5.3 二元一次方程组的应用（分层作业·练题型）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 初中数学二元一次方程组应用同步练，通过A/B/C组及中考拓展分层设计，覆盖10类应用题型，从基础建模到综合创新，培养数学建模与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|方案设计、行程等10类基础题型|单选/填空/解答题结合，如年龄问题、数字问题，强化方程建立能力| |B组能力进阶|综合情境问题|多条件关联题，如运输成本与采购方案结合，提升推理能力| |C组思维拔高|复杂实际问题|含图表信息、古代数学题，如《九章算术》问题，培养数学文化与创新思维| |拓展链接中考|中考真题题型|贴近中考命题，如动态行程、利润优化，衔接升学需求|

分层作业 5.3 二元一次方程组的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案设计问题 题型02 行程问题 题型03 数字问题 题型04 年龄问题 题型05 分配问题 题型06 销售利润问题 题型07 和差倍分问题 题型08 几何问题 题型09 图表信息问题 题型10 古代数学问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 方案设计问题题型01 一、单选题 1．学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 二、填空题 2．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 3．为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．已知篮球的单价是元，足球的单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团的购买方案一共有________种． 三、解答题 4．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （运营成本） 某咖啡店的配送账单：上周六，该市一家网红咖啡店共发出了单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费元，无人机每单运费元，该店当天的总运费支出为元． 素材2 （运力升级） 新机型采购计划：为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队．旋翼型：单价万元，旋翼型：单价万元．公司计划正好投入万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：根据素材1，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“传统骑手”和“无人机”各配送了多少单？ (2)任务2：根据素材2的预算限制，请你帮助公司设计采购方案：共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； 5．江苏城市足球超级联赛（苏超）开赛，某校足球队准备购买“鸭嘟嘟”和“蟹嘟嘟”两款官方纪念品，“鸭嘟嘟”49元/个，“蟹嘟嘟”35元/个． (1)若两款纪念品共购买12个，花费490元，问“鸭嘟嘟”，“蟹嘟嘟”各买了几个（用二元一次方程组解决问题）？ (2)若购买这两款纪念品恰好花费700元（两款纪念品都要购买），有哪几种购买方案？ 6．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 行程问题题型02 一、单选题 1．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 4．小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 三、解答题 5．某人每小时可走平路8千米，可走下坡路10千米，可走上坡路6千米．他从甲地到乙地去，先走一段上坡路，再走一段平路．到乙地后立即返回甲地．往返共用了2小时36分钟．若甲乙两地间的路程为10千米，问上坡路有多少千米，平路多少千米? 6．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 7．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 数字问题题型03 一、单选题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；时看到里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的6倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组____________ 三、解答题 3．一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？ 4．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 年龄问题题型04 一、单选题 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 三、解答题 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 分配问题题型05 一、单选题 1．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 三、解答题 4．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 5．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 6．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 7．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 销售利润问题题型06 一、单选题 1．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 二、解答题 2．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 3． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 4．2026亚足联女足亚洲杯5月11日在江苏苏州展开四分之一决赛较量，中国女足3∶0击败印度队，跻身四强的同时，获得2026国际足联女足世界杯参赛资格．某玩具店5月份购进甲、乙两款玩具足球共花费2000元，其中甲款每个20元，乙款每个16元，全部售完；6月份，这两款玩具足球的进价上调为甲款每个25元，乙款每个18元．该店6月份购进这两款足球的数量与5月份相同，却多花费400元． (1)该店5月份分别购进甲、乙两款玩具足球多少个？ (2)该店6月份甲款玩具足球的售价为每个40元，乙款玩具足球的售价为每个30元，在甲款玩具足球出售一半、乙款玩具足球全部售完后，商店决定对甲款玩具足球打折处理，在售完全部玩具足球后，本月获得的总利润为1200元，剩余甲款玩具足球打几折销售？（不考虑其他支出） 和差倍分问题题型07 一、单选题 1．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 三、解答题 3．甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 4．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 几何问题题型08 一、单选题 1．如图，在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．10 B．16 C．18 D．24 二、填空题 2．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 3．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 三、解答题 4．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 图表信息问题题型09 一、单选题 1．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 二、填空题 2．根据图中提供的信息，若在左图中同时置入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，则需要同时置入的小球、大球分别是____________个． 三、解答题 3．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 4．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 5．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 6．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 古代数学问题题型10 一、单选题 1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 2．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”大意是：两匹马和一头牛的总价大于1万钱．超过的部分等于半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价小于1万钱，不足的部分等于半头牛的价格，问一匹马，一头牛的价格分别是多少钱？若设一匹马的价格为钱，一头牛的价格为钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 5．《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”意思是：五只雀、六只燕一共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只燕的重量为x斤，一只雀的重量为y斤，则可列方程组为________________． 三、解答题 6．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 7．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    一、单选题 1．如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 4．《九章算术》中记载：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷、价钱一万．问善、恶田各几何？其大意：今有好田1亩、价值300钱（“钱”为古代的货币单位）；差田7亩，价值500钱．现一共买好田、差田1顷（“顷”是古代重要的土地计量单位，1顷=100亩），共花费10000钱．问好、差田各买了多少亩？设好田买了亩，差田买了亩，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 5．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 7．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（     ） A．1个大铁球和7个小铁球 B．2个大铁球和5个小铁球 C．3个大铁球和4个小铁球 D．4个大铁球和1个小铁球 8．我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若，，则的长为______． 10．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 11．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 12．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 13．将两块相同的长方体木块和一张课桌先按如图所示的方式放置，再按如图所示的方式放置，根据图中数据，得到这张课桌的高度是______． 14．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 三、解答题 15．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； (2)小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 16．【综合实践】在七年级下册课本“综合与实践”中，我们认识并探究了“低碳生活”中的有关内容．七年级某班的数学兴趣小组对小明家的“家庭用水和天然气”的耗碳量进行探究，计算生活中的“碳足迹”．通过查询资料确定某“种类”消耗的碳排放系数，再计算该“种类”的耗碳量，其关系式为：“种类”耗碳量“种类”消耗量ד种类”消耗的碳排放系数． 【数据整理及应用】已知： ①小明家二月份的“家庭用水和天然气”共； ②兴趣小组调查资料发现：“天然气”消耗的碳排放系数为，“水”消耗的碳排放系数为； ③二月份小明家的“家庭用水和天然气”的耗碳量共为． 根据以上信息，求小明家二月份的家庭用水量和天然气量． 17．根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板300张，的长方形纸板600张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． (1)若做2个竖式无盖纸盒和1个横式无盖纸盒，则需正方形纸板________张，长方形纸板_______张． (2)根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 一、填空题 1．用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 二、解答题 2．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 3．图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 4．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 5．项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 一、单选题 1．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 3．2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 二、解答题 4．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 5．为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.3 二元一次方程组的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 方案设计问题 题型02 行程问题 题型03 数字问题 题型04 年龄问题 题型05 分配问题 题型06 销售利润问题 题型07 和差倍分问题 题型08 几何问题 题型09 图表信息问题 题型10 古代数学问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 方案设计问题题型01 一、单选题 1．学校组织师生共360人参加游园活动，有载客量分别为45人、30人两种客车可供租用，要求可以租其中一种客车或者两种同时租但租的每辆车必须满载，则师生一次性全部到达公园的租车方案有（     ） A．3种 B．4种 C．5种 D．6种 【答案】C 【分析】根据总人数列出方程，求方程的非负整数解，统计解的个数即可得到方案数． 【详解】设租用载客量45人的客车辆，载客量30人的客车辆，其中为非负整数， 根据题意总人数为360人，可得： ， 两边同除以15化简得： ， 变形得 ， ∵为非负整数， ∴为整数，且， 可得为非负偶数，且， 因此的所有可能取值为，对应的值为，均符合要求， ∴共有5种租车方案． 二、填空题 2．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有________种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 【详解】解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 3．为了进一步落实“双减”政策，增加学生室外活动时间，红星小学某社团计划购买一批篮球和足球用于开展课后服务训练．已知篮球的单价是元，足球的单价是元．若该社团用元购买这两种球（篮球、足球都购买）且元恰好用完，则该社团的购买方案一共有________种． 【答案】 【分析】设购买篮球个，足球个，根据总费用列出方程，再结合球数为正整数的条件，找出所有符合要求的二元一次方程的解，统计方案数即可． 【详解】设购买篮球个，足球个，、均为正整数， 根据题意列方程，得， 化简，得， 整理，得 ， ，均为正整数， 为整数， 又与互质， 是的倍数， 由得 ， 解得， 又， ， 的可取的值为，，，对应为，，，均符合要求， 该社团共有种购买方案． 三、解答题 4．随着“低空经济”被写入政府工作报告，某市物流公司率先启动了“空中快递”服务，利用无人机进行同城急送．某数学兴趣小组对该服务的运营数据进行了调研，整理素材如表： 类别 素材内容 素材1 （运营成本） 某咖啡店的配送账单：上周六，该市一家网红咖啡店共发出了单外卖，采用“传统骑手”和“无人机”两种方式共同完成配送，且全部配送完毕．已知传统骑手每单运费元，无人机每单运费元，该店当天的总运费支出为元． 素材2 （运力升级） 新机型采购计划：为了提升运力，公司决定淘汰部分旧机型，购入“旋翼型”和“旋翼型”两种新型无人机共建新机队．旋翼型：单价万元，旋翼型：单价万元．公司计划正好投入万元预算用于采购这两种无人机，且两种型号都必须购买． 问题解决： (1)任务1：根据素材1，利用二元一次方程组的知识，求上周六该咖啡店使用“传统骑手”和“无人机”各配送了多少单？ (2)任务2：根据素材2的预算限制，请你帮助公司设计采购方案：共有哪几种满足条件的采购方案？请列出所有可能的情况； 【答案】(1) 传统骑手配送了单，无人机配送了单. (2) 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台. 【分析】（1）设传统骑手配送了单，无人机配送了单，列方程组求解即可； （2）设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台，可得：，根据、均为正整数，求出满足条件的采购方案． 【详解】（1）解：设传统骑手配送了单，无人机配送了单， 根据题意可得：， 解得：， 答：传统骑手配送了单，无人机配送了单； （2）解：设旋翼型无人机采购了台，旋翼型无人机采购了台， 根据题意可得：， 整理可得：， 、均为正整数， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 共有种满足条件的采购方案，分别是： 方案一：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案二：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案三：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台； 方案四：旋翼A型无人机台，旋翼B型无人机台． 5．江苏城市足球超级联赛（苏超）开赛，某校足球队准备购买“鸭嘟嘟”和“蟹嘟嘟”两款官方纪念品，“鸭嘟嘟”49元/个，“蟹嘟嘟”35元/个． (1)若两款纪念品共购买12个，花费490元，问“鸭嘟嘟”，“蟹嘟嘟”各买了几个（用二元一次方程组解决问题）？ (2)若购买这两款纪念品恰好花费700元（两款纪念品都要购买），有哪几种购买方案？ 【答案】(1)“鸭嘟嘟”买了5个，“蟹嘟嘟”买了7个 (2)有2种购买方案：“鸭嘟嘟”买5个，“蟹嘟嘟”买13个或“鸭嘟嘟”买10个，“蟹嘟嘟”买6个 【分析】（1）“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个，根据“两款纪念品共购买12个，花费490元”列方程组求解即可； （2）根据题意得到关于，的二元一次方程，根据，都是整数取合适的解即可． 【详解】（1）解：设“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个， 根据题意得：， 解得． 答：“鸭嘟嘟”买了5个，“蟹嘟嘟”买了7个； （2）解：设“鸭嘟嘟”买了个，“蟹嘟嘟”买了个， 由题意得：，因为，都是正整数， 所以或． 答：有2种购买方案：“鸭嘟嘟”买5个，“蟹嘟嘟”买13个或“鸭嘟嘟”买10个，“蟹嘟嘟”买6个． 6．根据以下素材，探索完成任务． 素材1“浙BA”的门票分为A，B，C三个档次，购买1张A档门票和2张B档门票需要64元；购买2张A档门票和3张B档门票需要110元；购买1张C档门票需要8元． 素材2某购票平台有优惠活动：每购买1张A档门票就赠送1张C档门票． (1)求A档和B档门票的单价． (2)某篮球俱乐部组织30名同学观看比赛． ①若购买A档门票8张、B档门票10张，其余都是C档门票，求俱乐部购买门票需要多少元? ②若该俱乐部购买门票共花了420元（三种门票都有购买），且赠送的C档门票全部用完．请你求出所有符合条件的购买方案，并写出解答过程． 【答案】(1)A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元 (2)①俱乐部购买门票需要436元；②设购买了张A档门票，张B档门票，则购买了张C档门票，根据题意得：， ， 又，，均为正整数， 或， ∴共有两种购买方案， 方案1：购买10张A档门票，6张B档门票，4张C档门票； 方案2：购买5张A档门票，12张B档门票，8张C档门票． 【分析】（1）设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元，再根据票价相等列出方程组，求出解即可； （2）①根据（1）中的单价可得总票价；②设购买m张A档门票，n张B档门票，可知C档门票为张，再根据总价相等得出二元一次方程，并根据整数解讨论方案即可． 【详解】（1）解：设A档门票的单价是元，B档门票的单价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：A档门票的单价是28元，B档门票的单价是18元； （2）解：①根据题意得： （元）． 答：俱乐部购买门票需要436元． ②略 行程问题题型02 一、单选题 1．小明去距市区的旅游景点游玩，先乘汽车，后步行，全程共用了，已知汽车的速度为，步行的速度为，设小明乘汽车的路程和步行的路程分别为和，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，关键是根据相等关系列方程组；根据总路程和总时间的两个等量关系列方程组，核心是运用“时间=路程÷速度”的公式． 【详解】解：∵ 总路程为，乘车路程为，步行路程为， ∴ ， ∵ 总时间为，且时间=路程÷速度，汽车速度为，步行速度为， ∴ 乘车时间为，步行时间为， ∴ ， ∴方程组为， 故选：B． 2．甲、乙二人分别从相距的，两地出发，相向而行．如图是小华绘制的甲、乙二人运动两次的情形，设甲的速度是，乙的速度是，根据题意所列的方程组正确的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．根据路程速度时间结合两次运动的情形，即可得出关于x、y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设甲的速度是，乙的速度是， 根据题意所列的方程组为：， 故选：D． 二、填空题 3．甲、乙两车分别从相距的A、B两地同时出发．如果匀速同向而行，那么甲车后追上乙车；如果匀速相向而行，那么两车在后相遇．设甲车速度为，乙车速度为．根据题意，可列方程组________． 【答案】 【分析】本题根据行程问题中追及和相遇的路程关系列方程组，同向追及时，相同时间内甲车行驶路程比乙车多A、B两地的距离；相向相遇时，两车行驶路程和等于A、B两地的距离，据此即可列出方程组． 【详解】解： 已知甲车速度为，乙车速度为，A、B两地相距， 当两车匀速同向而行，甲车后追上乙车，可得甲车行驶路程减去乙车行驶路程等于两地距离，列方程得， 当两车匀速相向而行，后相遇，可得两车行驶路程和等于两地距离，列方程得， 因此可列方程组为． 4．小明购置一辆山地自行车进行户外越野骑行，同款轮胎安装在前轮磨损较慢，行驶后报废；安装在后轮磨损较快，行驶就报废．轮胎A在前，轮胎B在后，行驶到某一里程时交换A和B，又行驶一段里程后发现轮胎A完全磨损坏掉，但轮胎B还未完全磨损，此时总里程为．设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为，则可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，把轮胎的磨损量看成“1”，由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损分别为和，根据题意列方程组即可． 【详解】解：设轮胎A在交换前行驶里程为，交换后行驶里程为， 由总里程为可得， 由题意得自行车前后轮胎行驶1千米的磨损量分别为和，则轮胎A在交换前的磨损量为，交换后的磨损量为，由此可得． 因此可列方程组为． 三、解答题 5．某人每小时可走平路8千米，可走下坡路10千米，可走上坡路6千米．他从甲地到乙地去，先走一段上坡路，再走一段平路．到乙地后立即返回甲地．往返共用了2小时36分钟．若甲乙两地间的路程为10千米，问上坡路有多少千米，平路多少千米? 【答案】 上坡路有千米，平路有千米 【分析】设上坡路有千米，平路有千米，根据题意，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：设上坡路有千米，平路有千米， 小时分钟小时， 由题意，得， 解得， 答：上坡路有千米，平路有千米. 6．火车以的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾驶出隧道，共用时，其中火车全身都在隧道里的时间是，求隧道和火车的长度． 【答案】火车长，隧道长 【分析】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，设火车长，隧道长，根据行程问题的数量关系路程=速度×时间建立方程组求出其解即可． 【详解】解：设火车长，隧道长 根据题意，得 解得： 答：火车长，隧道长． 7．小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 数字问题题型03 一、单选题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为，十位数字为，所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题需要根据题意找出两个等量关系，正确用代数式表示两位数，再列出方程组，两位数等于10乘十位数字加个位数字．此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，十位数字为， 由“十位数字与个位数字的和是8”可得第一个方程． ∵原两位数为，数字对调后组成的新两位数为， ∴由“这个两位数加上18，结果恰好成为数字对调后组成的两位数”可得第二个方程 ． ∴所列方程组为． 故选：D． 二、填空题 2．小明骑摩托车在公路上高速行驶，早晨时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；时看到里程碑上的两位数与时看到的个位数和十位数颠倒了；时看到里程碑上的数是时看到的数的6倍，小明在时看到的数字是多少？设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则可以列方程组____________ 【答案】 【分析】设时看到的个位数字是x，十位数字是y，则得到，再根据速度不变得到，即可得到方程组． 【详解】解：设时看到的个位数字是x，十位数字是y， 由题意得，． 三、解答题 3．一个两位数数位上的数字之和是，将它的十位数字和个位数字交换后，得到新的两位数，若新两位数比原两位数小，原两位数是多少？ 【答案】原两位数是 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．设原两位数的十位数字为，个位数字为，根据个位数字和十位数字的关系以及新、旧两位数的关系建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到，的值，即可得到答案． 【详解】解：设原两位数的十位数字为，个位数字为， 依题意得：， 解得：， ∴． 答：原两位数是． 4．爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． 5．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 年龄问题题型04 一、单选题 1．10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？若设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，弄清题意，找准等量关系是解题的关键． 由“10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍”可知，由“10年后，小明妈妈的年龄是小明的2倍”可知，进而列方程组即可． 【详解】解：设小明和他妈妈现在的年龄分别是x岁和y岁，由题意可得： 故选：B 二、填空题 2．某天小雅问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁了，哈哈！”小雅的年龄是_________岁 【答案】15 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设小雅爷爷是岁，小雅是岁，根据爷爷及小雅的年龄之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，解方程即可． 【详解】解：设小雅的爷爷是岁，小雅是岁， 由题意，得： 解得： 所以小雅的年龄是15岁． 故答案为：15． 三、解答题 3．根据对话内容，请你用方程的知识求出现在哥哥和妹妹的年龄各是多少岁？ 【答案】现在哥哥10岁，妹妹6岁 【分析】设现在哥哥岁，妹妹岁，根据两个孩子的对话，可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设现在哥哥x岁，妹妹y岁， 根据题意得 解得： 答：现在哥哥10岁，妹妹6岁 4．今年（2022年）4月20日，是云大附中建校95周年暨云大附中恢复办学40周年校庆日，我校初一年级数学兴趣小组的小明同学发现这样一个有趣的巧合；小明的爸爸和爷爷都是云附的老校友，且爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40．已知小明今年13岁，妹妹今年4岁． (1)求今年小明的爸爸和爷爷的年龄分别是多少岁？（要求用二元一次方程组解答） (2)假如小明的爸爸和爷爷都是15岁初中毕业的，请问小明的爸爸和爷爷分别是哪一年毕业的云附学子？ 【答案】(1)爸爸36岁，爷爷76岁 (2)爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子 【分析】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁，根据“爸爸和妹妹的年龄差恰好与爷爷和小明的年龄差的和为95，而爸爸的年龄恰好比爷爷的年龄小40”列出二元一次方程组求解即可． （2）用现在年份减去年龄加15即可得到答案． 【详解】（1）设今年小明的爸爸x岁，爷爷y岁． ． 解得： 答：今年小明的爸爸36岁，爷爷76岁； （2）（年） （年） 小明的爸爸是2001年毕业，爷爷是1961年毕业的云附学子． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系是解答本题的关键． 分配问题题型05 一、单选题 1．用铁皮做水桶，每张铁皮能做1个桶身或6个桶底，而1个桶身与1个桶底正好配套成1个水桶．现在有56张这样的铁皮，设用x张铁皮做桶身，y张铁皮做桶底，生产的桶身和桶底正好配套，则下列方程组中符合题意的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题根据两个等量关系列方程组，一是铁皮总张数为56，二是桶身数量与桶底数量相等正好配套，据此即可得到符合题意的方程组． 【详解】解：设用张铁皮做桶身，张铁皮做桶底，根据题意得 ． 2．半期考试后，李老师准备从某玩具厂定制一批盲盒作为礼物奖励学生，玩具厂用某种布料生产玩偶与玩偶组合成这批盲盒，一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶．已知每米布料可做2个玩偶或1个玩偶，现计划用128米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据布料总长度和玩偶配套关系列出方程组．根据布料总长度为128米，以及一个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶的配套关系，列出方程组． 【详解】解：设用米布料做玩偶，用米布料做玩偶， ∵ 布料总长为128米， ∴ ； ∵ 每米布料可做2个玩偶，或1个玩偶， 每个盲盒搭配3个玩偶和2个玩偶， ∴ ； 故方程组为 ， 故选：A． 二、填空题 3．如图，某数学兴趣小组准备用如图①的长方形和正方形木板，做如图②的竖式和横式两种无盖木箱，现在共有100块正方形木板和200块长方形木板，则做竖式和横式木箱共_______个恰好把这些木板用完． 【答案】60 【分析】设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完，根据竖式和横式两种无盖木箱与木板的数量关系列出方程组，求解即可． 【详解】解：设做竖式木箱x个，横式木箱y个，恰好把这些木板用完， 根据题意，得， 解得， 故， 故做竖式和横式木箱共60个恰好把这些木板用完． 三、解答题 4．某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 5．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 6．某酒店客房部有三人间普通客房、双人间普通客房，收费标准为：三人间150元/间，双人间140元/间．为吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施．一个23人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间普通客房和双人间普通客房．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费655元，则该旅游团住了三人间普通客房和双人间普通客房各多少间？（请列二元一次方程组求解） 【答案】三人间普通客房5间，双人间普通客房4间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找出合适的等量关系，利用已知得出方程组是解题关键． 设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，根据人数和住宿费列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设住了三人间普通客房x间，则住了两人间普通客房间，由题意，得： 解得：， 答：三人间普通客房5间，双人间普通客房4间． 7．完成如下项目式学习表 情境 挖掘 眼镜，这一我们日常生活中不可或缺的物品，不仅具有改善视力、保护眼睛的实用功能，更是时尚搭配的利器．其历史可追溯至遥远的古代，我国很早就出现了眼镜的雏形．例如，两汉魏晋时期就已经出土了天然水晶磨制的镜片，这可以视为眼镜的早期形态．到了宋代，双片镜片的眼镜应运而生，被人们称为“叆叇（ài dài）”，这一名称至今仍在某些地区沿用．明清时期中西方文化交流促进了眼镜技术的传播． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架(如图)，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成． 工厂现共有名工人，平均每人每天生产个镜框或个镜腿． 任务 解决 任务一：应如何分配工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ 任务二：若每副镜架的成本为元，要达到的利润率(利润率=利润÷成本)，则每副镜架的出厂价应定为多少元？ 【答案】【任务一】每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套； 【任务二】每副镜架的出厂价应定为元． 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用和利润率的计算，关键是理解配套关系和利润率的公式． 任务一：根据“每副镜架由1个镜框和2个镜腿配套”，得到镜腿数量是镜框数量的2倍，据此列方程求解； 任务二：根据“利润率=利润÷成本”先算出利润，再由“出厂价成本利润”利用方程计算出厂价． 【详解】任务一： 解：设分配名工人生产镜框，则名工人生产镜腿． ∵每副镜架需要1个镜框和2个镜腿， ∴镜腿的日产量应是镜框日产量的2倍， 可得方程， 解得， 则生产镜腿的工人数量为(名)． 答：每天分配名工人生产镜框，名工人生产镜腿恰好使每天生产的镜框和镜腿配套． 任务二： 解：设每副镜架的出厂价应定为元． 由题意，得，解得． 答：要达到的利润率，每副镜架的出厂价应定为元． 销售利润问题题型06 一、单选题 1．某商场甲、乙两个柜台去年十二月份的总营业额为64万元．今年一月份甲柜台的营业额增长了，乙柜台的营业额降低了，且两个柜台的总营业额达到75万元，则甲柜台去年十二月份的营业额为（     ）万元． A．40 B．25 C．26 D．34 【答案】D 【分析】设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元，根据去年十二月总营业额和今年一月变化后总营业额的条件，列出方程组即可求解． 【详解】解：设甲柜台去年十二月份的营业额为万元，乙柜台去年十二月份的营业额为万元， 由题意得，， 解得， ∴甲柜台去年十二月份的营业额为34万元． 二、解答题 2．【综合与实践】： 背景 为庆祝2026年的到来，某班级计划在元旦节这天开展新年联欢活动，同学们提前购买了A、B两种款式的中国结布置教室． 素材 若购买10个A款中国结，5个B款中国结，共需160元；若购买15个A款中国结，10个B款中国结，共需270元． 问题解决 (1)任务1：问A款中国结和B款中国结的销售单价各是多少元？ (2)任务2：购买A、B两种款式的中国结共19个，刚好花了220元，请问购买A款中国结和B款中国结各多少个？ 【答案】(1)A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； (2)购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 【分析】（1）设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，根据购买的数量和对应的费用列出方程组并解方程组即可； （2）设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，根据刚好花了220元列出方程并解方程即可． 【详解】（1）解：设A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元，则 解得 答：A款中国结的销售单价是元，B款中国结的销售单价是元； （2）解：设购买A款中国结个，则购买B款中国结个，则 解得， 则， 答：购买A款中国结个，则购买B款中国结个． 3． 背景 为助力乡村振兴、支持惠农富农，某合作社销售来自山区的甲、乙两种苹果． 素材 已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． 请利用二元一次方程（组）相关知识解决下列问题： (1)求甲、乙两种苹果每箱的售价； (2)王老师购买了甲、乙两种苹果，恰好花费600元，求两种苹果各买了多少箱． 【答案】(1)甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元 (2)购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱 【分析】（1）设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元，列出方程组，解方程组即可； （2）设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据购买甲、乙两种苹果，恰好花费600元，列出二元一次方程，根据方程的解为正整数，解方程即可． 【详解】（1）解：设甲种苹果每箱售价x元，乙种苹果每箱售价y元，根据题意得： ， 解得：， 答：甲种苹果每箱售价100元，乙种苹果每箱售价80元； （2）解：设甲种苹果买了m箱，乙种苹果买了n箱，根据题意得： ， ∵m、n为正整数， ∴， 答：购买甲种苹果2箱，乙种苹果5箱． 4．2026亚足联女足亚洲杯5月11日在江苏苏州展开四分之一决赛较量，中国女足3∶0击败印度队，跻身四强的同时，获得2026国际足联女足世界杯参赛资格．某玩具店5月份购进甲、乙两款玩具足球共花费2000元，其中甲款每个20元，乙款每个16元，全部售完；6月份，这两款玩具足球的进价上调为甲款每个25元，乙款每个18元．该店6月份购进这两款足球的数量与5月份相同，却多花费400元． (1)该店5月份分别购进甲、乙两款玩具足球多少个？ (2)该店6月份甲款玩具足球的售价为每个40元，乙款玩具足球的售价为每个30元，在甲款玩具足球出售一半、乙款玩具足球全部售完后，商店决定对甲款玩具足球打折处理，在售完全部玩具足球后，本月获得的总利润为1200元，剩余甲款玩具足球打几折销售？（不考虑其他支出） 【答案】(1)该店5月份购进甲款玩具足球60个，乙款玩具足球50个． (2)剩余甲款玩具足球打七五折销售． 【分析】（1）设5月份购进甲、乙两款玩具足球的数量分别为个、个，根据两个月的总花费列出二元一次方程组，求解即可得到结果； （2）根据总利润等于总售价减去总成本，结合已知总利润列出一元一次方程，求解即可得到折扣数． 【详解】（1）解：设该店5月份购进甲款玩具足球个，购进乙款玩具足球个，根据题意， ， 解得 ， 答：该店5月份购进甲款玩具足球60个，乙款玩具足球50个． （2）解：设剩余甲款玩具足球打折销售， 由题意可知6月份购进甲款60个，乙款50个，总进价为2400元， 根据总利润等于总售价减去总进价，可得 ， ， 整理得 ， 解得 ， 答：剩余甲款玩具足球打七五折销售． 和差倍分问题题型07 一、单选题 1．现有甲、乙两个钱袋，甲袋装的银子比乙袋装的银子多6两，从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍．设甲袋原有银子x两，乙袋原有银子y两，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据甲袋原有银子比乙袋多6两，可得第一个等量关系：，从甲袋取7两放入乙袋后，甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两，根据“此时乙袋银子是甲袋的2倍”，可得第二个等量关系：；联立得到方程组即可 【详解】∵甲袋原有银子比乙袋多6两， ∴ 变形得； ∵从甲袋取7两银子放到乙袋，乙袋的银子两数就是甲袋的2倍， 此时甲袋剩余银子为两，乙袋现有银子为两， ∴； 可得 二、填空题 2．有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运吨给乙堆，那么两堆煤就一样多．如果从乙堆运吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的倍．这两堆煤共重______________吨． 【答案】 【分析】设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨，由题意给出的甲、乙两堆煤的数量关系，列方程组求解即可得到总重量． 【详解】解：设甲堆原有煤吨，乙堆原有煤吨， 由题意得， 得，解得， 将代入①得， 故原方程组的解为， 两堆煤总重量为（吨）． 三、解答题 3．甲、乙两人各有书若干本，如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等．问：甲、乙两人原来各有书多少本？ 【答案】甲原来有38本书，乙原来有18本书 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设甲原来有x本书，乙原来有y本书，根据如果甲从乙处拿10本，那么甲所有的书就比乙所有的书多5倍；如果乙从甲处拿10本，那么两人所有的书相等列出方程组求解即可． 【详解】解：设甲原来有x本书，乙原来有y本书， 由题意得，， 解得， 答：甲原来有38本书，乙原来有18本书． 4．近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺．这本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？ 【答案】这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺 【分析】设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1尺，这本书长度的2倍比她的一拳长的3倍多1尺”列出二元一次方程组求解． 【详解】解：设这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：这本书的长度是尺，小文的一拳长是尺． 几何问题题型08 一、单选题 1．如图，在长方形中放入六个长、宽都相同的小长方形，，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．10 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】先设小长方形的长、宽分别为，由题意列方程组，解得小长方形的长、宽，最后根据，可解阴影面积． 【详解】解：设小长方形的长、宽分别为， 根据，结合图形得到， 解得：， ∴． 二、填空题 2．如果与互余，且的度数比的度数小，则___________． 【答案】 【分析】根据余角的定义得到两角和为，结合题目给出的度数关系列方程组求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 3．如图，长方形被分成若干个正方形，已知，则长方形的另一边____________． 【答案】 24 【分析】设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为，根据长方形对边相等即，列出关于、的方程，结合已知，求出、的值，进而求出的长. 【详解】解：设最小正方形的边长为，次小正方形的边长为， 根据图形可知，长方形的长由两个边长为的正方形和三个边长为的正方形组成， ； 长方形的长由两个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， 四边形是长方形， ， ，整理得，即 ， ， ，将代入上式得 ，解得， ， 长方形的宽由一个边长为的正方形和一个边长为的正方形组成， ， 当，时，. 三、解答题 4．小明在拼图时，发现8个大小一样的小长方形恰好可以拼成如图1所示的一个大长方形．小红看见了，说：“我来试一试．”结果小红七拼八凑．拼成如图2所示的正方形，中间留下的空白部分恰好是边长为的小正方形． 你能求出这些小长方形的长和宽吗？ 【思路分析】 (1)设每一个小长方形的长为，宽为，则由图1可列二元一次方程______，由图2可列二元一次方程______． 【问题解决】 (2)根据（1）中的分析，求出小长方形的长和宽． 【拓展延伸】 (3)七（6）班举办“以规范书写呈现汉字之美”的写字活动．现有甲、乙两种规格的笔记本作为奖品奖励给同学们．已知每本乙笔记本的厚度是每本甲笔记本厚度的2倍．根据下图中所给的数据，求每本甲笔记本的厚度和桌子的高度． 【答案】(1)； (2)小长方形的长是，宽是 (3)每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为 【分析】（1）根据图1、图2列二元一次方程即可； （2）联立（1）中两二元一次方程求解即可； （3）设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为，根据题干图列方程组求解即可． 【详解】（1）解：由图1可列二元一次方程，由图2可列二元一次方程． （2）解：根据题意，得， 解得， 答：小长方形的长是，宽是． （3）解：设每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为，则每本乙笔记本的厚度为， 根据题意，得， 解得， 答：每本甲笔记本的厚度为，桌子的高度为． 图表信息问题题型09 一、单选题 1．如图，根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是（    ） A．36元 B．32元 C．4元 D．8元 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．设一盒杯子x元，一个暖瓶y元，根据图示可得：一个杯子+一个暖瓶元，3个杯子个暖瓶元，列方程组求解． 【详解】设一盒杯子x元，一个暖瓶y元， 由题意得， ， 解得： ， ∴一个杯子为8元． 故选：D． 二、填空题 2．根据图中提供的信息，若在左图中同时置入小球、大球共10个，水的总深度恰好为，则需要同时置入的小球、大球分别是____________个． 【答案】6，4 【分析】设置入小球x个，大球y个，根据要使水面上升到和图中信息列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设置入小球x个，大球y个，把圆柱的底面积看成， 则一个小球的体积为：，一个大球的体积为：， 由题意可得：， 解得：， 答：如果要使水面上升到，应放入大球4个，小球6个； 故答案为：6，4． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出二元一次方程组． 三、解答题 3．每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 4．为积极响应绿色低碳号召，扎实推进生态文明建设，博罗县某学校组织学生到郊外开展义务植树实践活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，其营养成分表如下： 若每份午餐需要恰好摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品3包，B种食品2包 【详解】解：设应选用A种食品x包，B种食品y包， 根据题意得：， 解得：， 答：应选用A种食品3包，B种食品2包． 5．如图，某纺织厂从原料产地A地购进一批优质长绒棉运回工厂，加工制成高档纺织面料后运往B地销售，该纺织厂所在地与A、B两地分别通过公路、铁路相连，已知公路运费为0.5元/（吨），铁路运费为0.2元/（吨），从A地运输这批优质长绒棉到纺织厂，以及从纺织厂运输面料到B地，总共支出公路运费5200元，铁路运费16640元，求这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉和运往B地的纺织面料分别是多少吨？ 【答案】这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，再结合图形信息列出方程组解题即可． 【详解】解：设这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨，则 ， 解得：， 答：这家纺织厂从A地购进的优质长绒棉吨，运往B地的纺织面料吨． 6．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 古代数学问题题型10 一、单选题 1．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知一个竖直的算筹数是1，一个横着的算筹数是10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数；第二个数是的系数；第三个数是第三个和第四个算筹数相加的结果，前面的表示十位，后面的表示个位． 【详解】解：观察图2可知，第一个方程的的系数是 1，的系数是3，结果是18； 第二个方程的的系数是 2，的系数是4，结果是26， 可得图2的方程为． 2．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价．一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”大意是：两匹马和一头牛的总价大于1万钱．超过的部分等于半匹马的价格；一匹马和两头牛的总价小于1万钱，不足的部分等于半头牛的价格，问一匹马，一头牛的价格分别是多少钱？若设一匹马的价格为钱，一头牛的价格为钱，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】抓住“总价超1万的部分等于半匹马的价格”“总价不足1万的部分等于半头牛的价格”两个等量关系，分别列方程联立判断． 【详解】解：设一匹马价为钱，一头牛价为钱， ∵两匹马和一头牛的总价比10000钱多的部分等于半匹马的价格， ∴． ∵一匹马和两头牛的总价比10000钱少的部分等于半头牛的价格， ∴. 据此联立方程为． 3．《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，值钱五十；行酒一斗，值钱一十．今将钱三十，得酒二斗．问醇、行酒各得几何？其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值10钱；现有30钱，买得2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为斗，行酒为斗，则可列二元一次方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由共买得2斗酒，可得，由总钱数为30钱，醇酒1斗值50钱，行酒1斗值10钱， 可得，即可列出方程组． 【详解】解：设醇酒为斗，行酒为斗 由题意可列方程组为． 二、填空题 4．中国古代有这样一道有趣的问题：“一百马，一百瓦，大马一拉四，小马四拉一．”意思是：“现有匹马恰好拉片瓦，已知匹大马能拉片瓦，匹小马能拉片瓦．”则共有大马______匹． 【答案】 【分析】设共有大马匹，小马匹，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设共有大马匹，小马匹， 依题意得：， 解得：， 即共有大马匹． 5．《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平，并燕、雀重一斤，问燕、雀一枚各重几何？”意思是：五只雀、六只燕一共重一斤，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？设一只燕的重量为x斤，一只雀的重量为y斤，则可列方程组为________________． 【答案】 【分析】根据题目给出的两个等量关系，即可列出对应方程组. 【详解】解：设一只燕的重量为斤，一只雀的重量为斤. 根据“五只雀、六只燕一共重一斤”，可得第一个方程： ， 互换一只后，一侧剩余只燕，加入只雀，总重量为，另一侧剩余只雀，加入只燕，总重量为，根据互换后重量相等，可得第二个方程： ， 因此可列方程组为. 三、解答题 6．《九章算术》是我国古代数学著作，其中记载了这样一道题，今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲大半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱，甲乙两人各带了多少钱？ 【答案】甲带了钱，乙带了钱． 【分析】设甲带了x钱，乙带了y钱，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设甲带了x钱，乙带了y钱， 根据题意得， 解得 ∴甲带了钱，乙带了钱． 7．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． 一、单选题 1．如图，宽为50厘米的长方形是由10个相同的小长方形拼成的，其中一个小长方形的面积是（     ） A．600 B．500 C．400 D．300 【答案】C 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y，进而可求出小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 则一个小长方形的面积是． 2．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．如图是《九章算术》中的算筹图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数和的系数与相应的常数项，如图所示的算筹图用方程组的形式表述出来是，类似的，如图所示的算筹图，用方程组的形式表述为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知一个竖直的算筹数是1，一个横着的算筹数是10，每一横行是一个方程，第一个数是的系数；第二个数是的系数；第三个数是第三个和第四个算筹数相加的结果，前面的表示十位，后面的表示个位． 【详解】解：观察图2可知，第一个方程的的系数是 1，的系数是3，结果是18； 第二个方程的的系数是 2，的系数是4，结果是26， 可得图2的方程为． 3．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空．”诗中后面两句的意思：如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．若设该店有房客人，客房间，则下列二元一次方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设该店有房客人，客房间，如果一间客房住7人，那么有6人无房可住；如果一间客房住8人，那么就空出一间客房．据此列出方程组即可． 【详解】解：设该店有房客人，客房间，根据题意可得，． 4．《九章算术》中记载：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷、价钱一万．问善、恶田各几何？其大意：今有好田1亩、价值300钱（“钱”为古代的货币单位）；差田7亩，价值500钱．现一共买好田、差田1顷（“顷”是古代重要的土地计量单位，1顷=100亩），共花费10000钱．问好、差田各买了多少亩？设好田买了亩，差田买了亩，根据题意可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总亩数和总价格两个等量关系列方程即可得到答案． 【详解】解：∵设好田买了亩，差田买了亩，买好、差田共1顷，且1顷亩， ∴由总亩数可得 ， ∵好田1亩价值300钱，差田7亩价值500钱，可得差田1亩价值钱，且总花费为10000钱， ∴由总价格可得 ， 因此列方程组为 ． 5．土家女儿会上，绣球与香囊是特色互动道具．在重量相同的两个篮子里，分别放置6个绣球和7个香囊后重量仍相等，交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻．设每个绣球重，每个香囊重，则所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量”、“交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻”，分别列出方程，对比选项得到正确答案． 【详解】解：由6个绣球的总重量等于7个香囊的总重量，可得方程． 由交换绣球与香囊各一个后，原来装绣球的篮子比原来装香囊的篮子轻得， 因此所列方程组为． 6．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺，设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意找出两个等量关系，列出方程组即可得到答案． 【详解】解：设绳索长尺，竿长尺． ∵绳索比竿长尺， ∴， ∵将绳索对半折后量竿，比竿短尺，即竿长比对半折后的绳索长尺， ∴， 因此可得方程组． 7．一个圆柱形容器中装有一定量的水，放入若干个大铁球和小铁球后（假设所有球都浸没在水中），水面上升情况如图所示，要使水面高度为21，则可以放入大铁球和小铁球的个数可能是（     ） A．1个大铁球和7个小铁球 B．2个大铁球和5个小铁球 C．3个大铁球和4个小铁球 D．4个大铁球和1个小铁球 【答案】B 【分析】通过观察前三个图片的信息，建立起相应的方程组并求解，再运用到最后一个图片中，列出一个二元一次方程，用枚举法找出符合方程的整数解之一就是本题的答案． 【详解】解：设一个大铁球可以让水面上升x，一个小铁球可以让水面上升y， 依题意可列方程组 解得 另设a个大铁球和b个小铁球放入水中可以让水面高度为21， 则依题意有 这个二元一次方程的整数解有，，，， 则只有B选项符合题意． 8．我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：文钱买甜果和苦果共个，甜果文钱买个，苦果文钱买个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？设买甜果个，买苦果个．下列所列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设买甜果个，买苦果个，根据甜果和苦果共个，可得方程，求出单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文，根据总花费一共是文，可得方程，据此可得答案． 【详解】解：设买甜果个，买苦果个， ∵甜果和苦果共个， ∴， ∵文钱可以买个甜果，文钱可以买个苦果， ∴单个甜果的价格为文，单个的苦果价格为文， ∵总花费一共是文， ∴， ∴可得方程组． 二、填空题 9．如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形（即空白的长方形），若，，则的长为______． 【答案】 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据图形中线段的长度关系，利用和列出关于、的二元一次方程组，求出、的值，进而求出的长． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，的长等于一个小长方形的长与三个小长方形的宽之和， ； 观察图形右侧，的长等于三个小长方形的宽与之和，同时也等于一个小长方形的长与两个小长方形的宽之和， ， 整理得； 联立得， 解得， ． 10．中国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有善田一亩，价三百；恶田七亩，价五百．今并买一顷，价钱一万．问善、恶田各几何？其大意是：今有良田1亩价值300钱；劣田7亩价值500钱．今合买良、劣田1顷（100亩），价值10000钱．问良田、劣田各有多少亩？则劣田比良田多________亩． 【答案】 【详解】设良田有亩，劣田亩， ，解得， ， 故劣田比良田多亩． 11．我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，则木长为______尺． 【答案】 【分析】通过设未知数：设绳子长为尺，长木长为尺，根据绳子比长木长尺和对折绳子比长木短尺，转化为二元一次方程组，并解得答案． 【详解】解：设绳子长尺，长木长尺， ∵绳子比长木长尺，对折绳子比长木短尺， ∴ 可列方程组为：， 解得：， ∴绳子长为尺，长木长为尺． 12．一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是7，如果把这个两位数加上9，所得的新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字．这个两位数是______． 【答案】34 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设十位数字为x，个位数字为y，根据数字之和为7及新两位数的个位数字和十位数字恰好分别是原来两位数的十位数字和个位数字建立方程组求解即可． 【详解】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y， 由题意得， 解得， ∴这个两位数是34， 故答案为：34． 13．将两块相同的长方体木块和一张课桌先按如图所示的方式放置，再按如图所示的方式放置，根据图中数据，得到这张课桌的高度是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，设这张课桌的高度是，长方体的长为，宽为，根据题意得，然后解方程组即可，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设这张课桌的高度是，长方体的长为，宽为， ∴， ∴得，， ∴， ∴这张课桌的高度是， 故答案为：． 14．2025年春节，随着《哪吒2》电影的爆火，某玩具公司生产了“哪吒”和“敖丙”两款手办．已知每个“哪吒”手办的售价比每个“敖丙”手办的售价便宜20元，按售价购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办共需540元．则买“哪吒”和“敖丙”各一个手办共__________元． 【答案】220 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 根据“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元以及购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元，列出二元一次方程组，再解出的值，即可作答． 【详解】解：设“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元， ∵“哪吒”比“敖丙”每个便宜20元， 即： ∵ 购买3个“哪吒”手办和2个“敖丙”手办的总费用为540元， ∴， 将以上两个方程联立，得到方程组： ． 得， ∴“哪吒”手办和“敖丙”手办的售价分别为元，元． 则买“哪吒”“敖丙”各一个手办共（元）， 故答案为：220． 三、解答题 15．如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，求王老师的水杯容量； (2)小军同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯，温度为的水（不计热损失），求小军同学的接水时间．（列二元一次方程组解决问题） 【答案】(1) (2)小军同学的接水时间为 【分析】（1）用时间乘以对应的水流速度，再求和即可； （2）设先接了温水，又接了开水，根据水的体积和温度列出方程组，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，王老师的水杯容量为； （2）解：设先接了温水，又接了开水， 根据题意，可列方程组：， 解得， ∴． 答：小军同学的接水时间为． 16．【综合实践】在七年级下册课本“综合与实践”中，我们认识并探究了“低碳生活”中的有关内容．七年级某班的数学兴趣小组对小明家的“家庭用水和天然气”的耗碳量进行探究，计算生活中的“碳足迹”．通过查询资料确定某“种类”消耗的碳排放系数，再计算该“种类”的耗碳量，其关系式为：“种类”耗碳量“种类”消耗量ד种类”消耗的碳排放系数． 【数据整理及应用】已知： ①小明家二月份的“家庭用水和天然气”共； ②兴趣小组调查资料发现：“天然气”消耗的碳排放系数为，“水”消耗的碳排放系数为； ③二月份小明家的“家庭用水和天然气”的耗碳量共为． 根据以上信息，求小明家二月份的家庭用水量和天然气量． 【答案】小明家二月份天然气消耗量为30立方米，家庭用水量为20立方米 【分析】根据题意设未知数列出二元一次方程组求解． 【详解】解：设小明家二月份天然气的消耗量为x立方米，家庭用水量为y立方米． ， 解得：， 所以小明家二月份天然气消耗量为30立方米，家庭用水量为20立方米． 17．根据以下素材，完成任务． 如何生产纸盒 素材1 工厂需制作如图所示的竖式与横式两种无盖纸盒（单位cm） 素材2 工厂仓库内现存有的正方形纸板300张，的长方形纸板600张，用库存纸板制作两种无盖纸盒． (1)若做2个竖式无盖纸盒和1个横式无盖纸盒，则需正方形纸板________张，长方形纸板_______张． (2)根据素材1、素材2，求两种纸盒各做多少个，恰好将库存纸板用完． 【答案】(1)4，11 (2)竖式60个，横式120个 【分析】（1）先确定单个竖式、横式纸盒消耗的正方形、长方形纸板数量，再分别计算2个竖式+1个横式所需纸板总和； （2）设两种纸盒数量为未知数，依据正方形纸板总300张、长方形纸板总600张列二元一次方程组，解方程组得到纸盒个数． 【详解】（1）解：单个竖式纸盒：正方形1张，长方形4张； 单个横式纸盒：正方形2张，长方形3张． 正方形纸板：张， 长方形纸板：张． （2）解：设竖式无盖纸盒做个，横式无盖纸盒做个．依题意得： ， ， 所以竖式无盖纸盒做60个，横式无盖纸盒做120个，恰好将库存纸板用完． 一、填空题 1．用几个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据点A的坐标，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，进而可得出和的值，再结合点B所在的象限即可得出点B的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为． 二、解答题 2．某铁件加工厂用如图所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图所示的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计） (1)如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片_____张，正方形铁片_____张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？ (3)把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒．现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．若充分利用这些铁板加工成铁盒，则最多可以加工成多少个铁盒？ 【答案】(1) (2)加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个 (3)最多可以加工成个铁盒 【分析】（1）根据题意可知竖式铁容器由4个长方形铁片和1个正方形铁片组成，横式铁容器由3个长方形铁片和2个正方形铁片组成，即可得到答案； （2）根据竖式铁容器需要的长方形铁片数量加上横式铁容器需要的长方形铁片数量等于，竖式铁容器需要的正方形铁片数量加上横式铁容器需要的正方形铁片数量等于列二元一次方程组求解即可； （3）先假设35张铁板只有每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片这两种情况，再根据非整数的部分确定有几张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，从而解决问题． 【详解】（1）解：竖式铁容器由4张长方形铁片和1张正方形铁片组成， 横式铁容器由3张长方形铁片和2张正方形铁片组成， ∴加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张． （2）解：设加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个， 根据题意列式，得， 解得， ∴加工的竖式铁容器有个，横式铁容器有个． （3）解：设张铁板做张长方形铁片，张铁板做张正方形铁片， 则可列式为， 解得， 则张铁板可做长方形铁片（张）， 张铁板可做正方形铁片（张）， 剩下的1张铁板可做长方形铁片1张和正方形铁片2张， 此时，长方形铁片为（张），正方形铁片为（张）， 长方形的铁片数量刚好是正方形铁片数量的2倍， ∴最多可以做长方体铁容器（个）． 3．图1是一款学生课桌，主要由一块桌面、一块桌腿挡板及部分铁架组成．经测量，该款课桌的桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为．学校批量采购课桌，某工厂仓库已储备足量课桌铁架，仅需购进板材加工桌面和桌腿挡板．如图2所示，该型号板材为长方形，长，宽．（板材切割无损耗，仅沿直线裁切，裁切后的小块板材不可拼接使用） 【任务一】拟定裁切方式 (1)若将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板_______块； (2)若将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料．请求出所有满足条件的裁切方案（每种方案需明确：单张板材裁切出桌面多少块，桌腿挡板多少块）； 【任务二】确定搭配数量 (3)现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板，缺少的桌面和桌腿挡板均需通过采购该型号板材进行裁切获得． 要求： ①从【任务一】第（2）问设计出的所有可行裁切方案中，任选其中两种不同的方案进行搭配裁切，（即这两种方案均须被使用）； ②裁切出的所有桌面、桌腿挡板恰好全部用完、无剩余板材； 请直接写出满足条件的该型号板材需要购买多少张，以及所选的两种裁切方案各需使用多少张板材． 【答案】(1) (2)解：∵， ∴只能先将的板材先切成四个的小长方形板材，再去切割桌面或者桌腿挡板， ∵桌面为长方形板材，尺寸为，桌腿挡板为长方形板材，尺寸为， ∴每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板， ∴板材最多可以切出四块桌面， ∵将一张该型号板材同时裁切出若干桌腿挡板和若干桌面，且整张板材无剩余、无废料， ∴满足条件的裁切方案： 方案一：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案二：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案三：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； 方案四：单张板材裁切出桌面块，此时桌腿挡板块； (3)该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材 【分析】（1）将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材即可求解； （2）先将的板材先切成四个的小长方形板材，每个小长方形板材可以切成一块桌面和一块桌腿挡板或四块桌腿挡板，据此设计方案即可； （3）根据题意还需要块桌面，块桌腿挡板，分别选择两种方案，设出每种方案需要用到的板材数量，根据桌面和桌腿挡板数量列方程组求解即可． 【详解】（1）解：将的板材先切成四个的小长方形板材，每个又可以切成四个的小长方形板材，即桌腿挡板尺寸， ∴将一张该型号板材全部用来裁切桌腿挡板，则最多可裁切出桌腿挡板块； （2）略 （3）解：∵现需要制作如图1所示的360张完整的学生课桌，工厂仓库现有80块桌面，无桌腿挡板， ∴还需要块桌面，块桌腿挡板， ①选择方案一和方案二， 设方案一和方案二用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为张和张板材； ②选择方案一和方案三， 设方案一和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得， 此时该型号板材需要购买张，方案一和方案三用到的板材分别为张和张板材； ③选择方案一和方案四， 设方案一和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得不是整数，不合题意； ④选择方案二和方案三， 设方案二和方案三用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑤选择方案二和方案四， 设方案二和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； ⑥选择方案三和方案四， 设方案三和方案四用到的板材分别为张和张， 由题意可得：， 解得，不合题意； 综上所述，该型号板材需要购买张，方案一和方案二用到的板材分别为块和块张板材；或者方案一和方案三用到的板材分别为块和块张板材． 4．有甲、乙两种货车，1辆甲种货车和2辆乙种货车共载重13t；3辆甲种货车和1辆乙种货车共载重19t． (1)每辆甲种货车和乙种货车的载重量分别是多少？ (2)现安排这两种货车，把75t救灾物资一次性运往灾区，每辆货车恰好全部装满，有哪几种安排方案？ (3)在第（2）问的情况下，租用一辆甲种货车的费用为400元/天，租用一辆乙种货车的费用为300元/天，运送救灾物资往返需要3天，如何安排最为省钱？此时总运费是多少？ 【答案】(1) 每辆甲种货车载重量为，每辆乙种货车载重量为 (2) 共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种 (3) 安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为17100元 【分析】（1）根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）根据（1）中的结果列二元一次方程，用其中一个未知数表示另外一个未知数，找到整数解，并列出安排方案即可； （3）分别代入（2）中的安排方案，求出不同方案所需的费用，比较得出最省钱的方案即可． 【详解】（1）解：设每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为， 则由题意，得， 解得， ∴每辆甲种货车的载重量为，每辆乙种货车的载重量为； （2）解：设安排m辆甲种货车，n辆乙种货车， 由题意，得，即， ∵m，n为非负整数， ∴可能的情况有，，，， ∴共有4种安排方案：① 3辆甲种货车，15辆乙种货车；② 7辆甲种货车，10辆乙种货车；③ 11辆甲种货车，5辆乙种货车；④ 15辆甲种货车，0辆乙种货车，若要求两种货车都必须安排，则共有3种方案，即前三种； （3）解：由题意，得方案①每天的费用为（元）； 方案②每天的费用为（元）； 方案③每天的费用为（元）； 方案④每天的费用为（元）， ∵， ∴安排3辆甲种货车和15辆乙种货车最省钱，此时总运费为（元）． 5．项目主题：探究纸盒配套的最优方案 素材一 甲车间的工人负责生产如图所示的长方形纸板和正方形纸板． 素材二 乙车间的工人负责用甲车间工人生产的纸板制作出如图所示的竖式和横式两种不同长方体形状的无盖纸盒（不考虑裁剪和接缝）． (1)任务一：请根据以上信息，填写下表： 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)任务二：若甲车间工人生产了长方形纸板张，正方形纸板张，且乙车间工人在制作竖式、横式两种纸盒时将纸板恰好用完，则乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为多少？ (3)任务三：若甲车间共有名工人，每名工人一天能生产张长方形纸板或张正方形纸板，已知个竖式纸盒与个横式纸盒配成一套，要使甲车间一天生产的纸板与乙车间所做成的产品恰好配套，则甲车间应该如何安排工人生产两种纸板？ 【答案】(1) 无盖纸盒 所需长方形纸板/张 所需正方形纸板/张 竖式 横式 (2)乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个 (3)甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板 【分析】（1）分析两种无盖纸盒构造，数出各自所需长方形、正方形纸板数量填表； （2）设工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个，根据长、正方形纸板总量列二元一次方程组，求解得纸盒数量； （3）设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，结合总人数和竖横的配套比例列方程组，算出工人分配方案． 【详解】（1）解：据图可知，竖式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板，底面需要个正方形纸板， 横式无盖纸盒侧面需要个长方形纸板和个正方形纸板，底面需要个长方形纸板． （2）解：设乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为，个， 根据题意可得， 解得， 故乙车间工人制作的竖式、横式两种纸盒的个数分别为个和个． （3）解：设甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 根据题意可得， 解得， 故甲车间安排名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板． ccc 一、单选题 1．《九章算术》中有如下问题：浓酒1斗值50钱，淡酒1斗值10钱．现有30钱，买酒2斗，问浓酒、淡酒各有多少？设浓酒斗，淡酒斗，则下列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设浓酒斗，淡酒斗，根据“买酒总斗数为2斗，总钱数为30钱”列出方程组即可． 【详解】解：设浓酒斗，淡酒斗，根据题意，得 ． 2．我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．设木长尺，绳子长尺，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设木长尺，绳长尺， 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺， 绳长木长剩余绳长，即 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺， 对折后绳长木长剩余木长，对折后绳长为，即； 综上可得方程组 3．2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷．1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据” 2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷”列方程组即可． 【详解】解：设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦x公顷和y公顷， 根据2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，得 根据3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷，得， 可列 故选：C． 【点睛】此题考查了列二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 二、解答题 4．广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D四个小矩形组成，如图所示．C的面积比A的面积的2倍多，D的面积比B的面积的3倍少．设A的面积为，B的面积为． (1)C的面积为_____（用含的代数式表示），D的面积为_____（用含的代数式表示）； (2)若A的面积与B的面积之和为，C的面积比D的面积少，求和． 【答案】(1)；； (2)和的值分别为4和6 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）根据题意可得和，再进行求解即可． 【详解】（1）解：∵C的面积比A的面积的2倍多，A的面积为， ∴C的面积为； ∵D的面积比B的面积的3倍少，B的面积为， ∴D的面积为； （2）解：∵A的面积与B的面积之和为， ∴， ∵C的面积比D的面积少， ∴ ， ∴， 解得． 5．为庆祝中国共产党成立100周年，某校计划举行“学党史·感党恩”知识竞答活动，并计划购置篮球、钢笔、笔记本作为奖品．采购员刘老师在某文体用品购买了做为奖品的三种物品，回到学校后发现发票被弄花了，有几个数据变得不清楚，如图． 请根据图所示的发票中的信息，帮助刘老师复原弄花的数据，即分别求出购置钢笔、笔记本的数量及对应的金额． 【答案】购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元 【分析】根据题意可知钢笔和笔记本一共50个，两种物品的金额1000-600=400元，再根据题意列二元一次方程组即可 【详解】解：设钢笔买了x支，笔记本买了y本 根据题意可得：钢笔和笔记本一共56-6=50个 钢笔和笔记本两种物品的金额一共1000-600=400元 则有 解得： 则购置笔记本金额为：35×5=175元 购置钢笔金额为：15×15=225元 答：购置钢笔15支，金额为225元，购置笔记本34本，金额为175元 【点睛】本题考查列二元一次方程组解决实际问题，根据已知条件正确的找出等量关系是关键 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $