高二数学上学期期中模拟卷（湘教版选择性必修第一册第一章～第二章，高效培优）

2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质可得，，即可求解. 【详解】∵，∴，即． ∵，∴，∴， ∴当时取得最小值时，n的值为8． 故选:D． 2．“或”是“圆与圆存在公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先求两圆内含时a的取值范围，然后可得两圆有公切线时a的取值范围，即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 所以两圆的圆心距为， 两圆内含时，即，解得， 所以当两圆有公切线时，或， 所以“或”是“圆与圆存在公切线”的充要条件． 故选：C． 3．若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直的斜率关系求出斜率，然后可得直线方程. 【详解】因为直线与斜率为4的直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为，即． 故选：A 4．在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．100 B．50 C．90 D．45 【答案】D 【分析】利用等差数列的前项和公式和等差数列的项的“等和性”计算即得. 【详解】由题意得． 故选：D. 5．在数列中，，，，是数列的前项积，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】推导出数列是等比数列，确定其首项和公比，解不等式，求出的范围，进而可得出的最大值. 【详解】由题意可知，对任意的，， 则，且， 所以数列是每项都为的常数列，即， 所以，数列是等比数列，且其首项为，公比为的等比数列， 由，可得，解得， 故当或时，取最大值， 且其最大值为. 故选：C. 6．若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的单调性以及等差数列的性质即可判断，说明充分性，由时，即可说明不必要性. 【详解】因为且，所以等差数列单调递减，且公差小于0， 故，， 则， 即，所以， 由，当时，等差数列单调递增， 则不可能满足且， 因此“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】等差数列的前项和公式，.根据等差数列的性质，若，则，对于本题，我们可以利用时与的关系以及与的关系来求解. 【详解】根据等差数列前项和公式，当时，. 由等差数列性质，所以. 同理，对于数列，当时，. 又因为，所以. 已知，当时，. 而，所以. 故选：C. 8．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据截距是否为零进行分类讨论，即可求解. 【详解】当直线的截距为0时，直线的方程为，即. 当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 所以，解得或， 当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为. 故选：ABD. 10．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 11．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意的，都有 【答案】ACD 【分析】先将原等式同除以，然后化简可得到是首项为1，公差为1的等差数列，进而可根据等差数列的通项公式，以及裂项相消法等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A，已知，且各项不为零， 两边同除以得，所以数列是“调和数列”，A正确； 对于B，由，可知是首项为1，公差为1的等差数列， 因此，即，故数列是递减数列，B错误； 对于C，，前项和， 所以C正确； 对于D，要证明，代入，即证明. 右边通分得，因而只需要证明，即. 化简得，即，所以D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公比为2的等比数列，若，则_________. 【答案】200 【分析】将两个等式左右分别相除，借助于公比，找到两式间的数量关系即得. 【详解】记等比数列的公比为q，则. 因， 故． 故答案为：200. 13．设等差数列的前项和为，若，则__________. 【答案】6 【分析】设公差为，由条件，根据等差数列的项与前项和的基本量运算，求出，即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由，可得，解得， 则. 故答案为：6. 14．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 【答案】 【分析】如图，易知，利用垂径定理和三角形等面积可得，结合点到直线的距离公式可知当最小时取得最大值，进而求解. 【详解】由题意知，， 则圆心，半径， 如图，过点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B， 连接AB，CA，CB，CP，则，易知， 所以，有，， 所以，得， 当最小时，取得最大值，即点C到直线的距离为 ，此时，所以； 又三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以， 所以，即线段AB的长度的取值范围为. 故答案为：    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 【答案】(1)方向向量为，法向量为 (2)方向向量为，法向量为 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的方向向量与法向量； （2）分析可知，直线的一个方向向量为，由此可得出直线的方向向量与法向量. 【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. （2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 16．（15分） 已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：． 【答案】(1)证明：由题设，又， 所以是首项、公比均为2的等比数列.； (2)证明：由（1）知：，则，显然时成立， 当有，此时， 综上，，得证. 17．（15分） 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 【答案】(1)， (2)至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入 【分析】(1)利用等比数列求和公式可求出n年内的旅游业总收入与n年内的总投入； (2)设至少经过年旅游业的总收入才能超过总投入，可得，结合(1)进行化简并换元参数解不等式，进而可得结果. 【详解】（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 18．（17分） （1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 【答案】(1) ，. (2) . 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出关于公比的方程求出，再代入通项公式和前项和公式求解； （2）将数列拆分为等差数列与等比数列，利用分组求和法分别求和后相加. 【详解】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 19．（17分） 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． (1)求的方程； (2)已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）或 （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 【分析】（1）设动点，根据数量积的坐标表示求点的轨迹方程； （2）（ⅰ）分析可知圆心到直线的距离，结合点到直线的距离公式运算求解；（ⅱ）联立方程可得韦达定理，利用消元法可得，代入韦达定理运算求解即可. 【详解】（1）设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． （2）（ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 考试版 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：湘教版选择性必修第一册第一章~第二章。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设等差数列的前n项和为，若，则当取得最小值时，n的值为（    ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．“或”是“圆与圆存在公切线”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若直线过点且与斜率为4的直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，是数列的前项和，，则（    ） A．100 B．50 C．90 D．45 5．在数列中，，，，是数列的前项积，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 6．若等差数列的前项和为，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知等差数列与等差数列的前项和分别记为，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（    ） A． B． C． D． 10．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 11．若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，，则下列说法正确的是（     ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．数列的前项和为 D．对任意的，都有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知是公比为2的等比数列，若，则_________. 13．设等差数列的前项和为，若，则__________. 14．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） (1)已知直线的倾斜角为，求的方向向量和法向量； (2)已知直线经过点和，求直线的方向向量和法向量． 16．（15分） 已知数列的首项，是与的等差中项． (1)求证：数列是等比数列； (2)证明：． 17．（15分） 牧草再生力强，一年可收割多次，富含各种微量元素和维生素，因此成为饲养家畜的首选.某牧草种植公司为提高牧草的产量和质量，决定在本年度（第一年）投入40万元用于牧草的养护管理，以后每年投入金额比上一年减少，本年度牧草销售收入估计为30万元，由于养护管理更加精细，预计今后的牧草销售收入每年会比上一年增加． (1)设n年内总投入金额为万元，牧草销售总收入为万元，求，的表达式； (2)至少经过几年，牧草销售总收入才能超过总投入？（，） 18．（17分） （1）已知数列是等比数列，若，求及； （2）在（1）的条件下，若数列的通项公式为，求它的前n项和． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，已知，，动点在曲线上运动，且满足． (1)求的方程； (2)已知直线：，与交于，两点． （ⅰ）若是等边三角形，求； （ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 D C A D C A C C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．200 13．6 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 【详解】（1）先证明结论：若直线的一个方向向量为，其中，则直线的一个法向量可为. 因为直线的一个方向向量为，其中，，则， 所以，直线的一个法向量可为. 本题中，因为直线的倾斜角为，则该直线的斜率为， 故直线的一个方向向量为，则直线的方向向量为， 直线的法向量为. （2）因为直线经过点和，则直线的一个方向向量为， 所以，直线的方向向量为，法向量为. 16．(15分） 【详解】(1)证明：由题设，又， 所以是首项、公比均为2的等比数列.； (2)证明：由（1）知：，则，显然时成立， 当有，此时， 综上，，得证. 17．（15分） 【详解】（1）由题知，每年的追加投入是以40为首项，为公比的等比数列， 所以，； 同理，每年牧草收入是以30为首项，为公比的等比数列， 所以，. （2）设至少经过n年，牧草总收入超过追加总投入，即， 即， 令，，则上式化为，即， 解得，即，所以，， 即，所以， 所以，至少经过3年，牧草总收入超过追加总投入． 18．（17分） 【详解】(1)设等比数列的公比为，由等比数列通项公式得，代入得，解得， 因此通项公式，前项和; (2)由，前项和可分组为等差数列的和与等比数列的和之和， 即. 19．（17分） 【详解】（1）设动点，，， 则，． 所以，即的方程为． （2）（ⅰ）因为是等边三角形，则圆心到直线的距离， 即，化简得：，解得或． （ⅱ）因为直线：，可知直线过定点， 设，． 联立方程，消去得：， 则，解得， 可得，， 则， 可得 ， 所以为定值． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $