专题4 二元一次方程组含参问题 分层训练卷 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

难专题4 二元一次方程组含参问题（解的关系、同解、错解、整数解）_课堂同步分层训练卷_解析卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组「含参问题」专项突破：解的数量关系（含参方程组的解满足指定关系、解的正负与取值范围）、同解方程组、看错系数的错解还原、整数解探究四个方向。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．若 是二元一次方程 3x－ay＝8 的一个解，则 a 的值为（　） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 把 x＝2，y＝－1 代入 3x－ay＝8，得 3×2－a×(－1)＝8，即 6＋a＝8， 解得 a＝2。故选 A。 2．若二元一次方程 3x＋2y＝17 的解中 x、y 都是正整数，则这样的解共有（　） A．2 组 B．4 组 C．5 组 D．3 组 【答案】D 由 3x＋2y＝17 得 y＝。因为 y 是正整数，所以 17－3x 是正偶数，x 只能取奇数。 x＝1 时 y＝7；x＝3 时 y＝4；x＝5 时 y＝1；x＝7 时 y＝－2 不合题意。 所以共有 3 组正整数解：(1，7)、(3，4)、(5，1)。故选 D。 3．小明在解方程组 时，看错了 ① 中的 a，解得 ，则 b 的值为（　） A．－2 B．2 C．－4 D．4 【答案】A 小明只看错了 ① 中的 a，所以他的解满足没有看错的 ②：3×2－b×1＝8，即 6－b＝8，b＝－2。 故选 A。 4．已知关于 x、y 的方程组 的解满足 2x＋y＝8，则 k 的值为（　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 两式相加得 2x＝2k，x＝k；两式相减得 2y＝4，y＝2。 把 x＝k，y＝2 代入 2x＋y＝8，得 2k＋2＝8，k＝3。故选 B。 5．已知关于 x、y 的方程组 的解满足 x＋y＝6，则 k 的值为（　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 两式相加得 5x＋5y＝2k＋2，即 x＋y＝。 由 x＋y＝6 得 ＝6，2k＋2＝30，k＝14。故选 C。 （此时 x＝4，y＝2：2×4＋3×2＝14，3×4＋2×2＝16＝14＋2，符合题意。） 6．甲、乙两人解方程组 ，甲看错了 ① 中的 a，解得 ；乙看错了 ② 中的 b，解得 。则 a、b 的值分别为（　） A．a＝2，b＝5 B．a＝5，b＝2 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝5 【答案】A 甲只看错了 ① 中的 a，说明他的解满足没有看错的 ②：2×6－b×5＝－13，12－5b＝－13，b＝5。 乙只看错了 ② 中的 b，说明她的解满足没有看错的 ①：4a＋3×1＝11，a＝2。 所以 a＝2，b＝5。故选 A。 7．若关于 x、y 的方程组 有无数组解，则 k 的值为（　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 把 ① 的两边都乘 2，得 2x＋4y＝6。 要使原方程组有无数组解，② 必须与 2x＋4y＝6 表示同一条直线，所以 k＝6。故选 C。 8．若方程组 的解是 ，则 a－b 的值为（　） A．－1 B．1 C．3 D．－3 【答案】A 把 x＝2，y＝1 代入，得 。 两式相加得 3a＋3b＝9，a＋b＝3；再由 2a＋b＝4 得 a＝1，b＝2。 所以 a－b＝1－2＝－1。故选 A。 9．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则整数 a 的值有（　） A．2 个 B．3 个 C．5 个 D．4 个 【答案】D 由 ② 得 x＝2y，代入 ①：2×2y＋ay＝6，即 (4＋a)y＝6，y＝。 因为 y 是正整数，所以 4＋a 是 6 的正因数：4＋a＝1、2、3、6，对应 a＝－3、－2、－1、2。 此时 y＝6、3、2、1，x＝2y＝12、6、4、2，都是正整数，四组都符合题意。 所以整数 a 的值有 4 个。故选 D。 10．若关于 x、y 的方程组 的解满足 x－y＞0，则 m 的取值范围是（　） A．m＜1 B．m＞1 C．m＜－1 D．m＞－1 【答案】B ①－② 得 y－x＝1＋m－2m＝1－m。 因为 x－y＞0，所以 y－x＜0，即 1－m＜0，解得 m＞1。故选 B。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．若 是方程组 的解，则 a＋b＝            。 【答案】6 把 x＝1，y＝－2 代入 ①：2×1＋a×(－2)＝0，得 a＝1。 把 x＝1，y＝－2 代入 ②：b×1－3×(－2)＝11，得 b＝5。 所以 a＋b＝1＋5＝6。 12．若方程组 的解也是关于 x、y 的方程 ax＋y＝5 的解，则 a＝            。 【答案】1 由 ② 得 y＝2x－1，代入 ①：x＋2(2x－1)＝8，5x＝10，x＝2，所以 y＝3。 把 x＝2，y＝3 代入 ax＋y＝5，得 2a＋3＝5，a＝1。 13．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则所有满足条件的整数 a 的值的和为            。 【答案】15 ①×2－② 得 3y＝2a－6，y＝；②×2－① 得 3x＝12－a，x＝。 因为 x、y 都是正整数，所以 12－a＞0 且 2a－6＞0，即 3＜a＜12；又 x、y 都是整数，所以 a 必须是 3 的倍数。 在 3＜a＜12 中，a＝6 或 9：a＝6 时 x＝2、y＝2；a＝9 时 x＝1、y＝4，都符合题意。 所以所有整数 a 的值的和为 6＋9＝15。 14．若关于 x、y 的方程组 的解满足 x－y＝1，则 a＝            。 【答案】4 ②－① 得 (2x＋y)－(x＋2y)＝x－y＝(5a－3)－4a＝a－3。 由 x－y＝1 得 a－3＝1，a＝4。 （此时 x＋2y＝16，2x＋y＝17，解得 x＝6，y＝5，确实满足 x－y＝1。） 15．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同，则 a＋b＝            。 【答案】3 解不含字母的方程组 ：两式相加得 2x＝6，x＝3；两式相减得 2y＝4，y＝2。 把这个相同的解 (3，2) 代入含字母的方程组：3a＋2×2＝10，a＝2；2×3－2b＝4，b＝1。 所以 a＋b＝2＋1＝3。 16．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则整数 a 的值为            。 【答案】1 或 2 由 ① 得 y＝7－2x，代入 ②：x＋a(7－2x)＝5，即 (1－2a)x＝5－7a，所以 x＝。 因为 x 是整数，所以 2a－1 能整除 7a－5。而 7a－5＝3(2a－1)＋(a－2)， 所以 2a－1 能整除 a－2，从而也能整除 2(a－2)－(2a－1)＝－3，即 2a－1 是 3 的因数：2a－1＝1、－1、3、－3，对应 a＝1、0、2、－1。 逐个检验：a＝1 时 x＝2，y＝3；a＝2 时 x＝3，y＝1，都是正整数； a＝0 时 x＝5，y＝－3；a＝－1 时 x＝4，y＝－1，都不符合题意。 所以整数 a 的值为 1 或 2。 三、解答题（共 46 分） 17．已知 是方程组 的解，求 a、b 的值。 【答案】a＝3，b＝1 把 x＝2，y＝1 分别代入两个方程，得 。 两式相加得 4a＝12，a＝3；把 a＝3 代入 2a＋b＝7，得 b＝1。 所以 a＝3，b＝1。（检验：3×2＋1＝7，3×2－1＝5，都成立。） 18．甲、乙两人解关于 x、y 的方程组 。甲看错了 ① 中的 a，解得 ；乙看错了 ② 中的 b，解得 。 （1）求 a、b 的值； （2）求原方程组的解。 【答案】（1）a＝2，b＝5；（2） （1）甲只看错了 ① 中的 a，他的解满足没有看错的 ②：2×6－b×5＝－13，即 12－5b＝－13，b＝5。 乙只看错了 ② 中的 b，她的解满足没有看错的 ①：4a＋3×1＝11，即 4a＝8，a＝2。 所以 a＝2，b＝5。 （2）原方程组是 。两式相减得 8y＝24，y＝3； 把 y＝3 代入 2x＋3y＝11，得 2x＝2，x＝1。所以原方程组的解是 。 （检验：2×1＋3×3＝11，2×1－5×3＝－13，都成立。） 19．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求这个相同的解； （2）求 a、b 的值。 【答案】（1）；（2）a＝4，b＝1 （1）先解不含字母的方程组 。由 ② 得 y＝2x－4， 代入 ①：x＋2(2x－4)＝7，5x＝15，x＝3，y＝2×3－4＝2。 所以这个相同的解是 。 （2）把 x＝3，y＝2 代入含字母的方程组，得 。 由 ① 得 2b＝3a－10，即 b＝；代入 ②：3×＋2a＝11， 两边乘 2 得 9a－30＋4a＝22，13a＝52，a＝4。 把 a＝4 代入 3a－2b＝10，得 12－2b＝10，b＝1。所以 a＝4，b＝1。 20．已知关于 x、y 的方程组 的解都是正整数。 （1）用含 a 的式子表示方程组的解； （2）求所有满足条件的整数 a 的值，并写出对应的解。 【答案】（1）x＝，y＝；（2）a＝5 时解为 (3，1)，a＝8 时解为 (2，3)，a＝11 时解为 (1，5) （1）①×2－② 得 4y－y＝2a－7，即 3y＝2a－7，y＝； ②×2－① 得 4x－x＝14－a，即 3x＝14－a，x＝。 （2）因为 x、y 都是正整数，所以 2a－7＞0 且 14－a＞0，解得 3.5＜a＜14； 又 x、y 都是整数，所以 2a－7 与 14－a 都要能被 3 整除，即 a 除以 3 余 2。 在 3.5＜a＜14 中，a 只能取 5、8、11。 当 a＝5 时，x＝3，y＝1；当 a＝8 时，x＝2，y＝3；当 a＝11 时，x＝1，y＝5。 检验：三组解分别代入 x＋2y＝a，得 3＋2＝5、2＋6＝8、1＋10＝11，都成立。 21．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）当 m＝9 时，求方程组的解； （2）小李说：“当 m 取某个值时，方程组的解中 x 与 y 相等。”请判断他的说法是否正确，并求出这个 m 的值及此时的解。 【答案】（1）；（2）说法正确，m＝6，此时解为 （1）当 m＝9 时，方程组为 。②－① 得 x－y＝3，即 y＝x－3； 代入 ①：x＋2(x－3)＝6，3x＝12，x＝4，y＝4－3＝1。所以解为 。 （2）说法正确。若 x＝y，把它代入 ① 得 3x＝6，x＝2，所以 y＝2； 把 x＝2，y＝2 代入 ②，得 m＝2×2＋2＝6。 所以当 m＝6 时，方程组的解中 x 与 y 相等，此时解为 。 22．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）用含 a 的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解满足 x＞0 且 y＞0，求 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求 a 的所有整数值，并写出对应的解。 【答案】（1）x＝2a－2，y＝4－a；（2）1＜a＜4；（3）a＝2 时解为 (2，2)，a＝3 时解为 (4，1) （1）两式相加得 2x＝4a－4，x＝2a－2；两式相减得 2y＝8－2a，y＝4－a。 （2）由 x＞0 得 2a－2＞0，a＞1；由 y＞0 得 4－a＞0，a＜4。所以 1＜a＜4。 （3）在 1＜a＜4 中，整数 a 只有 2 和 3。 当 a＝2 时，x＝2，y＝2；当 a＝3 时，x＝4，y＝1。 检验：a＝2 时 2＋2＝4，2－2＝0；a＝3 时 4＋1＝5，4－1＝3，分别等于 a＋2 与 3a－6，成立。 23．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求这个相同的解； （2）求 m、n 的值； （3）求 m²＋n² 的值。 【答案】（1）；（2）m＝2，n＝3；（3）13 （1）先解不含字母的方程组 ：①×3＋②×2 得 13x＝26，x＝2； 把 x＝2 代入 ① 得 6－2y＝4，y＝1。所以这个相同的解是 。 （2）把 x＝2，y＝1 代入含字母的两个方程，得 。 ②×2 得 －2m＋4n＝8，与 ① 相加得 5n＝15，n＝3；再由 2m＋3＝7 得 m＝2。 所以 m＝2，n＝3。 （3）m²＋n²＝2²＋3²＝4＋9＝13。 24．甲、乙两人解关于 x、y 的方程组 ，甲正确地解得 ，乙因看错了 ② 中的 c，解得 。 （1）求 a、b、c 的值； （2）求乙把 c 看成了什么数。 【答案】（1）a＝4，b＝5，c＝－2；（2）乙把 c 看成了 －11 （1）甲的解正确，把它代入 ②：3c－7×(－2)＝8，即 3c＋14＝8，c＝－2； 把它代入 ①：3a－2b＝2 ③。 乙只看错了 c，说明他的解满足没有看错的 ①：－2a＋2b＝2，即 b－a＝1 ④。 由 ④ 得 b＝a＋1，代入 ③：3a－2(a＋1)＝2，a－2＝2，a＝4，所以 b＝5。 即 a＝4，b＝5，c＝－2。 （2）设乙把 c 看成了 c′，把 x＝－2，y＝2 代入 ②：－2c′－7×2＝8，－2c′＝22，c′＝－11。 所以乙把 c 看成了 －11。 （检验：原方程组为 ，把 (3，－2) 代入：12－10＝2，－6＋14＝8，都成立。） 难专题4 二元一次方程组含参问题（解的关系、同解、错解、整数解）_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 难专题4 二元一次方程组含参问题（解的关系、同解、错解、整数解）_课堂同步分层训练卷_空白卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷为第五章二元一次方程组「含参问题」专项突破：解的数量关系（含参方程组的解满足指定关系、解的正负与取值范围）、同解方程组、看错系数的错解还原、整数解探究四个方向。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．若 是二元一次方程 3x－ay＝8 的一个解，则 a 的值为（　） A．2 B．－2 C．4 D．－4 2．若二元一次方程 3x＋2y＝17 的解中 x、y 都是正整数，则这样的解共有（　） A．2 组 B．4 组 C．5 组 D．3 组 3．小明在解方程组 时，看错了 ① 中的 a，解得 ，则 b 的值为（　） A．－2 B．2 C．－4 D．4 4．已知关于 x、y 的方程组 的解满足 2x＋y＝8，则 k 的值为（　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知关于 x、y 的方程组 的解满足 x＋y＝6，则 k 的值为（　） A．12 B．13 C．14 D．15 6．甲、乙两人解方程组 ，甲看错了 ① 中的 a，解得 ；乙看错了 ② 中的 b，解得 。则 a、b 的值分别为（　） A．a＝2，b＝5 B．a＝5，b＝2 C．a＝2，b＝－5 D．a＝－2，b＝5 7．若关于 x、y 的方程组 有无数组解，则 k 的值为（　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若方程组 的解是 ，则 a－b 的值为（　） A．－1 B．1 C．3 D．－3 9．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则整数 a 的值有（　） A．2 个 B．3 个 C．5 个 D．4 个 10．若关于 x、y 的方程组 的解满足 x－y＞0，则 m 的取值范围是（　） A．m＜1 B．m＞1 C．m＜－1 D．m＞－1 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．若 是方程组 的解，则 a＋b＝            。 12．若方程组 的解也是关于 x、y 的方程 ax＋y＝5 的解，则 a＝            。 13．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则所有满足条件的整数 a 的值的和为            。 14．若关于 x、y 的方程组 的解满足 x－y＝1，则 a＝            。 15．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同，则 a＋b＝            。 16．若关于 x、y 的方程组 的解都是正整数，则整数 a 的值为            。 三、解答题（共 46 分） 17．已知 是方程组 的解，求 a、b 的值。 18．甲、乙两人解关于 x、y 的方程组 。甲看错了 ① 中的 a，解得 ；乙看错了 ② 中的 b，解得 。 （1）求 a、b 的值； （2）求原方程组的解。 19．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求这个相同的解； （2）求 a、b 的值。 20．已知关于 x、y 的方程组 的解都是正整数。 （1）用含 a 的式子表示方程组的解； （2）求所有满足条件的整数 a 的值，并写出对应的解。 21．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）当 m＝9 时，求方程组的解； （2）小李说：“当 m 取某个值时，方程组的解中 x 与 y 相等。”请判断他的说法是否正确，并求出这个 m 的值及此时的解。 22．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）用含 a 的式子表示方程组的解； （2）若方程组的解满足 x＞0 且 y＞0，求 a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求 a 的所有整数值，并写出对应的解。 23．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同。 （1）求这个相同的解； （2）求 m、n 的值； （3）求 m²＋n² 的值。 24．甲、乙两人解关于 x、y 的方程组 ，甲正确地解得 ，乙因看错了 ② 中的 c，解得 。 （1）求 a、b、c 的值； （2）求乙把 c 看成了什么数。 难专题4 二元一次方程组含参问题（解的关系、同解、错解、整数解）_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $