5.1 认识二元一次方程组 5.2 二元一次方程组的解法 同步分层训练 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组+5.2 二元一次方程组的解法_课堂同步分层训练卷_解析卷_北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷包含：5.1 认识二元一次方程组（二元一次方程与方程组的定义、方程组的解）；5.2 求解二元一次方程组（代入消元法、加减消元法）。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2＋y＝4 B．＋y＝3 C．2x－3y＝5 D．x＋y－2z＝1 【答案】C 二元一次方程要同时满足三点：只含两个未知数、含未知数的项的次数都是 1、必须是整式方程。 A 中 x2 的次数是 2；B 中 是分式，不是整式方程；D 含 x、y、z 三个未知数； 只有 C 同时满足三个条件，故选 C。 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 二元一次方程组要求每个方程都是一次整式方程，且一共只含两个未知数。 A 中 xy 是二次项；B 含 x、y、z 三个未知数；D 中 不是整式； C 中两个方程都是一次整式方程，共含 x、y 两个未知数，故选 C。 3．若 (a－1)x|a|＋3y＝5 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a 的值是（　　） A．1 B．－1 C．±1 D．0 【答案】B 由定义，x 的次数 |a|＝1，且 x 的系数 a－1≠0。 由 |a|＝1 得 a＝1 或 a＝－1；又 a≠1，所以 a＝－1，故选 B。 易错：只算 |a|＝1 就选 C，忽略了“未知数的系数不为 0”这一限制。 4．若 是二元一次方程 mx＋3y＝2 的一个解，则 m 的值为（　　） A．－ B． C．－2 D．2 【答案】A “是方程的解”意味着这组数能使方程左右两边相等，把 x＝2、y＝1 代入： 2m＋3＝2，解得 2m＝－1，即 m＝－，故选 A。 5．二元一次方程 x＋2y＝5 的正整数解共有（　　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 【答案】B 由 x＝5－2y，且 x、y 都是正整数：y＝1 时 x＝3；y＝2 时 x＝1；y≥3 时 x≤－1 不合题意。 所以共有 2 组正整数解 、，故选 B。 6．用代入消元法解方程组 时，将①代入②，消去 y 后得到的方程是（　　） A．3x－4x－6＝8 B．3x＋4x－6＝8 C．3x＋4x＋6＝8 D．3x－4x＋6＝8 【答案】D 把 y＝2x－3 代入②：3x－2(2x－3)＝8，去括号得 3x－4x＋6＝8，故选 D。 易错：－2×(－3) 应得 ＋6，写成 －6 就会误选 A。 7．用加减消元法解方程组 时，将①－②可得（　　） A．－2y＝8 B．－8y＝8 C．2y＝6 D．8y＝－8 【答案】B ①－② 得 (2x－5y)－(2x＋3y)＝7－(－1)，即 －8y＝8，故选 B。 注意右边是 7－(－1)＝8，不是 7－1＝6。 8．用加减消元法解方程组 时，下列方案中消元正确的有（　　） 方案一：要消去 x，可将①×3＋②×5；　方案二：要消去 x，可将①×5－②×3； 方案三：要消去 y，可将①×2－②；　方案四：要消去 y，可将①×2＋②。 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】A 消 x 要设法让 x 的系数相同或互为相反数：①×3 得 15x，②×5 也得 15x，两式应相减，故方案一错； ①×5 得 25x，②×3 得 9x，系数不同，方案二也错； 消 y：①×2 得－2y，与②中的＋2y 互为相反数，应相加，故方案四正确、方案三错。 只有一个方案正确，故选 A。 9．对 x、y 定义一种新运算：x⊙y＝mx－ny。 当 m＝2、n＝1 时，x⊙y＝5；当 m＝3、n＝－4 时，x⊙y＝2，则 x、y 的值分别为（　　） A．2，－1 B．2，1 C．－2，1 D．－2，－1 【答案】A 把两组 m、n 的值代入定义：2x－y＝5，3x＋4y＝2，组成方程组 。 由第一个方程得 y＝2x－5，代入第二个方程得 3x＋4(2x－5)＝2，即 11x＝22，x＝2， 所以 y＝2×2－5＝－1，故选 A。 10．已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 m 的值为（　　） A．－3 B．3 C．－1 D．1 【答案】A 两数互为相反数，即 x＋y＝0，所以 x＝－y。 把 x＝－y 代入 2x－y＝－3，得 －2y－y＝－3，y＝1，从而 x＝－1。 把 x＝－1、y＝1 代入 x－2y＝2m＋3，得 －1－2＝2m＋3，解得 m＝－3，故选 A。 易错：先把 m 当成已知去解方程组，反而算不下去；应先用“互为相反数”把 x、y 的关系找出来。 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．请写出一个解为 的二元一次方程组：                        。 【答案】如 （答案不唯一） 只需要构造两个含 x、y 的一次方程，使 x＝2、y＝－1 同时满足它们即可。 例如 x＋y＝2＋(－1)＝1，x－y＝2－(－1)＝3，于是 就满足要求。 答案不唯一，只要两个方程都是一次整式方程且以 为解即可。 12．方程组 的解是                        。 【答案】 用代入消元法：把 y＝2x 代入 x＋2y＝5，得 x＋4x＝5，即 5x＝5，x＝1， 所以 y＝2×1＝2。故方程组的解是 。 13．在解关于 x、y 的方程组 时，若①＋②可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可表示为                        。 【答案】m＋n＝0 ①＋② 得 8x＋(m＋n)y＝－3。 要“直接消去一个未知数”，只能让 y 的系数为 0（x 的系数是 8，不可能为 0）， 所以 m＋n＝0。 14．已知 是方程组 的解，则 a＋b＝                        。 【答案】－1 方程组的解要同时满足两个方程。把 x＝2、y＝1 代入 ax＋y＝3：2a＋1＝3，a＝1； 再代入 x－by＝4：2－b＝4，b＝－2。 所以 a＋b＝1＋(－2)＝－1。 15．已知 ，则 4x－7y 的值为                        。 【答案】30 解法一（整体）：4x－7y＝(4x＋3y)－10y＝－10－10y，只需求出 y。 由 2x－y＝5 得 y＝2x－5，代入 4x＋3y＝－10 得 4x＋6x－15＝－10，10x＝5，x＝， 所以 y＝2×－5＝－4，原式＝－10－10×(－4)＝30。 解法二（直接解）：解得 ，再代入 4x－7y＝2＋28＝30。 16．若方程组 的解也是方程 kx＋y＝4 的解，则 k 的值为                        。 【答案】1 先解方程组：两式相加得 3x＝9，x＝3；代入 x＋y＝4 得 y＝1，所以 。 因为这组解也满足 kx＋y＝4，把 x＝3、y＝1 代入得 3k＋1＝4，解得 k＝1。 三、解答题（共 46 分） 17．用代入消元法解方程组 。 【答案】 把 y＝3x－1 代入 2x＋3y＝8，得 2x＋3(3x－1)＝8， 即 2x＋9x－3＝8，11x＝11，x＝1。 所以 y＝3×1－1＝2。故方程组的解是 。 18．小明和小红在争论一道题。已知方程组 。 小明说：“ 是它的解。”小红说：“ 是它的解。” 请你判断谁的说法正确，并说明理由。 【答案】小明正确（小红错误） 把 代入①：左边＝2×3＋1＝7＝右边；代入②：左边＝3－2×1＝1＝右边。 两个方程都成立，所以 是原方程组的解，小明的说法正确。 把 代入①：左边＝2×1＋5＝7＝右边；代入②：左边＝1－2×5＝－9≠1，不成立。 它虽然满足①，但不满足②，所以不是原方程组的解，小红的说法错误。 关键：方程组的解必须同时满足组中的每一个方程，只满足其中一个不算。 19．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同，求 a、b 的值。 【答案】a＝1，b＝3 两个方程组的解相同，说明它们的解是同一个，可先解不含字母的那个方程组。 ①×2 得 6x－4y＝8 ③，②×3 得 6x＋15y＝27 ④，④－③ 得 19y＝19，y＝1。 把 y＝1 代入①：3x－2＝4，x＝2。所以公共解是 。 把这组解代入含字母的方程组：2a＋b＝5，2b＋a＝7。 两式相加得 3a＋3b＝12，即 a＋b＝4；两式相减得 a－b＝－2。解得 a＝1，b＝3。 通法：同解问题先解“能解的”，再把解代入“含字母的”。 20．已知关于 x、y 的方程组 的解是正整数，求整数 a 的值。 【答案】a＝2 或 a＝3 ①×2 得 2x＋4y＝10 ③，③－② 得 (4－a)y＝2，所以 y＝。 因为 y 是正整数，所以 4－a 是 2 的正因数，即 4－a＝1 或 4－a＝2，得 a＝3 或 a＝2。 当 a＝3 时，y＝2，代入①得 x＝1，解为 ，是正整数，符合题意。 当 a＝2 时，y＝1，代入①得 x＝3，解为 ，是正整数，符合题意。 （若 a＝4，则③－② 得 0＝2，方程组无解，舍去。）所以整数 a 的值是 2 或 3。 21．文具店里有甲、乙两种笔记本，甲种每本 5 元，乙种每本 8 元。小明买了这两种笔记本共 15 本，一共付了 96 元。设买甲种笔记本 x 本、乙种笔记本 y 本。 （1）请列出关于 x、y 的方程组（不必求出 x、y 的值）； （2）请说明你所列的方程组中，两个方程各自表示的实际意义； （3）若把“一共付了 96 元”改为“一共付了 100 元”，其他条件不变，是否还存在这样的购买方案？请说明理由。 【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在，理由见解析 （1）由“共 15 本”得 x＋y＝15；由“共付 96 元”得 5x＋8y＝96。 所以方程组是 。 （2）方程 x＋y＝15 表示甲、乙两种笔记本的本数之和是 15 本； 方程 5x＋8y＝96 表示买甲种笔记本的钱数与买乙种笔记本的钱数之和是 96 元。 （3）不存在。若共付 100 元，则得方程组 。 由 x＋y＝15 得 5x＋5y＝75，与 5x＋8y＝100 相减得 3y＝25，y＝。 因为笔记本的本数必须是正整数，而 不是整数，所以不存在这样的购买方案。 22．阅读下面的解题过程，回答问题。 解方程组 。 解：由①，得 y＝9－2x ③。把③代入①，得 2x＋(9－2x)＝9，化简得 9＝9，所以原方程组无解。 （1）上面的解题过程是否正确？若不正确，请说明理由； （2）请写出正确的解答过程。 【答案】（1）不正确，理由见解析；（2） （1）不正确。③是由①变形得到的，把③再代回①，必然得到恒等式 9＝9， 这只能说明①与③同解，不能据此判定原方程组无解。代入消元应把③代入另一个方程②。 （2）把③代入②：5x＋3(9－2x)＝33，即 5x＋27－6x＝33，－x＝6，x＝－6。 所以 y＝9－2×(－6)＝21。故原方程组的解是 。 23．甲、乙两人同时解方程组 ，甲看错了 b，求得的解为 ；乙看错了 a，求得的解为 。求 a＋b 的值。 【答案】a＝4，b＝－1，a＋b＝3 甲看错了 b，但方程 ax＋y＝3 中的 a 没有看错，所以甲的解满足 ax＋y＝3。 把 x＝1、y＝－1 代入：a－1＝3，得 a＝4。 乙看错了 a，但方程 x－by＝2 中的 b 没有看错，所以乙的解满足 x－by＝2。 把 x＝－1、y＝3 代入：－1－3b＝2，得 b＝－1。 所以 a＋b＝4＋(－1)＝3。 关键：看错哪个系数，就用“没看错的那个方程”去代入。 24．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）求 x＋y 与 x－y 的值； （2）求 x、y 的值。 【答案】（1）x＋y＝3，x－y＝－1；（2） （1）①＋② 得 5x＋5y＝15，两边同除以 5，得 x＋y＝3； ①－② 得 x－y＝－1。 （2）把 x＋y＝3 与 x－y＝－1 相加，得 2x＝2，x＝1； 再把 x＝1 代入 x＋y＝3，得 y＝2。故 。 点拨：本题用“整体相加、整体相减”直接得到 x＋y 与 x－y，比先消元求单个字母更快，这就是整体思想。 5.1 认识二元一次方程组+5.2 求解二元一次方程组_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.1 认识二元一次方程组+5.2 二元一次方程组的解法_课堂同步分层训练卷北师大版八上 2026~2027 学年 班级：                        　姓名：                        　学号：                        　得分：                         【说明】本卷包含：5.1 认识二元一次方程组（二元一次方程与方程组的定义、方程组的解）；5.2 求解二元一次方程组（代入消元法、加减消元法）。满分 100 分，建议用时 45 分钟。 一、选择题（每题 3 分，共 30 分） 1．下列方程中，是二元一次方程的是（　　） A．x2＋y＝4 B．＋y＝3 C．2x－3y＝5 D．x＋y－2z＝1 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 3．若 (a－1)x|a|＋3y＝5 是关于 x、y 的二元一次方程，则 a 的值是（　　） A．1 B．－1 C．±1 D．0 4．若 是二元一次方程 mx＋3y＝2 的一个解，则 m 的值为（　　） A．－ B． C．－2 D．2 5．二元一次方程 x＋2y＝5 的正整数解共有（　　） A．1 组 B．2 组 C．3 组 D．4 组 6．用代入消元法解方程组 时，将①代入②，消去 y 后得到的方程是（　　） A．3x－4x－6＝8 B．3x＋4x－6＝8 C．3x＋4x＋6＝8 D．3x－4x＋6＝8 7．用加减消元法解方程组 时，将①－②可得（　　） A．－2y＝8 B．－8y＝8 C．2y＝6 D．8y＝－8 8．用加减消元法解方程组 时，下列方案中消元正确的有（　　） 方案一：要消去 x，可将①×3＋②×5；　方案二：要消去 x，可将①×5－②×3； 方案三：要消去 y，可将①×2－②；　方案四：要消去 y，可将①×2＋②。 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 9．对 x、y 定义一种新运算：x⊙y＝mx－ny。 当 m＝2、n＝1 时，x⊙y＝5；当 m＝3、n＝－4 时，x⊙y＝2，则 x、y 的值分别为（　　） A．2，－1 B．2，1 C．－2，1 D．－2，－1 10．已知关于 x、y 的二元一次方程组 的解互为相反数，则 m 的值为（　　） A．－3 B．3 C．－1 D．1 二、填空题（每题 4 分，共 24 分） 11．请写出一个解为 的二元一次方程组：                        。 12．方程组 的解是                        。 13．在解关于 x、y 的方程组 时，若①＋②可以直接消去一个未知数，则 m、n 之间的数量关系可表示为                        。 14．已知 是方程组 的解，则 a＋b＝                        。 15．已知 ，则 4x－7y 的值为                        。 16．若方程组 的解也是方程 kx＋y＝4 的解，则 k 的值为                        。 三、解答题（共 46 分） 17．用代入消元法解方程组 。 18．小明和小红在争论一道题。已知方程组 。 小明说：“ 是它的解。”小红说：“ 是它的解。” 请你判断谁的说法正确，并说明理由。 19．已知关于 x、y 的方程组 与 的解相同，求 a、b 的值。 20．已知关于 x、y 的方程组 的解是正整数，求整数 a 的值。 21．文具店里有甲、乙两种笔记本，甲种每本 5 元，乙种每本 8 元。小明买了这两种笔记本共 15 本，一共付了 96 元。设买甲种笔记本 x 本、乙种笔记本 y 本。 （1）请列出关于 x、y 的方程组（不必求出 x、y 的值）； （2）请说明你所列的方程组中，两个方程各自表示的实际意义； （3）若把“一共付了 96 元”改为“一共付了 100 元”，其他条件不变，是否还存在这样的购买方案？请说明理由。 22．阅读下面的解题过程，回答问题。 解方程组 。 解：由①，得 y＝9－2x ③。把③代入①，得 2x＋(9－2x)＝9，化简得 9＝9，所以原方程组无解。 （1）上面的解题过程是否正确？若不正确，请说明理由； （2）请写出正确的解答过程。 23．甲、乙两人同时解方程组 ，甲看错了 b，求得的解为 ；乙看错了 a，求得的解为 。求 a＋b 的值。 24．已知关于 x、y 的方程组 。 （1）求 x＋y 与 x－y 的值； （2）求 x、y 的值。 5.1 认识二元一次方程组+5.2 求解二元一次方程组_课堂同步分层训练卷　·　2026~2027 学年北师大版八年级上册数学 学科网（北京）股份有限公司 $