2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册期中考试模拟训练

2026-2027学年高二数学上学期期中模拟训练 本卷满分150分，考试时间120分钟。 考试范围：人教A版选择性必修一第一、二章以及第三章3.1椭圆 第I卷（选择题） 一、单选题(每题5分，共40分） 1．经过两点的直线的倾斜角为（   ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．已知三角形三个顶点分别为，，则边上中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 4．已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 5．在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．若两圆：与：外离，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆C的方程为，直线l为圆C的切线，记，两点到直线l的距离分别为，，动点P满足，，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 8．椭圆，任作斜率为的直线与椭圆交于、两点（如图所示），且点在直线的左上方，则的内切圆的圆心恒在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在直三棱柱中，点，，分别是棱，，的中点，直线平面，直线与平面所成角为45°，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B．点到平面的距离为 C．五面体的体积为 D．三棱柱的外接球的表面积为 11．如图，棱长为2的正方体中，为的中点，点满足，，则（    ） A．当时，平面 B．对于任意，三棱锥的体积是定值 C．存在，使得与平面所成的角为 D．的取值范围为 第II卷（非选择题） 三、填空题(每题5分，共15分） 12．已知椭圆：（）的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，则椭圆的标准方程为______． 13．如图，已知是直角三角形且是圆锥的轴截面，点为下底面圆周上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为______． 14．已知椭圆的右焦点为，过点作倾斜角为的直线交椭圆于，两点，弦的垂直平分线交轴于点，则______. 四、解答题（共77分） 15．（13分）已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 16．（15分）已知的三个顶点，，. (1)求边AB上的中线所在直线的一般式方程； (2)求边AB上的高所在直线的斜截式方程. 17．（15分）在平面直角坐标系中，已知点，动点满足：． (1)求动点的轨迹方程． (2)记的轨迹为曲线，求过点与曲线相切的直线方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，平面平面，，，， (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 19．（17分）如图，在正方体中棱长为分别是的中点，点在线段上（包括两个端点）运动.    (1)当为线段的中点时， ①求证：； ②求平面与平面所成锐二面角的余弦值； (2)设，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年高二数学上学期期中模拟训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B A D A B ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】利用斜率公式和倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】解：因为直线经过， 所以经过该两点的直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则， 因为，所以， 故选：D 2．C 【分析】求出的中点坐标，然后利用两点式直线方程求解即可. 【详解】由得中点的坐标为，即． 则边上的中线应过两点， 由两点式直线方程，得，整理得． 故选：C 3．B 【分析】根据短轴长求得，讨论大小及椭圆定义求参数. 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 4．B 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 5．A 【详解】 ， ，，， , ． 6．D 【分析】化圆方程为标准形式，方程表示圆以及圆心距满足的关系式即可列不等式求解. 【详解】由题意：即：，它的圆心半径分别为， ：即：，它的圆心半径分别为， 所以圆心距满足，解得， 所以. 故选：D. 7．A 【分析】由图可得，即，所以动点的轨迹为椭圆，再设椭圆的标准方程，求出其中的参数即可得到动点的轨迹方程. 【详解】如图，分别过点做直线的垂线，垂足分别为， 则，切点为, ，，是中点， 是梯形的中位线，， 又圆C的方程为，， ，， 即，动点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆， 设该椭圆的方程为， 则， ， 动点的轨迹方程为. 故选：A 8．B 【分析】联立方程组，运用韦达定理计算，结合条件化简后得到结果. 【详解】设直线的方程为，代入椭圆方程可得， 设，，则，， 所以． 又 ， 即，所以的角平分线平行于轴， 则的内切圆的圆心在一条定直线时， 故选：B． 9．ABC 【分析】利用斜率与倾斜角的定义，结合图象判断即可得． 【详解】由图可得， ， ，且， 故ABC正确，D错误. 故选：ABC． 10．ACD 【分析】A项，设出直三棱柱的高，建立空间直角坐标系并表达各点坐标，求出面的法向量，即可得出结论；B项，利用等体积法即可求出点到平面的距离；C项， 利用作差法即可求出五面体的体积；D项，求出外接球的位置和半径，即可得出三棱柱的外接球的表面积. 【详解】由题意， 在直三棱柱中，面，面， 面，面， 直线与平面所成角为45°， ∴，，，， 在中，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，，， 建立空间直角坐标系如下图所示，设直三棱柱高为， ， ， ∴ 在面中，设其一个法向量为， ，即，解得：， 当时，， ∴，解得：， 故A正确； B项，连接，，， 由几何知识得，，， ，， 在中，， 由勾股定理得，， 在中，同理可得，， 在中，过点作于点， 则是的中点，也是矩形对角线交点，连接， 在中，， 由勾股定理得，， 设点到平面的距离为， 点到平面的距离为， ∴， ， ， ， ∵， 解得：， 故B错误； C项，五面体的体积为：， 故C正确； D项，由几何知识得，，， ∴四边形为正方形，设正方形中心， 是的中点，也是矩形对角线的交点， 所以是的中点， 是的中点，所以, 因为平面，所以平面 所以点在过正方形中心，平面的垂线上， ∴点到正方形的四个顶点距离都相等，有， 在矩形中，由几何知识得，点到矩形的四个顶点距离都相等，有， 所以点为球心，点到各顶点的距离都等于球的半径， 即， ∴三棱柱的外接球的半径为， ∴三棱柱的外接球的表面积为：， 故D正确； 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量，等体积法，外接球的表面积，考查学生计算的能力，作图的能力，具有很强的综合性. 11．ACD 【分析】根据空间中点线面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，判断选项A的正误；根据三棱锥的体积公式，判断选项B的正误；根据向量法求线面角，判断选项C的正误；根据正方体的性质，建立空间直角坐标系，根据空间向量数量积的坐标表示，判断选项D的正误；判断结果即可. 【详解】对A选项，当时，与重合，平面即平面， 根据三垂线定理可知， 因为，所以平面，所以A选项正确； 对B选项，由正方体性质可知，点到平面的距离为定值，即三棱锥的高为定值，但的面积是变化的， 所以对于任意，三棱锥的体积不是定值，所以B选项错误； 对C选项，以为坐标原点，以分别为轴建系，如图所示： 则，设， 所以，， 设面的法向量为， 则，即， 令，则，即面的法向量为， 设与平面所成的角为，则， 当时，可得， 化简得，解得或（舍）， 所以存在，使得与平面所成的角为，所以C选项正确； 对D选项，可知， 所以， 所以，所以D选项正确. 故选：ACD. 12． 【分析】根据离心率可得的值，根据通径可得的值，求出后可得椭圆的标准方程. 【详解】由题设有，故，解得，故，故 故椭圆的标准方程为：， 故答案为：. 13．/ 【分析】过点作，求证与平面所成的角为，再利用勾股定理计算边长即可. 【详解】过点作，垂足为，连接， 易得平面，因为平面，所以， 因为平面，所以平面， 所以与平面所成的角为， 设，所以， 因为为圆的直径，所以，则，，， 因为是直角三角形，所以，则， 因为平面，所以， 则与平面所成的角的正弦值为. 14．/ 【分析】设直线的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得及中点坐标，求弦的垂直平分线方程，即可求得点坐标，代入即可求得，即可求得. 【详解】由题，设直线的方程为，，，，中点， 与椭圆方程联立，消去整理得， 则，，， 所以 ， ，，则点的坐标为， 所以直线的垂直平分线方程为，令，解得，所以点的坐标为，则， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2)或 【分析】（1）问题转化为，求. （2）根据向量的模的计算和向量共线，求的坐标. 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 16．(1) (2) 【分析】（1）先求出边AB的中点，再由点斜式方程求直线方程即得； （2）利用两直线的垂直求得边AB上的高线的斜率写出直线方程，化成斜截式方程即得. 【详解】（1）设是边AB的中点，则即得， 边AB上的中线CD的斜率为故其方程为,即得 ， 故边AB上的中线所在直线的一般式方程为； （2），，，边AB上的高所在直线的斜率， 边AB上的高所在直线的方程为,其斜截式方程. 17．(1) (2)和． 【分析】（1）设出点，根据已知结合两点间距离列式化简即可得出答案； （2）分类讨论过点P的直线方程斜率存不存在，设出直线方程，根据直线与圆相切的判定，即可得出答案； 【详解】（1）设， 因为M满足，所以， 整理可得：，即． （2）， 点在圆外，圆心为，半径为， ①过点的直线斜率不存在时，直线方程为，与圆C相切，符合题意； ②直线的斜率存在时，设直线方程为，即， 由直线到圆心的距离得，即，解得， 所以直线方程为整理得． 综上，过点P与圆C相切的直线方程为和． 18．(1)证明:因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. (2). 【分析】（1）根据面面垂直性质定理以及线面垂直判定定理，可得答案； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用面面角向量公式，可得答案. 【详解】（1）略； （2） 由（1）知平面，又平面，平面， 所以，，过引，则有，， 又因为，即， 以为原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系 设，则，，，，， 所以，，， 由于，所以，所以，即， 从而，则，，， 设平面PDC的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即， 设平面的一个法向量为，则有，即， 取，解得，即， 所以 设二面角的平面角为，为钝角， 所以二面角的平面角余弦值为. 19．(1)①以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，    则 ，， 因为分别是棱的中点，所以， 当为线段的中点时，则， ①因为，，所以，即； ②； (2). 【分析】（1）以分别为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，由向量法证明线线垂直和计算二面角． （2）由题设，设直线与平面所成的角为，由向量坐标法用表示出，设，设，由导数法求得范围. 【详解】（1）①略 ②因为，，设平面的一个法向量为， 由，，得，取，则， 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面所成的二面角的平面角为， 则， 因为为锐角，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为 （2）因为在线段上，且（）， 所以，可得，则， 因为，设平面的一个法向量为， 由，得，取，则， 设直线与平面所成的角为 则， 因为，所以，设，则， 所以，设，则， 设，可得的取值范围为， 所以的取值范围为， 即直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为. 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $