5.3二元一次方程组的应用（第1课时）教案2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该教案聚焦列二元一次方程组解决含两个未知数的实际问题，以《孙子算经》鸡兔同笼问题导入，通过审题记录卡梳理已知量、未知量及隐含条件，搭建从算术法、一元一次方程到二元一次方程组的学习支架，衔接前后知识。 特色在于融合数学文化与递进式探究，以古算题（鸡兔同笼、斐波那契问题、《张丘建算经》题）为载体，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（对比解法推理）、数学语言（古文翻译等量关系）。用思维导图总结步骤，助力学生掌握建模方法提升素养，为教师提供文化融入与思维训练的清晰路径。

二元一次方程组的应用（第1课时） 一、教学目标 1. 基础知识与基本技能： 掌握列二元一次方程组解决含有两个未知数的实际问题的基本步骤，能正确设未知数、找等量关系、列方程组并求解。 2. 基本思想与基本活动经验： 经历“实际问题→数学建模→方程求解→回归实际”的完整探究过程，在经典古算题的研读中体会数学建模思想与化归思想，感受从多元到一元的消元策略。 3. 发现问题与提出问题能力： 能从《孙子算经》《张丘建算经》等古籍问题中发现数量之间的关系，主动提出“题目涉及哪些量”“这些量之间有怎样的等量关系”等关键问题。 4. 分析与解决问题能力： 能运用二元一次方程组模型分析古代数学问题中的数量关系，通过解方程组获得问题的解，并对解的合理性作出解释。 二、教学重点与难点 教学重点： 审清题意，找准题目中的两个等量关系，正确列出二元一次方程组。 教学难点： 古代数学文本的阅读理解与数量关系的抽象转化，尤其是“甲得乙十钱，多乙余钱五倍”等古文表述的现代数学翻译。 三、教学过程 （一）文化导入 1. 呈现原典，激趣导入 PPT展示《孙子算经》原文：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？” 师：这是我国古代数学名著《孙子算经》中的一道经典名题。距今已有1500多年的历史，它不仅流传至今，还传播到了日本、朝鲜等国家。今天，就让我们穿越时空，用数学的眼光来破解这道千古趣题。 2. 自主审题，信息提取 引导学生默读题目，完成“审题记录卡”： 已知量 未知量 隐含条件 头数：35 鸡的只数 每只鸡1个头2只脚 足数：94 兔的只数 每只兔1个头4只脚 追问1：题目涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ 【设计意图】通过审题记录卡培养学生信息提取与整理的习惯，为后续建模奠定基础。 （二）探究建模 3. 独立尝试，多元解法 师：请同学们尝试用自己学过的方法解决这个问题。可以用算术方法、一元一次方程，也可以尝试今天要探究的二元一次方程组。 学生独立完成后，小组交流解法，教师巡视收集典型解法。 预设解法展示： 算术假设法：假设全是鸡，35×2=70只脚，少了94-70=24只脚，每把一只鸡换成兔多2只脚，兔有24÷2=12只，鸡有35-12=23只。 一元一次方程：设兔有x只，则鸡有(35-x)只，列方程4x+2(35-x)=94。 二元一次方程组：设鸡x只、兔y只，列方程组： 4. 对比优化，体会建模思想 追问2：比较这三种方法，它们有什么联系和区别？ 引导学生发现：假设法是算术思维，需要进行假设—比较—调整的推理过程；一元一次方程需要选择一个未知数并用另一个表示；二元一次方程组则能直接反映题目中的两个等量关系，思维更加顺畅自然。-12 5. 规范解题格式 板演二元一次方程组的完整解题过程，强调“设—列—解—答”四步骤。 （三）变式深究 6. 尝试·思考——斐波那契古题 呈现课本“尝试·思考”问题： 若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍；若乙从甲处得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币？ 师：请同学们先用“圈画法”标出题目中的关键词（如“得到”“倍”），再用表格梳理两种情况下甲、乙钱数的变化。 情况 甲的钱数 乙的钱数 数量关系 初始 x y 甲得乙7钱 x+7 y-7 x+7=5(y-7) 乙得甲5钱 x-5 y+5 y+5=7(x-5) 学生独立列方程组求解后展示交流。 7. 例1研读——《张丘建算经》 呈现课本例1： 今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。乙得甲十钱，适等。问甲、乙怀钱各几何？ 追问3：“多乙余钱五倍”是什么意思？是“甲比乙剩余的钱多5倍”还是“甲是乙剩余的6倍”？ 引导学生辨析古文表述：“多乙余钱五倍”意为甲的钱数比乙剩余的钱多5倍，即甲的钱数是乙剩余的6倍。 学生独立完成后，全班交流列式： 【设计意图】通过三道古算题的递进式探究，引导学生经历从简单到复杂、从直观到抽象的建模过程，同时融入数学文化教育。 （四）归纳提升 8. 思考·交流 追问4：列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系？ 引导学生归纳： 联系：都是通过设未知数、找等量关系列方程来解决问题，都体现了方程思想。 区别：一元一次方程需要用一个未知数表示另一个，思维路径较长；二元一次方程组直接反映两个等量关系，更符合问题本来的结构。-7 9. 方法总结 用思维导图梳理“列二元一次方程组解应用题”的一般步骤： 审题→设未知数→找等量关系→列方程组→解方程组→检验→作答 强调核心：找两个不同的等量关系列两个方程。 （五）随堂检测 呈现课本“随堂练习”： 今有牛五、羊二，直金十两。牛二、羊五，直金八两。牛、羊各直金几何？ 学生口答列式，课后完成完整解答。 四、板书设计 §3 二元一次方程组的应用（第1课时） 一、方法对比 二、解题步骤 算术法：假设—比较—调整 审题→设未知数 一元一次方程：设→列→解→答 ↓ 二元一次方程组：直接反映等量关系 找等量关系 ↓ 例1（规范板演） 列方程组→解→检验→答 设甲x钱，乙y钱 解得： 五、知识总结 核心知识点： 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 从实际问题中抽象两个等量关系的方法 二元一次方程组的求解（代入法/加减法） 数学思想方法： 数学建模思想：将实际问题转化为方程组问题 化归思想：将二元化为一元（消元） 转化思想：将古文表述转化为现代数学语言 知识网络图： 实际问题 → 审题提取信息 → 找等量关系 → 列方程组 → 求解 → 检验作答 ↑ ↓ 隐含量（如每只动物头足数） 一元一次方程（消元思想）易错易混警示： 古文“多乙余钱五倍”易误理解为“甲是乙剩余的5倍”，实为“甲比乙剩余多5倍”，即6倍关系。 列方程时易忽略“隐含条件”（如每只鸡2只脚、每只兔4只脚）。 解得方程组的解后忘记代入原题检验合理性。 六、课后作业 基础题： 课本随堂练习（牛五羊二问题）完整作答，要求写出“设—列—解—答”全过程。 提高题： 尝试用一元一次方程和二元一次方程组两种方法求解同一道应用题，比较两种方法的思维差异。 拓展题（选做）： 查阅《九章算术》中的其他方程问题（如“盈不足”问题），尝试用二元一次方程组求解，下节课与同学分享。 6 学科网（北京）股份有限公司 $