5.3 二元一次方程组应用题 专项讲义 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

二元一次方程组应用题专项重点讲义 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 （教师版·含思路点拨、等量关系与详细解答） 一、解题通用步骤（精简版） 二元一次方程组的应用题，套路只有六步：审、设、列、解、验、答。真正拉开差距的是第三步——“列”，也就是把题目里的关系翻译成两个方程，而“列”的前提是找准等量关系。 步骤 做什么 关键动作 审 读题，分清已知量与未知量 圈出“共、比…多、是…的几倍、恰好配套、相遇、追及、折扣”等关键词 设 设两个未知数，写清单位 两个未知量都要设，且都带单位；一般“设小不设大、设少不设多” 列 把等量关系翻译成两个方程 一个等量关系列一个方程，两式必须相互独立（不能由一个推出另一个） 解 用代入法或加减法解方程组 先消元化为一元一次方程，再回代求另一个未知数 验 代回两个等量关系检验 还要检验是否符合实际：人数为正整数、时间与长度为正、方案要“恰好” 答 写完整答句，带单位 问什么答什么；有两问、三问的要分别作答 找等量关系的四个抓手 1．抓“和”：总人数、总钱数、总路程、总工作量 → 用 总量。 2．抓“倍与差”：是…的几倍、比…多（少）几 → 用 、 或 。 3．抓“同一个量的两种表示”：总费用既等于“单价×数量”，又等于“甲的费用＋乙的费用”；同一段路程既等于“速度和×相遇时间”，又等于“速度差×追及时间”。两种表示相等就是等量关系。 4．抓“配套比与不变量”：1 个 A 配 n 个 B 时，B 的总数 A 的总数；工程总量设为 1，两地距离、跑道周长、火车车长在一次运动过程中保持不变。 二、题型总结（七类模型速查） 拿到一道应用题，先别急着设未知数，先用下面这张表判断它属于哪一类：认出题型，等量关系基本就定了。七类模型的展开讲解、典型例题与变式训练在后面。 模型 题目中怎么认出来 核心等量关系 常见设问 和差倍分 出现“共…”“是…的几倍”“比…多（少）”，两个量有明显大小关系 两量之和＝总量；大数＝小数×倍数 ± 常数 求两个量各是多少 行程 相遇、追及、先出发、环形跑道、火车过桥 相遇：速度和×时间＝路程和；追及：速度差×时间＝路程差 求速度、求时间、求车长 工程 单独做几天完成、两队合做、中途加入、水管注水 工作总量设为 1，各段“效率×时间”之和＝1 求单独完成各需几天 利润 进价、标价、打折出售、获利或亏本 利润＝售价－进价；售价＝标价×折数÷10 求进价、标价或折扣 配套 “1 个…配 n 个…”、车间分工、零件装配 B 的总数＝n×A 的总数；各部分人数之和固定 求各安排多少人 方案 “恰好坐满/装完”“有几种方案”“哪种最省” 总量方程＋未知数取正整数，逐方案算费用比大小 求方案数、求最省方案 数字 两位数、数字之和（差）、两个数字对调 两位数＝10×十位＋个位；对调前后相差 (个位－十位) 求原来的两位数 三、核心模型、典型例题与变式训练 每个模型按“模型总结 → 等量关系 → 典型例题 → 2 道变式训练”展开。例题只选最经典的考法，变式 1 换数据、变式 2 换情境或换设问，两题连做才算真正吃透。 模型一　和差倍分模型 【模型总结】已知两个量的和（或差），又知道它们之间的倍数关系，就先“设两个未知数”，再用“和”与“倍（差）”各列一个方程。 【题型特征】两个量比大小：题里同时出现“共（和）”与“是…的几倍（比…多/少）”。 【等量关系】① 两量之和＝总量；② 大数＝小数×倍数 ± 常数。 例1．一个长方形的周长是 44 cm，长比宽的 2 倍少 2 cm。求这个长方形的长和宽。 【思路点拨】周长已知，自然想到“长＋宽＝周长的一半”；长与宽之间还有一个倍数关系，两条等量关系各列一个方程。 【等量关系】① 2×(长＋宽)＝44，即 长＋宽＝22；② 长＝宽×2－2。 【解】设长方形的宽为 cm，长为 cm。 由题意得 。 把 ② 代入 ①，得 ，即 ，解得 。 把 代入 ②，得 。 检验：，，符合题意。 答：这个长方形的长是 14 cm，宽是 8 cm。 变式 1-1．（基础）两个数的差是 24，较大的数是较小的数的 4 倍。求这两个数。 【思路点拨】“差”与“倍数”各列一个方程，把倍数关系代入差的关系即可。 【等量关系】① 大数－小数＝24；② 大数＝小数×4。 【解】设较小的数为 ，较大的数为 。 由题意得 。 把 ② 代入 ①，得 ，即 ，解得 ，则 。 检验：，，符合题意。 答：较小的数是 8，较大的数是 32。 变式 1-2．（中档）甲桶油的质量是乙桶油的 3 倍。若从甲桶倒出 12 千克油到乙桶，两桶油的质量就相等。求甲、乙两桶原来各有油多少千克。 【思路点拨】“倒油前后两桶相等”本质上仍是和差关系：甲桶减少 12 千克、乙桶增加 12 千克后相等。 【等量关系】① 甲桶＝乙桶×3；② 甲桶－12＝乙桶＋12。 【解】设乙桶原来有油 千克，甲桶原来有油 千克。 由题意得 。 把 ① 代入 ②，得 ，即 ，解得 ，则 。 检验：；，，两桶相等，符合题意。 答：甲桶原来有油 36 千克，乙桶原来有油 12 千克。 模型二　行程问题模型（相遇、追及） 【模型总结】行程问题的核心只有一句：路程＝速度×时间。两人同时走，相遇看“路程和＝总路程”，追及看“路程差＝追及路程”。 【题型特征】出现速度、时间、路程，并有“相向、同向、先出发、追上、完全通过”等词。 【等量关系】相遇：（甲速＋乙速）×相遇时间＝总路程；追及：（快速－慢速）×追及时间＝追及路程。 例2．甲、乙两地相距 120 千米。一辆货车从甲地出发开往乙地，同时一辆客车从乙地出发开往甲地，2 小时后两车相遇。如果两车同向而行（货车在前、客车在后），那么客车 6 小时后追上货车。求货车、客车的速度。 【思路点拨】同一个“120 千米”，相向而行时是两车的路程和，同向而行时是两车的路程差。同一个量用两种方式表示，正好得到两个方程。 【等量关系】① 相遇：（货车速度＋客车速度）×2＝120；② 追及：（客车速度－货车速度）×6＝120。 【解】设货车的速度为 千米/时，客车的速度为 千米/时。 由题意得 ，化简得 。 两式相加得 ，解得 ；把 代入 ，得 。 检验：，，符合题意。 答：货车的速度是 20 千米/时，客车的速度是 40 千米/时。 变式 2-1．（中档）小明以 70 米/分的速度从家步行去学校，出发 8 分钟后，爸爸发现他忘带作业本，立即以 210 米/分的速度骑车沿同一路线去追。设爸爸出发 分钟后追上小明，追上时距家 米，求 、 的值。 【思路点拨】追上时两人走的路程相同，只是小明多走了 8 分钟。用“路程相等”列方程。 【等量关系】① 爸爸骑车的路程：；② 小明步行的路程：。 【解】设爸爸出发 分钟后追上小明，追上时距家 米。 由题意得 。 把 ① 代入 ②，得 ，即 ，解得 ，。 把 代入 ①，得 。 检验：爸爸骑 米，小明走 米，路程相等。 答：爸爸出发 4 分钟后追上小明，追上时距家 840 米。 变式 2-2．（中档）A、B 两地相距 45 千米。甲从 A 地骑车，速度为 15 千米/时；乙从 B 地步行，速度为 5 千米/时。甲先出发 1 小时后乙才出发。设乙出发 小时后两人相遇，相遇时乙走了 千米，求 、。 【思路点拨】两人相向而行，甲比乙多走了 1 小时；两人的路程和等于 45 千米。 【等量关系】① 乙走的路程：；② 甲走的路程＋乙走的路程＝45，即 。 【解】设乙出发 小时后两人相遇，相遇时乙走了 千米。 由题意得 。 把 ① 代入 ②，得 ，即 ，解得 。 把 代入 ①，得 。 检验：甲走 千米，乙走 7.5 千米，，符合题意。 答：乙出发 1.5 小时后两人相遇，相遇时乙走了 7.5 千米。 模型三　工程问题模型 【模型总结】把工作总量看作“1”，谁单独做 天完成，谁每天就完成 ；两人合做时，工作效率相加。 【题型特征】工作总量不给具体数值，只给“几天完成”“先做几天再合做”“注满一池水”。 【等量关系】各部分工作量之和＝1，即“效率×时间”分段相加等于 1。 例3．甲、乙两个工程队合做一项工程，6 天可以完成。若甲队先单独做 4 天，然后两队合做 3 天，也恰好完成。求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天。 【思路点拨】把总工程量看作 1，两队每天完成的分率就是两个未知数；两种施工方式各自“做完整个工程”，就是两条等量关系。 【等量关系】① 两队合做 6 天完成：；② 甲做 4 天＋合做 3 天完成：。 【解】设甲队每天完成这项工程的 ，乙队每天完成 。 由题意得 ，即 。 由 ① 得 ③，用 ②－③ 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 。 所以甲队单独做需 天，乙队单独做需 天。 答：甲队单独完成需 8 天，乙队单独完成需 24 天。 变式 3-1．（中档）一个水池有甲、乙两个进水管。两管齐开 6 小时可把空池注满；若甲管开 4 小时、乙管开 9 小时，也能把空池注满。求单开甲管、单开乙管各需多少小时才能把空池注满。 【思路点拨】把水池容量看作 1，两根水管每小时的注水量就是两个未知数，两种注水方式的注水量之和都是 1。 【等量关系】① 两管齐开 6 小时：；② 甲 4 小时＋乙 9 小时：。 【解】设甲管每小时注满水池的 ，乙管每小时注满 。 由题意得 。 由 ① 得 ，两边乘 4 得 ③。 ②－③ 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 。 所以单开甲管需 10 小时，单开乙管需 15 小时。 答：单开甲管需 10 小时注满，单开乙管需 15 小时注满。 变式 3-2．（中档）某修路队承包一段公路。甲、乙两组同时开工，8 天可以修完；如果甲组先修 6 天，然后两组一起修，又用 4 天修完。求甲、乙两组单独修完这段公路各需多少天。 【思路点拨】把这段公路的总量看作 1，两组每天的进度就是两个未知数；两种施工安排都把路修完，各自的工作量之和都是 1。 【等量关系】① 两组同时开工 8 天修完：；② 甲先修 6 天＋合修 4 天：，即 。 【解】设甲组每天修这段公路的 ，乙组每天修 。 由题意得 。 由 ① 得 ，两边乘 4 得 ③。 ②－③ 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 。 所以甲组单独修完需 12 天，乙组单独修完需 24 天。 答：甲组单独修完这段公路需 12 天，乙组单独修完需 24 天。 模型四　利润销售问题模型 【模型总结】售价、进价、利润、折扣四者的关系要背熟：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣。同一件商品给出两种卖法，就有两个“售价－进价＝利润”的方程。 【题型特征】出现进价、标价、售价、折扣、获利（亏本）中的三个以上。 【等量关系】① 利润＝售价－进价（亏本时利润为负）；② 售价＝标价×折数÷10（打八折就乘 0.8）。 例4．某商场销售一种衬衫，若按标价的九折出售，每件仍可获利 20 元；若按标价的八折出售，每件则亏本 10 元。求这种衬衫的进价和标价。 【思路点拨】同一件衬衫、同一个进价，只是折扣不同。两次的“售价－进价”分别等于＋20 与－10，两式相减即可消去进价。 【等量关系】① 九折售价－进价＝20，即 ；② 八折售价－进价＝－10，即 。 【解】设这种衬衫的进价为 元，标价为 元。 由题意得 。 ①－② 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 ，解得 。 检验：（获利 20 元），（亏本 10 元），符合题意。 答：这种衬衫的进价是 250 元，标价是 300 元。 变式 4-1．（中档）某商品若按标价的八折出售，每件可获利 40 元；若按标价的七折出售，每件则亏本 20 元。求这种商品的进价和标价。 【思路点拨】两次卖法的进价相同，只是折扣不同；“售价－进价”分别是＋40 与－20，两式相减先消去进价。 【等量关系】① 八折售价－进价＝40，即 ；② 七折售价－进价＝－20，即 。 【解】设这种商品的进价为 元，标价为 元。 由题意得 。 ①－② 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 ，解得 。 检验：（获利 40 元），（亏本 20 元），符合题意。 答：这种商品的进价是 440 元，标价是 600 元。 变式 4-2．（中档）某商店同时售出甲、乙两件商品，甲商品盈利 25%，乙商品盈利 20%。已知两件商品的进价共 500 元，售出后共获利 110 元。求甲、乙两件商品的进价各是多少元。 【思路点拨】利润率是“利润÷进价”，所以利润＝进价×利润率。把两件的利润相加就是 110 元。 【等量关系】① 甲进价＋乙进价＝500；② 甲利润＋乙利润＝110，即 。 【解】设甲商品的进价为 元，乙商品的进价为 元。 由题意得 。 由 ① 得 ，代入 ② 得 ，即 ，解得 ，则 。 检验：，符合题意。 答：甲商品的进价是 200 元，乙商品的进价是 300 元。 模型五　配套问题模型 【模型总结】配套问题先看“几个配几个”。把两种零件的总数按配套比对齐，再用“总人数＝两部分人数之和”列第二个方程。 【题型特征】出现“1 个配 n 个”“恰好配套”，并且要把工人或材料分给两种零件。 【等量关系】若 1 个 A 配 个 B，则 B 的总数 A 的总数。 例5．某车间有 22 名工人，每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 20 个。已知 1 个螺栓要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套，应安排多少人生产螺栓、多少人生产螺母？ 【思路点拨】“恰好配套”是本题的灵魂：螺母的总数必须是螺栓总数的 2 倍。人数之和与配套比，正好凑成两个方程。 【等量关系】① 生产螺栓的人数＋生产螺母的人数＝22；② 螺母总数＝2×螺栓总数，即 。 【解】设安排 人生产螺栓， 人生产螺母。 由题意得 ，即 。 由 ② 得 ，代入 ① 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 。 检验：螺栓 个，螺母 个，，恰好配套。 答：应安排 10 人生产螺栓，12 人生产螺母。 变式 5-1．（中档）某自行车厂有 27 名工人，每人每天可生产车架 8 个或车轮 20 个。1 个车架要配 2 个车轮，为使每天生产的车架和车轮恰好配套，应安排多少人生产车架、多少人生产车轮？ 【思路点拨】“恰好配套”即车轮总数是车架总数的 2 倍，再加上“人数之和＝27”。 【等量关系】① 生产车架的人数＋生产车轮的人数＝27；② 车轮总数＝2×车架总数，即 。 【解】设安排 人生产车架， 人生产车轮。 由题意得 ，即 。 由 ② 得 ，代入 ① 得 ，解得 ，则 。 检验：车架 个，车轮 个，，恰好配套。 答：应安排 15 人生产车架，12 人生产车轮。 变式 5-2．（中档）某厂生产 A、B 两种零件，1 个 A 零件要配 4 个 B 零件。现有 18 名工人，每人每天可生产 A 零件 6 个或 B 零件 30 个。为使每天生产的 A、B 零件恰好配套，应安排多少人生产 A 零件、多少人生产 B 零件？ 【思路点拨】配套比 1∶4 是关键：B 零件的总数必须是 A 零件总数的 4 倍，配合人数之和列方程组。 【等量关系】① 生产 A 的人数＋生产 B 的人数＝18；② B 总数＝4×A 总数，即 。 【解】设安排 人生产 A 零件， 人生产 B 零件。 由题意得 ，即 。 由 ② 得 ，代入 ① 得 ，解得 ，则 。 检验：A 零件 个，B 零件 个，，恰好配套。 答：应安排 10 人生产 A 零件，8 人生产 B 零件。 模型六　方案选择问题模型 【模型总结】先用方程组求出单价、单量，再把“恰好完成”的条件化成一个二元一次方程，在正整数范围内逐一取值得到全部方案，最后算出各方案的花费比较优劣。 【题型特征】要求“恰好用完、坐满、装完”，并追问“有几种方案”“哪种最省”。 【等量关系】① 总量相等（人数、吨数、个数之和不变）；② 每种方案都必须使未知数取正整数（“恰好”条件）。 例6．某班 40 名同学去公园划船，大船每条限乘 6 人，租金 48 元；小船每条限乘 4 人，租金 36 元。要求两种船都租，且每条船都恰好坐满。 （1）共有几种租船方案？ （2）哪种方案的租金最少？最少租金是多少元？ 【思路点拨】“恰好坐满”说明人数方程只有整数解，先解出所有正整数解，再逐一算租金比较。注意题目要求“两种船都租”， 或 的方案要排除。 【等量关系】① 大船载客总数＋小船载客总数＝40，即 ；② 、 都是正整数。 【解】设租大船 条、小船 条。 由题意得 ，化简得 ，所以 。 因为 是正整数，所以 必须是偶数，且 ，即 可取 2、4、6： 当 时 ；当 时 ；当 时 。共 3 种方案。 三种方案的租金分别为：（元）；（元）；（元）。 因为 ，所以租大船 6 条、小船 1 条最省钱。 答：共有 3 种租船方案；租大船 6 条、小船 1 条时租金最少，最少租金是 324 元。 变式 6-1．（中档）某班用 200 元购买 A、B 两种奖品，A 种每件 12 元，B 种每件 20 元。要求两种奖品都买，且钱恰好用完，共有几种购买方案？ 【思路点拨】“钱恰好用完”即 ，两种都买说明 、 都是正整数，逐一筛选即可。 【等量关系】① ，化简为 ；② 、 都是正整数。 【解】设购买 A 种奖品 件、B 种奖品 件。 由题意得 ，两边同除以 4 得 ，所以 。 因为 是正整数，所以 必须是 3 的倍数，且 ，逐一取值： 当 时 ；当 时 ；当 时 。共 3 种方案。 检验：，，，都符合题意。 答：共有 3 种方案：A 种 15 件、B 种 1 件；A 种 10 件、B 种 4 件；A 种 5 件、B 种 7 件。 变式 6-2．（拔高）某班用 120 元购买钢笔和圆珠笔，钢笔每支 15 元，圆珠笔每支 6 元。要求两种笔都买，且钱恰好用完。 （1）共有几种购买方案？ （2）哪种方案买到的笔的总支数最多？最多是多少支？ 【思路点拨】先由“钱恰好用完”筛出全部正整数解，再逐方案算总支数比较大小。 【等量关系】① ，化简为 ；② 、 都是正整数。 【解】（1）设买钢笔 支、圆珠笔 支。 由题意得 ，两边同除以 3 得 ，所以 。 因为 是正整数，所以 必须是偶数，且 ，即 可取 2、4、6： 当 时 ；当 时 ；当 时 。共 3 种方案。 （2）三种方案买到的总支数分别为 、、。 因为 ，所以买钢笔 2 支、圆珠笔 15 支时总支数最多，最多 17 支。 答：共有 3 种方案；买钢笔 2 支、圆珠笔 15 支时总支数最多，最多 17 支。 模型七　数字问题模型 【模型总结】两位数＝10×十位数字＋个位数字。把两个数字对调，新数与原数的差一定是 9 的倍数，这是数字问题最好用的隐含等量关系。 【题型特征】给出两位数数字的和（差）或对调前后两数的变化，求原来的两位数。 【等量关系】① 十位数字与个位数字的和（或差）已知；② 新数－原数＝(个位数字－十位数字)。 例7．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的 2 倍。若把这个两位数的两个数字对调，所得的新两位数比原两位数大 36，求原来的两位数。 【思路点拨】两个数字各设一个未知数，别把“两位数”整个设成一个未知数。对调前后的差用“10×数字”展开，就能化成关于两个数字的方程。 【等量关系】① 个位数字＝十位数字×2，即 ；② 新数－原数＝36，即 。 【解】设原两位数十位上的数字为 ，个位上的数字为 。 由题意得 。 化简 ② 得 ，即 。 把 ① 代入得 ，解得 ，则 。 所以原两位数为 ；检验：，符合题意。 答：原来的两位数是 48。 变式 7-1．（中档）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 4。把这个两位数的两个数字对调后，所得的新两位数与原两位数的和是 110。求原来的两位数。 【思路点拨】两个数字各设一个未知数；“对调后两数之和”展开后含 11×(两个数字之和)，可先求出数字和。 【等量关系】① 十位数字－个位数字＝4，即 ；② ，即 。 【解】设原两位数十位上的数字为 ，个位上的数字为 。 由题意得 。 由 ② 得 ，与 ① 相加得 ，解得 ，则 。 所以原两位数为 ；检验：，符合题意。 答：原来的两位数是 73。 变式 7-2．（中档）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 12。把这个两位数减去 36，恰好等于把两个数字对调后所得的新两位数。求原来的两位数。 【思路点拨】“原数减去 36 等于对调后的新数”就是原数比新数大 36，展开后仍是 9 与两个数字之差的乘积。 【等量关系】① 十位数字＋个位数字＝12，即 ；② ，即 。 【解】设原两位数十位上的数字为 ，个位上的数字为 。 由题意得 。 由 ② 得 ，与 ① 相加得 ，解得 ，则 。 所以原两位数为 ；检验：，正好是两个数字对调后的数，符合题意。 答：原来的两位数是 84。 四、随堂小练（每个模型 1 题，共 7 题） 要求：先判断这道题属于哪一类模型，再按“找等量关系→列方程组→求解→检验作答”完整书写。 1．（和差倍分）某班男生人数比女生人数的 2 倍少 4 人，全班共有学生 50 人。求这个班的男生、女生各多少人。 【思路点拨】人数之和与“2 倍少 4”各列一个方程，属于最基本的和差倍分结构。 【等量关系】① 男生人数＋女生人数＝50；② 男生人数＝女生人数×2－4。 【解】设女生有 人，男生有 人。 由题意得 。 把 ② 代入 ①，得 ，即 ，解得 。 把 代入 ②，得 。 答：这个班有女生 18 人，男生 32 人。 2．（行程（相遇））A、B 两地相距 30 千米。甲从 A 地步行、乙从 B 地骑车，两人同时出发相向而行，1.5 小时后相遇。已知乙的速度是甲的 3 倍，求甲、乙两人的速度。 【思路点拨】相遇问题先抓“路程和＝总路程”，再用“乙速＝甲速×3”列第二个方程。 【等量关系】① 相遇：（甲速＋乙速）×1.5＝30；② 乙速＝甲速×3。 【解】设甲的速度为 千米/时，乙的速度为 千米/时。 由题意得 ，即 。 把 ② 代入 ①，得 ，解得 ，则 。 答：甲的速度是 5 千米/时，乙的速度是 15 千米/时。 3．（工程）一项工作，若甲先单独做 4 小时，再由乙单独做 10 小时，恰好完成；若两人合做，8 小时完成。求甲、乙单独完成这项工作各需多少小时。 【思路点拨】把这项工作看作 1，两种做法都“正好做完”，各自的工作量之和等于 1。 【等量关系】① ；② 。 【解】设甲每小时完成这项工作的 ，乙每小时完成 。 由题意得 。 把 ① 乘 2 得 ③，由 ② 得 ，③－② 得 ，即 。 把 代入 ②，得 。 所以甲单独做需 小时，乙单独做需 小时。 答：甲单独完成需 24 小时，乙单独完成需 12 小时。 4．（利润销售）某商场销售 A、B 两种书包，A 种每个售价 100 元，B 种每个售价 150 元。某天共卖出 30 个，销售额为 3900 元。求这天 A、B 两种书包各卖出多少个。 【思路点拨】“个数之和”与“销售额之和”是两条独立的等量关系，销售额＝单价×个数。 【等量关系】① A 的个数＋B 的个数＝30；② 。 【解】设这天卖出 A 种书包 个，B 种书包 个。 由题意得 。 由 ① 得 ，代入 ② 得 ，即 ，解得 。 把 代入 ①，得 。检验：，符合题意。 答：这天卖出 A 种书包 12 个，B 种书包 18 个。 5．（配套）某服装厂有 54 名工人，每人每天可做上衣 8 件或裤子 10 条。1 件上衣配 1 条裤子，为使每天生产的上衣和裤子恰好配套，应安排多少人做上衣、多少人做裤子？ 【思路点拨】1 件上衣配 1 条裤子，说明上衣总件数＝裤子总条数；再配上“人数之和＝54”。 【等量关系】① 做上衣的人数＋做裤子的人数＝54；② 上衣总件数＝裤子总条数，即 。 【解】设安排 人做上衣， 人做裤子。 由题意得 ，即 。 由 ② 得 ，代入 ① 得 ，解得 。 把 代入 ①，得 。检验：上衣 240 件，裤子 240 条，恰好配套。 答：应安排 30 人做上衣，24 人做裤子。 6．（方案选择）水果店把 46 个苹果装盒，大盒每盒装 8 个，小盒每盒装 6 个。要求每盒都装满，且两种盒子都要用，共有几种装盒方案？ 【思路点拨】“每盒都装满”就是整数条件：先写 ，再按整除性筛选正整数解。 【等量关系】① ；② 、 都是正整数。 【解】设用大盒 个、小盒 个。 由题意得 ，两边同除以 2 得 ，所以 。 因为 是正整数，所以 必须是 3 的倍数，逐一取值： 当 时 ；当 时 ； 取其他正整数时 都不是正整数。 检验：，，都符合题意。 答：共有 2 种装盒方案：大盒 2 个、小盒 5 个，或大盒 5 个、小盒 1 个。 7．（数字问题）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 3。把这个两位数的两个数字对调后，所得的新两位数与原两位数的和是 99，求原来的两位数。 【思路点拨】两个数字各设一个未知数；“对调后两数之和是 99”用来列第二个方程，注意 11 是隐藏的公因数。 【等量关系】① 个位数字＝十位数字－3，即 ；② ，即 。 【解】设原两位数十位上的数字为 ，个位上的数字为 。 由题意得 。 由 ② 得 ，把 ① 代入得 ，解得 ，则 。 所以原两位数为 ；检验：，符合题意。 答：原来的两位数是 63。 五、课后巩固（共 4 题，难度逐题递升） 第 1、2 题为基础综合，第 3 题为中档综合，第 4 题为方案选择拔高题（含三问，注意分类不重不漏）。 1．（中档）某水果店购进苹果和梨共 200 千克，苹果每千克进价 6 元，梨每千克进价 4 元，共花去 940 元。 （1）求购进苹果、梨各多少千克； （2）若苹果以每千克 8 元、梨以每千克 6 元全部售出，求这次销售的总利润。 【思路点拨】第（1）问用“总质量”与“总进货款”两条等量关系；第（2）问的利润＝（售价－进价）×数量，分别算两种水果的利润再相加。 【等量关系】① 苹果质量＋梨质量＝200；② 苹果进货款＋梨进货款＝940，即 。 【解】（1）设购进苹果 千克，梨 千克。 由题意得 。 由 ① 得 ，代入 ② 得 ，即 ，解得 ，则 。 （2）苹果每千克获利 （元），梨每千克获利 （元）， 所以总利润为 （元）。 答：购进苹果 70 千克、梨 130 千克；这次销售的总利润是 400 元。 2．（中档）一列火车匀速行驶，完全通过一座长 800 米的大桥用了 60 秒，完全通过一条长 400 米的隧道用了 40 秒。 （1）求这列火车的速度和车长； （2）若该车以同样的速度完全通过一座长 1600 米的大桥，需要多少秒？ 【思路点拨】“完全通过”指从车头上桥到车尾离桥，走过的路程＝桥长＋车长。两次通过的路程都等于“速度×时间”，相减可先消去车长。 【等量关系】① ；② （ 为速度， 为车长）。 【解】（1）设火车的速度为 米/秒，车长为 米。 由题意得 。 ①－② 得 ，解得 。 把 代入 ②，得 ，解得 。 （2）完全通过 1600 米长的大桥，需要走 （米），所用时间为 （秒）。 答：火车的速度是 20 米/秒，车长是 400 米；通过 1600 米长的大桥需要 100 秒。 3．（中档）一项工程，若甲队先单独做 6 天，然后两队合做 6 天，恰好完成；若乙队先单独做 8 天，然后两队合做 4 天，也恰好完成。求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天。 【思路点拨】两种安排都“恰好完成”，把每次的工作量分段累加即为 1。注意先单独做的那几天没有合作，别把天数算重。 【等量关系】① 甲做 6 天＋合做 6 天：；② 乙做 8 天＋合做 4 天：。 【解】设甲队每天完成这项工程的 ，乙队每天完成 。 由题意得 ，即 。 把 ② 乘 3 得 ③，③－① 得 ，解得 。 把 代入 ②，得 ，解得 。 所以甲队单独做需 20 天，乙队单独做需 15 天。 检验：；。 答：甲队单独完成需 20 天，乙队单独完成需 15 天。 4．（拔高）某物流公司用大、小两种货车运货。3 辆大货车和 2 辆小货车一次共运 19 吨；2 辆大货车和 3 辆小货车一次共运 16 吨。 （1）求大、小货车每辆的载重量； （2）现有 29 吨货物，若一次运完且每辆车都装满，有几种安排方案？ （3）若大货车每辆运费 300 元、小货车每辆运费 150 元，在（2）的方案中哪种最省钱？最少运费是多少元？ 【思路点拨】先行方程组求出两种车的载重量，再把“29 吨”写成关于车辆数的二元一次方程，取正整数解得到方案；最后把每种方案的运费算出来比较。 【等量关系】① ；② （、 为两种车的载重量）；③ 运货时 （、 为正整数）。 【解】（1）设大货车每辆载重 吨，小货车每辆载重 吨。 由题意得 。 两式相加得 ，即 ；两式相减得 。解得 ，。 （2）设需大货车 辆、小货车 辆，则 ，所以 。 因为 、 都是正整数，所以 必须是奇数，且 ，即 可取 1、3、5： 当 时 ；当 时 ；当 时 。共 3 种方案。 （3）三种方案的运费分别为：（元）；（元）；（元）。 因为 ，所以派大货车 5 辆、小货车 2 辆最省钱。 答：大货车每辆载重 5 吨，小货车每辆载重 2 吨；共有 3 种方案；派大货车 5 辆、小货车 2 辆最省钱，最少运费是 1800 元。 二元一次方程组应用题专项重点讲义　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 二元一次方程组应用题专项重点讲义 2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 （学生版·课堂使用，不含答案与解析） 一、解题通用步骤（精简版） 二元一次方程组的应用题，套路只有六步：审、设、列、解、验、答。真正拉开差距的是第三步——“列”，也就是把题目里的关系翻译成两个方程，而“列”的前提是找准等量关系。 步骤 做什么 关键动作 审 读题，分清已知量与未知量 圈出“共、比…多、是…的几倍、恰好配套、相遇、追及、折扣”等关键词 设 设两个未知数，写清单位 两个未知量都要设，且都带单位；一般“设小不设大、设少不设多” 列 把等量关系翻译成两个方程 一个等量关系列一个方程，两式必须相互独立（不能由一个推出另一个） 解 用代入法或加减法解方程组 先消元化为一元一次方程，再回代求另一个未知数 验 代回两个等量关系检验 还要检验是否符合实际：人数为正整数、时间与长度为正、方案要“恰好” 答 写完整答句，带单位 问什么答什么；有两问、三问的要分别作答 找等量关系的四个抓手 1．抓“和”：总人数、总钱数、总路程、总工作量 → 用 总量。 2．抓“倍与差”：是…的几倍、比…多（少）几 → 用 、 或 。 3．抓“同一个量的两种表示”：总费用既等于“单价×数量”，又等于“甲的费用＋乙的费用”；同一段路程既等于“速度和×相遇时间”，又等于“速度差×追及时间”。两种表示相等就是等量关系。 4．抓“配套比与不变量”：1 个 A 配 n 个 B 时，B 的总数 A 的总数；工程总量设为 1，两地距离、跑道周长、火车车长在一次运动过程中保持不变。 二、题型总结（七类模型速查） 拿到一道应用题，先别急着设未知数，先用下面这张表判断它属于哪一类：认出题型，等量关系基本就定了。七类模型的展开讲解、典型例题与变式训练在后面。 模型 题目中怎么认出来 核心等量关系 常见设问 和差倍分 出现“共…”“是…的几倍”“比…多（少）”，两个量有明显大小关系 两量之和＝总量；大数＝小数×倍数 ± 常数 求两个量各是多少 行程 相遇、追及、先出发、环形跑道、火车过桥 相遇：速度和×时间＝路程和；追及：速度差×时间＝路程差 求速度、求时间、求车长 工程 单独做几天完成、两队合做、中途加入、水管注水 工作总量设为 1，各段“效率×时间”之和＝1 求单独完成各需几天 利润 进价、标价、打折出售、获利或亏本 利润＝售价－进价；售价＝标价×折数÷10 求进价、标价或折扣 配套 “1 个…配 n 个…”、车间分工、零件装配 B 的总数＝n×A 的总数；各部分人数之和固定 求各安排多少人 方案 “恰好坐满/装完”“有几种方案”“哪种最省” 总量方程＋未知数取正整数，逐方案算费用比大小 求方案数、求最省方案 数字 两位数、数字之和（差）、两个数字对调 两位数＝10×十位＋个位；对调前后相差 (个位－十位) 求原来的两位数 三、核心模型、典型例题与变式训练 每个模型按“模型总结 → 等量关系 → 典型例题 → 2 道变式训练”展开。例题只选最经典的考法，变式 1 换数据、变式 2 换情境或换设问，两题连做才算真正吃透。 模型一　和差倍分模型 【模型总结】已知两个量的和（或差），又知道它们之间的倍数关系，就先“设两个未知数”，再用“和”与“倍（差）”各列一个方程。 【题型特征】两个量比大小：题里同时出现“共（和）”与“是…的几倍（比…多/少）”。 【等量关系】① 两量之和＝总量；② 大数＝小数×倍数 ± 常数。 例1．一个长方形的周长是 44 cm，长比宽的 2 倍少 2 cm。求这个长方形的长和宽。 变式 1-1．（基础）两个数的差是 24，较大的数是较小的数的 4 倍。求这两个数。 变式 1-2．（中档）甲桶油的质量是乙桶油的 3 倍。若从甲桶倒出 12 千克油到乙桶，两桶油的质量就相等。求甲、乙两桶原来各有油多少千克。 模型二　行程问题模型（相遇、追及） 【模型总结】行程问题的核心只有一句：路程＝速度×时间。两人同时走，相遇看“路程和＝总路程”，追及看“路程差＝追及路程”。 【题型特征】出现速度、时间、路程，并有“相向、同向、先出发、追上、完全通过”等词。 【等量关系】相遇：（甲速＋乙速）×相遇时间＝总路程；追及：（快速－慢速）×追及时间＝追及路程。 例2．甲、乙两地相距 120 千米。一辆货车从甲地出发开往乙地，同时一辆客车从乙地出发开往甲地，2 小时后两车相遇。如果两车同向而行（货车在前、客车在后），那么客车 6 小时后追上货车。求货车、客车的速度。 变式 2-1．（中档）小明以 70 米/分的速度从家步行去学校，出发 8 分钟后，爸爸发现他忘带作业本，立即以 210 米/分的速度骑车沿同一路线去追。设爸爸出发 分钟后追上小明，追上时距家 米，求 、 的值。 变式 2-2．（中档）A、B 两地相距 45 千米。甲从 A 地骑车，速度为 15 千米/时；乙从 B 地步行，速度为 5 千米/时。甲先出发 1 小时后乙才出发。设乙出发 小时后两人相遇，相遇时乙走了 千米，求 、。 模型三　工程问题模型 【模型总结】把工作总量看作“1”，谁单独做 天完成，谁每天就完成 ；两人合做时，工作效率相加。 【题型特征】工作总量不给具体数值，只给“几天完成”“先做几天再合做”“注满一池水”。 【等量关系】各部分工作量之和＝1，即“效率×时间”分段相加等于 1。 例3．甲、乙两个工程队合做一项工程，6 天可以完成。若甲队先单独做 4 天，然后两队合做 3 天，也恰好完成。求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天。 变式 3-1．（中档）一个水池有甲、乙两个进水管。两管齐开 6 小时可把空池注满；若甲管开 4 小时、乙管开 9 小时，也能把空池注满。求单开甲管、单开乙管各需多少小时才能把空池注满。 变式 3-2．（中档）某修路队承包一段公路。甲、乙两组同时开工，8 天可以修完；如果甲组先修 6 天，然后两组一起修，又用 4 天修完。求甲、乙两组单独修完这段公路各需多少天。 模型四　利润销售问题模型 【模型总结】售价、进价、利润、折扣四者的关系要背熟：利润＝售价－进价，售价＝标价×折扣。同一件商品给出两种卖法，就有两个“售价－进价＝利润”的方程。 【题型特征】出现进价、标价、售价、折扣、获利（亏本）中的三个以上。 【等量关系】① 利润＝售价－进价（亏本时利润为负）；② 售价＝标价×折数÷10（打八折就乘 0.8）。 例4．某商场销售一种衬衫，若按标价的九折出售，每件仍可获利 20 元；若按标价的八折出售，每件则亏本 10 元。求这种衬衫的进价和标价。 变式 4-1．（中档）某商品若按标价的八折出售，每件可获利 40 元；若按标价的七折出售，每件则亏本 20 元。求这种商品的进价和标价。 变式 4-2．（中档）某商店同时售出甲、乙两件商品，甲商品盈利 25%，乙商品盈利 20%。已知两件商品的进价共 500 元，售出后共获利 110 元。求甲、乙两件商品的进价各是多少元。 模型五　配套问题模型 【模型总结】配套问题先看“几个配几个”。把两种零件的总数按配套比对齐，再用“总人数＝两部分人数之和”列第二个方程。 【题型特征】出现“1 个配 n 个”“恰好配套”，并且要把工人或材料分给两种零件。 【等量关系】若 1 个 A 配 个 B，则 B 的总数 A 的总数。 例5．某车间有 22 名工人，每人每天可生产螺栓 12 个或螺母 20 个。已知 1 个螺栓要配 2 个螺母，为使每天生产的螺栓和螺母恰好配套，应安排多少人生产螺栓、多少人生产螺母？ 变式 5-1．（中档）某自行车厂有 27 名工人，每人每天可生产车架 8 个或车轮 20 个。1 个车架要配 2 个车轮，为使每天生产的车架和车轮恰好配套，应安排多少人生产车架、多少人生产车轮？ 变式 5-2．（中档）某厂生产 A、B 两种零件，1 个 A 零件要配 4 个 B 零件。现有 18 名工人，每人每天可生产 A 零件 6 个或 B 零件 30 个。为使每天生产的 A、B 零件恰好配套，应安排多少人生产 A 零件、多少人生产 B 零件？ 模型六　方案选择问题模型 【模型总结】先用方程组求出单价、单量，再把“恰好完成”的条件化成一个二元一次方程，在正整数范围内逐一取值得到全部方案，最后算出各方案的花费比较优劣。 【题型特征】要求“恰好用完、坐满、装完”，并追问“有几种方案”“哪种最省”。 【等量关系】① 总量相等（人数、吨数、个数之和不变）；② 每种方案都必须使未知数取正整数（“恰好”条件）。 例6．某班 40 名同学去公园划船，大船每条限乘 6 人，租金 48 元；小船每条限乘 4 人，租金 36 元。要求两种船都租，且每条船都恰好坐满。 （1）共有几种租船方案？ （2）哪种方案的租金最少？最少租金是多少元？ 变式 6-1．（中档）某班用 200 元购买 A、B 两种奖品，A 种每件 12 元，B 种每件 20 元。要求两种奖品都买，且钱恰好用完，共有几种购买方案？ 变式 6-2．（拔高）某班用 120 元购买钢笔和圆珠笔，钢笔每支 15 元，圆珠笔每支 6 元。要求两种笔都买，且钱恰好用完。 （1）共有几种购买方案？ （2）哪种方案买到的笔的总支数最多？最多是多少支？ 模型七　数字问题模型 【模型总结】两位数＝10×十位数字＋个位数字。把两个数字对调，新数与原数的差一定是 9 的倍数，这是数字问题最好用的隐含等量关系。 【题型特征】给出两位数数字的和（差）或对调前后两数的变化，求原来的两位数。 【等量关系】① 十位数字与个位数字的和（或差）已知；② 新数－原数＝(个位数字－十位数字)。 例7．一个两位数，个位上的数字是十位上的数字的 2 倍。若把这个两位数的两个数字对调，所得的新两位数比原两位数大 36，求原来的两位数。 变式 7-1．（中档）一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 4。把这个两位数的两个数字对调后，所得的新两位数与原两位数的和是 110。求原来的两位数。 变式 7-2．（中档）一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是 12。把这个两位数减去 36，恰好等于把两个数字对调后所得的新两位数。求原来的两位数。 四、随堂小练（每个模型 1 题，共 7 题） 要求：先判断这道题属于哪一类模型，再按“找等量关系→列方程组→求解→检验作答”完整书写。 1．（和差倍分）某班男生人数比女生人数的 2 倍少 4 人，全班共有学生 50 人。求这个班的男生、女生各多少人。 2．（行程（相遇））A、B 两地相距 30 千米。甲从 A 地步行、乙从 B 地骑车，两人同时出发相向而行，1.5 小时后相遇。已知乙的速度是甲的 3 倍，求甲、乙两人的速度。 3．（工程）一项工作，若甲先单独做 4 小时，再由乙单独做 10 小时，恰好完成；若两人合做，8 小时完成。求甲、乙单独完成这项工作各需多少小时。 4．（利润销售）某商场销售 A、B 两种书包，A 种每个售价 100 元，B 种每个售价 150 元。某天共卖出 30 个，销售额为 3900 元。求这天 A、B 两种书包各卖出多少个。 5．（配套）某服装厂有 54 名工人，每人每天可做上衣 8 件或裤子 10 条。1 件上衣配 1 条裤子，为使每天生产的上衣和裤子恰好配套，应安排多少人做上衣、多少人做裤子？ 6．（方案选择）水果店把 46 个苹果装盒，大盒每盒装 8 个，小盒每盒装 6 个。要求每盒都装满，且两种盒子都要用，共有几种装盒方案？ 7．（数字问题）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小 3。把这个两位数的两个数字对调后，所得的新两位数与原两位数的和是 99，求原来的两位数。 五、课后巩固（共 4 题，难度逐题递升） 第 1、2 题为基础综合，第 3 题为中档综合，第 4 题为方案选择拔高题（含三问，注意分类不重不漏）。 1．（中档）某水果店购进苹果和梨共 200 千克，苹果每千克进价 6 元，梨每千克进价 4 元，共花去 940 元。 （1）求购进苹果、梨各多少千克； （2）若苹果以每千克 8 元、梨以每千克 6 元全部售出，求这次销售的总利润。 2．（中档）一列火车匀速行驶，完全通过一座长 800 米的大桥用了 60 秒，完全通过一条长 400 米的隧道用了 40 秒。 （1）求这列火车的速度和车长； （2）若该车以同样的速度完全通过一座长 1600 米的大桥，需要多少秒？ 3．（中档）一项工程，若甲队先单独做 6 天，然后两队合做 6 天，恰好完成；若乙队先单独做 8 天，然后两队合做 4 天，也恰好完成。求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天。 4．（拔高）某物流公司用大、小两种货车运货。3 辆大货车和 2 辆小货车一次共运 19 吨；2 辆大货车和 3 辆小货车一次共运 16 吨。 （1）求大、小货车每辆的载重量； （2）现有 29 吨货物，若一次运完且每辆车都装满，有几种安排方案？ （3）若大货车每辆运费 300 元、小货车每辆运费 150 元，在（2）的方案中哪种最省钱？最少运费是多少元？ 二元一次方程组应用题专项重点讲义　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $