2.1 不等式及其性质（分层作业，3基础&2提升题型+培优）数学新教材北师大版八年级下册

2.1 不等式及其性质 题型一 不等式的认识与列不等式 一、单选题 1．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．用不等号 “”“”“”“”“” 连接的式子叫做不等式． 根据不等式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、是等式，故本选项不符合题意； B、是代数式，故本选项不符合题意； C、是不等式，故本选项符合题意； D、是代数式，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 3．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出不等式，与之和可表示为：；与之和的平方可表示为；不大于可表示为：，由此可得出不等式． 【详解】解：根据题意得：与之和的平方不大于5，用不等式表示为， 故选：C． 4．下列语句不能用不等式表示的是（    ） A．是负数 B．是正数 C．等于 D．是非负数 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，根据不等式的定义逐一判断即可，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】A、“是负数”可表示为，属于不等式，故选项不符合题意； B、“是正数”可表示为，属于不等式，故选项不符合题意； C、“等于”需用等式，无法用不等式表示，故选符合题意； D、“是非负数”可表示为，属于不等式，故选项不符合题意； 故选：C． 5．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 6．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的应用，准确理解题意是解题的关键．根据最低气温是，最高气温是得到取值范围即可． 【详解】解：明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是． 故选C． 7．我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是明确题中的不等量关系．根据小刚的跑的成绩打破了该项记录，即可列出不等式． 【详解】由题意得，． 故选：A． 二、填空题 8．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查列不等式，关键是根据题意正确找出不等关系． （1）根据倍、差关系，以及正数的定义列出不等式即可得； （2）根据积的定义列出不等式即可得； （3）根据平方和的定义列出不等式即可得． 【详解】（1）解：的4倍与3的差是正数，即差大于0，因此不等式为． 故答案为：． （2）解：与的积小于7，即乘积小于7，因此不等式为． 故答案为：． （3）解：与的平方和大于10，即平方和大于10，因此不等式为． 故答案为：． 9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 【分析】本题考查了不等式的定义，掌握图标的意义是解题的关键．根据标志可得出行驶速度的范围，取其中任意数即可． 【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围， 建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）． 三、解答题 10．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 【分析】本题考查将实际数量关系转化为数学不等式的能力，核心在于准确理解关键词语（如“倍”“和”“差”“小于”“不小于”等），并正确运用代数表达式进行建模． 每次用量为，意味着服用药品的剂量大于或等于且小于或等于，即可列出不等式． 【详解】解：∵每次， ∴一次服用药品的剂量应满足． 11．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 【分析】本题考查列不等式，理解题意，根据数量关系列出不等式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据不同的促销方式分别列出不等式即可； （2）该顾客得到的优惠超过30元时，，根据对应的促销方式列出不等式即可． 【详解】（1）解：当时，，即； 当时，，即． （2）解：当时，得到优惠为（元）， ∵该顾客得到的优惠超过30元， ∴， ∴， 即． 12．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2辆，大型车4辆 (3) 【分析】（1）根据停车收费标准，免费2小时，后面第1小时3元，以后每15分钟元（不满15分钟部分按15分钟计算，大型车双倍）计算即可； （2）设小型车辆，大型车辆，列方程组求解即可； （3）计算按元每15分钟的收费标准收费的时间，再加上免费停车时间和首次收费的1小时，根据24小时连续停放只收12元，即可求解． 【详解】（1）解：由表可知，小型车首1小时是3元，超过则每15分钟元（大型车双倍）， ∵一辆小型车连续停车5小时，由于前120分钟免费，因此实际收费是后面2个小时， ∴费用为（元）， ∵大型车是小型车的双倍， ∴大型车费用为14元； 故答案为：7；14． （2）设小型车辆，大型车辆，则 解这个方程组，得， 答：小型车2辆，大型车4辆． （3），，且每个小时有4个15分钟， ∴1小时收费以外的时间为小时（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算）， ∵， ∴，24小时连续停放只收12元， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的应用，解题关键是理解题意，正确列出算式或方程求解． 题型二 不等式的解集 一、单选题 1．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的运算法则是解本题的关键． 将代入各个不等式，即可得到答案． 【详解】解：对于选项A：，不成立； 对于选项B：，不成立； 对于选项C：，不成立； 对于选项D：，成立． 故选：D． 2．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解的定义，不等式的解集是满足不等式的所有解的集合，使原不等式成立的数就是不等式的一个解，据此逐项分析求解即可． 【详解】解：A、∵某不等式的解集是， ∴0是这个不等式的解，故A不符合题意； B、∵某不等式的解集是， ∴不是这个不等式的解，故B不符合题意； C、∵某不等式的解集是， ∴大于的数都是这个不等式的解，大于且小于等于的数不是这个不等式的解，故C符合题意； D、∵某不等式的解集是， ∴小于的数都不是这个不等式的解，故D不符合题意． 故选：C 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 【分析】本题主要考查不等式的解，熟练掌握不等式的解是解题的关键；因此此题可根据不等式的解进行排除选项． 【详解】解：A、方程和不等式的解是不一样的，故原说法错误； B、是不等式的解，故原说法错误； C、是不等式的一个解，故原说法正确； D、不是不等式的解集，故原说法错误； 故选C． 4．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 【分析】本题考查了用表格表示变量间的关系，观察表格中的数据，根据时邮资为元即可求解，看懂表格是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当信件质量满足时，邮资为元， ∴此平信的质量可能为克， 故选：． 5．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的解的定义，准确计算是解题的关键，根据不等式解的定义分别判断①②③是否正确即可解答． 【详解】解：①把代入不等式，成立，故是不等式的一个解，正确； ②把代入不等式，成立，故是不等式的解，正确； ③不等式的解集为，正确． 故选C. 6．某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列不等式及解不等式，根据题意列不等式，解出不等式的解集，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得，他买黄瓜每斤平均价是：， 他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱， 则， 解得：， 故选：A． 7．数学课上同学们展开了激烈的讨论，甲同学：是一个不等式；乙同学：是不等式的一个解；丙同学：是不等式的解集；丁同学：范围内任何一个实数都可以使不等式成立，所以是的解集．你认为谁的说法正确？（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】C 【分析】根据不等式的定义和不等式解的概念逐个判断即可． 【详解】解：甲同学：不是不等式，错误； 乙同学：， ， ， 所以不是不等式的解，错误； 丙同学：， ， ， 所以是不等式的解集，正确； 丁同学：， ， 所以范围内任何一个实数都可以使不等式成立， 但是是的解集，错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的定义和性质，熟记不等式的性质和定义是解此题的关键． 8．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“6吨多”得到的取值范围即可． 【详解】解：根据“6吨多”物资运送到天和核心舱得到． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了不等式的定义：用“”或“”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“”号表示不等关系的式子也是不等式． 9．如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 【分析】根据，判定区域即可． 【详解】因为， 故选C． 【点睛】本题考查了不等式的应用，熟练掌握不等式解集的意义是解题的关键． 10．A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度正好是A疫苗冷库储藏温度的最低度数和疫苗冷库储藏温度的最高度数． 【详解】解：∵A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为， ∴A，两种疫苗储藏在一起，冷库储藏温度要求为． 故选：C． 【点睛】此题考查了不等式，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，解题的关键是读懂题意，搞懂A疫苗冷库储藏温度和疫苗冷库储藏温度的要求． 二、填空题 11．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 12．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，由得，据此可得答案． 【详解】解：由得， ∴是不等式的解得是④，⑤4， 故答案为：④⑤． 13．请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查的是不等式的整数解，根据不等式的整数解的含义可得其中的一组整数解为． 【详解】解：不等式的一组整数解为， 故答案为：（答案不唯一）． 14．我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 【答案】/ 【分析】利用最低气温和最高气温即可表示出气温的变化范围． 【详解】解：∵最高气温是，最低气温是 ∴ 故答案为． 【点睛】本题主要考查列不等式，掌握列不等式的方法是解题的关键． 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． 三、解答题 16．由于小于6的每一个数都是不等式x－1<6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？ 【答案】这种说法是错的． 【详解】试题分析： 由10是不等式的解，但10大于6结合“不等式的解集是不等式所有解的集合”即可说明题中说法是错误的. 试题解析： ∵当时，， ∴10是不等式的一个解， ∵10不在的范围内， ∴不等式的解集是的说法是错误的. 17．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 【分析】（1）求出第二个不等式的解集，表示出第一个不等式的解集，由解集相同求出a的值即可； （2）根据不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求出a的范围即可． 【详解】（1）解：由x+1<7−2x得：x＜2， 由−1+x<a得：x＜a+1， 由两个不等式的解集相同，得到a+1=2， 解得：a=1； （2）解：由不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解， 得到2≤a+1， 解得：a≥1． 【点睛】此题考查了不等式的解集，根据题意分别求出对应的值，利用不等关系求解． 题型三 不等式的性质及其应用 一、单选题 1．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．运用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，原写法错误，不符合题意； B、由，得到，原写法正确，符合题意； C、由，得到，原写法错误，不符合题意； D、由，得到，原写法错误，不符合题意； 故选：B． 2．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 3．已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，根据不等式性质判断：①两边加相同数，不等号方向不变；②两边乘负数，不等号方向改变；③中可能为零，导致不等式不成立；④分母恒为正，除以正数不等号方向不变．进一步可得答案． 【详解】解：∵， ① 两边加2，不等号方向不变， ∴，正确． ② 两边乘（负数），不等号方向改变， ∴，正确． ③ 当时，，则；但时，，则， 不等式不成立， ∴ 不一定正确． ④ ∵ ，两边除以正数，不等号方向不变， ∴，正确． ∴ 正确的有①、②、④，共3个． 故选：B 4．图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次不等式性质的应用，结合图形进行分析，找到不等式关系是解题的关键； 【详解】 解：∵ ∴当两边同时加时，则， 故选：D. 5．已知，则x与y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：不等式两边都乘以5，得 不等式两边都加1，得， 不等式两边都除以2，得， 故选：B． 6．下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式的性质，解题的关键是掌握不等式同时乘以或除以负数不等号方向改变． 根据不等式性质，逐项判断即可． 【详解】对于A、不等式两边同时乘以14得：， 即，故A正确，不符合题意； 对于B、不等式两边同时乘以6得：， 再同时乘以得：，故B错误，符合题意； 对于C、不等式两边同时乘以6得：，故C正确，不符合题意； 对于D、不等式两边同时乘以4得：； 故选：B． 7．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减运算，配方法的应用，偶次方的非负性，掌握整式的加减运算法则，配方法，偶次方的非负性是解题的关键． 通过作差法和配方法比较与的大小，即可解答． 【详解】，， ， ， ， ，即． 故选：A． 二、填空题 8．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，命题．逐一分析每个命题的真假性：命题①可通过反例判断为假；命题②利用不等式性质推导为真；命题③根据平方非负性和不等式性质判断为真；命题④通过反例证明为假；命题⑤通过不等式性质验证为真． 【详解】解：命题①，取反例，，满足，但，故命题①为假命题，不符合题意； 命题②，由，两边同乘，再两边加1得，故命题②为真命题，符合题意； 命题③，由得，由于， 当时，两边同除得， 当时前提不成立， 故命题③为真命题，符合题意； 命题④，取反例，满足，但，不满足，故命题④为假命题，不符合题意； 命题⑤，由，可得，展开得，即，故命题⑤为真命题，符合题意； 故答案为：②③⑤． 三、解答题 9．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的解法是解决问题的关键：先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母的依据是不等式的性质； 故答案为：不等式的性质． （2）解：第⑤步系数化为时，不等式两边同时乘以时，忘记改变不等号方向， 故答案为：⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． （3）解：不等式解集为， 在数轴上表示如下： 【点睛】本题考查解一元一次不等式，不等式的基本性质，在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：空心圆点向右画射线，实心圆点向右画射线，空心圆点向左画射线，实心圆点向左画射线．掌握解一元一次不等式的步骤，正确在数轴上表示出不等式的解集是解题的关键． 题型一 不等式的性质与数轴 一、单选题 1．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数与数轴，不等式的基本性质，掌握不等式的三个基本性质是关键；由数轴得，再利用不等式的三个基本性质判断． 【详解】解：由数轴得， 由不等式的基本性质1得：，， 故选项A、B错误； 由不等式基本性质3得：， 故选项C错误； 由不等式基本性质2得：， 故选项D正确； 故选：D． 2．如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴表示有理数，有理数的混合运算等知识点，正确判断的大小以及正负是解题的关键． 先根据数轴得到，再判断，，即可判断各选项． 【详解】解：由数轴可得， 故A正确， ∴，， 故B正确， ∴， 故C错误， ∵， ∴， ∴， 故D正确， 故选C． 3．已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查在数轴上表示有理数、有理数乘法运算等知识点，明确题意并灵活利用数形结合的思想是解题的关键． 根据，则，易得，再结合选项中的数轴，即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即D选项符合题意． 故选：D． 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义，可得答案． 【详解】由数轴可知 ，，0＜c＜1 ∴，故A错误， ，故B正确， ，故C错误， ，故D错误． 故本题选B． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，有理数的运算，绝对值的意义等，熟练掌握是解题的关键． 5．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴上字母表示数，不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据图示可知，然后根据不等式性质逐项进行判断即可． 【详解】解：根据图示可知，，则 A.，故该选项错误； B.，所以，故该选项错误； C.，，所以，故该选项错误； D.，，所以，故该选项正确； 故选：D． 二、填空题 6．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac ab． （2）ab cb． （3） ． （4） ． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 【分析】（1）（2）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论； （3）（4）根据各点在数轴上的位置得出的符号以及大小关系，根据不等式的性质，进而可得出结论． 【详解】解：（1）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （2）由图可知，，．根据不等式的性质3，得； 故答案为：． （3）由图可知，．根据不等式的性质1，得． ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （4）由图可知，．根据不等式的性质1，得． 故答案为：． 题型二 不等式的性质与含参问题 一、填空题 1．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．由关于的不等式的解集为，知，解之即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 则， 故答案：． 2．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 【详解】解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 3．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 一、解答题 1．阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握：不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据题干信息的提示，猜想结果即可； （2）根据不等式的性质可得，，可推出，由此即可证明结论； （3）先求出，再根据（2）的结论，即可得到答案. 【详解】（1）解：根据题干例子可知，材料中“▲”处空缺的内容为：； 故答案为：； （2）证明：， ．（依据：不等式的性质1：不等式的两边都加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变） ， ， ． 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】 【分析】教材呈现：根据不等式的性质进行计算即可； 性质应用：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可； 拓展提升：先根据已知条件把用表示出来，再根据和求出的取值范围，然后再根据不等式的性质进行解答即可． 本题主要考查了不等式和等式的性质，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 【详解】解：教材呈现： ，， ，即， ，， ，即， 故答案为：，； 性质应用： 由，得， 将代入得， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展提升： ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查了不等式的基本性质，比较与的大小，可以利用不等式的基本性质比较即可． （1）根据不等式的性质填空即可； （2）利用不等式的性质即可比较． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的基本性质）． 故答案为：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （2）解：方法一：∵，， ∴； 方法二：． ∵， ∴， ∴． 4．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的性质是解答的关键． （1）根据不等式的性质求解即可． （2）由得到，可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴（不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变） ∴（不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变）． （2）解：∵且， ∴， 解得：． 5．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟记不等式的性质是解本题的关键． （1）由题意，不等式两边乘以负数，不等号方向要发生改变，由此可进行判断； （2）正确的运用不等式的性质解题即可得到答案． 【详解】（1）解：上述解题过程中，从第一步开始出现错误；错误的原因是：不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． 故答案为：一，不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变． （2）解：∵， ∴． ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 不等式及其性质 题型一 不等式的认识与列不等式 一、单选题 1．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 3．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 4．下列语句不能用不等式表示的是（    ） A．是负数 B．是正数 C．等于 D．是非负数 【答案】C 5．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 7．我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 二、填空题 8．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 【答案】(1) (2) (3) 9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 【答案】80（答案不唯一） 三、解答题 10．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 【答案】 11．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 【答案】(1)当时，；当时， (2) 12．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 【答案】(1)7，14 (2)小型车2辆，大型车4辆 (3) 题型二 不等式的解集 一、单选题 1．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C．大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 【答案】C 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 【答案】C 4．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A．克 B．克 C．克 D．克 【答案】C 5．下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 6．某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 7．数学课上同学们展开了激烈的讨论，甲同学：是一个不等式；乙同学：是不等式的一个解；丙同学：是不等式的解集；丁同学：范围内任何一个实数都可以使不等式成立，所以是的解集．你认为谁的说法正确？（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 【答案】C 8．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 【答案】D 9．如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【答案】C 10．A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 二、填空题 11．若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 12．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 【答案】④⑤/⑤④ 13．请写出适合不等式的一组整数解 ． 【答案】（不唯一） 14．我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 【答案】/ 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 三、解答题 16．由于小于6的每一个数都是不等式x－1<6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？ 【答案】这种说法是错的． 17．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 【答案】(1)a=1； (2)a≥1． 题型三 不等式的性质及其应用 一、单选题 1．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 2．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 3．已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 4．图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 5．已知，则x与y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 6．下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 7．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 二、填空题 8．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 【答案】②③⑤ 三、解答题 9．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 【答案】(1)不等式的性质2． (2)⑤，系数化为1时，不等式两边除以同一个负数，忘记改变不等号的方向． (3)，表示见解析． 题型一 不等式的性质与数轴 一、单选题 1．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 3．已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 5．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 二、填空题 6．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac ab． （2）ab cb． （3） ． （4） ． 【答案】 ＜ ＞ ＜ ＜ 题型二 不等式的性质与含参问题 一、填空题 1．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 2．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 3．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 一、解答题 1．阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 2．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 【答案】【教材呈现】，；【性质应用】见解析；【拓展提升】 3．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 【答案】(1)不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 (2) 4．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 【答案】(1)，不等式的两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变；，不等式的两边都加上同一个数，不等号的方向不变 (2) 5．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 【答案】(1)一；不等式两边乘同一个负数，不等号的方向没有改变 (2)见解析 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1 不等式及其性质 题型一 不等式的认识与列不等式 一、单选题 1．下列式子中，属于不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．与之和的平方不大于5，用不等式表示为（　　） A． B． C． D． 4．下列语句不能用不等式表示的是（    ） A．是负数 B．是正数 C．等于 D．是非负数 5．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 6．据郑州市气象台报道，明天最低气温是，最高气温是，那么明天气温的范围是（    ） A． B． C． D． 7．我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．用不等式表示： (1)x的4倍与3的差是正数：________________． (2)a与b的积小于7：________________． (3)a，b两数的平方和大于10：_____________________． 9．假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ． 三、解答题 10．某种药品的说明书上贴有如图所示的标签．设一次服用药品的剂量为，请用不等式表示x的取值范围． 用法用量：口服，每次，一日次 规格：□□□□ 贮藏：□□□□ 11．某超市在春节期间搞促销活动，促销方式如下： 一次性购物的金额 促销方式 不超过200元 全部九折 超过200元 不超过200元的部分九折，超过200元的部分八折 某顾客在该超市一次性购得标价为x元的商品． (1)该顾客得到的优惠不超过18元．请列出不等式． (2)该顾客得到的优惠超过30元．请列出不等式． 12．如图为常州奥林匹克体育中心停车场收费标准（收费期间，不满15分钟部分按15分钟计算），本题中涉及的车辆均为非新能源车辆和非公（任）务车辆，且不享受图中的“收费优惠”．例如，一辆小型车和一辆大型车均连续停车3小时23分钟，则停车费分别为4元和8元． (1)一辆小型车连续停车5小时，则停车费为 元；一辆大型车连续停车5小时，则停车费为 元； (2)现一团队有小型车与大型车共6辆，同时连续停车5小时后共收费70元，求小型车与大型车各有多少辆？ (3)若一天中一辆小型车连续停车时间为小时，且停车费为12元，则的取值范围是 ． 题型二 不等式的解集 一、单选题 1．已知是某不等式的一个解，这个不等式可以是（   ） A． B． C． D． 2．某不等式的解集是，下列表述不正确的是（   ） A．0是这个不等式的解． B．不是这个不等式的解． C． 大于的数都是这个不等式的解． D．小于的数都不是这个不等式的解． 3．下列说法中，正确的是（   ）． A．方程和不等式的解是一样的 B．不是不等式的解 C．是不等式的一个解 D．是不等式的解集 4．在国内投寄一封平信应付邮资如下表： 信件质量（克）                邮资（元/封） 某人投寄一封平信花费元，则此平信的质量可能为（   ） A． 克 B．克 C．克 D．克 5． 下列说法中：①是不等式的一个解；②是不等式的一个解；③不等式的解集为，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 6．某小区便利店负责人上午买回来30千克黄瓜，价格为每千克元，下午他又买回来20千克黄瓜，价格为每千克元，后来他以每千克元的价格卖完后，发现自己赔了钱，其原因是（    ） A． B． C． D． 7．数学课上同学们展开了激烈的讨论，甲同学：是一个不等式；乙同学：是不等式的一个解；丙同学：是不等式的解集；丁同学：范围内任何一个实数都可以使不等式成立，所以是的解集．你认为谁的说法正确？（    ） A．甲同学 B．乙同学 C．丙同学 D．丁同学 8．据悉，我国设计制造的天舟二号货运飞船，在2021年5月29日顺利升空，将6吨多物资运送到天和核心舱，若用a表示货运飞船的载货质量，则对a的取值理解最准确的是（　　）（单位：吨） A． B． C． D． 9．如图所示，体育课上，小明的实心球成绩为9.6m，他投出的实心球落在（    ） A． 区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 10．A疫苗冷库储藏温度要求为，疫苗冷库储藏温度要求为，若需要将A，两种疫苗储藏在一起，则冷库储藏温度要求为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若有意义，则的取值范围是 ． 12．下列各数中，是不等式的解的是 （填序号）． ①；②；③0；④；⑤4． 13．请写出适合不等式的一组整数解 ． 14．我市2020年1月1日的气温是，这天的最高气温是，最低气温是，则当天我市的气温的变化范围可用不等式表示为 ． 15．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 16．由于小于6的每一个数都是不等式x－1<6的解，所以这个不等式的解集是x＜6.这种说法对不对？ 17．关于x的两个不等式x+1<7−2x与−1+x<a． (1)若两个不等式解集相同，求a的值； (2)若不等式x+1<7−2x的解都是−1+x<a的解，求a的取值范围． 题型三 不等式的性质及其应用 一、单选题 1．若，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知，下列不等式变形，正确的个数有（    ） ①        ②        ③        ④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．图中形状相同的图形质量相同，，在天平上的状态如图所示，下列天平状态一定正确的是（    ） A．B．C．D． 5．已知，则x与y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．下列各对不等式中，变形错误的是（    ） A．与B．与 C．与D．与 7．设，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．小聪在研究实数a，b，c的关系时得到如下5个命题： ①若，则；②若，则；③若，则；④若则；⑤若，则 上述命题中，属于真命题的有 （填写命题的序号）． 三、解答题 9．先认真阅读小明解不等式的过程，再解答问题． 解：去分母，得，① 去括号，得，② 移项，得，③ 合并同类项，得，④ 系数化为1，得．⑤ (1)以上求解过程中，去分母的依据是___________________． (2)第_____________（填序号）步出现错误，错误的原因是___________________． (3)该不等式的正确解集为_____________，请在数轴上表示该解集． 题型一 不等式的性质与数轴 一、单选题 1．已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点和点分别表示数和，则下列式子错误的是（   ） A． B． C． D． 3．已知数轴上的点分别表示数，其中．若，数在数轴上用点表示，则点在数轴上的位置可能是（    ） A． B． C． D． 4．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示．下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 5．有理数、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子中正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）ac ab． （2）ab cb． （3） ． （4） ． 题型二 不等式的性质与含参问题 一、填空题 1．如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是 ． 2．如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 3．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 一、解答题 1．阅读下列材料，并完成相应任务． 探究同向不等式间的相加运算： 例如：已知可得；已知，可得；已知，可得． 我们可以得出结论：一般地，如果，那么▲． 证明：∵，∴． ∵，∴______， ∴▲． 任务： (1)材料中“▲”处空缺的内容为______．（用“”或“”填空） (2)材料证明过程中，横线缺失的步骤应为_______ (3)已知，，请直接写出的取值范围． 2．【教材呈现】如表是华师版七年级下册数学教材第页的部分内容． 例利用不等式的性质说明下列结论的正确性： （1）如果，，那么； 解：（1）因为，所以． 又因为，所以． 由①②，可得． 由数的大小比较可知，不等式关系其有传递性，即如果且，那么，它也可以作为推理的依据． 通过例，利用不等式的传递性，我们可以证出不等式的同向可加性． 根据上述性质解决问题：若，，则的取值范围是______； 若，，则的取值范围是______； 【性质应用】已知，且，，求的取值范围，补全解答过程： 解：由，得． 将代入得， ， 即． 又因为， 所以． 求解过程缺失 【拓展提升】已知，且，，则的取值范围是______． 3．仿例：已知，试比较与的大小． 方法一：解：∵，，∴． 方法二：解：． ∵，∴，∴． 根据仿例，请解答： (1)方法一所依据的不等式基本性质是________（请写明基本性质的具体内容）； (2)已知，试比较与的大小．要求两种方法解答． 4．当时，比较与的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤用到的不等式性质． (1)∵，， ∴_____（__________） ∴_____（_________）． (2)若，则a的取值范围为_______．（直接写出答案） 5．先阅读下面的解题过程，然后解题． 已知，试比较与的大小． 解：∵， ∴．第一步 故．第二步 (1)上述解题过程中，从第_____________步开始出现错误，错误的原因是__________________________________________________________________． (2)请写出正确的解题过程． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $