应用技巧专题 建立二元一次方程组模型解决实际问题&问题解决策略逐步确定-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

应用技巧专题 建立二元 题型① 和、差、倍、分问题 1.“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明： 树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附 空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的 作用.已知1片银杏树叶一年的平均滞尘量 比1片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 4mg;1片国槐树叶与1片银杏树叶一年的 平均滞尘量之和为62mg. (1)请分别求出1片国槐树叶和1片银杏树 叶一年的平均滞尘量. (2)娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始 于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共 有约50000片树叶.这三棵银杏树一年的平 均滞尘总量约为多少千克？ 题型②工程问题 2.某商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组 同时施工，8天可以完成，需付两组费用共 3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组 单独做12天可以完成，需付两组费用共 3480元. (1)甲、乙两组单独做1天，商店应各付多少元？ 次方程组模型解决实际问题 (2)设工作总量为单位1，单独请哪个装修组 商店所付费用较少？ 题型③百分数问题 3.情境应用在当地农业技术部门的指导下， 小明家种植的菠萝喜获丰收.去年种植菠萝 的收人结余12000元，今年种植菠萝的收入 比去年增加了20%，支出比去年减少了 10%,今年结余比去年多11400元. (1)今年结余 元 (2)设去年种植菠萝的收入为x元，支出为 y元，则今年种植菠萝的收入为 元，支出为 元. (以上两空用含x,y的代数式表示) (3)在(2)的基础上，列方程组计算小明家今 年种植菠萝的收人和支出. 上册第五章 (9△ 题型④付费问题 4.情境应用五一劳动节假期期间，某超市为 顾客提供如下优惠方法： 一次性购物 优惠方法 低于200元 不予优惠 低于500元但 九折优惠 不低于200元 其中500元部分给予九折优 500元或 惠，高于500元部分给予八折 高于500元 优惠 (1)王老师一次性购物600元，他实际付款 元 (2)若顾客在该超市一次性购物x元，当x小 于500但不小于200时，他实际付款 元；当x大于或等于500时， 他实际付款 元.（用含x的 代数式表示) (3)如果王老师两次购物合计820元，他实 际付款共计728元，且第一次购物的货款少 于第二次购物的，那么两次购物各多少元？ 八年级数学BS版 题型⑤方案问题 5.某公司有A,B两种型号的商品需运出，这 两种商品的体积和质量分别如下表所示： 型号 体积/(m3/件) 质量/(t/件) A型 0.8 0.5 B型 2 1 (1)已知一批商品有A,B两种型号，体积一 共是20m3,质量一共是10.5t.A,B两种型 号的商品分别有多少件？ (2)物流公司可供使用的货车每辆额定载重 3.5t,容积为6m3,其收费方式有以下两种： ①按车收费：每辆车运输货物到目的地收费 600元； ②按吨收费：每吨货物运输到目的地收费 200元. 要将(1)中的商品一次性或分批运输到目的 地，该公司应如何选择运送方式才能使运费 最少？运费最少是多少？到，所以设直线l2的表达式为y=2x十b.因为点A 与点B关于y轴对称，所以点B的坐标为(2,0).把 B(2,0)代入，得2×2十b'=0,解得b'=-4,所以直线 l,的表达式为y=2x一4. (2)如图，设直线l2与y轴交于点D. 当x=0时，y=2x一4=一4，所以点D的坐标为(0， 一4).因为C(0,4), 所以m=4-(-4)=8. 9.解：(1)由题意，得n=360÷60=6, m=1+360÷90=5. 故m的值为5，n的值为6. (2)设ym=kx.将(6,360)代入y甲=kx,得6k=360, 解得k=60,所以y甲=60x. 设yz=k'x+b.将(1,0)，(5,360)分别代入yz=k'x k'=90, t6,得6=0，解得6=-90， 5k'+b=360. 所以yz=90x-90. 故甲、乙两车行驶过程中y关于x的函数表达式分别 为ym=60x,yz=90x-90. (3)由题意，得60x-(90x-90)=30或(90.x-90)一 60x=30或60x=360-30, 解得x=2或x=4或x=5.5, 所以x-1=1或x-1=3或x-1=4.5. 故当甲、乙两车之间的距离为30km时，乙车出发了 1h或3h或4.5h. *5三元一次方程组 1.A2.x十y十之=3（答案不唯一） 3.解：由①+②，得x-4之=1.④ 由④×3一③，得一7z=一7，解得x=1. 将x=1代入④中，得x-4=1,解得x=5. 将之=1代入②中，得3y一4=5，解得y=3. x=5, 故原方程组的解为y=3, g=1. 4.40【解析】设练习本每本x元，笔每支y元，橡皮每块 x元. 3x+2y+7x=27,① 由题意，得6x十4y+9:=43.@ ②-①，得2x+2y十2x=16, 所以x十y十2=8， 所以5x+5y+5x=5(x+y+x)=5×8=40. 5.解：(1)设需甲车型a辆，乙车型b辆. 由题意，用中80解阳么0 1b=10. 故需甲车型8辆，乙车型10辆. (2)设需甲车型x辆，乙车型y辆，丙车型x辆. 由题意，0-1n 2 消去，得5x+2y=40,解得x=8-5y x=6,x=4, 因为x,y,z是正整数，解得y=5,y=10, x=5,z=2. 有两种运送方案： ①甲车型6辆，乙车型5辆，丙车型5辆； ②甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆。 (3)两种方案的运费分别如下： ①400×6+500×5+600×5=7900（元）： ②400×4+500×10+600×2=7800（元）. 故调用甲车型4辆，乙车型10辆，丙车型2辆的运费 最省，最省的运费是7800元. 应用技巧专题建立二元一次方程组模型 解决实际问题 1.解：(1)设1片银杏树叶一年的平均滞尘量为xmg,1 片国槐树叶一年的平均滞尘量为ymg. 由随意，仁中银得仁 故1片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg,1片国槐 树叶一年的平均滞尘量为22mg. (2)50000×40=2000000(mg)=2(kg). 故这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约为2kg. 2.解：(1)设甲组单独做1天，商店应付x元，乙组单独做 1天，商店应付y元. 由题意，阳)：解阳化。 因此，甲组单独做1天，商店应付300元，乙组单独做1 天，商店应付140元. (2)设甲组每天的工作效率为m,乙组每天的工作效率 为n. 1 由题意，得8n十）=解得 m12 6m+12n=1, 1 m=241 1 所以甲组单独完成装修需1÷12=12（天），乙组单独 完成装修需1÷24=24（天）， 所以单独请甲组需付300×12=3600（元），单独请乙 组需付140×24=3360（元）. 因为3600>3360，所以单独请乙组商店所付费用 较少. 3.解：(1)23400 (2)1.2x0.9y 思意州任2w8o 解得下=42000， (y=30000, 则1.2x=1.2×42000=50400,0.9y=0.9×30000= 27000. 故小明家今年种植菠萝的收人为50400元，支出为 27000元. 4.解：(1)530 (2)0.9x(0.8x+50) (3)设第一次购物的货款为x元，第二次购物的货款为 y元. ①当x<200,y≥500时，由题意，得 x+y=820, (x=110, x+0.8y+50=728, 解得 y=710: 27 上册详解详析 ②当200≤x<500,y≥500时，由题意，得 x+y=820, 0.9.x+0.8y+50=72 年行化 ③当x,y均小于500元但不小于200元时，由题意，得 x+y=820, 此方程组无解， 0.9x+0.9y=728, 综上所述，两次购物的货款分别为110元、710元或 220元、600元. 5.解：(1)设A,B两种型号的商品分别有x件、y件. 由题意，即公十0年得 y=8 故A,B两种型号的商品分别有5件、8件 (2)①按车收费：10.5÷3.5=3（辆），但车辆的容积为6 ×3=18(m),18<20,所以3辆车不够，需要4辆车， 此时运费为4×600=2400（元）： ②按吨收费：200×10.5=2100（元）； ③先按车收费，用3辆车运送18m的商品，剩余1件 B型商品按吨收费，则共需付3×600十200=2000 (元). 因为2400>2100>2000，所以公司应选择先按车收 费，用3辆车运送18m的商品，再选择按吨收费，运 送1件B型商品，此时运费最少，最少为2000元. ☆问题解决策略：逐步确定 1.解：满足“三三数之剩一”的数设为3x十1(x为自然 数). 满足“三三数之剩一，五五数之剩二”的数可表示为 15y+7(y为自然数) 在上述数中找满足“七七数之剩四”的数，即15y十7除 以7余4.从y=1开始尝试，当y=4时，满足条件，此 时这个数是15×4+7=67. 故物品最少有67个 2.解：因为15=3×5，所以这个数既能被3整除，又能被 5整除，而能被5整除的数的个位数字是0或5. 当d=0时，8+c+7+0=15十c.c=0时，这个四位数 能被3整除，此时这个数为8070； 当d=5时，8+c+7+5=20+c.c=1时，这个四位数 能被3整除，此时这个数为8175.因为8070<8175， 所以这个数最小是8070. 变式题解：因为能被15整除需同时满足被3和5 整除，个位上是5已满足能被5整除.因为3十A十7十 B+5=15+A+B,要使数最小，先令A=0,此时15十 B要是3的倍数，B最小为0，所以这个数最小是 30705. 3.解：(1)因为AB=AD,∠BAD=60°， 所以易得△ABD是等边三角形， 所以∠ABD=∠ADB=60°，AB=BD. 因为BC=CD,AC=AC, 所以△ABC≌△ADC(SSS), 所以∠BAC=∠DAC，∠BAD=30,∠ACB ∠ACD=2∠BCD=60, 所以∠AEB=∠BEC=90°，∠ABC=90° 所以AC⊥BD.同理可得△ABE≌△ADE(ASA),所 428 八年级数学BS版 以BE=DE. 因为BC=CD=2,CE=1,所以BE=√BC2-CE =√5， 所以AB=BD=2BE=25. 在Rt△ABC中，AC=√JAB+BC=4. 因为AM:CM=1:2, 所以AM= 4 8 3,CM=3, 所以EM=3 在R△BEM中，BM=Vg)F+(gT=2 3 如图①，过点C作CF⊥BM于点F. 因为BM,CFCM·BE 2 2 所以BM·CF=CM·BE, 即2 .CF=号× 3 解得C℉=43g 图① 13 故点C到BM的距离为43丽 13 (2)如图②，延长BC到点G,使CG= CB,连接DG 由(1)得△ABD是等边三角形， 所以∠ADB=60°，AD=BD. 因为BC=CD, 所以CG=CD. 因为∠BCD=120°， 所以∠DCG=180°-∠BCD=60°， 图② 所以易得△DCG是等边三角形， 所以∠CDG=∠ADB=60°，DC=DG, 所以∠ADC=∠BDG. 又因为AD=BD, 所以△ACD≌△BGD(SAS), 所以AC=BG=BC+CG, 即AC=BC+CD. 章末对点导练 1.D2.3x+y(答案不唯一)3.D 5 m=3a+2, 4.C 【解析】m一2n=3a解得 2m+5n=9, 2 n=1-3a, 所以m+m-a=(3a+2）+(1-号a）-a=3. 45 2 一题多解法 |m-2n=3a,① 2m+5n=9.② 由①+②，得3m+3n=3a+9, 所以3m十3n-3a=9,即m+n-a=3. 5.C 6.解：(1)由①，得x=3十3y.③