第五章二元一次方程组单元测试卷（C卷·提高卷） 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

北师大版八年级数学上册 第五章《二元一次方程组》单元测试卷（C 卷·提高卷） （满分 120 分　考试时间 120 分钟） 班级：__________　姓名：__________　 学号：__________　得分：__________ 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个正确选项） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A．x + y = 3，xy = 2　　B．x + y = 3，x2 + y = 5 C．x + y = 3，x − y = 1　　D．x + y = 3， + y = 4 2．若关于 x，y 的方程 (m − 2)x + 3y = 5 是二元一次方程，则 m 满足（　　） A．m = 2　　B．m ≠ 2　　C．m > 2　　D．m < 2 3．若关于 x，y 的方程组 2x + y = 5，x + 2y = 4 的解也是方程 3x + ky = 10 的一组解，则 k 的值是（　　） A．4　　B．2　　C．−4　　D．−2 4．已知 x = 1，y = 2 是方程组 ax + by = 5，bx + ay = 4 的解，则 a + b 的值是（　　） A．1　　B．9　　C．−1　　D．3 5．若方程组 2x + y = 4，x + 2y = 5 的解为 x = a，y = b，则 a + b 的值是（　　） A．1　　B．3　　C．9　　D．−3 6．已知 x + 2y = −3，则 2x + 4y + 5 的值是（　　） A．1　　B．11　　C．−1　　D．−11 7．某活动小组购买甲、乙两种奖品共 15 件，甲种奖品每件 12 元，乙种奖品每件 8 元，共花去 152 元。设购买甲种奖品 x 件，乙种奖品 y 件，则可列方程组（　　） A．x + y = 15，8x + 12y = 152　　B．x + y = 15，12x + 8y = 152 C．x − y = 15，12x + 8y = 152　　D．x + y = 152，12x + 8y = 15 8．用代入消元法解方程组 2x − y = 5，3x + 2y = 4 时，由 2x − y = 5 得 y = 2x − 5，代入 3x + 2y = 4 后得到的方程是（　　） A．3x + 4x − 10 = 4　　B．3x + 2x − 5 = 4 C．3x + 4x − 5 = 4　　D．3x + 4x + 10 = 4 9．若关于 x，y 的方程组 x + y = 3m，x − y = m + 2 的解满足 x + 2y = 7，则 m 的值是（　　） A．1　　B．−2　　C．3　　D．2 10．如图，直线 l1 与直线 l2 相交于点 P，则方程组 y = x + 1，y = −2x + 7 的解是（　　） A．x = 1，y = 5　　B．x = 0，y = 1 C．x = 2，y = 7　　D．x = 2，y = 3 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分） 11．把方程 4x − y = 7 改写成用含 x 的代数式表示 y 的形式，则 y = __________． 12．方程组 2x + 3y = 16，3x − y = 13 的解是 __________． 13．若 x = −2，y = 3 是方程 3x + my = 6 的一组解，则 m = __________． 14．已知 2a − b = 3，则 4a − 2b + 1 = __________． 15．若方程组 x + 2y = 7，2x + y = 8 的解也是方程 kx + y = 11 的一组解，则 k = __________． 16．若关于 x，y 的方程组 x + y = 4，2x − y = 5 与方程组 ax + y = 10，x − by = 1 有相同的解，则 a + b = __________． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10 分）解下列方程组： （1）3x − 2y = 8，2x + y = 3； （2）2x + 3y = 12，3x + 4y = 17． 18． （12 分）已知关于 x，y 的方程组 2x + y = 3m，x + 2y = 6 的解满足 x + y = 5，求 m 的值及方程组的解． 19．（12 分）某运输公司有大、小两种货车。已知 3 辆大货车与 4 辆小货车一次共运货 34 吨，5 辆大货车与 2 辆小货车一次共运货 38 吨。 （1）求每辆大货车和每辆小货车一次分别运货多少吨； （2）现有货物 64 吨，公司计划一次运完且恰好用 12 辆车，问需要大、小货车各多少辆？ 20．（12 分）甲、乙两人在周长 400 米的环形跑道上练习跑步，两人从同一地点同时出发。若两人反向而行，则 1 分钟后两人相遇；若两人同向而行，则 4 分钟后甲第一次追上乙。求甲、乙两人的速度（单位：米/分）． 21．（13 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 经过点 A(0, 3)、B(3, 0)，直线 l2 经过点 C(0, −1)、D(4, 3)，两条直线相交于点 P。请根据图象回答下列问题： （1）求直线 l1 所对应的函数表达式； （2）求直线 l2 所对应的函数表达式； （3）求点 P 的坐标，并直接写出方程组 y = −x + 3，y = x − 1 的解． 22．（13 分）某学校为图书馆购买甲、乙两种图书。已知购买甲种图书 5 本和乙种图书 3 本共需 210 元；购买甲种图书 3 本和乙种图书 5 本共需 190 元。 （1）求甲、乙两种图书每本的价格； （2）学校计划用 300 元恰好购买甲、乙两种图书（两种图书都要购买），问共有几种购买方案？请写出所有方案． 参考答案与解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．C　　2．B　　3．A　　4．D　　5．B　　6．C　　7．B　　8．A　　9．D　　10．D 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．y = 4x − 7 12．x = 5，y = 2 13．4 14．7 15．3 16．5 三、解答题（共 72 分） 17．（10 分）（1）3x − 2y = 8　①，2x + y = 3　②． 由 ② 得 y = 3 − 2x　③．把 ③ 代入 ①，得 3x − 2(3 − 2x) = 8，即 3x − 6 + 4x = 8，解得 x = 2． 把 x = 2 代入 ③，得 y = 3 − 2×2 = −1．所以（1）的解为 x = 2，y = −1． （2）2x + 3y = 12　①，3x + 4y = 17　②． ① × 3，得 6x + 9y = 36　③；② × 2，得 6x + 8y = 34　④． ③ − ④，得 y = 2．把 y = 2 代入 ①，得 2x + 6 = 12，解得 x = 3．所以（2）的解为 x = 3，y = 2． 18．（12 分）把方程组 2x + y = 3m，x + 2y = 6 的两式相加，得 3x + 3y = 3m + 6，即 x + y = m + 2． 因为 x + y = 5，所以 m + 2 = 5，解得 m = 3． 此时方程组为 2x + y = 9，x + 2y = 6． 两式相加，得 3x + 3y = 15，即 x + y = 5；两式相减，得 x − y = 3． 由 x + y = 5，x − y = 3，解得 x = 4，y = 1． 答：m 的值为 3，方程组的解为 x = 4，y = 1． 19．（12 分）（1）设每辆大货车一次运货 x 吨，每辆小货车一次运货 y 吨。 由题意，得 3x + 4y = 34　①，5x + 2y = 38　②． ② × 2，得 10x + 4y = 76　③．③ − ①，得 7x = 42，解得 x = 6． 把 x = 6 代入 ①，得 18 + 4y = 34，解得 y = 4． 答：每辆大货车一次运货 6 吨，每辆小货车一次运货 4 吨． （2）设需要大货车 a 辆，小货车 b 辆。 由题意，得 a + b = 12，6a + 4b = 64． 由 a + b = 12，得 b = 12 − a　④．把 ④ 代入 6a + 4b = 64，得 6a + 4(12 − a) = 64，化简得 2a + 48 = 64，解得 a = 8． 把 a = 8 代入 ④，得 b = 4． 答：需要大货车 8 辆，小货车 4 辆． 20．（12 分）设甲的速度为 x 米/分，乙的速度为 y 米/分（x > y）。 由题意，得 x + y = 400　①，4(x − y) = 400，即 x − y = 100　②． ① + ②，得 2x = 500，解得 x = 250；① − ②，得 2y = 300，解得 y = 150． 答：甲的速度为 250 米/分，乙的速度为 150 米/分． 21．（13 分）（1）设直线 l1 的函数表达式为 y = kx + b． 因为 l1 经过点 A(0, 3) 和点 B(3, 0)，所以 b = 3，3k + b = 0，即 3k + 3 = 0，解得 k = −1． 所以直线 l1 的函数表达式为 y = −x + 3． （2）设直线 l2 的函数表达式为 y = mx + n． 因为 l2 经过点 C(0, −1) 和点 D(4, 3)，所以 n = −1，4m + n = 3，即 4m − 1 = 3，解得 m = 1． 所以直线 l2 的函数表达式为 y = x − 1． （3）两直线相交于点 P，令 −x + 3 = x − 1，解得 x = 2． 把 x = 2 代入 y = −x + 3，得 y = 1，所以点 P 的坐标为 (2, 1)． 所以方程组 y = −x + 3，y = x − 1 的解为 x = 2，y = 1． 22．（13 分）（1）设甲种图书每本 x 元，乙种图书每本 y 元。 由题意，得 5x + 3y = 210　①，3x + 5y = 190　②． ① + ②，得 8x + 8y = 400，即 x + y = 50　③；① − ②，得 2x − 2y = 20，即 x − y = 10　④． 由 ③ + ④，得 2x = 60，解得 x = 30；由 ③ − ④，得 2y = 40，解得 y = 20． 答：甲种图书每本 30 元，乙种图书每本 20 元． （2）设购买甲种图书 m 本，乙种图书 n 本（m，n 都是正整数）。 由题意，得 30m + 20n = 300，即 3m + 2n = 30． 由 3m + 2n = 30，得 n = (30 − 3m)/2．因为 m，n 都是正整数，所以 m 为小于 10 的偶数． 当 m = 2 时，n = 12；当 m = 4 时，n = 9；当 m = 6 时，n = 6；当 m = 8 时，n = 3． 所以共有 4 种购买方案： 方案一：甲种图书 2 本，乙种图书 12 本；方案二：甲种图书 4 本，乙种图书 9 本； 方案三：甲种图书 6 本，乙种图书 6 本；方案四：甲种图书 8 本，乙种图书 3 本． 第 6 页　共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $