5.2二元一次方程组的解法（分层作业，12大题型）数学新教材北师大版八年级上册

分层作业 5.2 二元一次方程组的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 代入消元法 题型02 加减消元法 B组 能力进阶 题型01 二元一次方程组中错解复原问题 题型02 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型03 二元一次方程组的同解问题 题型04 选择合适的方法消元解方程组 题型05 解方程组与求代数式的值 题型06 根据解的情况判断信息 题型07 根据几何性质列方程组解决问题 题型08 构造二元一次方程组求解 C组 思维拔高 题型01 二元一次方程组的特殊解法 题型02 新定义的二元一次方程组问题 代入消元法题型01 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由①变形得③，把③代入②即可得到答案． 【详解】解： 由①得，③ 把③代入②得，， 故选：B 【点睛】此题考查了二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 2．把方程改写成用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是掌握移项的方法．通过移项即可得出答案． 【详解】解∶∵， ∴， 故答案为∶ ． 3．（24-25七年级下·江苏江阴·期末）已知用含x的代数式表示y为________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程的代入消元法，根据等式的性质，对等式正确变形是解本题的关键．根据等式的性质，变形即可求解． 【详解】∵ ∴ 将代入． 故答案为：． 4．解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是解二元一次方程组，掌握利用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解决此题的关键． （1）先将①变形，然后利用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）利用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， 原方程组的解是； （2）解：， 得：， ∴， ∴， ∴， 把代入①得：， ， 原方程组的解是． 5．下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 【答案】任务一：代入；任务二：二，整体代入未添加括号（言之成理即可）； 任务三：由①得 ③ 将③代入②得 解得，代入③，解得 ∴原方程组的解为： 【分析】根据二元一次方程的解法分别以各个任务进行判断整理即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，小亮用的方法是代入消元； 但是从第二步开始错误，错误的原因：整体代入未添加括号； 正确的解答过程： 略 【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程的解法：一、代入消元；二、加减消元是解题的关键． 加减消元法题型02 1．方程组中两个方程相加得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法．由①②，即可获得答案． 【详解】解：， 由①②，可得． 故选：B． 2．用加减消元法解方程组，则方程组的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的步骤是解题的关键． 消去，可解得的值，将x的值代入①中可得y的值，据此求解． 【详解】解：， ，得：， 将代入①中，， 解得：， ∴方程组的解为：． 3．解方程组 【答案】 【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【详解】解：， ①×2−②得：7y=−7， 解得：y=−1， 把y=−1代入①得：x=5， 则方程组的解为. 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效地检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组时的运算步骤回答下面的问题． 解：由，得，    …第一步 ，得，        …第二步 得．        …第三步 把代入①，得，    …第四步 所以原方程组的解为 (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）； (2)请你写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2) 解：， 由①，得③， ③②，得， 把代入①，得， 所以原方程组的解为． 【分析】本题主要考查了加减消元法解二元一次方程组． （1）根据等式的性质即可得出答案． （2）按照加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始错误， ∵由①，方程右边的常数项没有； 故答案为：一； （2）略 5．（24-25下·上海·期中）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握加减消元法． 先将原方程组进行化简整理，然后利用加减消元法进行计算即可解答． 【详解】解：将原方程组进行化简整理可得： ， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 二元一次方程组中错解复原问题题型01 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：由题意，得把，代入②，得， 解得， 把，代入①，得， 解得， 所以，． 故选C． 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键．由题意得，是方程的解，代入得到，即可求出的值． 【详解】解：由题意得，是方程的解， 代入得到， 即， 故答案为：． 3．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得． (1)求a，b的值． (2)求原方程组正确的解． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）首先根据题意列出关于a，b的方程，再进行求解即可求得a，b的值； （2）将a，b的值代入原方程组，解方程组即可求得． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴， 将代入中，得， ∴； （2）解：由（1）得，原方程组是， ①②得， 解得：， 将代入②得， 解得， 即． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解及二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 4．甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】此题考查了二元一次方程组的解、求代数式的值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）将代入方程组的第②个方程，将代入方程组的第①个方程，联立求出与的值； （2）将与的值代入进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，将代入②，得：， 即， 将代入①，得：， 即； （2）解：由（1）得：，， ． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】（1）当时，化成具体方程组，解答即可． （2）求得原方程组的解，结合，求k的值即可． （3）根据，把方程组进行化简，后根据题意，解方程组即可． 本题考查了解方程组，方程组看错问题，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，方程组变形为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 解得， 故方程组的解为． （2）解：方程为， 整理，得， 得， 解得， 把代入得， 故方程组的解为． 由得， 解得． （3）解：根据题意，得， 故方程组变形为， 整理，得， 根据题意，方程组的解为，方程组的解为， 故； 解得， 此时方程组变形为， 解得， 故． 已知二元一次方程组的解的情况求参数题型02 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，通过消元法将方程组中的变量关系转化为已知条件，从而直接求解参数k的值． 【详解】解：已知方程组：， 用②减去①，得：， 化简左边得：， 根据题目条件，代入上式得：， 解得：， 故选：A． 2．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x与y互为相反数,得到x+y=0，即y=-x，代入方程组即可求出m的值． 【详解】由题意得：x+y=0，即y=-x， 代入方程组得： ， 解得：m=3x=4， 故选D． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 3．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则___________________． 【答案】或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程组中的两个方程利用加减法求出，可得，然后结合已知可得答案． 【详解】解：， 得：， ∴， ∵不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变， ∴， 故答案为：． 4．已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解答本题的关键． （1）把代入方程组，然后用加减消元法求解即可； （2）把两个方程相加得，结合即可求出的值． 【详解】（1）当时，这个方程组可化为 ，得③， ，得④， 由得， 解得， 将代入②，得， 解得， 所以当时，这个方程组的解为 （2） 由，得， ，， 解得． 5．用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 【答案】(1) (2)①4，12；②， 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程组．解决本题需仔细观察图形，发现大长方形的边长与、之间的关系是关键．讨论方程组的解情况是本题的难点． （1）由图1中空白部分面积大长方形面积阴影部分面积个小长方形面积，可得，再结合完全平方公式可得，即可得； （2）由长方形的长和宽可列出关于、的方程组，解关于、即可解答． 【详解】（1）解：由图可知：，， ，， ， （负值舍去）； （2）解：①， ，的值有无数组； ，， ，； ②， ，的值不存在． ，， ，； 故答案为：4，12；，． 二元一次方程组的同解问题题型03 1．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同解方程组．将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出a，b的值即可． 【详解】解：由题意，得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴； 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了同解方程组，二元一次方程组的解法及象限的点的坐标特点．解决本题的关键是根据题意打乱原方程组，构造新的方程组．由于x、y是两个方程组的公共解，所以适合组中的四个方程．先由方程组求得x、y的值，把x、y的值代入方程组求得n、m的值，最后判断点所在的象限即可． 【详解】解：∵x、y是方程组和的公共解， ∴满足方程组 解这个方程组得 把代入 ， 解得 ∴点在第四象限． 故选D． 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如下表： … 0 1 2 3 … … 0 … 关于的二元一次方程的部分解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的二元一次方程组的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．由表可知，是二元一次方程和的公共解，即可解答． 【详解】解：由表可知，是二元一次方程和的公共解， ∴关于的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 【答案】 【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是． 若令，则方程组的解与方程组的解相同， 则，解得， ． 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键． （1）求出的解，即可解答； （2）将代入到中，求出a、b的值，再代入，求出即可． 【详解】（1）由题意，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②得 ， ∴， 解得； （2）将代入，得， 解得． ∴， ∴． 选择合适的方法消元解方程组题型04 1．解方程组比较简便的方法为（ ） A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样 【答案】B 【分析】这两个方程中，x的系数相同，则利用加减消元法比较简单． 【详解】由于x的系数相同，则利用加减消元法比较简单． 故选：B 2．解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组宜用____法；方程组宜用_____法． 【答案】 加减 代入 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．观察已知方程组，确定出较好的解法即可． 【详解】解：我们知道解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组，宜用加减法；解方程组宜用代入法． 故答案为：加减；代入． 3．（25-26八年级·陕西·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先对原方程组进行化简，再根据化简后的方程特点选择合适的方法求解即可． 【详解】解：由，得， 由，得， 由①得，将其代入②，可得，解得， 将代入，可得， ∴方程组的解为． 4．下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2) 解：浩浩. 正确解答如下： 由①2得③． 由②③得． 解得． 把代入①得． 方程组的解为． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）由加减消元法和代入消元法的步骤判断即可； （2）浩浩的做法中，由①2得③，错了．由加减消元法和代入消元法的步骤分别求解即可． 【详解】（1）解：芊芊的消元方法是代入消元法；浩浩的消元方法是加减消元法． 故答案为：代入消元法，加减消元法． （2）略 5．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键： （1）加减消元法解方程组即可； （2）代入消元法解方程组即可； （3）将每个方程的未知数的系数化为整数，再利用加减消元法解方程组即可； （4）利用换元法结合加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； （2）， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴方程组的解为； （3）原方程组可化为 ，得，解得； 把代入①，得； ∴方程组的解为； （4）令，原方程组可化为：， ，得，解得； 把代入①，得，解得； ∴， ，得：，解得； 把代入③，得，解得； ∴方程组的解为． 解方程组与求代数式的值题型05 1．已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A．5 B．7 C．9 D．3 【答案】A 【分析】直接把两式相加即可得出结论． 【详解】， ①+②得，4x+4y=20，解得x+y=5． 故选A． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知利用加减法解二元一次方程组是解答此题的关键． 2．如果|x|+x+y＝10，|y|+x﹣y＝12，那么x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题可分类讨论，根据不同的情况分类分析，从而得出正确的结果． 【详解】解：①当x≥0，y≥0时， 解得： ，不符题意； ②当x≥0，y＜0时， 解得： ， 此时x+y＝； ③当x＜0，y≥0时， 解得： ，不符题意； ④当x＜0，y＜0时， 解得： ，不符题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值，以及二元一次方程组，解答本题的关键是分类讨论，根据不同的情况分类分析，认真计算． 3．（25-26八年级·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，解题的关键是掌握二元一次方程组的特殊解法． 通过将两个方程相加，消去参数a，直接求出的值． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 故答案为：． 4．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为_____． 【答案】 【分析】由整体换元思想可得，求出，，然后代入求值即可． 【详解】∵关于x，y的方程组的解是， ∴方程组的解满足关系式， 解得：， ∴x′-2y′=8-2×12=8-24=-16． 故答案为：-16． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关键． 5．已知是二元一次方程组的解，求的值． 【答案】3 【分析】本题考查了解二元一次方程组、二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解题关键．先将代入方程组可得，则可得，再利用方程②减去方程①求解即可得． 【详解】解：∵是二元一次方程组的解， ∴， 整理得：， 由②①得：， 所以的值为3． 根据解的情况判断信息题型06 1．方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．解题的关键是注意观察两个方程的未知数的系数之间的关系． 【详解】解：观察方程组，发现第一个方程可以变形为， ∴该方程组有无数组解． 故选：D． 2．（25-26七年级上·河北唐山·联考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了代数式的求值、解方程组，通过假设每个结论错误，验证其余三个结论是否一致，找出唯一矛盾的情况． 【详解】解：假设①错误，则②、③、④正确： 联立②和③：， 解得，，代入④得，矛盾，故①不可能错误． 假设②错误，则①、③、④正确： 联立①和③：， 解得，，代入④得，④正确，代入②得，仅②错误，符合题意． 假设③错误，则①、②、④正确： 联立①和②：， 解得，，代入④得，矛盾，故③不可能错误． 假设④错误，则①、②、③正确： 联立①和②：， 解得，，代入③得，矛盾，故④不可能错误． 综上，错误的结论是②． 故选：B． 3．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用，结论I：根据题意得，求得，再由题意列二元一次方程组求解即可；结论Ⅱ：由题意得，，从而可得，再根据，可得，进行求解即可． 【详解】解：当时，， 解得， ∴， 解得，故结论I不正确； 由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 满足条件的x和y的非负整数解有或或，共3组， 即不论m，n取何值，的值一定为4，且满足条件的x和y的非负整数解有3组，故结论Ⅱ正确， 故选：D． 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 【答案】①③④ 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解： 当这个方程组的解，的值互为相反数时， 即， 两方程相加，得， ， 解得；故正确； 当时，原方程组可化简为 解得 方程， 左边可化为：， 右边可化为：， 所以左边右边， 故错误； 可得：， 即， 所以无论取什么实数，的值始终为，故正确； 由知， ，故正确； 故答案为． 根据几何性质列方程组解决问题题型07 1．（25-26八年级下·福建三明·质检）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 2．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形，二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，宽为，根据题意列出二元一次方程组，求出，从而可得点的坐标为，即可解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，根据题意，得， 解得， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为． 故选：B． 3．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 【答案】B 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，等腰三角形的定义，构成三角形的条件，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 先求方程组的解，再分腰长为2，底边长为4时，腰长为4，底边长为2时，两种情况结合构成三角形的条件进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当腰长为2，底边长为4时，则三角形三边为2，2，4，不能组成三角形，不符合题意； 当腰长为4，底边长为2时，则三角形三边为4，4，2，能组成三角形，符合题意， ∴三角形的周长为， 故选B． 4．已知点关于y轴的对称点Q的坐标是，则的值为_______． 【答案】25 【分析】利用关于y轴对称点的性质得出关于a，b的方程组求出a，b的值，然后代入计算． 【详解】解：∵点关于y轴的对称点Q的坐标是， ∴， 解得：， 则ab的值为：． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了坐标平面内的轴对称变换，关于x轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数． 5．阅读材料： 如图1，已知的面积为60，，边上的中线，相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，，则，． 由题意，得，． 可列方程组为 …… 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为________； (2)如图2，已知的面积为60，，，，相交于点，求四边形的面积． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，三角形中线的性质，等高三角形的面积的比等于底的比，熟练掌握这个结论是解题的关键． （1）解方程组求出的值，即可得到结果； （2）连接，由，得到，同理可得，设，则，由题意得列方程组即可得到结果． 【详解】（1）解方程组， ，得 ， ∴， ∴四边形的面积为20． 故答案为：20； （2）解：连接， ∵，与等高， ∴， 同理可得， 设，则， ∴， 解得， ∴， ∴四边形的面积为13． 故答案为：13． 构造二元一次方程组求解题型08 1．若与是同类项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项定义，同类项所含字母相同，且相同字母的指数也相同，据此列出方程组求解即可得到正确结果． 【详解】解：∵与是同类项， ∴相同字母的指数相等，可得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如果与互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，非负数的性质，解二元一次方程组，由相反数的定义得，进而根据非负数的性质列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， 解得， 故选：A． 3．若关于x，y的两个二元一次方程与的部分解分别如表①、表②所示，则关于x，y的二元一次方程组的______． 表① x －1 0 1 2 3 y －4 －3 －2 －1 0 表② x －1 0 1 2 3 y 5 3 1 －1 －3 【答案】 【分析】把表格①中x与y的两对值代入方程y+ax=b求出a与b的值，把表格②中x与y的两对值代入2x-cy=d中求出c与d的值，确定出方程组，求出解即可． 【详解】解：把，；，代入得：， 解得：； 把，；，代入得：， 解得：，代入方程组得：，解得：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是______． 【答案】829 【分析】本题考查的是解二元一次方程组．先设有p个x取1，q个x取，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，进一步计算即可求解． 【详解】解：设有p个x取1，q个x取， 则有， 解得， ∴． ∴，，，，中数值取0的个数是829． 故答案为：829． 5．（24-25七年级下·河南焦作·月考）已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)的值为5，的值为 (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是关键． （1）把两组解代入得到二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据（1）得到二元一次方程为，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵和是关于x，y的二元一次方程的两组解， ∴ 解得 即的值为5，的值为． （2）由（1）得，该二元一次方程为． 当时，． 二元一次方程组的特殊解法题型01 1．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 2．解方程组： 【答案】 【分析】设，则，，把，代入②求出，即可得到，即为方程组的解． 【详解】解：设，则，． 把，代入②，得， 解得， ∴，， ∴原方程组的解是 3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 令，代入原方程组求出、的值，进而建立二元一次方程组再求出，的值． 【详解】解：方程组，变形为 假设， 原方程组变形为， 解得， ∴，解方程组得， 故方程组的解为． 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，理解题意是解题的关键．根据题意得出新方程组，用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 由得， 由得， 组成新方程组， 解得：． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）解方程组． 【答案】原方程组的解是，，，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，用了换元法，题目比较复杂，有一定的难度，注意：方程组有四组解． 设，，则方程组可化为，求出，把的值代入求出，代入得出，，求出，分为两种情况，当时，根据，求出，当时，，求出，即可得出方程组的四组解． 【详解】解：设，， 则方程组可化为， 得：， ， 把代入得：， ， 即，， 由得：， 分为两种情况： 第一种情况：当时，， ， ，； 第二种情况：当时，， ， ，， 综合上述，原方程组的解是，，，． 新定义的二元一次方程组问题题型02 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 2．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则______． 【答案】 【分析】根据新定义法则得出，求出的值，再根据新定义运算法则，计算即可得出答案． 【详解】解：，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解二元一次方程组，解本题的关键在理解新定义运算法则． 3．（24-25下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 【答案】(1) (2)共轭系数为， (3)，可取任意数或， 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，注意计算的准确性即可． （1）由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：，求解方程组即可； （2）由题意得：，据此即可求解； （3）由消去得③，由题意得方程③有无数个解，推出，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：方程的“共轭二元一次方程”为：， 解方程组得：， 故答案为：； （2）解：由题意得：，解得， 故， 故共轭系数为，； （3）解：由消去得③， 原方程组有无数解，则方程③有无数个解，则， 则或． 4．规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 【答案】(1)点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点” (2)2m−n的平方根为±4 (3)点P的坐标为 【分析】(1 )根据“理想点"定义进行判断即可； (2)根据题意求出m和n的值，进一步求解即可； (3)解二元一次方程组，得出 ，再根据“理想点”定义求出x和y的值即可． 【详解】（1）， ∴点C是方程2x+3y＝6的“理想点”，点A，点B不是方程2x+3y＝6的“理想点”． （2）把代入方程，得，又∵ 解得， 因为为非负整数，所以 （3）由题意得，解得 ∵x是整数， ∵y是整数，或 当时，； 当时，； 当时，； 当时， 所以点P的坐标为 【点睛】本题考查了二元一次方程组与新定义的综合，理解“理想点”的含义并灵活运用是解题的关键． 5．规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 【答案】(1)①③ (2)或 (3)①，② 【分析】（1）根据“倍差点”定义，逐项验证即可； （2）根据“倍差点”定义，将变形为，得到，由点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，列绝对值方程，分区间讨论求解即可； （3）①联立解得，将公共解代入另外两个方程，并结合“倍差点”定义，可得关于的方程组求解；②将①的结论代入得，即，求出p，q，即可解答． 【详解】（1）解：当时，①是“倍差点”， 当时，②不是“倍差点”， 当时，③是“倍差点”； （2）解：∵点是“倍差点”， ∴，即， ∵点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B， ∴， ∵点B到y轴距离是到x轴距离的2倍， ∴，即， 当时，，， 则，解得（舍去）； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； 当时，，， 则，解得，此时， ∴； ∴点A的坐标为或 （3）解：①∵关于x、y的方程组与有相同的解， ∴联立解得 ∴， ∵，是“倍差点”， ∴，， 将，代入得，整理得， ∴解得， ②由①得， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 5.2 二元一次方程组的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 代入消元法 题型02 加减消元法 B组 能力进阶 题型01 二元一次方程组中错解复原问题 题型02 已知二元一次方程组的解的情况求参数 题型03 二元一次方程组的同解问题 题型04 选择合适的方法消元解方程组 题型05 解方程组与求代数式的值 题型06 根据解的情况判断信息 题型07 根据几何性质列方程组解决问题 题型08 构造二元一次方程组求解 C组 思维拔高 题型01 二元一次方程组的特殊解法 题型02 新定义的二元一次方程组问题 代入消元法题型01 1．用代入消元法解方程组时，消去y后得到的方程是（   ） A． B． C． D． 2．把方程改写成用含x的代数式表示y，则_________． 3．（24-25七年级下·江苏江阴·期末）已知用含x的代数式表示y为________． 4．解方程组： (1)用代入消元法解二元一次方程组： (2)用加减消元法解二元一次方程组： 5．下面是小亮解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步：由①得， ③； 第二步：将③代入②，得 第三步：解得 第四步：将代入③，解得； 第五步：所以原方程组的解为 任务一：小亮解方程组用的方法是________消元法．（填“代入”或“加减”）； 任务二：小亮解方程组的过程，从第________步开始出现错误，错误的原因是________． 任务三：请写出方程组正确的解答过程． 加减消元法题型02 1．方程组中两个方程相加得（　　） A． B． C． D． 2．用加减消元法解方程组，则方程组的解为_______． 3．解方程组 4．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）错题是最好的素材，识错和辨错能有效地检测我们的知识漏洞，纠错和改错则能培养我们严谨高阶的学科素养。请你根据小明在解方程组时的运算步骤回答下面的问题． 解：由，得，    …第一步 ，得，        …第二步 得．        …第三步 把代入①，得，    …第四步 所以原方程组的解为 (1)小明的解题过程从第________步开始出现错误（填一、二、三、四）； (2)请你写出正确的解方程组的过程． 5．（24-25下·上海·期中）解方程组：． 二元一次方程组中错解复原问题题型01 1．两位同学在解关于、的方程组时，甲看错①中的，解得：，，乙看错②中的，解得，那么和的正确值应是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25七年级下·辽宁抚顺·期中）滨滨同学在解方程组时，因抄错c而解得，则的值是______． 3．已知关于x，y的方程组，小明在解方程组时看错a，解得，小红在解方程组时看错b，解得． (1)求a，b的值． (2)求原方程组正确的解． 4．甲、乙两人解同一个关于的方程组，甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为． (1)求与的值； (2)求的值． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）综合与探究 已知关于x，y的二元一次方程组， (1)当时，求这个方程组的解． (2)若该方程组的解x，y满足等式，求k的值． (3)在（2）的条件下，某同学在解关于x，y的方程组时，将中的b看成了6，“”写成了“”，结果得到方程组的解为，而方程组正确的解为，请你根据这些条件直接写出的值． 已知二元一次方程组的解的情况求参数题型02 1．（24-25七年级下·湖北武汉·月考）已知方程组的解满足，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 2．已知方程组中的，互为相反数，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于x，y的二元一次方程组（a是常数），若不论a取什么实数，代数式（k是常数）的值始终不变，则___________________． 4．已知关于x，y的方程组． (1)若，求这个方程组的解． (2)若这个方程组的解满足，求的值． 5．用若干块如图所示的正方形或长方形纸片拼成图（1）和图（2）． (1)如图1，若长方形的面积为56，其中阴影部分的面积为，，求的值． (2)如图2，若的长度为，的长度为． ①当______，______时，，的值有无数组； ②当______，______时，，的值不存在． 二元一次方程组的同解问题题型03 1．已知方程组与有相同的解，则，的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·期末）若关于，的方程组与方程组的解相同，则点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25七年级下·云南昭通·期末）已知关于的二元一次方程的部分解如下表： … 0 1 2 3 … … 0 … 关于的二元一次方程的部分解如下表： … 0 1 2 3 … … … 则关于的二元一次方程组的解是______． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期末）已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 5．已知关于x，y的方程组和有相同的解． (1)求出它们的相同解； (2)求的值． 选择合适的方法消元解方程组题型04 1．解方程组比较简便的方法为（ ） A．代入法 B．加减法 C．换元法 D．三种方法都一样 2．解二元一次方程组的基本思想方法是“消元”，那么解方程组宜用____法；方程组宜用_____法． 3．（25-26八年级·陕西·期末）解方程组：． 4．下面是两位同学解方程组的做法， 芊芊的做法如下： 由方程①得③ 将方程③代入②得 解得 把代入③ ∴方程组的解为 浩浩的做法如下： 由①×2得③ 由②＋③得 解得 把代入①得 ∴方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题． (1)芊芊的消元方法是 ；浩浩的消元方法是 ． (2)判断 （选填“芊芊”或“浩浩”）的解答过程有误，并运用该同学的消元方法进行正确解答． 5．解下列方程组： (1) (2) (3) (4) 解方程组与求代数式的值题型05 1．已知x,y满足方程组，则x+y的值为（） A．5 B．7 C．9 D．3 2．如果|x|+x+y＝10，|y|+x﹣y＝12，那么x+y的值是（　　） A．﹣2 B．2 C． D． 3．（25-26八年级·期末）关于x、y的方程组，则的值为______． 4．已知关于x，y的方程组的解是，则与方程组 有关的的值为_____． 5．已知是二元一次方程组的解，求的值． 根据解的情况判断信息题型06 1．方程组的解的情况是（    ） A． B． C．无解 D．无数组解 2．（25-26七年级上·河北唐山·联考）对于代数式，小明分别计算了当时该代数式的值，得到以下四个结论，嘉淇发现其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（   ） ①；②；③；④． A．① B．② C．③ D．④ 3．（24-25七年级下·河北邢台·月考）如图，约定：上方相邻的左数与右数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．对于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（    ）． 结论Ⅰ：若m的值为，则y的值为； 结论Ⅱ：不论m，n取何值，的值为定值，且满足条件的x和y的非负整数解有3组 A．Ⅰ和Ⅱ都对 B．Ⅰ和Ⅱ都不对 C．Ⅰ对Ⅱ不对 D．Ⅰ不对Ⅱ对 4．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）已知关于，的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是________． ①当这个方程组的解，的值互为相反数时，；②当时，方程组的解也是方程的解；③无论取什么实数，的值始终不变；④若用表示，则 根据几何性质列方程组解决问题题型07 1．（25-26八年级下·福建三明·质检）在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．若方程组的解恰为等腰三角形的两边长，则等腰三角形的周长为（    ） A．8 B．10 C．8或10 D．6或12 4．已知点关于y轴的对称点Q的坐标是，则的值为_______． 5．阅读材料： 如图1，已知的面积为60，，边上的中线，相交于点，求四边形的面积． 小明的解答方法如下： 连接，设，，则，． 由题意，得，． 可列方程组为 …… 解答问题： (1)根据小明的方法，四边形的面积为________； (2)如图2，已知的面积为60，，，，相交于点，求四边形的面积． 构造二元一次方程组求解题型08 1．若与是同类项，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河南周口·期末）如果与互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x，y的两个二元一次方程与的部分解分别如表①、表②所示，则关于x，y的二元一次方程组的______． 表① x －1 0 1 2 3 y －4 －3 －2 －1 0 表② x －1 0 1 2 3 y 5 3 1 －1 －3 4．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）已知，，，，中每一个数值只能取，0，1中的一个，且满足，，则，，，，中数值取0的个数是______． 5．（24-25七年级下·河南焦作·月考）已知和是关于的二元一次方程的两组解． (1)求的值； (2)当时，求的值． 二元一次方程组的特殊解法题型01 1．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 2．解方程组： 3．（25-26八年级上·福建漳州·月考）解方程组，若设，则原方程组可变形为，解方程组得，所以，解方程组得，我们把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，这种解方程组的方法叫换元法，请用这种方法解方程组 4．（24-25七年级下·辽宁铁岭·期中）定义：在解方程组时，由，易得，由，易得，再重新组成方程组再用加减法就容易得到方程组的解了，这种二元一次方程组的解法称为二元一次方程组的轮换对称解法．请用轮换对称解法解方程组． 5．（24-25七年级下·湖南邵阳·月考）解方程组． 新定义的二元一次方程组问题题型02 1．（24-25七年级下·辽宁葫芦岛·期中）如果某个二元一次方程组中两个未知数的值互为相反数，我们称这个方程组为“反解方程组”，若关于，的方程组为“反解方程组”，则的值为（   ） A．4 B． C． D．8 2．对于实数a，b，定义运算“◆”和“*”：，例如4◆3，因为，所以，，为常数，若，，则______． 3．（24-25下·上海·期中）规定：形如与的两个关于，的方程互为“共轭二元一次方程”，其中，由这两个方程组成的方程组叫做“共轭方程组”，其中常数，称为“共轭系数”． (1)由方程和它的“共轭二元一次方程”组成的“共轭方程组”的解为 ； (2)若关于，的二元一次方程组是“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的共轭系数； (3)若关于，的“共轭方程组”有无数多个解，求共轭系数，应满足的条件． 4．规定：若P（x，y）是以x，y为未知数的二元一次方程ax+by=c的整数解，则称此时点P为二元一次方程ax+by=c的“理想点”．请回答以下关于x，y的二元一次方程的相关问题． (1)已知A（−1，2），B（4，−3），C（−3，4），请问哪个点是方程2x+3y=6的“理想点”，哪个点不是方程2x+3y=6的“理想点”并说明理由； (2)已知m，n为非负整数，且，若P（，）是方程2x+y=8的“理想点”，求的平方根． (3)已知k是正整数，且P（x，y）是方程2x+y=1和的“理想点”，求点P的坐标． 5．规定：对于平面直角坐标系中任意一点的坐标满足，此时我们称点为“倍差点”，请回答以下相关问题． (1)以下各点：①②③中是“倍差点”的有（填序号即可）； (2)若点是“倍差点”，且点A向右平移2个单位，向下平移1个单位后得到点B，点B到y轴距离是到x轴距离的2倍，求此时点A的坐标； (3)已知“倍差点”，，关于x、y的方程组与有相同的解，求：①用含k的式子表示m和s；②若对于任意k的值，等式始终成立，求的值 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $