3.2不等式的基本性质（分层作业，5大题型）数学新教材浙教版八年级上册

分层作业 3.2 不等式的基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 不等式的性质 题型02 把不等式化成 x>a 的形式 B组 能力进阶 题型01 不等式性质的逆用 题型02 作差法比较大小 C组 思维拔高 题型 不等式性质的综合应用 不等式的性质题型01 1．若，则下列式子中错误的是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25七年级下·上海·期末）如果，那么下列结论中不正确的是（   ）． A． B． C． D． 5．下列关系正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知，则________”“”或“”） 8．若，则________．（填“”或“”） 把不等式化成 x>a 的形式题型02 1．写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则_______，理由是_______； （2）若，则_______，理由是_______； （3）若，则_______，理由是______． 2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 不等式性质的逆用题型01 1．将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·吉林·月考）若，且，则的值可能是（   ） A．0 B．1 C． D． 3．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 4．下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．由到，成立的条件是（　　） A． B． C． D． 6．实数a，b，c满足，且，它们在数轴上的对应点的位置可以是（   ） A． B． C． D． 7．若不等式(a－2)x＞a－2可以变形为x＜1，则a的取值范围为_____. 8．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？ 作差法比较大小题型02 1．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 2．两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 3．（1）请认真阅读并完成填空： 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小． 4．王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 5．（24-25七年级下·云南·期末）试比较与的大小． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． ×月×日                                 星期三                                      晴 用数学知识解释生活现象 数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象． 发现问题 生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？ 分析问题 将上述生活现象转化为数学问题：将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量）可以记为，再往杯中加入克糖，可以表示出现在糖水的含糖量． 解决问题 ①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式___________； ②验证该不等式的正确性： ．．． 回顾反思 在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题． 用求差法比较大小 我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 任务： (1)小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为___________； A．    B．    C． (2)请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性． 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）【阅读与思考】——求差法，见表1． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数，比较大小，那么 当时，一定有；反过来也对，即当时，一定有； 当时，一定有；当时，一定有； 当时，一定有；当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 表2 卡片编号 ， ， ， 卡片上两数的和 14 19 9 【方法应用】 (1)小华准备了3张同样的卡片，每张卡片上都写有不同的整数，分别记为，，．小华任意将两张卡片上的数字之和记录如表2： ①用求差法比较：，卡片上数字的大小关系； ②求出，，卡片上的数字． (2)一个两位数，如果把它的个位上的数和十位上的数对调，得到一个新的两位数，判断新的两位数与原来的两位数大小关系？并说明理由． 8．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵， ∴． ∴． 【新知应用】 （1）比较大小：______． （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【拓展提升】 （4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小． 不等式性质的综合应用题型 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则，，，从小到大的顺序为______． 4．若，，，则的最小值是_____． 5．已知， ，则______． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ (1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． (2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于x，y的二元一次方程组是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为整数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)判断下列关于x，y的方程组和是否具有性质，并说明理由； (2)用表示不大于a的最大整数，例如：，；用表示大于a的最小整数，例如：，．若关于x，y的方程组具有性质，求的最小值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 3.2 不等式的基本性质 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 不等式的性质 题型02 把不等式化成 x>a 的形式 B组 能力进阶 题型01 不等式性质的逆用 题型02 作差法比较大小 C组 思维拔高 题型 不等式性质的综合应用 不等式的性质题型01 1．若，则下列式子中错误的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的性质,掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A.根据不等式基本性质1，不等式的两边同时减2，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意； B.根据不等式基本性质1，不等式的两边同时加1，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意； C.根据不等式基本性质3，不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，故选项错误，符合题意； D.根据不等式基本性质2，不等式的两边同时除以5，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3．下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边同时加（或减）同一个数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、若，，正确，不符合题意； B、若，则，正确，不符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，当时，则，原说法不正确，符合题意， 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海·期末）如果，那么下列结论中不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：如果，那么，故A不符合题意； 如果，那么，故B符合题意； 如果，那么，故C不符合题意； 如果，那么，则，故D不符合题意． 故选B． 5．下列关系正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据不等式的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：A．若，当时，，该项错误，不符合题意； B．若，则或，当时，；当时，，该项错误，不符合题意； C．若，得，即，则，该项正确，符合题意； D．若，当时，则，该项错误，不符合题意． 故选C． 6．（24-25七年级下·河南周口·期中）如图，有三种不同的小球，质量分别如下图所示，放置在天平的托盘中，结果天平右侧倾斜，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等关系表示实际生活中的情境，涉及不等式性质，根据题意，数形结合得到不等式，再由不等式性质化简求解即可得到答案，将实际生活情境转化为不等式表示是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ， 解得， 故选：C． 7．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）已知，则________”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质求解即可． 不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： ． 8．若，则________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，熟记不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变是解本题的关键．利用不等式的基本性质可得答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 把不等式化成 x>a 的形式题型02 1．写出下列不等式变形成“”的形式的结果及理由． （1）若，则_______，理由是_______； （2）若，则_______，理由是_______； （3）若，则_______，理由是______． 【答案】 不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变 ## 不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变 【分析】本题考查不等式的性质． （1）利用不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变，进行求解即可； （2）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变，进行求解即可； （3）利用不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变，进行求解即可． 【详解】解：（1）， 两边同时减去2，则，理由是不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变， 故答案为：，不等式的性质1：不等式两边同时加或减去同一个数，不等号方向不变； （2）， 两边同时除以2，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个大于0的数，不等号方向不改变； （3）， 两边同时乘以，则，理由是不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变， 故答案为：，不等式的性质2：不等式两边同时乘以(或除以)同一个小于0的数，不等号方向改变． 2．根据不等式的基本性质，把下列不等式化成或的形式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)　 (2) (3)　 (4) 【分析】本题考查了不等式的基本性质； （1）利用不等式的基本性质2，变形化为的形式． （2）利用不等式的基本性质1，变形化为的形式． （3）利用不等式的基本性质3，变形化为的形式． （4）利用不等式的基本性质2，变形化为的形式． 【详解】（1）解：， 两边同时除以2，得； （2）解：， 两边同时加上4，得； （3）解：， 两边同时除以，得； （4）解：， 两边同时乘以2，得． 不等式性质的逆用题型01 1．将不等式两边都乘以同一个数x，若不改变不等号的方向，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：∵不等式两边都乘以同一个数x，不改变不等号的方向 ∴ 故选：B 2．（24-25九年级上·吉林·月考）若，且，则的值可能是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，根据题意可知不等式两边同时乘以之后不等号没有发生改变，则． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 3．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.此选项可得同号，无法得出，不符合题意； B. 由，得，不符合题意； C. 由，得，不符合题意； D.由，得，符合题意； 故选：D． 4．下列四个不等式：（1）；（2）；（3）；（4），一定能推出的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向，据此求解即可． 【详解】解：（1）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （2）只有当时，才能由，推出，不符合题意； （3）由可以推出，符合题意； （4）只有当时，才能由，推出推出，不符合题意； 故选：A。 5．由到，成立的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式的性质，根据不等式的基本性质在不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变，都乘以同一个负数时，不等号的方向改变，都乘以零时，左右两边相等，从而可得答案. 【详解】解：∵， 当时，， 当时，， 当时，， 综上：由到，成立的条件是， 故选：D． 6．实数a，b，c满足，且，它们在数轴上的对应点的位置可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数与数轴，熟练掌握不等式的基本性质，数轴上点的特征是解题的关键．由题意可知，再结合选项即可求解． 【详解】解：，， ， A选项中，，故不符合题意； B选项中，，故不符合题意； C选项中，，符合题意； D选项中，，故不符合题意； 故选：C． 7．若不等式(a－2)x＞a－2可以变形为x＜1，则a的取值范围为_____. 【答案】a＜2 【详解】根据一元一次不等式的解法和基本性质，可由(a－2)x＞a－2的解集为x＜1，可知a-2＜0，解得a＜2. 故答案为a＜2. 8．同桌甲和同桌乙正在对7a>6a进行争论，甲说：“7a>6a正确”，乙说：“这不可能正确”，你认为谁的观点对？为什么？ 【答案】两人的观点都不对 【详解】分析：实际a为任意数，有三种情况：a为负数，a为正数，a为0，应全面考察各种． 本题解析：因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a>6a，②当a<0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．所以两人的观点都不对. 点睛：本题考查了不等式的性质．1、不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．2、不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．3、不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 作差法比较大小题型02 1．5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质的应用，关键是根据不等式的性质进行变形．根据已知得出，推出，求出，两边都除以2即可得出答案． 【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故选：B． 2．两个数比较大小，可以通过它们的差来判断，例如：比较m和n的大小，我们可以这样判断，当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．请你根据上述方法判断下列各式． （1）已知，，当时，一定有______（填“”，“”或“”）； （2）已知，，当时，一定有a_____b（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算、不等式的性质，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后利用已知判断化简式子与0的大小关系即可得到答案； （2）利用作差法和整式的加减运算法则化简，然后根据已知得到化简式子与0的大小关系即可得到答案； 【详解】解：（1）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则成立， 故答案为：； （2）∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴，则， ∴成立， 故答案为：． 3．（1）请认真阅读并完成填空： 根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①如果，那么______； ②如果，那么______； ③如果，那么______． 这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”； （2）请运用这种方法尝试解决下面的问题：比较与的大小． 【答案】（1）①；②；③；（2） 【分析】本题考查阅读理解，涉及等式和不等式的基本性质、整式加减运算等知识，读懂（1）中“求差法比较大小”，灵活运用是解决问题的关键． （1）根据等式和不等式的基本性质，移项即可得到答案； （2）由（1）中“求差法比较大小”，由，计算后与比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）根据等式和不等式的基本性质，移项可得： ①如果，那么； ②如果，那么； ③如果，那么； 故答案为：①；②；③； （2） ， ， ，即． 4．王老伯在集市上先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元，后来他以每只 的价格把羊全部卖掉了．如果a＜b，那么王老伯是赚钱了还是赔钱了？为什么？ 【答案】王老伯赚钱了. 【分析】分别求得8只羊的总进价以及总售价，利用不等式的性质比较即可． 【详解】王老伯赚钱了.理由如下： 因为先买回5只羊，平均每只a元，稍后又买回3只羊，平均每只b元， 所以王老伯买羊共花费（5a＋3b）元. 而卖羊共收入×8＝（4a＋4b）元. 因为a＜b， 所以a＋（4a＋3b）＜b＋（4a＋3b）， 即5a＋3b＜4a＋4b，故王老伯赚钱了. 【点睛】计算盈亏应比较总进价和总售价，得到8只羊的总进价和总售价是解决本题的关键；用到的知识点为：在不等式的两边都加上同一个式子，不等号的方向不变． 5．（24-25七年级下·云南·期末）试比较与的大小． 【答案】 【分析】利用作差法，结合非负性的应用解答即可． 本题考查了多项式的大小比较，实数的非负性的应用，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解： ， ， ， ， ， ． 6．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读与思考 下面是小颖同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． ×月×日                                 星期三                                      晴 用数学知识解释生活现象 数学李老师常说：“我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界”．为此，我尝试着用数学知识解释了下面的生活现象． 发现问题 生活经验告诉我们，往一杯糖水中再加入一点糖，水就变更甜了．用数学的知识如何解释其中的道理呢？ 分析问题 将上述生活现象转化为数学问题：将克糖放入水中，得到克糖水，此时糖水的含糖量（含糖量）可以记为，再往杯中加入克糖，可以表示出现在糖水的含糖量． 解决问题 ①根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到不等式___________； ②验证该不等式的正确性： ．．． 回顾反思 在验证不等式的正确性时我遇到了困难，同桌小果给我分享了“用求差法比较大小”的方法，帮助我顺利解决了问题． 用求差法比较大小 我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 当时，一定有； 当时，一定有； 当时，一定有． 任务： (1)小颖根据原糖水和现糖水中含糖量的大小可以得到的不等式为___________； A．    B．    C． (2)请你利用求差法验证（1）中所选不等式的正确性． 【答案】(1)A (2) ， ，， ，， ． ． 【分析】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键； （1）根据题意可得现在糖水的含糖量，比之前的含糖量高，用一个不等式表示即可求解； （2）利用作差法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 故选A； （2）略 7．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）【阅读与思考】——求差法，见表1． 两个数量的大小可以通过它们的差来判断，如果两个数，比较大小，那么 当时，一定有；反过来也对，即当时，一定有； 当时，一定有；当时，一定有； 当时，一定有；当时，一定有． 因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小． 表2 卡片编号 ， ， ， 卡片上两数的和 14 19 9 【方法应用】 (1)小华准备了3张同样的卡片，每张卡片上都写有不同的整数，分别记为，，．小华任意将两张卡片上的数字之和记录如表2： ①用求差法比较：，卡片上数字的大小关系； ②求出，，卡片上的数字． (2)一个两位数，如果把它的个位上的数和十位上的数对调，得到一个新的两位数，判断新的两位数与原来的两位数大小关系？并说明理由． 【答案】(1)①；②，，； (2) 新的两位数大于原来的两位数，理由如下： 根据题意得，原来的两位数为，新的两位数为 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴新的两位数大于原来的两位数． 【分析】（1）①利用求差法即可判断； ②根据题意列出三元一次方程组求解即可； （2）根据题意得到原来的两位数为，新的两位数为，然后作差根据判断即可． 【详解】（1）①∵， ∴ ∴ ∴ ∴； ②∵ 得， 得， ∴ 将代入①得， ∴ 将代入③得， ∴； （2）略 【点睛】此题考查了不等式的性质，整式的加减运算，解三元一次方程组等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，，其中．求证：．证明：． ∵， ∴． ∴． 【新知应用】 （1）比较大小：______． （2）甲、乙两个长方形的长和宽如图所示（m为正整数），其面积分别为、．试比较、的大小关系． 【实际应用】 （3）请用“作差法”解决下列问题： 某游泳馆在暑假期间对学生优惠开放，有A、B两种方案可供选择，A方案：每次按原价打八五折；B方案：第一次按照原价，从第二次起每次打八折．请问游泳的同学选择哪种方案更合算？ 【拓展提升】 （4）已知x、y、z满足，，比较代数式与的大小． 【答案】（1）；（2）（3）当时， A方案合算；当时，此时两个方案的总价相同；当时， B方案合算；（4） 【分析】（1）做x-1与2+x的差，再根据差的正负性即可判断； （2）分别用m表示，然后计算的差的正负性，即可得到答案； （3）根据题意分别写出表示两种方案的总价的代数式，然后作差，再分情况讨论即可； （4）先将z看作常数，解关于x、y的二元一次方程组，然后带入并作差，根据差的正负性即可得到答案； 【详解】解：（1）根据材料得， ∴ 故填； （2）由图知： ∴ ∵m是正整数 ∴ ∴ ∴ （3）设原价为a（），去的次数为x（x为正整数），总价分别为 根据题意可知：， ∵，x为正整数， ∴当时，，故，此时A方案合算； 当时，，故，此时两个方案的总价相同； 当时，，故，此时B方案合算； （4）由、得、， 联立方程组并解得 ∴== ∴ 【点睛】本题是材料题，考查了对所给信息的获取能力，涉及了二元一次方程组，不等式的性质等相关知识，掌握所需知识，理解题意并根据题目所给方法做出结论是本题的解题关键． 不等式性质的综合应用题型 1．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列四组，的值，能说明命题“若，则”是假命题的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查命题与定理，要说明命题“若，则”是假命题，需找到一组a、b的值，使得成立但不成立，选项D中，，但，满足条件． 【详解】解：∵ 命题为假需满足且， 选项A：，，不符合； 选项B：，，不符合； 选项C：，即不成立，不符合； 选项D：，，即不成立，符合假命题条件． 故选：D． 2．已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵，∴，∴，即，故该选项正确， C．，∵，∴，即，故该选项正确． D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误． 故选：D． 3．若，则，，，从小到大的顺序为______． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的大小比较．熟练掌握不等式的性质，有理数的大小比较是解题的关键． 由，可得，，，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴， 故答案为：． 4．若，，，则的最小值是_____． 【答案】6 【分析】本题考查代入消元法、不等式的性质，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键． 把问题转化为，利用不等式的性质解决最值问题． 【详解】解：， ， ∴， ， ，即， ∵ ， ∴， 即， 时，的值最小，最小值为6． 故答案为：6． 5．已知， ，则______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的性质，不等式的基本性质及代数式的化简与求值．由第一个绝对值方程可得，代入第二个绝对值方程分析，只有成立，代入所求表达式化简计算即可． 【详解】解：由，得，即， 由，且，分以下情况讨论： ①当时，，代入得，解得； ②当时，，代入得，解得，与矛盾，故舍去， ∴，且， ∴， 由，得，故； ，故， ∴原式． 故答案为：3． 6．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！ (1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据． (2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来． 【答案】(1)， 理由：∵，， ∴， ∴． (2) 【分析】本题主要考查了不等式的应用，不等式的性质，正确找到等量关系和不等关系是解题的关键． （1）根据，得到； （2）先得到①   ②   ③，再对着三个式子进行变形，结合不等式的性质求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵①   ②   ③ 由①，②可知， 由②－③，得， ∴， ∴， 由③得④， ②－④，得， ∴， ∴， ∴． 7．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）定义：多项式化简后的项数记作，例如多项式，则．多项式，，满足．如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”． (1)若，均是关于的多项式，则是不是的“好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值． 【答案】(1)是的“好多项式”，理由： ， 是的“好多项式” (2) 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，掌握“好多项式”和“极好多项式”的定义，多项式乘多项式的运算法则是解题的关键. （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于的方程，解方程即可求解； 【详解】（1）略 （2）解： ． 当时，，， ， ， 当时， ， 8．（24-25七年级下·河北张家口·期末）对于关于x，y的二元一次方程组是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足（其中为整数），则称该方程组具有性质．例如，当时，方程组的解满足，所以该方程组具有性质． (1)判断下列关于x，y的方程组和是否具有性质，并说明理由； (2)用表示不大于a的最大整数，例如：，；用表示大于a的最小整数，例如：，．若关于x，y的方程组具有性质，求的最小值． 【答案】(1)解：方程组不具有性质；方程组具有性质，理由如下： 解方程组，得， ∴， ∴方程组不具有性质； 解方程组，得， ∴， ∴方程组具有性质． (2)8 【分析】本题考查了解二元一次方程组，绝对值不等式的应用以及对新定义概念的理解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）解两个二元一次方程组，计算解中x与y的绝对值差，判断是否具有的性质； （2）解方程组确定和的值，再根据题中的定义，确定x和y的取值范围，从而确定 的取值范围即可． 【详解】（1）略 （2）解：解方程组，得， ∵表示不大于a的最大整数， 表示大于a的最小整数， ∴，， ， ，即， ，为整数， ， 当时最小． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $