过程：。 21．已知关于 x、y 的方程组 的一组解为 ，求 a 与 b 的值。 22．某家具厂生产桌子和椅子，1 张桌子要配 4 把椅子。现有 56 名工人，每人每天可生产 5 张桌子或 12 把椅子。为使每天生产的桌子和椅子刚好配套，应安排多少名工人生产桌子、多少名工人生产椅子？ 23．某商店用 200 元购进甲、乙两种文具，甲种每件 15 元，乙种每件 25 元。若两种文具都要购买，且购买的件数都是正整数，问共有几种进货方案？请写出所有方案。 24．如图，直线 l1：y＝x－1 与 x 轴交于点 A、与 y 轴交于点 B；直线 l2：y＝－2x＋8 与 x 轴交于点 C，两直线交于点 P。 （1）求点 P 的坐标； （2）求△PAC 的面积； （3）求△PBC 的面积。 第五章 二元一次方程组 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