高一数学上学期期中分层模拟·素养提升卷（湘教版）

2026-2027学年高一数学上学期段考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集，，或，则（    ） A. B. C. D. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 4. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 6. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 8. 已知若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 10. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 13. 函数，且，则的值是____． 14. 定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 16．（15分） 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 17．（15分） 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 18．（17分） 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 19． （17分） 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期段考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版必修第一册第一章~第三章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 设全集，，或，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由题意， 故. 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【详解】命题的否定为，. 故选：A 3. “，”的一个必要不充分条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得“，”的充要条件，进而逐项判断即可. 【详解】若，为真命题，则， 解得，所以“，”的充要条件是，故A不正确； 所以是“，”的既不充分也不必要条件，故B不正确； 所以是“，”的必要不充分条件，故C正确； 所以是“，”的充分不必要条件，故D不正确. 故选：C. 4. 若，且则的最小值为（ ） A. 20 B. 12 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【分析】由乘“1”法即可求解. 【详解】由条件可知： 所以， 当且仅当，即取得等号， 所以的最小值为25， 故选：D 5. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三个二次的关系，求解间的数量关系，代入函数，分析即可判断函数图象. 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和，且， 则，解得， 故函数的图象开口向下， 且与轴的交点坐标为和，故选项的图象符合. 故选：A. 6. 若函数在R上为减函数，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列式求解. 【详解】由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：C. 7. 已知定义在上的函数满足，，且当时，，则下列说法正确的是（    ） A. 是奇函数但不是偶函数 B. 是偶函数但不是奇函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】对进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断. 【详解】已知的定义域关于原点对称， 因为，， 故令时，则， 令时，， 令，时，， 所以，即 ，所以是偶函数， 又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数，故B正确. 8. 已知若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，求出，得到答案. 【详解】画出的图象，如下， 设，则， 令，解得或0， 因为的对称轴为，由对称性可得， 且， 其中， 因为，所以， 故， 又，故， . 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于函数，下列判断正确的是（    ） A. 在上单调递减 B. 在上单调递增 C. 在上单调递减 D. 在上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得：  ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 10. 若，均为正数，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为9 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用与逐项判断即可. 【详解】因为，均为正数，且，所以，所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以A错误； ， 当且仅当，即时，等号成立，所以B正确； ， 当且仅当，即，时，等号成立，所以C正确； ， 当且仅当，即，时，等号成立， 而，均为正数，故等号不成立，所以D错误. 故选：BC. 11. 定义域为的函数满足，且为偶函数，当时，，函数 且的图象与的图象有个交点，记为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在内单调递减 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意知，可得函数关于点对称，又为偶函数可得函数为周期是的周期函数，于是可求，并验证关于直线对称，即可判断A,C;对于C，利用的解析式，可直接判断其单调性；对于D，通过分析判断与均关于点对称，结合两函数的单调性和对称性推出两者在区间上有2020个交点，利用对称性即可求和验证. 【详解】 由得的图象关于点对称， 由为偶函数得的图象关于直线对称， 则为周期函数，周期为，如图作出在上的图象. 对于A， ，故A正确； 对于B，，因函数在内单调递增， 则在内单调递增，故B错误； 对于C，由图知关于直线对称，则，故C正确； 对于D，由，可得的图象关于点对称， 而的图象也关于点对称， 计算得与在区间上有个交点， 从左向右依次为，， 则， 故，故D正确． 故选：ACD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抽象函数定义域和分母不为0得到不等式组，解出即可. 【详解】由，解得，故的定义域为． 故答案为：. 13. 函数，且，则的值是____． 【答案】6 【解析】 【分析】设，利用奇函数的性质求解即可. 【详解】令， 因为定义域为，且， 所以函数为奇函数， 因为，所以， 所以， 故答案为：6 14. 定义在上的函数，满足，若当时，，则当时，______. 【答案】 【解析】 【分析】当时，则，根据条件及时的解析式，代入计算，即可得答案. 【详解】当时，则， 因为，所以， 又当时，， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知集合，． （1）当时，求和； （2）若，求实数a的取值的集合． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）当 时，求出，即可根据交集和并集的定义求解． （2）根据，可得不等式组进而即得． 【小问1详解】 当时，，所以， ,； 【小问2详解】 ，， 则，解得：． 故实数取值的集合为. 16．（15分） 已知函数的图象过点. （1）求实数m的值，并判断的奇偶性； （2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论. 【答案】（1）m＝1，奇函数 （2） 在上单调递增， 证明：，设， 则 又由，则，即； 所以在上单调递增． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由函数图象过点，可得关于m的解析式，求出m的值，判断函数的奇偶性可得答案； （2）根据题意，利用作差法分析可得结论． 【小问1详解】 根据题意，函数的图象过点， 则有，解可得， 则，其定义域为， 则有，函数为奇函数. 【小问2详解】 在上单调递增， 证明：，设， 则 又由，则，即； 所以在上单调递增． 17．（15分） 某乡镇为实施“乡村振兴”战略，充分利用当地自然资源，大力发展特色水果产业，将该镇打造成“水果小镇”．经调研发现：某种水果树的单株产量W（单位：千克）与施用肥料x（单位：千克）满足如下函数关系：，肥料成本投入为4x元，其它成本投入（如培育、施肥等人工费）为6x元，已知该水果的售价为10元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？单株利润最大值是多少元？ 【答案】（1） （2）当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元 【解析】 【分析】（1）由利润，代入即可得； （2）利用二次函数以及基本不等式分别求出分段函数在上的最大值，比较即可得答案. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立． 由得当时，． 所以当施用肥料为3千克时，该水果树的单株利润最大，单株利润最大值是90元． 18．（17分） 已知． （1）若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； （2）求不等式的解集． 【答案】（1） （2） 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为对于任意的实数恒成立，结合二次函数的性质，即可求解； （2）把不等式转化为，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 因为， 则不等式，可化为， 即对于任意的实数恒成立， 当时，即时，不等式为，解得，不符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 【小问2详解】 由不等式，可得，即， ①当时，不等式可化为，解得 当时，方程的解，或， ②当时， 或； ③当时， （i）当时，即， ； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，， ， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当，原不等式的解集为或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19． （17分） 已知定义域为，对任意都有．当时，，且． （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对，都有恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 是上的单调递减函数． 证明：任取， 则， 由于当时，，易知，则， 故， 可得是上的单调递减函数． （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法取可得，再令可得； （2）结合函数满足，且当时，，按照单调性定义证明步骤证明即可； （3）利用可将不等式化为，即可得，在利用换元法令，结合单调性可得对于，恒成立，即可解得. 【小问1详解】 取， 则，于是， 令， 则， 又，则； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式可化为， 也即， 令 于是，都有恒成立， 由于为上的单减函数，则， 都有恒成立， 即成立，即恒成立； 令，它是关于的一次函数， 故只需，解得． 即， 解得 8 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $