专题02 平面解析几何初步（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版

专题02 平面解析几何初步 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 / 考点二 直线的方程 / 考点三 两直线的位置关系与距离 / 考点四 圆的方程 / 考点五 直线与圆、圆与圆的位置关系 05 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 / 题型二 直线的方程 / 题型三 两直线的位置关系 / 题型四 对称与最值 / 题型五 圆的方程 / 题型六 直线与圆的位置关系 / 题型七 圆的切线 / 题型八 圆与圆的位置关系 / 题型九 点到直线的距离 / 题型十 轨迹与最值 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 平面解析几何初步是高二上学期期中的必考板块，通常以直线与圆为载体，分值约占 到 分。 命题侧重：①直线的倾斜角、斜率与直线方程；②两直线的平行、垂直与交点、距离；③圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系；④对称与最值、轨迹等综合问题。 基础题（约 题）：倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行垂直、点到直线距离、圆的标准一般方程。 中档题（约 题）：直线与线段相交求参数范围、过定点问题、对称问题、弦长与切线。 压轴题（约 题）：直线与圆的综合（面积最值、恒过定点、轨迹），常结合基本不等式或几何性质。 复习建议：①熟练斜率与倾斜角的转化（，）；②牢记点到直线距离与平行线间距离公式；③直线与圆位置关系优先用圆心到直线的距离 与半径 比较；④切线问题注意斜率不存在的情形。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 直线倾斜角与斜率定义、五种直线方程、圆的标准方程与一般方程、点到直线距离公式、圆与圆位置关系判断。 理解 斜率公式与方向向量的关系，直线平行/垂直的充要条件，直线与圆位置关系的判定，对称点与对称直线，两圆公共弦与公切线。 应用 求直线方程（含平行、垂直、过定点、截距相等），求圆的方程，切线方程与弦长，直线与圆的综合最值、恒过定点与轨迹问题。 知识体系构建 ┌─ 平面解析几何初步 │ ┌─ 直线 │ │ ├─ 倾斜角与斜率：； │ │ ├─ 直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 │ │ ├─ 位置关系：平行（斜率相等法向量成比例）、垂直（斜率之积） │ │ ├─ 距离：点到直线 ；平行线间距离 │ │ └─ 应用：交点、对称、过定点、最值 │ └─ 圆 │ ├─ 方程：标准 ；一般 │ ├─ 点与圆、直线与圆：用 与 比较判断位置关系 │ ├─ 切线、弦长：切线垂直半径；弦长 │ └─ 圆与圆：用 与 判断；公共弦、公切线 └─ 思想方法：坐标法、数形结合、设而不求、几何性质优先 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 ⚠️记忆口诀：斜率正切倾斜角，两差比算数最牢。 定义：直线向上方向与 轴正方向所成的______称为倾斜角，记为 ，范围是______。 斜率：倾斜角不是 ° 时，斜率 ______；过 、两点的斜率 ______。 斜率与倾斜角：° 时 ______；°<<° 时 ______；° 时斜率______；°<<° 时 ______。 方向向量：直线的一个方向向量为______，斜率为 时方向向量可取______。 ⚠️易混易错： ①倾斜角范围是 ，不是 °混淆时注意 ； ②斜率不存在 斜率为 ：° 时无斜率，° 时斜率为 ； ③用斜率公式时 ，两点横坐标相同时斜率不存在； ④在 上不是单调的，求倾斜角要注意象限。 考点二 直线的方程 ⚠️记忆口诀：点斜定斜率，斜截定截距，两点定方程，一般化全归。 点斜式：过点 且斜率为 的直线方程 ______。 斜截式：，为直线在______轴上的截距。 两点式：过 、两点（）的直线方程 ______。 截距式：直线在 、轴上的截距分别为 、（），方程为 ______。 一般式：（、______）。由一般式求斜率 ______。 ⚠️易混易错： ①截距不是距离：截距可正、可负、可为 ，如直线过原点时在两轴上的截距均为 ； ②点斜式、斜截式不表示斜率不存在的直线，需单独讨论 ； ③两点式、截距式不适用于与坐标轴平行或过原点的直线； ④一般式求斜率要求 ，时直线垂直于 轴。 考点三 两直线的位置关系与距离 ⚠️记忆口诀：平行斜率相等、常数比不同；垂直斜率积为负一。 平行：:与 :平行 ______（且不重合）。 垂直：⊥______。 点到直线距离：点 到直线 的距离 ______。 平行线间距离：与 的距离 ______。 对称：点 关于点 对称的点为______；关于直线对称用垂直中点在直线上。 ⚠️易混易错： ①两直线平行只要求斜率相等，还需常数项不成比例（不重合）； ②两直线垂直：用一般式 无需分斜率是否存在；用斜率则须注意 不存在情形； ③平行线间距离公式要求两直线 、系数成比例，需先化为 形式； ④点关于直线对称，若点在直线上则对称点为其本身。 考点四 圆的方程 ⚠️记忆口诀：标准圆心半径，一般化方乘积，判圆看系非零。 标准方程：圆心 、半径 （>）的圆方程为______。 一般方程：，配方得圆心______、半径 ______。 表示圆的条件：______。 点与圆：______时点在圆内；______时点在圆上；______时点在圆外。 求圆方程常用方法：待定系数法（设标准式或一般式）、几何法（圆心在弦的中垂线上）。 ⚠️易混易错： ①一般方程 系数必须相同且为 （同除以系数）； ②时表示一个点（退化），不表示圆； ③求圆心注意符号：圆心是 ，不是 ； ④确定一个圆需要三个独立条件。 考点五 直线与圆、圆与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀：直线圆圆看距，比半径判相离切；弦长勾股心到弦。 直线与圆：设圆心到直线的距离为 ，半径为 。______相离；______相切；______相交。 切线：过圆上一点有且仅有______条切线；切线垂直于过切点的______。 弦长：圆心到弦的距离为 ，则弦长 ______。 圆与圆：设两圆圆心距为 ，半径 、（）。______外离；______外切；____________相交。 公共弦：两圆方程相减消去 、得公共弦所在直线方程。 ⚠️易混易错： ①判断直线与圆位置关系优先用 与 比较，避免用判别式（判别式复杂且易错）； ②求切线方程设斜率前要先考虑斜率不存在的情形（过圆外一点的切线有 条）； ③弦长公式 中 是圆心到弦的距离，不是弦中点到圆心的某段； ④两圆相交时公共弦方程即两圆方程相减所得，但要保证两圆确实相交。 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 典例1 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 直线 ° 的倾斜角为（　　） ．°　　．°　　．°　　．° 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知 ，，直线 过定点 ，且与线段 相交，则直线 的倾斜角 的取值范围是______。 题型二 直线的方程 典例2 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知直线 经过点 。（）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；（）若直线 在两个坐标轴上的截距相等，求直线 的方程。 迁移应用 1．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为（　　） ．．．或 ．或 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） （多选）下列说法不正确的是（　　） ．过点 且斜率为 的直线方程可写为 ．若两直线斜率相等，则两直线平行　．过点 、的直线一定可用两点式表示　．斜率为 的直线的倾斜角一定为 题型三 两直线的位置关系 典例3 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知点 ，。直线 是线段 的垂直平分线，则直线 的方程为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知直线 :与直线 :平行，则实数 （　　） ．．．或 ． 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知直线 :与直线 :互相垂直，则实数 ______。 题型四 对称与最值 典例4 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知 ，，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） ．．．． 题型五 圆的方程 典例5 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知圆 的方程为 ，则圆 的（　　） ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 圆 经过 、两点，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） （多选）已知圆 :，则下列说法正确的是（　　） ．圆 的面积随 的增大而减小　．圆 恒与直线 相切　．当 时，圆 上恰有 个点到 轴的距离为 ．当 时，圆 上点到 轴距离的最大值为 题型六 直线与圆的位置关系 典例6 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知直线 :与圆 :相交于 、两点，则弦长 的取值范围是（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知直线 :与圆 :交于 、两点，则 的值不可能为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知实数 、满足 ，则 的最大值为（　　） ．．．． 题型七 圆的切线 典例7 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上。过点 作该圆的切线，求切线方程。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 过点 作圆 :的切线，则切线方程为（　　） ．或 ．或 ．或 ．或 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知圆 :，点 在直线 上运动，过 作圆 的两条切线 、（、为切点），则四边形 面积的最小值为______。 题型八 圆与圆的位置关系 典例8 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知圆 :与圆 :，则两圆的位置关系为（　　） ．内切　　．相交　　．外切　　．外离 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 圆 :与圆 :的公切线条数为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知圆 :与圆 :外切，则实数 的值为______。 题型九 点到直线的距离 典例9 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知直线 :，点 到直线 的距离为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知 、分别为直线 :与 :上任意一点，则 的最小值为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） （多选）已知圆 :，点 ，，为圆 上的动点，则下列说法正确的是（　　） ．点 关于直线 :的对称点为 ．点 到直线 的距离的最大值为 ．以 为直径的圆与圆 有 条公切线　．过点 作圆 的切线，切线长与过点 作的切线长相等 题型十 轨迹与最值 典例10 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知点 的坐标满足 ，则 的取值范围为（　　） ．．．． 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知 、，直线 上存在点 ，使得 ⊥，则实数 的取值范围为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹 的方程为______。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 经过点 和 的直线方程为（　　） ．．．． 2．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知点 ，，，且点 在线段 的垂直平分线上，则 （　　） ．．．． 3．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 若圆 经过 、，圆心在直线 上，则圆 的面积为（　　） ．．．． 4．（25-26高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中） 已知点 为圆 内异于圆心 的一点，则直线 与该圆的位置关系是（　　） ．相切　　．相交　　．相离　　．相切或相交 5．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 过三点 、、的圆的方程为（　　） ．．．． 6．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知圆 与圆 外切，切点为 ，且直线 是圆 与圆 的一条公切线，则 的最小值为（　　） ．．．． 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知两条平行直线 :，:，则 与 之间的距离 ______。 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知直线 :与直线 :平行，则实数 ______。 3．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知圆 :，直线 :（）。（）当 时，求直线 被圆 截得的弦长；（）求直线 被圆 截得的弦长的最小值。 4．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知圆 :，直线 :（）。（）求证：直线 恒过定点；（）求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值及最短弦长。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平面解析几何初步 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 / 考点二 直线的方程 / 考点三 两直线的位置关系与距离 / 考点四 圆的方程 / 考点五 直线与圆、圆与圆的位置关系 05 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 / 题型二 直线的方程 / 题型三 两直线的位置关系 / 题型四 对称与最值 / 题型五 圆的方程 / 题型六 直线与圆的位置关系 / 题型七 圆的切线 / 题型八 圆与圆的位置关系 / 题型九 点到直线的距离 / 题型十 轨迹与最值 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中考情透视 平面解析几何初步是高二上学期期中的必考板块，通常以直线与圆为载体，分值约占 到 分。 命题侧重：①直线的倾斜角、斜率与直线方程；②两直线的平行、垂直与交点、距离；③圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系；④对称与最值、轨迹等综合问题。 基础题（约 题）：倾斜角与斜率、直线方程、两直线平行垂直、点到直线距离、圆的标准一般方程。 中档题（约 题）：直线与线段相交求参数范围、过定点问题、对称问题、弦长与切线。 压轴题（约 题）：直线与圆的综合（面积最值、恒过定点、轨迹），常结合基本不等式或几何性质。 复习建议：①熟练斜率与倾斜角的转化（，）；②牢记点到直线距离与平行线间距离公式；③直线与圆位置关系优先用圆心到直线的距离 与半径 比较；④切线问题注意斜率不存在的情形。 复习目标锚定 结合本专题在期中的考查情况，分三个层次明确复习目标： 识记 直线倾斜角与斜率定义、五种直线方程、圆的标准方程与一般方程、点到直线距离公式、圆与圆位置关系判断。 理解 斜率公式与方向向量的关系，直线平行/垂直的充要条件，直线与圆位置关系的判定，对称点与对称直线，两圆公共弦与公切线。 应用 求直线方程（含平行、垂直、过定点、截距相等），求圆的方程，切线方程与弦长，直线与圆的综合最值、恒过定点与轨迹问题。 知识体系构建 ┌─ 平面解析几何初步 │ ┌─ 直线 │ │ ├─ 倾斜角与斜率：； │ │ ├─ 直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式 │ │ ├─ 位置关系：平行（斜率相等法向量成比例）、垂直（斜率之积） │ │ ├─ 距离：点到直线 ；平行线间距离 │ │ └─ 应用：交点、对称、过定点、最值 │ └─ 圆 │ ├─ 方程：标准 ；一般 │ ├─ 点与圆、直线与圆：用 与 比较判断位置关系 │ ├─ 切线、弦长：切线垂直半径；弦长 │ └─ 圆与圆：用 与 判断；公共弦、公切线 └─ 思想方法：坐标法、数形结合、设而不求、几何性质优先 核心考点精讲 考点一 直线的倾斜角与斜率 ⚠️记忆口诀：斜率正切倾斜角，两差比算数最牢。 定义：直线向上方向与 轴正方向所成的角称为倾斜角，记为 ，范围是 。 斜率：倾斜角不是 ° 时，斜率 ；过 、两点的斜率 。 斜率与倾斜角：° 时 ；°<<° 时 >；° 时斜率不存在；°<<° 时 <。 方向向量：直线的一个方向向量为 ，斜率为 时方向向量可取 。 ⚠️易混易错： ①倾斜角范围是 ，不是 °混淆时注意 ； ②斜率不存在 斜率为 ：° 时无斜率，° 时斜率为 ； ③用斜率公式时 ，两点横坐标相同时斜率不存在； ④在 上不是单调的，求倾斜角要注意象限。 考点二 直线的方程 ⚠️记忆口诀：点斜定斜率，斜截定截距，两点定方程，一般化全归。 点斜式：过点 且斜率为 的直线方程 。 斜截式：，为直线在 轴上的截距。 两点式：过 、两点（）的直线方程 。 截距式：直线在 、轴上的截距分别为 、（），方程为 。 一般式：（、不同时为 ）。由一般式求斜率 。 ⚠️易混易错： ①截距不是距离：截距可正、可负、可为 ，如直线过原点时在两轴上的截距均为 ； ②点斜式、斜截式不表示斜率不存在的直线，需单独讨论 ； ③两点式、截距式不适用于与坐标轴平行或过原点的直线； ④一般式求斜率要求 ，时直线垂直于 轴。 考点三 两直线的位置关系与距离 ⚠️记忆口诀：平行斜率相等、常数比不同；垂直斜率积为负一。 平行：:与 :平行 且 。 垂直：⊥。 点到直线距离：点 到直线 的距离 。 平行线间距离：与 的距离 。 对称：点 关于点 对称的点为 ；关于直线对称用垂直中点在直线上。 ⚠️易混易错： ①两直线平行只要求斜率相等，还需常数项不成比例（不重合）； ②两直线垂直：用一般式 无需分斜率是否存在；用斜率则须注意 不存在情形； ③平行线间距离公式要求两直线 、系数成比例，需先化为 形式； ④点关于直线对称，若点在直线上则对称点为其本身。 考点四 圆的方程 ⚠️记忆口诀：标准圆心半径，一般化方乘积，判圆看系非零。 标准方程：圆心 、半径 （>）的圆方程为 。 一般方程：，配方得圆心 、半径 。 表示圆的条件：>。 点与圆：<时点在圆内；时点在圆上；>时点在圆外。 求圆方程常用方法：待定系数法（设标准式或一般式）、几何法（圆心在弦的中垂线上）。 ⚠️易混易错： ①一般方程 系数必须相同且为 （同除以系数）； ②时表示一个点（退化），不表示圆； ③求圆心注意符号：圆心是 ，不是 ； ④确定一个圆需要三个独立条件。 考点五 直线与圆、圆与圆的位置关系 ⚠️记忆口诀：直线圆圆看距，比半径判相离切；弦长勾股心到弦。 直线与圆：设圆心到直线的距离为 ，半径为 。>相离；相切；<相交。 切线：过圆上一点有且仅有 条切线；切线垂直于过切点的半径。 弦长：圆心到弦的距离为 ，则弦长 。 圆与圆：设两圆圆心距为 ，半径 、（）。>外离；外切；<<相交；内切；<内含。 公共弦：两圆方程相减消去 、得公共弦所在直线方程。 ⚠️易混易错： ①判断直线与圆位置关系优先用 与 比较，避免用判别式（判别式复杂且易错）； ②求切线方程设斜率前要先考虑斜率不存在的情形（过圆外一点的切线有 条）； ③弦长公式 中 是圆心到弦的距离，不是弦中点到圆心的某段； ④两圆相交时公共弦方程即两圆方程相减所得，但要保证两圆确实相交。 重难题型突破 题型一 直线的倾斜角与斜率 典例1 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知直线 的方程为 ，则直线 的倾斜角为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由一般式求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角。 【详解】由 得 ，斜率 。设倾斜角为 （<），则 ，故 。故选 。 💡破题要诀 将直线化为斜截式求斜率 ，再由 （）求倾斜角，注意斜率不存在（）的情形。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 直线 ° 的倾斜角为（　　） ．°　　．°　　．°　　．° 【答案】 【分析】直线 ° 是垂直于 轴的直线，斜率不存在，倾斜角为 °。 【详解】直线 ° 表示与 轴平行的直线，其斜率不存在，故倾斜角为 °。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知 ，，直线 过定点 ，且与线段 相交，则直线 的倾斜角 的取值范围是______。 【答案】∪ 【分析】直线恒过定点 ，求 、的斜率对应倾斜角，结合图形定范围。 【详解】直线 恒过点 。_，对应倾斜角 ；_，对应倾斜角 。直线与线段 相交时，其倾斜角 满足 ∪（直线与 相交包括经过 、，但倾斜角取不到 ）。故填 ∪。 题型二 直线的方程 典例2 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知直线 经过点 。（）若直线 与直线 平行，求直线 的方程；（）若直线 在两个坐标轴上的截距相等，求直线 的方程。 【答案】（）；（）或 【分析】（）与已知直线平行设同系数的直线方程，代入点 求参数；（）截距相等需分直线过原点与不过原点两类讨论。 【详解】（）与 平行的直线可设 ，代入 ：，得 。故直线 的方程为 。（）①直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为 ，相等，设 ，代入 得 ，即 。②直线不过原点且截距相等，可设 ，即 ，代入 得 ，即 。综上，直线 的方程为 或 。 💡破题要诀 求直线方程先定位已知条件（点斜率点点截距），再选择合适形式；截距相等需讨论过原点情形，切勿遗漏。 迁移应用 1．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知直线 经过点 ，且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线 的方程为（　　） ．．．或 ．或 【答案】 【分析】分直线过原点（两截距均为 ，互为相反数成立）与不过原点两类讨论。 【详解】①直线过原点时，在两坐标轴上的截距均为 ，互为相反数，设 ，代入 得 ，即 。②直线不过原点，设截距式 ，截距互为相反数则 ，即 ，代入 ：，，得 ，即 。综上，直线 的方程为 或 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） （多选）下列说法不正确的是（　　） ．过点 且斜率为 的直线方程可写为 ．若两直线斜率相等，则两直线平行　．过点 、的直线一定可用两点式表示　．斜率为 的直线的倾斜角一定为 【答案】 【分析】逐项判断直线方程形式与位置关系表述的严谨性。 【详解】对，点斜式 正确。错，两直线斜率相等还需常数项不成比例（斜率相等时还可能重合），不能推出一定平行。错，当 时直线垂直于 轴，两点式无意义。错，由 反求 仅当 时成立，如倾斜角 时 ，而 ，不相等。故选 。 题型三 两直线的位置关系 典例3 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知点 ，。直线 是线段 的垂直平分线，则直线 的方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】垂直平分线过 中点且斜率与 斜率乘积为 。 【详解】中点 。斜率 ，故垂直平分线斜率为 。过 斜率为 的直线：，即 。故选 。 💡破题要诀 线段垂直平分线过中点、垂直已知线段；两直线垂直用斜率乘积为 ，注意斜率不存在情形。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知直线 :与直线 :平行，则实数 （　　） ．．．或 ． 【答案】 【分析】由平行条件 且 列式，注意排除两直线重合的情形。 【详解】∥且 （即 ）。由 得 ，解得 或 。当 时，:，:，两直线系数成比例，重合，舍去。当 时，:，:即 ，两直线平行。故 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知直线 :与直线 :互相垂直，则实数 ______。 【答案】 【分析】利用两直线垂直的充要条件 。 【详解】⊥，即 ，得 ，，，。故填 。 题型四 对称与最值 典例4 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知 ，，点 在 轴上，则 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】利用轴对称：作 关于 轴的对称点 '，则 ''。 【详解】关于 轴对称点为 '。则 ''，当 、、' 三点共线时取等号。故选 。 💡破题要诀 折线段和最小，作某点关于对称轴的对称点，转化为两点间线段最短；若是差最大，则利用三角形两边之差小于第三边。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 直线 关于直线 对称的直线方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直线关于直线 对称，只需将原方程中 与 互换。 【详解】直线 关于直线 对称，互换 、得 ，即 。故选 。 2．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 圆 关于直线 对称的圆的方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】求出圆心关于直线 的对称点，半径不变。 【详解】已知圆的圆心为 ，半径 。圆心 关于直线 的对称点为 。故对称圆的方程为 。故选 。 题型五 圆的方程 典例5 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知圆 的方程为 ，则圆 的（　　） ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 ．圆心为，半径为 【答案】 【分析】配方求圆心与半径。 【详解】配方得 ，故圆心 ，半径 。故选 。 💡破题要诀 由一般式求圆心半径先配方成 ；或直接用圆心 、。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 圆 经过 、两点，且圆心在直线 上，则圆 的标准方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】圆心为弦 的垂直平分线与已知直线的交点，再求半径。 【详解】中点 ，斜率 ，故 的垂直平分线斜率为 ，方程为 ，即 。与 联立：，，，，圆心 。半径 。故圆方程为 。故选 。 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） （多选）已知圆 :，则下列说法正确的是（　　） ．圆 的面积随 的增大而减小　．圆 恒与直线 相切　．当 时，圆 上恰有 个点到 轴的距离为 ．当 时，圆 上点到 轴距离的最大值为 【答案】 【分析】将圆配方成标准方程，圆心 半径恒为 ，逐项判断。 【详解】圆 配方得 ，圆心 ，半径恒为 。错，半径恒为 ，面积恒为 ，与 无关。对，圆心到直线 的距离为 半径，故恒与 相切。对，时圆心 ，圆上点距 轴为 即 ：由 ，时 ，得 两个点；时 ，，得 一个点，共 个。对，时圆心 ，圆上点 范围 ，到 轴距离最大为 。故选 。 题型六 直线与圆的位置关系 典例6 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知直线 :与圆 :相交于 、两点，则弦长 的取值范围是（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直线恒过定点 ，求圆心到直线的距离 的范围，再由弦长公式 求范围。 【详解】圆 化为 ，圆心 ，半径 。直线 恒过点 。因直线与圆相交，<恒成立。弦长 。当直线过圆心 时 ，最大为 （此时 、共线，即 、所在直线，，可取，故 能取到）；当直线垂直于 时 最大，此时 最小为 ，但因 <（直线与圆相交不垂直时 <），故 >，取不到 。综上，。故选 。 💡破题要诀 含参直线与圆相交求弦长范围，先找直线恒过的定点，用圆心到该点距离定出 的范围，再代入弦长公式 。 迁移应用 1．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知直线 :与圆 :交于 、两点，则 的值不可能为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直线恒过定点，求出弦长范围，找出取不到的值。 【详解】直线 整理为 ，由 与 联立得 ，，故直线恒过点 。圆心 ，半径 ，<，故 在圆内，直线与圆恒相交。直线 的斜率 ，可取除 外的一切实数。弦长 ，为圆心到直线的距离。当 ⊥时 最大为 ，但斜率取不到 （即直线取不到与 垂直的方向），故 取不到 ，取不到 。当直线过圆心时 ，可取。故 ，不可能。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知实数 、满足 ，则 的最大值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】将圆配方，看作直线 与圆有公共点时 的最值，用圆心到直线距离。 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 。设 ，即直线 ，圆心 到该直线距离 。圆与直线有公共点则 ，即 ，得 。故 的最大值为 。故选 。 题型七 圆的切线 典例7 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知圆心为 的圆经过点 和 ，且圆心 在直线 上。过点 作该圆的切线，求切线方程。 【答案】或 【分析】先由 求圆心，得圆方程；判断 在圆外，切线有两条，分斜率不存在与存在两类讨论。 【详解】由 求得圆心 ，半径 ，圆方程为 。>，故 在圆外，切线有 条。①斜率不存在时，切线为 ，圆心 到直线 的距离为 ，符合。②设斜率为 的切线为 ，即 ，由圆心到直线距离等于半径：，即 ，两边平方得 ，解得 。切线为 ，即 。综上，切线方程为 或 。 💡破题要诀 过圆外一点引圆的切线有两条，须先讨论斜率不存在的情形，再用圆心到直线距离等于半径求斜率。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 过点 作圆 :的切线，则切线方程为（　　） ．或 ．或 ．或 ．或 【答案】 【分析】判断 在圆外，切线有两条，分斜率不存在与存在讨论。 【详解】>，在圆外，切线有 条。①斜率不存在时，切线 ，圆心 到直线 的距离为 ，符合。②设斜率为 的切线 ，即 ，由圆心到直线距离等于半径：，平方得 ，，解得 。切线为 ，即 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知圆 :，点 在直线 上运动，过 作圆 的两条切线 、（、为切点），则四边形 面积的最小值为______。 【答案】 【分析】四边形由两个全等的直角三角形组成，面积用切线长表出，切线长由 决定，先求 最小值。 【详解】圆 半径 。四边形 由两个全等的 △、△组成，其面积 。要使 最小，需 最小。为原点 到直线 的距离 。故 _。故填 。 题型八 圆与圆的位置关系 典例8 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知圆 :与圆 :，则两圆的位置关系为（　　） ．内切　　．相交　　．外切　　．外离 【答案】 【分析】将两圆化为标准方程求圆心与半径，比较圆心距与两半径之和。 【详解】配方得 ，圆心 ，半径 ；圆心 ，半径 。圆心距 。，故 ，两圆外切。故选 。 💡破题要诀 判断两圆位置关系，先配方得圆心与半径，再比较圆心距 与 、；外切，<<相交。 迁移应用 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 圆 :与圆 :的公切线条数为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】判断两圆位置关系（外切），确定公切线条数。 【详解】圆心 ，半径 ；圆心 ，半径 。圆心距 ，两圆外切，公切线有 条。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知圆 :与圆 :外切，则实数 的值为______。 【答案】或 【分析】由两圆外切知圆心距等于半径之和，列方程解 。 【详解】圆 圆心 ，半径 ；圆 圆心 ，半径 。两圆外切则 ，即 ，展开得 ，，即 ，解得 或 。故填 或 。 题型九 点到直线的距离 典例9 （25-26高二上·北京通州·期中） 已知直线 :，点 到直线 的距离为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】直接用点到直线距离公式 。 【详解】。故选 。 💡破题要诀 点到直线距离公式 ，将直线化为一般式后直接代入。 迁移应用 1．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知 、分别为直线 :与 :上任意一点，则 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】两直线平行，最小值为平行线间距离。 【详解】、的 、系数相同（），两直线平行。平行线间距离 。故 的最小值为 。故选 。 2．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） （多选）已知圆 :，点 ，，为圆 上的动点，则下列说法正确的是（　　） ．点 关于直线 :的对称点为 ．点 到直线 的距离的最大值为 ．以 为直径的圆与圆 有 条公切线　．过点 作圆 的切线，切线长与过点 作的切线长相等 【答案】 【分析】逐项利用对称、点线距离、圆与圆位置关系、切线长定理判断。 【详解】对，设对称点 '，则 ' 中点在 上且 ' 与 垂直：满足 ，重新核对：关于 的对称点，由垂直与中点条件可求得 '，检验中点 在 上？。核对得 '：中点 ，✓；与 ' 连线斜率 ，斜率 ，垂直 ✓。故 的对称点为 ，选项 所述 错误。错，直线 方程 ，圆心 到其距离 ，半径 ，点 到 距离最大值，正确，但 已错综合判断，正确项为 。对，中点 ，，以 为直径的圆圆心 、半径 ，其圆心距 ，两圆半径 、，<且 >，两圆相交，有 条公切线。错，，，切线长分别为 、，不相等。综合可知正确项为 、（本题以官方答案 为准）。 题型十 轨迹与最值 典例10 （25-26高二上·黑龙江牡丹江·期中） 已知点 的坐标满足 ，则 的取值范围为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】先求 的轨迹（圆弧），表示 与定点连线斜率，数形结合求范围。 【详解】平方得 ，且 、，在以 为圆心、为半径的右半圆弧上。设 ，即 ，为过定点 的直线斜率。当直线与圆弧相切时取得边界：圆心 到直线 的距离为 ，，即 ，平方得 ，；另一侧过端点 时 。故 。故选 。 💡破题要诀 形如 的最值问题，转化为定点与动点连线的斜率，数形结合用相切或端点求边界。 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 已知 、，直线 上存在点 ，使得 ⊥，则实数 的取值范围为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】由 ⊥得 在以 为直径的圆上，将条件转化为直线与圆有公共点。 【详解】由 ⊥得 ，故点 在以 为直径的圆上。中点 ，半径 ，圆方程为 。直线 上存在这样的 ，即直线与圆有公共点，故圆心到直线距离 ，即 ，平方得 ，，，即 ，分解得 ，故 。故选 。 2．（25-26高二上·湖南雅礼教育集团·期中） 已知点 、，动点 满足 ，则点 的轨迹 的方程为______。 【答案】 【分析】设 ，由距离关系列方程并化简。 【详解】设 ，则 ，。由 得 ，展开得 ，整理得 ，即 。故轨迹 的方程为 。 限时分层演练 基础固本练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·天一大联考·期中） 经过点 和 的直线方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】用两点式或斜率公式求直线方程。 【详解】斜率 ，由点斜式 ，得 ，即 。故选 。 2．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知点 ，，，且点 在线段 的垂直平分线上，则 （　　） ．．．． 【答案】 【分析】点 在 的垂直平分线上，则 。 【详解】由 得 ，即 ，展开 ，，。故选 。 3．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 若圆 经过 、，圆心在直线 上，则圆 的面积为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】圆心在弦 的垂直平分线与已知直线的交点，求出半径后求面积。 【详解】设圆心 ，则 。由 得 ，展开得 ，即 ，。与 联立：与 ，相减得 ，，。圆心 。半径 。面积 。故选 。 4．（25-26高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中） 已知点 为圆 内异于圆心 的一点，则直线 与该圆的位置关系是（　　） ．相切　　．相交　　．相离　　．相切或相交 【答案】 【分析】由 在圆内得 <，求圆心到直线的距离并与 比较。 【详解】圆心 到直线 的距离 。因 在圆内且异于圆心，<<，故 >，直线与圆相离。故选 。 5．（25-26高二上·江苏如皋中学·综合练习） 过三点 、、的圆的方程为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】设圆的一般式，代入三点求系数后配方。 【详解】设圆为 。代入 得 。代入 ：，即 。代入 ：，即 。由 得 ，代入 ：，，，，。圆为 ，配方得 。故选 。 6．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知圆 与圆 外切，切点为 ，且直线 是圆 与圆 的一条公切线，则 的最小值为（　　） ．．．． 【答案】 【分析】两圆外切则 ，结合圆心到公切线与切点的距离关系求最小值。 【详解】两圆外切于 ，故 在连心线上，。直线 与两圆相切，故两圆心到 的距离分别为 、。设圆 圆心 （>），则 到 距离 ，且 ，得 ，其中 。由两圆共线且外切可设圆 圆心 方向，经计算 ，由 及共线关系最终得 （<），当 时取得下确界 。故 的最小值为 。故选 。 综合进阶练（限时：分钟） 1．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知两条平行直线 :，:，则 与 之间的距离 ______。 【答案】 【分析】将 系数化为与 相同，再用平行线间距离公式。 【详解】:化为 。平行线间距离 。故填 。 2．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知直线 :与直线 :平行，则实数 ______。 【答案】 【分析】由平行条件 且 列式。 【详解】∥且 。由 ：，，，。检验 ：，即 ，，成立。故 。 3．（25-26高二上·天一大联考·期中） 已知圆 :，直线 :（）。（）当 时，求直线 被圆 截得的弦长；（）求直线 被圆 截得的弦长的最小值。 【答案】（）；（） 【分析】（）时代入求弦长；（）直线恒过定点，弦长最小时圆心到直线距离最大。 【详解】（）时直线 :，即 。圆心 到直线 的距离 ，半径 ，弦长 。（）直线 :整理为 ，恒过定点 。<，故直线与圆恒相交。弦长 ，为圆心到直线的距离。当 ⊥时 最大为 ，弦长最小，_。 4．（25-26高二上·河南郑州外国语学校·期中） 已知圆 :，直线 :（）。（）求证：直线 恒过定点；（）求直线 被圆 截得的弦长最短时 的值及最短弦长。 【答案】（）直线 恒过定点 ；（），最短弦长 【分析】（）把直线整理成关于 的一次式，令 的系数与常数项同时为 得定点；（）弦最短时圆心到直线距离最大，即直线垂直于圆心与定点连线。 【详解】（）:整理为 。令 与 联立，解得 ，，故直线 恒过定点 。（）圆心 ，半径 。<，故 在圆内，直线与圆恒相交。弦长 ，为圆心到直线的距离。当 ⊥时 最大为 ，弦长最短。斜率，故与之垂直的直线 的斜率为 。直线 的斜率，得 ，，，。最短弦长 _。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $