直线与圆锥曲线综合问题六大题型（期中复习专项训练）高二数学上学期湘教版

专题 直线与圆锥曲线综合六大题型 基础·固本强基 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 圆锥曲线的中点弦问题 提升·进阶突破 题型3 圆锥曲线中的定点定值问题 题型4 圆锥曲线中的取值范围问题 拔高·压轴破难 题型5 圆锥曲线中的探索问题 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达求解 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 1．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个 【答案】C 【分析】利用圆心到直线的距离大于半径得，据此推出，即点在椭圆内，由此可得答案. 【详解】因为直线和圆没有交点， 所以，即， 所以，即点在椭圆内， 所以过点的直线与椭圆的交点个数为个. 故选：C 2．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 【答案】B 【分析】考虑和两种情况，联立方程，得到，根据点与椭圆的关系依次验证直线和椭圆的关系得到答案. 【详解】当，则，则直线， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 当时，联立方程，消去y得： ， 所以， ①若点A在椭圆C外，则，则，直线l与椭圆C相交； ②若点A在椭圆C上，则手，则，直线l与椭圆C相切； ③若点A在椭圆C内，则，则，直线l与椭圆C相离； 若点A在直线l上，则满足，即点A在椭圆C上，由以上讨论可知直线l与椭圆C相切，D错误. 综上所述：B正确 故选：B 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题设求出基本量后可得椭圆的方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用判别式为正可求参数的范围； （3）结合（2）中结果可求两点坐标. 【详解】（1）由题意得， 又，所以，所以的方程为． （2）过点且斜率为的直线的方程为， 联立与，得， ，解得或， 故斜率的取值范围是． （3）时，， 联立得，， 解得或， 当时，，当时，， 故或． 题型2 圆锥曲线的中点弦问题 1．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设出，，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，，求出离心率范围，得到答案. 【详解】设，，则， 从而，故， 由题意可得， 故，又因为， 则，从而， 因为，所以， 椭圆C的离心率， 所以椭圆离心率范围为， 故与满足要求. 故选：BD 2．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 【答案】AC 【分析】先由题意求出即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D. 【详解】如图所示：    根据题意，因为焦点在y轴上，所以，则，故选项A正确； 椭圆C的离心率为，故选项B不正确； 不妨设，则，， 两式相减得，变形得， 又注意到点为线段的中点，所以， 所以直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即，故选项C正确； 因为直线l过，所以的周长为，故选项D不正确. 故选：AC． 3．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出点，，的坐标，根据坐标求出的关系式，把，两点坐标代入椭圆方程，利用点差法化简即可求解． 【详解】设，，， 则，，， 所以，所以， 将，两点坐标代入椭圆方程可得：， 两式作差可得：， 所以，则， 故选：D 题型3 圆锥曲线中的定点定值问题 1．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）由右焦点到右准线的距离以及通径长度，结合之间的平方关系即可求解； （2）设直线的方程为，，联立双曲线方程结合韦达定理得，用以及的坐标表示出点以及的方程，根据对称性可知，只需在的直线方程中，令，证明相应的为定值即可求解. 【详解】（1）由题意，所以双曲线的标准方程为. （2）由题意，当直线斜率为0时，直线， 当直线斜率不为0时，设直线的方程为，， ， 所以， 直线的方程为：， 所以的方程为， 由对称性可知过的定点一定在轴上， 令 ， 又， 所以， 所以直线过定点. 2．)已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析，定值为 (3)直线过定点 【分析】（1）利用点在抛物线上，直接代入即可得解； （2）根据题意，联立直线与抛物线方程求得，同理求得，再利用两点斜率公式即可得解； （3）根据题意，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，进而求得，，再利用向量垂直的坐标表示求得的关系式，从而利用直线过定点的求法即可得解. 【详解】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得，所以的方程为； （2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为， 则直线的方程为， 由，得， 则， 所以，解得， 同理可得， 所以， 即直线的斜率为定值，该定值为； （3）显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 设，， 由，得， 所以，，， 所以， ， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以或，即或， 若，则，， 则，过定点，与点重合，不符合题意； 若，则，， 则，过定点， 综上，直线过定点. 3．已知椭圆，其离心率为，且过点分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线交椭圆于另一点A，直线交椭圆于另一点B. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的角平分线交轴于点M，且，求的取值范围； (3)若点不在轴上，若直线AB的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不是定值，理由见解析 【分析】（1）结合离心率与点坐标代入解方程组可求； （2）利用角平分线定理得到，再利用动点的坐标表示，结合范围可得； （3）设出点坐标，借助焦点坐标求，再联立直线与椭圆方程，知一交点坐标可求另一交点坐标，同理可求点的坐标，由此求得斜率，进而用坐标表示出，从而判断不为定值. 【详解】（1）已知，即，则， 化简得，将点代入椭圆方程得， 解得， 故椭圆方程为：. （2）因为，得，， 设（），则， 则， . 在中，由角平分线定理得 ， 由，得. 故的取值范围为.    （3）由，得，其中. 则. 设，直线方程为，直线方程为， 联立，得， 由韦达定理， 所以 ， 则； 同理，联立，得， ， 所以 ， 则； 则 ， 故， 故随着的变化，的值在变化，如： 当时，； 当时，； 故不为定值.    提升·进阶突破 题型4 圆锥曲线中的取值范围问题 1．已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实轴长可求，根据焦点到渐近线的距离可求，故可得双曲线方程； （2）设：，，，联立直线方程和双曲线方程消去后结合韦达定理可得面积的解析式（用表示），再结合换元法可求其面积的最大值. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，故， 而双曲线的渐近线为， 故右焦点到渐近线的距离为， 故双曲线的方程为：. （2）显然直线与轴不垂直，设：，，， 由双曲线的对称性知的中点为，故， 联立 故，， 由于A，均在双曲线右支，故，故， 而， 代入韦达定理得， 令，则， 易知在上为减函数，则当时，， 综上：的面积的最小值为12. 2．已知抛物线E:的焦点为F，点在E上，． (1)求E的方程； (2)过点作互相垂直的两条直线，与曲线E相交于,两点，与曲线E相交于,两点，线段，的中点分别为M，N． (i)试问直线是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由： (ii)已知，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)(i)直线过定点；(ii)18 【分析】(1)根据抛物线的定义可以得到答案. (2)(i)联立抛物线和直线,计算出M点和N点，算出的方程,计算出定点.     (ii)将M点和N点的坐标代入计算，然后用基本不等式计算面积最值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为， 因为点在上且， 所以，解得， 所以抛物线的方程为． （2） (i) 由题意有直线的斜率存在， 设直线的方程为， 则直线的方程为， 所以，联立得 所以， 设， 所以， 又， 所以， 同理得， 所以， 所以直线的方程为：， 化简整理有：，令， 得，即， 所以直线过定点；    (ii)由(i)有可得 由基本不等式可得:,当且仅当,即时等号成立. 所以的面积最小值为18. 3．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． (1)求C的方程； (2)求证：为定值（，分别为，的斜率）； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由椭圆几何性质可求得的值，进而求得解析式； （2）设直线l的方程为，，，联立方程组，利用韦达定理计算可求得为定值； （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q，利用计算，可求得的取值范围. 【详解】（1）设C的半焦距为c（）． ∵C的离心率为，即，∴， ∴． 设O为坐标原点，∵， ∴，∴， ∴C的方程为． （2）由（1）知，． 设直线l的方程为，，， 联立l与C的方程，得 消去x并整理，得， ∴，解得， ∴，， ∴， ∴， 即为定值． （3）过点D，M，E作x轴的垂线，垂足分别为P，N，Q， 则，，，， ∴，． 设直线的斜率为k，由（2）知，的斜率为， ∴直线的方程为，① 直线的方程为．② ①②联立，解得，∴点M的横坐标为． ∵， ∴ ． 设，则，易知在上单调递增， ∴， ∴的取值范围为．    拔高·压轴破难 题型5 圆锥曲线中的探索问题 1．如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， (1)求C的方程; (2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）出A，B坐标，由求出p，即可得抛物线方程； （2）直线AB的斜率显然存在，设其方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理和数量积的坐标运算求得OA与OB不垂直，即可判断以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 【详解】（1）点的坐标是， 当直线AB与y轴垂直时，点A，B的坐标分别是，， ，解得， 所以C的方程是 （2）以AB为直径的圆不可能经过坐标原点O，理由如下： 如图， 直线AB的斜率显然存在，设其方程为， 代入，消去y并整理得， 设，，则 因为， 所以OA与OB不垂直. 因此，以AB为直径的圆不可能经过坐标原点. 2．已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线的斜率为定值，且定值为. 【分析】（1）根据椭圆的离心率及所过的点求出椭圆参数a、b，即可得椭圆标准方程. （2）由题设得，法一：设为，联立椭圆方程应用韦达定理求M的坐标，根据与斜率关系求N的坐标，应用两点式求斜率；法二：设为，，联立椭圆方程，应用韦达定理及得到关于参数m、k的方程，即可判断是否为定值. 【详解】（1）由题意，则，又， 所以椭圆C的方程为，代入有，解得， 所以，故椭圆的标准方程为； （2）由题设易知：， 法一：设直线为， 由，消去y，整理得， 因为方程有一个根为，所以M的横坐标为，纵坐标， 故M为，用代替k，得N为， 所以，故直线的斜率为定值． 法二：由已知直线的斜率存在，可设直线为，， 由，消去y，整理得， 所以，而， 又，代入整理得， 所以，即， 若，则直线过点T，不合题意， 所以．即，故直线的斜率为定值. 3．设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．    (1)求C的离心率； (2)若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)直线与圆O相切，理由见解析. 【分析】（1）根据题设易知与相互垂直平分，结合为直径、在圆上列方程求离心率； （2）由题意双曲线，且圆，，半径，令且，，利用垂直关系得，再写出直线的方程，应用点线距离公式判断到直线距离与半径大小，即可得结论. 【详解】（1）由，即也是以为直径的圆的一条直径，所以与相互垂直平分， 又在圆上，所以，又， 所以. （2）直线与圆O相切，理由如下： 由题设，双曲线，且圆，，半径， 令且，，则，，又， 所以，则， 则直线，整理得， 所以到直线距离，又， 则， 所以直线与圆O相切. 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达求解 1．已知点为椭圆的右焦点,,分别为其左、右顶点,过作直线与椭圆交于,两点（不与,重合）,记直线,的斜率分别为,证明为定值. 【答案】 【分析】不妨设,因此从而目标信息,要证明其值为定值.从目标信息的形式来看,反设直线要方便些,因此设,通过直线替换后可得 出现了韦达定理结构之外的形式,即落单的和,像此类结构, 一般被称为“非对称韦达”,下面我们介绍2种常见的处理策略, 【详解】方法一: 和积转换——找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系 联立得,则有 由韦达定理可得,（找出韦达定理中的两根之和与两根之积的关系） 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定系数法, , ∴ 即可得为定值,得证. 方法二: 配凑半代换——对能代换的部分进行韦达代换, 剩下的部分进行配凑 联立 得,则有 半代换也有一定技巧,就是配凑.若只代换,得,依然无法得到定值,因为落单的和不一致,而此时为分式结构,分式结构的定值需要满足上下一致,且对应成比例,抓住这个核心,可以对和其中某个进行配凑使其能构成比例形式.以分子为例,分子要出现形式,可将分子整理为,从结构上可以猜测定值为,不妨将韦达代入, 得,得证.分母可作类似处理, 得. 2．已知椭圆E： 的左焦点为，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点 Q 的坐标； ②求△ABQ 面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）易得，再由直线恰好过椭圆的一个顶点得到求解； （2）①设直线的方程为，与椭圆方程联立，再结合韦达定理求解；② 由①得到，，，再由求解. 【详解】（1）由题意知，， 当直线的斜率为时，直线恰好过椭圆的一个顶点， 所以，所以， 所以椭圆的标准方程为． （2）①由题意可设，，， 设直线的方程为， 联立，得， 则，，得， 记直线的斜率为，直线的斜率为， 则， 要使为定值，则，解得或(舍去)，此时， 故在轴上存在异于点的定点，使得直线与直线的斜率比值为定值． ② 由①可得，，， 则 由， 故， ， 当且仅当时等号成立，所以△面积的最大值为.    $专题 直线与圆锥曲线综合六大题型 基础·固本强基 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 题型2 圆锥曲线的中点弦问题 提升·进阶突破 题型3 圆锥曲线中的定点定值问题 题型4 圆锥曲线中的取值范围问题 拔高·压轴破难 题型5 圆锥曲线中的探索问题 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达求解 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 直线与圆锥曲线的位置关系 1．若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（    ） A．1个 B．至多一个 C．2个 D．0个 2．已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 3．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，焦距为，过点且斜率为的直线与交于不同的两点． (1)求椭圆的方程； (2)求斜率的取值范围； (3)当时，求两点的坐标． 题型2 圆锥曲线的中点弦问题 1．已知直线与椭圆C）交于A，B两点，线段AB的中点为，则C的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的焦点分别为，，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．椭圆C的离心率为 C．直线l的方程为 D．的周长为 3．已知倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为中点，为坐标原点，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 题型3 圆锥曲线中的定点定值问题 1．已知双曲线：的左右焦点为，，其右准线为，点到直线的距离为，过点的动直线交双曲线于，两点，当直线与轴垂直时，． (1)求双曲线的标准方程； (2)设直线与直线的交点为，证明：直线过定点． 2．已知点是抛物线上的一点，点，是上异于点的不同的两点. (1)求的方程； (2)若直线，的斜率互为相反数，求证：直线的斜率为定值，并求出此定值； (3)若直线，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 3．已知椭圆，其离心率为，且过点分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上不同于左、右顶点的动点，直线交椭圆于另一点A，直线交椭圆于另一点B. (1)求椭圆的标准方程； (2)若的角平分线交轴于点M，且，求的取值范围； (3)若点不在轴上，若直线AB的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 提升·进阶突破 题型4 圆锥曲线中的取值范围问题 1．已知双曲线的实轴长为2，右焦点到双曲线的渐近线距离为. (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线交双曲线的右支于两点，连接并延长交双曲线左支于点（为坐标原点），求的面积的最小值. 2．已知抛物线E:的焦点为F，点在E上，． (1)求E的方程； (2)过点作互相垂直的两条直线，与曲线E相交于,两点，与曲线E相交于,两点，线段，的中点分别为M，N． (i)试问直线是否经过定点？若是，请求出该定点的坐标，若不是，请说明理由： (ii)已知，求面积的最小值． 3．已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为，，上顶点为B，离心率为，，过点作不与x轴重合的直线l与C交于D，E（E在D的左侧）两点，，交于点M． (1)求C的方程； (2)求证：为定值（，分别为，的斜率）； (3)求的取值范围． 拔高·压轴破难 题型5 圆锥曲线中的探索问题 1．如图，过抛物线的焦点F的直线与C相交于A，B两点，当直线AB与y轴垂直时， (1)求C的方程; (2)以AB为直径的圆能否经过坐标原点若能，求出直线AB的方程;若不能，请说明理由. 2．已知椭圆的左，右焦点为，椭圆的离心率为，点在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程； (2)点T为椭圆C上的点，若点T在第一象限，且与x轴垂直，过T作两条斜率互为相反数的直线分别与椭圆C交于点M，N，探究直线的斜率是否为定值？若为定值，请求之；若不为定值，请说明理由． 3．设F为双曲线（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点，满足．    (1)求C的离心率； (2)若，点A在双曲线C上，点B在直线上，满足，试判断直线与圆O的位置关系，并说明理由． 题型6 圆锥曲线中的非对称韦达求解 1．已知点为椭圆的右焦点,,分别为其左、右顶点,过作直线与椭圆交于,两点（不与,重合）,记直线,的斜率分别为,证明为定值. 2．已知椭圆E： 的左焦点为，过点F且与x轴不重合的直线l交E于A，B，当直线l的斜率为1时，直线l恰好过椭圆的一个顶点. (1)求椭圆E 的标准方程； (2)若在x轴上存在异于F 的定点Q，使得直线 QA 与直线QB的斜率比值为定值， ①求定点 Q 的坐标； ②求△ABQ 面积的最大值. $