第2章 平面解析几何初步（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2019选择性必修第一册

第2章 解析几何初步(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高二上·河北张家口·期末)已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 2.(24-25高二上·广东潮州·阶段练习)若，，则直线不经过的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.(24-25高二下·云南曲靖·期末)若直线与圆相离，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·浙江衢州·期中)直线(为常数)，圆，则直线被圆截得的弦长最小值为(   ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·安徽亳州·期末)已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是(    ) A．(5，9) B． C． D． 6.(24-25高三下·北京·阶段练习)已知圆 ,点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 7.(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(   ) A． B． C． D． 8.(23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是(    ) A．1 B． C． D．2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高二上·广西河池·期末)已知直线与圆相交于两点，则(    ) A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 10.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，下列说法正确的是(    ) A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是(    ) A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(23-24高二上·全国·课后作业)若点关于直线对称，则 ； ． 13.(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ．   14.(24-25高三上·江苏·阶段练习)已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高二上·新疆喀什·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点；(2)与直线平行；(3)与直线垂直； 16．(15分) (24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 17．(15分)(2025高三·全国·专题练习)已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程；(2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 18．(17分)(24-25高二上·贵州·期中)材料：把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：(其中，且该方程不表示)． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第(1)问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 19．(17分)(24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. (i)求的方程.(ii)已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 第2章 解析几何初步(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_____________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高二上·河北张家口·期末)已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为( ) A． B． C． D． 2.(24-25高二上·广东潮州·阶段练习)若，，则直线不经过的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.(24-25高二下·云南曲靖·期末)若直线与圆相离，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 4.(24-25高二下·浙江衢州·期中)直线(为常数)，圆，则直线被圆截得的弦长最小值为(   ) A． B． C． D． 5.(24-25高二上·安徽亳州·期末)已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是( ) A．(5，9) B． C． D． 6.(24-25高三下·北京·阶段练习)已知圆 ,点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是( ) A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 7.(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(   ) A． B． C． D． 8.(23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是( ) A．1 B． C． D．2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高二上·广西河池·期末)已知直线与圆相交于两点，则( ) A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 10.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，下列说法正确的是( ) A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是( ) A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(23-24高二上·全国·课后作业)若点关于直线对称，则 ； ． 13.(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ．   14.(24-25高三上·江苏·阶段练习)已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高二上·新疆喀什·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点；(2)与直线平行；(3)与直线垂直； 16．(15分) (24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值； (2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 17．(15分)(2025高三·全国·专题练习)已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程；(2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 18．(17分)(24-25高二上·贵州·期中)材料：把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：(其中，且该方程不表示)． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标；(2)设点为第(1)问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围；(3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 19．(17分)(24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. (i)求的方程.(ii)已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 数学 第4页(共6页) 数学 第5页(共6页) 数学 第6页(共6页) 数学 第1页(共6页) 数学 第2页(共6页) 数学 第3页(共6页) 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第2章解析几何初步（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第ㄧ卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的， 1(24-25高二上河北张家口期末)已知直线1过点P1,0),将直线1绕点P逆时针旋转与x轴重合，则直线1 的方程为) A.y= 3t1 B.y=V3(x-1) C.y=-5 (x-) D.y=-V3(x-1) 2.(24-25高二上广东潮州·阶段练习)若AB<0,BC>0,则直线Ax-By+C=0不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(24-25高二下…云南曲靖期末)若直线y=√3x+a+1与圆C:x2+(0-2a)}=二a2相离，则a的取值范围是() 4.(24-25高二下浙江衢州期中)直线1：(3a+2)x-y-2=0(a为常数)，圆C:x2+2x+y2+2y-23=0,则直 线！被圆C截得的弦长最小值为() A.5 B.V17 C.25 D.√21 5.(24-25高二上安徽毫州期末)己知点A(1,-1),B(a,a-2)到直线l的距离分别为22和62，若这样的直 线l恰有两条，则a的取值范围是() A.(5,9) B.(9,+0） C.(-7,-3)U(5,9) D.（-3,5)U(9,+∞) 第1页共6页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 6.(24-25高三下北京·阶段练习)已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线1：x-y-3=0上运动，直线PA,PB 与圆C相切，切点为A,B,则下列说法正确的是() A.PA的最小值为2 B.PA最小时，弦AB所在直线的斜率为-1 C.PA最小时，弦AB长为√6 D.四边形PACB面积的最小值为√ 7.(24-25高二上浙江舟山期末)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线1：x+y+1=0,9为1上的动点.过 点Q作圆C的切线QA,OB,切点为A,B,当ABC2最小时，直线AB的方程为) A.x+y-2=0 B.5x+5y-12=0C.x+2y-3=0D.3x+6y-8=0 8.(23-24高二上湖南邵阳阶段练习)过点P1,V3)作斜率为k的直线1交圆E:x2+y2=8于A,B两点，动点Q 满足岗周 若对每一个确定的实数k,记Pg的最大值为dr,则当k变化时，dmx的最小值是(） A.1 B.√2 C.3 D.2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(24-25高二上广西河池·期末)已知直线：4x+3y+6=0与圆C:2+y2-2x-8=0相交于E,F两点，则() A.圆心C的坐标为(-1，O) B.圆C的半径为3 C.圆心C到直线l的距离为2 D.EF=5 10.(25-26高二上·全国.单元测试)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,下列说法正确的是() A.圆心为C(2,2) B.圆C与x轴、y轴都相切 C.过点B(2,1)的直线被圆C截得的最短弦长为2√5 D.y+x的最大值为3+√2 11.(2024北京·模拟预测)一条动直线4与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A,B,点P为定直 线12：x+y-10=0上动点，则下列说法正确的是() A.存在直线l，,使得以AB为直径的圆与l,相切 B.|PA+|PB2的最小值为150-20N2 C.AP.PB的最大值为-27+10V2 D.IPA|+|PBI的最小值为8√3 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(23-24高二上全国·课后作业)若点4(a+2,b+2),B(b-4,a-6)关于直线4x+3y-11=0对称，则1= 第2页共6页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b= 13.(24-25高一下浙江宁波期末)已知圆0：(x-3)'+y2=2，一条过点(0，-V3)的直线将圆0分成面积相等 的两部分，且该直线在碰到直线x=6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则？的值为 14.(24-25高三上江苏·阶段练习)已知P是圆C:（x-m+1)+y2=41∈R)上的动点，M(m+3,0),点A, B是圆C:(x-5)+(y-6)=4上的两个动点，点C(6,6)满足CA.CB=0,CA+CB=C示，则PM+2PW 的最小值为一· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.13分)24-25高二上新疆喀什期末)求经过点M(-1,2),且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点A(1,3);(2)与直线2x+y+5=0平行：(3)与直线2x+y+5=0垂直： 16.(15分)(24-25高一下·浙江宁波期末)已知直线1：(a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0. (1)若直线l垂直于直线：x+y-3=0,求a的值：(2)求证：直线1经过定点： (3)当a=-11时，求点P(1,4)关于直线1的对称点P的坐标. 第3页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 17.Q15分2025高三全国专题练习已知点AL0),B4,0,动点Tk)满足- 设动点T的轨迹是 曲线C,直线l:y=x+1与曲线C交于P,Q两点 (1)求曲线C的方程；(2)若OP.OQ=-2,求实数k的值： (3)过点(O,1)作垂直于1的直线(，且直线L与曲线C交于M,N两点，求四边形PMQN面积的最大值. 第4页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18.(17分)24-25高二上贵州期中)材料：把经过两条直线：Ax+By+C,=0,12:Ax+B2y+C2=0(AB2≠AB) 的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为： Ax+By+C+(Ax+B2y+C2)=0(其中2∈R,且该方程不表示l2). 问题：已知圆x2+y2-2x+4y-3=0.求： (1)求共点直线系方程3x+y+3+2(2x-y+3)=0(2∈R)的“共点”P的坐标： (2)设点P为第(1)问中的“共点”，点N为圆M上一动点，求PW的取值范围： (3)若有唯一一组非零实数对(a,b)满足关于实数m的方程： B3a+b+3_2a-b+3=m.设过点Q(m-2)的 Va+b2 va+b2 直线与圆M相交于s,T两点，当ST取得最小值时，求直线ST的方程. 第5页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.(17分24-25高二上贵州六盘水·期中)若圆C与圆C,相交于P,9两点，P9=>0),且C,为线段 PQ的中点，则称C,是C的m等距共轭圆.己知点A(3,5),B(6,4)均在圆C上，圆心C在直线x-4y-3=0上. (1)求圆C的标准方程.(2)若圆C,是圆C的8等距共轭圆，设圆心C的轨迹为2. ()求2的方程.()已知点H(3,3),直线1与曲线2交于异于点H的E,F两点，若直线HE与HF的斜率之积 为3，试问直线1是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由 第6页共6页 第2章 解析几何初步(高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(24-25高二上·河北张家口·期末)已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【难度】0.85【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以，直线的方程为：.故选：D. 2.(24-25高二上·广东潮州·阶段练习)若，，则直线不经过的象限是(    ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限．故选：C． 3.(24-25高二下·云南曲靖·期末)若直线与圆相离，则a的取值范围是(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解. 【详解】圆C的圆心为，半径， 到直线的距离，解得， 又，所以.故选：B. 4.(24-25高二下·浙江衢州·期中)直线(为常数)，圆，则直线被圆截得的弦长最小值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】直线经过定点,求出圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线被圆截得的最短弦长，即可得得答案． 【详解】直线，整理可得， 令，解得，故直线过定点， 又圆，则圆心，半径圆， 根据圆的性质，当直线与垂直时，直线被圆截得的弦长最短， 结合，可得直线被圆截得的最短弦长等于.故选：C. 5.(24-25高二上·安徽亳州·期末)已知点，到直线的距离分别为和，若这样的直线恰有两条，则的取值范围是(    ) A．(5，9) B． C． D． 【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，为半径的圆与以B为圆心，为半径的圆的两圆相交，再借助两点间距离公式列式求解. 【详解】恰好存在两条直线，使得点A，B到的距离分别为和， 以A为圆心，为半径的圆，以B为圆心，为半径的圆，这两圆有两条公切线， 因此这两个圆相交，即，而， 则，解得或，所以的取值范围是.故选：C 6.(24-25高三下·北京·阶段练习)已知圆 ,点P在直线上运动，直线PA，PB与圆C相切，切点为A，B，则下列说法正确的是(    ) A．的最小值为2 B．最小时，弦AB所在直线的斜率为 C．最小时，弦AB长为 D．四边形面积的最小值为 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦、切线长【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A，根据四边形面积计算判断D，C，再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为 ，半径为.点 满足 ，即 . 设切线方程为 和 ，由圆的切线性质可知， 的最小值，出现在 最小时. 此时圆心到直线距离为：，代入得 ，A选项错误； 四边形面积的最小值为，D选项错误； 四边形面积的最小值为，所以，C选项正确； 当最小时，，直线的斜率为， 因为此时，所以，弦AB所在直线的斜率为，B选项错误.故选: C. 7.(24-25高二上·浙江舟山·期末)已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为(   ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.4【知识点】相交圆的公共弦方程、求圆的方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】利用切线性质推得四点共圆，，从而将转化为，确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆可化为，所以圆心，半径为， 因为是圆的两条切线，则， 由圆的知识可知，四点共圆，且，， 所以，又， 所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为：，即， 联立，解得，即，所以，中点为， 故以为直径的圆的方程为，即，， 又圆，两圆的方程相减即为直线的方程：.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是时，取得最小值. 8.(23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习)过点作斜率为的直线交圆于，两点，动点满足，若对每一个确定的实数，记的最大值为，则当变化时，的最小值是(    ) A．1 B． C． D．2 【答案】D【难度】0.15【知识点】由直线与圆的位置关系求参数【分析】本题涉及到动点的轨迹，根据比例，经分析可知，所在轨迹为圆，结合圆的几何性质即可求解. 【详解】由题可知，在圆内， 令，且，显然是的内比分点，设为其外比分点， 则，此时的中点为所在阿氏圆的圆心，      对每一个确定的实数，的最大值为；即重合时为对应圆的直径， 根据圆的对称性，如图，讨论的情况，而 当为直径时，；此时，所以； 故的最大值为 当不为直径时，，，且增减趋势相同， 由得， 显然接近于1时趋向无穷大，此时的最大值趋向无穷大， 综上，的最小值为2.故选：D 【点睛】方法点睛：本题涉及到动点到两个定点的距离之比为定值，此时该动点的轨迹为阿氏圆，结合阿氏圆分析点的位置再求的最值即可. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高二上·广西河池·期末)已知直线与圆相交于两点，则(    ) A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 【答案】BC【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，即可直接得到圆心和半径，判断选项AB，利用点到直线的距离公式和弦长公式即可直接判断选项CD. 【详解】对于AB，圆：的圆心为，半径，故A错误，B正确； 对于C，点到直线：的距离，C正确； 对于D，，D错误.故选：BC 10.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆，下列说法正确的是(    ) A．圆心为 B．圆与轴、轴都相切 C．过点的直线被圆截得的最短弦长为 D．的最大值为 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化成标准方程得圆心坐标可判断A；再根据直线与圆的位置关系判断B；先求得圆心到直线的距离的最大值，再用求得最短弦长即可判断C；令，由直线与圆有公共点求得的范围即可判断D. 【详解】由，得，圆心为．A正确； 因为圆的半径为2，圆心为，所以圆与轴、轴都相切．B正确； 因为，所以点在圆内．设圆心到过点的直线的距离为，则，而被截得的弦长为，则弦长最短为.C正确； 令，则直线与圆有公共点，所以，解得，所以的最大值为．D错误；故选：ABC。 11.(2024·北京·模拟预测)一条动直线与圆相切，并与圆相交于点A，B，点P为定直线上动点，则下列说法正确的是(    ) A．存在直线，使得以为直径的圆与相切 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD【难度】0.15【知识点】数量积的运算律、圆的弦长与中点弦、数量积的坐标表示、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】对A，数形结合求出点到直线距离的最小值与比较可判断；对B，C，根据向量数量积运算结合，运算得解判断；对D，直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题，设，，，利用直线对称列式运算求解. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 则，坐标原点到直线的距离为， 由图易知，， 对于A，点到直线距离的最小值为，且， 所以以为直径的圆与相离，故A错误； 对于C，， ，故C正确； 对于B，， ，故B正确； 对于D，由于两点在圆上，且，点到直线的距离，求直线上点使得最小等同于求直线上一点，的最小值问题， 设，，，点关于直线对称点为， 则，直线，， 由，消去整理得， 即，即， ，，同理，， ，， 的最小值为， 所以的最小值为，故D正确.故选：BCD.   【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线上点使得最小值转化为求直线上一点，的最小值问题. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(23-24高二上·全国·课后作业)若点关于直线对称，则 ； ． 【答案】4；2【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答. 【详解】依题意，直线的斜率为，线段的中点， 于是，整理得，解得，故答案为：4；2 13.(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知圆，一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线后反射，射出的直线恰好和圆相切，则的值为 ． 【答案】【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数、直线的倾斜角、求点到直线的距离 【分析】首先求出过的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出半径的值. 【详解】因为一条过点的直线将圆分成面积相等的两部分，所以该直线经过圆心. 所以该直线的斜率为.所以该直线的方程为，倾斜角为. 因为该直线碰到直线后反射，那么射出的直线与轴的夹角为， 中，当时，， 从而射出的直线的斜率为，且射出的直线经过点. 所以射出的直线方程为，即. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心到该直线的距离为圆的半径，即.故答案为：.   14.(24-25高三上·江苏·阶段练习)已知是圆：上的动点，，点，是圆：上的两个动点，点满足，，则的最小值为 ． 【答案】【难度】0.15 【知识点】轨迹问题——圆、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线(图形)上的最值(范围) 【分析】设的中点为，设，由，知，结合勾股定理化简整理得点的轨迹方程；设与圆交于点，取的中点，利用三角形相似得到，求解即可. 【详解】由题知，圆的半径，，圆的半径， 设的中点为，连接，所以， 因为，， 所以四边形为矩形，则为的中点，且， 设，则，所以， 因为，所以，所以， 即，整理得， 所以点在以为圆心，以为半径的圆上. 因为，所以， 设与圆交于点，取的中点，连接，则，， 在和中，且， 所以与相似，所以，即， 所以， 当且仅当三点共线且垂直于轴时取等号， 所以的最小值为.故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相似，从而得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(24-25高二上·新疆喀什·期末)求经过点，且满足下列条件的直线的方程； (1)经过点；(2)与直线平行；(3)与直线垂直； 【答案】(1)；(2)；(3)【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程； (2)设与直线平行的直线的方程为，代点即可求得； (3)设与直线垂直的直线方程为，代点即可求得. 【详解】(1)根据题意有直线的斜率为， ………………2分 则直线的方程为，整理有；………………4分 (2)设与直线平行的直线的方程为，………………6分 又因为经过点， 所以，即； ………………8分 (3)设与直线垂直的直线方程为， ………………11分 又因为经过点， 所以，即. ………………13分 16．(15分) (24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线：. (1)若直线垂直于直线：，求的值；(2)求证：直线经过定点； (3)当时，求点关于直线的对称点的坐标. 【答案】(1)1；(2)证明见解析；(3)【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求点关于直线的对称点 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解；(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即可得解.(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及的中点在直线上，列出方程组，解方程组即可得解. 【详解】(1)因为，所以，………………2分 解得，故的值为； ………………4分 (2)因为，所以， 所以， ………………6分 解得， ………………8分 所以直线恒过定点； ………………9分 (3)因为，所以直线， ………………10分 设点关于直线的对称点的坐标为， 所以的中点坐标为， ………………11分 所以，解得， ………………14分 所以点关于直线的对称点的坐标为. ………………15分 17．(15分)(2025高三·全国·专题练习)已知点，动点满足，设动点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两点． (1)求曲线的方程；(2)若，求实数的值； (3)过点作垂直于的直线，且直线与曲线交于两点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)；(2)；(3)7【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离、平面向量数量积的定义及辨析、轨迹问题——圆 【分析】(1)由，代入坐标并化简可得结果；(2)由易得，再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； (3)由，分别讨论和时四边形的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】(1)由， ………………2分 化简整理得．所以曲线的方程为． ………………4分 (2)因为， 所以． ………………6分 所以圆心到直线的距离， 所以． ………………9分 (3)当时，，， ； ………………11分 当时，圆心到直线的距离，所以． 又，同理得． 所以． ………………13分 整理得，当且仅当时取等号． 当时，． 综上，当时，四边形面积有最大值7． ………………15分 18．(17分)(24-25高二上·贵州·期中)材料：把经过两条直线：，：的交点的直线方程叫做共点直线系方程，其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为：(其中，且该方程不表示)． 问题：已知圆M：．求： (1)求共点直线系方程的“共点”的坐标； (2)设点为第(1)问中的“共点”，点N为圆上一动点，求的取值范围； (3)若有唯一一组非零实数对满足关于实数的方程：．设过点的直线与圆相交于，两点，当取得最小值时，求直线的方程． 【答案】(1);(2);(3)【难度】0.4 【知识点】直线交点坐标、定点到圆上点的最值(范围)、圆的弦长与中点弦、求到两点距离相等的直线方程 【分析】(1)解方程组可得点坐标.(2)确定点与圆的位置关系，根据圆外的点与圆上的点的距离的最值可求解.(3)把转化为点和到直线的距离相等，根据非零实数对唯一存在可求的值，进而确定的值；再判断点与圆的位置关系，可确定过点的弦长最短时，直线所在的方程. 【详解】(1)由. ………………3分 所以“共点”的坐标为： ………………4分 (2)圆：，所以圆心，半径，………………5分 由，所以点在圆外. ………………7分 所以. ………………10分 (3)由得：点和到直线的距离相等.………………13分 所以直线过的中点或与直线平行或重合， 又非零实数对唯一存在，所以就是直线. 所以. ………………15分 因为：，所以点在圆内. 因为，所以当最小时，直线的方程为：. ………………17分 【点睛】关键点点睛：根据点到直线的距离公式，把转化成两点、到直线的距离，进而得：直线可能过已知两点的中点，或与过两点的直线平行或重合，再根据实数对存在的唯一性，所以直线就是过、的直线，所以. 19．(17分)(24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆与圆相交于P，Q两点，，且为线段PQ的中点，则称是的m等距共轭圆.已知点，均在圆上，圆心在直线上. (1)求圆的标准方程.(2)若圆是圆的8等距共轭圆，设圆心的轨迹为. (i)求的方程.(ii)已知点，直线l与曲线交于异于点H的E，F两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1);(2)(i)；(ii)直线过定点【难度】0.15【知识点】轨迹问题——圆、由圆心(或半径)求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】(1)设，根据解得，即可得圆心和半径，进而可得圆的方程； (2)(i)分析可知，可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆；(ii)分类讨论直线l的斜率是否存在，根据斜率公式以及韦达定理分析求解即可. 【详解】(1)因为圆心在直线上，设， 且点，均在圆上，则， 可得，解得， ………………3分 即圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. ………………5分 (2)(i)因为，由题意可得：， ………………8分 可知圆心的轨迹为是以为圆心，半径的圆， 所以的方程为； ………………10分 (ⅱ)若直线l的斜率存在，设直线l：，， 联立方程，消去y可得， 则，且， ………………12分 因为， 整理可得， 则 可得，即或， 当，直线过定点； 当，直线过定点，不合题意； 可知直线过定点； ………………14分 若直线l的斜率不存在，设， 则，即， 且在圆上，则， 即，解得，不合题意； ………………16分 综上所述：直线过定点. ………………17分 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将b用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第2章解析几何初步（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1,本试卷分第1卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的， 1(24-25高二上河北张家口期末)已知直线1过点P1,0),将直线1绕点P逆时针旋转亚与x轴重合，则直线1 的方程为) A.y= 31 B.y=V3(x-1) C.y=-5 (x-) D.y=-V3(x-1) 【答案】D【难度】0.85【知识点】斜率与倾斜角的变化关系、直线的点斜式方程及辨析 【分析】先求出直线！的倾斜角，再由点斜式即可得出答案， 【详解】直线1过点P(L,0),将直线1绕点P逆时针旋转匹与x轴重合， 所以直线的倾斜角为牙。所以m牙-5，直线的方程为：y=-5K-)枚选：D 3 2.(24-25高二上广东潮州阶段练习)若AB<0,BC>0,则直线Ax-By+C=0不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】C【难度】0.85【知识点】直线的一般式方程及辨析 【分析】化直线的方程为斜截式，由己知条件可得斜率和截距的正负，可得答案。 【详解】由题意可知B≠0，故直线的方程可化为y=Ax+C BB 由AB<0，BC>0可得号<0，号>0， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限.故选：C 3.(2425高二下云南曲靖·期末若直线y=x+a+1与圆c:x+心-2a=相离，则a的取值范围是() A（）B.(m.o叭oc.(》o.3m 第1页共14页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B【难度】0.85【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆心到直线的距离大于半径求解， 【详解】圆C的圆心为C(0,2),半径R=日， 2 C(0,2a)到直线y=5x+a+1的距离d-上2a+a+l4,解得a< 2 2 又R-g>0所以ae(,o(0号 故选：B 4.(24-25高二下浙江衢州期中)直线：(3a+2)x-y-2=0(a为常数)，圆C:x2+2x+y2+2y-23=0,则直 线1被圆C截得的弦长最小值为) A.V15 B.17 C.2W5 D.√21 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】直线1经过定点P,求出圆的圆心与半径，根据圆的弦长公式与直线与圆相交的性质，算出直线I被 圆C截得的最短弦长，即可得得答案 【详解】直线：(3a+2)x-gy-2=0,整理可得(3x-y)a=2-2x, 令8解得x=1y=3,枚直线1过定友PL3), 又圆C:x2+2x+y2+2y-23=0,则圆心C(-1,-1),半径圆=5， 根据圆的性质，当直线I与PC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短， 结合PC=V22+42=25,可得直线被圆截得的最短弦长等于2√F2-1P℃P=2W25-20=25.故选：C. 5.(24-25高二上·安徽毫州·期末)已知点A(1,-1),B(a,a-2)到直线1的距离分别为2√和62，若这样的直 线l恰有两条，则a的取值范围是() A.(5,9) B.(9,+∞) C.（-7,-3)U(5,9) D.（-3,5)U(9,+0) 【答案】C【难度】0.65【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】根据给定条件，查得以A为圆心，2√2为半径的圆与以B为圆心，62为半径的圆的两圆相交， 再借助两点间距离公式列式求解。 【详解】恰好存在两条直线l,使得点A,B到1的距离分别为2、2和6√2， 以A为圆心，2√5为半径的圆，以B为圆心，6√2为半径的圆，这两圆有两条公切线， 因此这两个圆相交，即4W2<A<82,而A=√(a-1'+(a-12=V2a-: 则4<a-1<8,解得5<a<9或-7<a<-3,所以a的取值范围是(-7，-3)U(5,9).故选：C 6.(24-25高三下·北京阶段练习)已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线：x-y-3=0上运动，直线PA,PB 与圆C相切，切点为A,B,则下列说法正确的是() A.PA的最小值为2 B.PA最小时，弦AB所在直线的斜率为-1 第2页共14页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.PA最小时，弦AB长为√6 D.四边形PACB面积的最小值为√5 【答案】C【难度】0.65【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中 点弦、切线长【分析】根据圆的几何性质和切线的条件，结合点到直线距离得出切线长最小值判断A,根据 四边形面积计算判断D,C,再根据直线垂直计算得出斜率判断B. 【详解】圆心为（-1,0)，半径为√2.点P(x,y)满足x-y-3=0,即y=x-3. 设切线方程为PA和PB,由圆的切线性质可知，PA=VPC-2的最小值，出现在PC最小时. 此时圆心到直线距离为：5心L4-。-w5,代入得P以=82=6，A选项错误： V1+(-1)2 四边形PACB面积的最小值为；×PA×4Ck2=6x√5=2W5,D选项错误： 四边形PACB面积的最小值为号×AB<PCL=25,所以A=V6,C选项正确： 当PA最小时，PC⊥1，直线l:x-y-3=0的斜率为1， 因为此时PA=PB,CA=CB,所以AB⊥PC,弦AB所在直线的斜率为1，B选项错误故选：C 7.(24-25高二上浙江舟山期末)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线1：x+y+1=0,2为1上的动点.过 点Q作圆C的切线QA,QB,切点为A,B,当ABCO最小时，直线AB的方程为) A.x+y-2=0 B.5x+5y-12=0C.x+2y-3=0 D.3x+6y-8=0 【答案】B【难度】0.4【知识点】相交圆的公共弦方程、求圆的方程、直线与圆的位置关系求距离的最值 【分析】利用切线性质推得A,O,B,C四点共圆，AB⊥CQ,从而将|OC1|AB|转化为4|QA|,确定OC⊥1 时ABC9取得最小值，再求得以QC为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解. 【详解】因为圆C:x2+y2-4x-4y+4=0可化为(x-2)2+(y-2)2=4,所以圆心C(2,2),半径为y=2, 因为QA,QB是圆（的两条切线，则QA⊥AC,QB⊥BC, 由圆的知识可知，A,Q,B,C四点共圆，且AB⊥C2,QA=QB, 所以0CAB=4Seae=4x号x04×ACF4QA,又1OAF√OCP-2, 所以当|QC|最小，即QC⊥1时，|QCAB|取得最小值，此时QC的方程为：y-2=x-2,即y=x, 联立/ +10解得x=y=方即0-为，所以--5，中点为存到 第3页共14页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故以2C为直径的圆的方程为引+(-台，即，+少-多- 2 2-2=0, 又圆x2+y2-4x-4y+4=0,两圆的方程相减即为直线AB的方程：5x+5y-12=0.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是QC⊥1时，|OC引|AB|取得最小值 8.(23-24高二上湖南邵阳·阶段练习)过点P1,√3)作斜率为k的直线1交圆E:x2+y2=8于A,B两点，动点9 满足阁 若对每一个确定的实数k,记PQ的最大值为dx,则当k变化时，ds的最小值是() A.1 B.2 C.5 D.2 【答案】D【难度】015【知识点】由直线与圆的位置关系求参数【分析】本题涉及到动点9的轨迹，根据 比例，经分析可知，P,Q所在轨迹为圆，结合圆的几何性质即可求解 【详解】由题可知，P1,V3)在圆E:x2+y2=8内， 令周筒，且1，显然是他的肉比分点，设P为其外比分点， 则 =2,此时PP的中点C为P,Q所在阿氏圆的圆心， D 对每一个确定的实数k,Pg的最大值为dax=PP；即2，P'重合时ds为对应圆的直径， 根据圆的对称性，如图，讨论1>1的情况，而CP=2 当AB为直径时，入回-22+2W2:此时国83+2V,所以P8=4-22： P'BPB 故P②的最大值为dms=PP=PB+PB=2 当AB不为直径时，1<2<3+2√2,4<AB<4V2,且元AB增减趋势相同， --绸 由 P'BP'B 显然入接近于1时PB趋向无穷大，此时P9的最大值dms趋向无穷大， 综上，dms的最小值为2.故选：D 【点睛】方法点睛：本题涉及到动点到两个定点的距离之比为定值，此时该动点的轨迹为阿氏圆，结合阿 氏圆分析2点的位置再求P②的最值即可. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第4页共14页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.(24-25高二上广西河池期末)己知直线1：4x+3y+6=0与圆C:x2+y2-2x-8=0湘交于E,F两点，则() A.圆心C的坐标为(-1,0) B.圆C的半径为3 C.圆心C到直线l的距离为2 D.EF=√5 【答案】BC【难度】0.85【知识点】圆的弦长与中点弦、由标准方程确定圆心和半径、求点到直线的距离 【分析】将圆的一般方程转化为标准方程，即可直接得到圆心和半径，判断选项AB,利用点到直线的距离 公式和弦长公式即可直接判断选项CD 【详解】对于AB,圆C:(x-1)2+y2=9的圆心为C(1,0),半径r=3,故A错误，B正确： 对于C,点C(L,0)到直线1：4+3+6=0的距离d=10 +3=2,C正确： 对于D,EF=2Wr2-d=25,D错误故选：BC 10.(25-26高二上·全国·单元测试)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,下列说法正确的是() A.圆心为C(2,2) B.圆C与x轴、y轴都相切 C.过点B(2,1)的直线被圆C截得的最短弦长为23 D.y+x的最大值为3+√2 【答案】ABC【难度】0.65【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、判断直线与圆的位置关系、圆的弦长 与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆C的方程化成标准方程得圆心坐标可判断A:再根据直线与圆的位置关系判断B:先求得圆心 到直线的距离的最大值，再用l=2√r2-d?求得最短弦长即可判断C;令x+y=a,由直线x+y=a与圆C有 公共点求得a的范围即可判断D. 【详解】由x2+y2-4x-4y+4=0,得(x-2)2+(y-2)2=4,圆心为C(2,2).A正确： 因为圆C的半径为2，圆心为(2,2)，所以圆C与x轴、y轴都相切.B正确： 因为(2-2)2+1-2)2=1<4，所以点B在圆内，设圆心到过点B的直线的距离为d,则 dmm=|BC=V(2-2)2+(1-2)2=1,而被截得的弦长为2√4-d,则弦长最短为2W4-12=2√3.C正确： 令+y=a,期直线+y=a与圆C有公共点，所以2牛2≤2，解得4-2万sa三4+25，所以x+y的 √2 最大值为4+2√2.D错误；故选：ABC。 11.(2024北京·模拟预测)一条动直线4与圆x2+y2=1相切，并与圆x2+y2=25相交于点A,B,点P为定直 线2：x+y-10=0上动点，则下列说法正确的是() A.存在直线l,使得以AB为直径的圆与L2相切 B.|PA2+|PB2的最小值为150-20W2 C.AP.PB的最大值为-27+10√2 D.1PA|+|PB|的最小值为83 【答案】BCD【难度】0.15【知识点】数量积的运算律、圆的弦长与中点弦、数量积的坐标表示、由直线与 圆的位置关系求参数 【分析】对A,数形结合求出点M到直线l距离的最小值与，A比较可判断：对B,C,根据向量数量积运 第5页共14页 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 算结合PM≥5V2-1,运算得解判断；对D,直线l,上点P使得PA+PB最小等同于求直线x=5√2上一点 已，QA+QB的最小值问题，设M(x,y),A(x,),B(x,y2),利用直线对称列式运算求解 【详解】设线段AB的中点为M,根据圆的对称性可知点M在圆x2+y2=1上， -55, 则PA+PB=2PM,坐标原点0到直线，的距离为2 由图易知PM25V2-1,AB=2W52-1=4V6, 对于A,点M到直线，距离的最小值为5N2-1,且5反-1>2V6=AB, 所以以AB为直径的圆与2相离，故A错误： 对于c,所丽=所+丽列-(a-丽]-4--24， .A.PB=24PM≤24-5万-1)广=105-27，故C正确： 对于8，(（2p=(@A+mj=pA+p西+2-西=pA+Pm+2M24）， :.PA+PB=2PM+482255-1+48=150-202,故B正确： 对于D,由于A,B两点在圆x2+y2=25上，且AB=4V6,点O到直线l2的距离5√2，求直线l,上点P使得 PA+PB到最小等同于求直线x=5√2上一点e,2A+2B到的最小值问题， 设M(,),A(:,乃)，B(2,2),点B关于直线x=52对称点为B, 则B,(102-x,出)，直线AB:x,x+yy=1,x+=1, 由+少-25，消去y整理得x+1-广=25以， xox+yoy=1 即(x+)x2-2xx+1-256=0,即x2-2xx+1-256=0, ∴x+x2=2x。,xx2=1-25y6,同理y+=2%,yy2=1-25x, .(PA+IPB))=(24l+eBD)=(24+B)=4B=10v2-+x)+) =(105-2x,)+(y+4)/-4yy2=(10W2-2x)+4-41-25x)=100x-40V2x,+200,-1≤≤1， 第6页共14页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (P4+PB)'的最小值为4×100x200-(-40W2 =192, 4x100 所以PA+PB的最小值为8√3，故D正确故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解题的关键是将求直线l,上点P使得PA+PB最小值转化为求直线 x=5√2上一点2，|2A+|QB的最小值问题 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(23-24高二上全国·课后作业)若点A(a+2,b+2),B(b-4,a-6)关于直线4x+3y-11=0对称，则a= b= 【答案】4：2【难度】0.85【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据给定条件，利用轴对称的性质列出方程组，解方程组即可作答」 【详解】依题意，直线AB的斜率为)-4-(a+2)b-a-6' 率为06-b+）-a-68线段4B的中点a+g,6+4, a-b-83 Jb-a-6 4 a+b=6,解得a=4b=2,故答案为：4：2 a-b=2 于是 ,整理得 4.+b-2+3.5+a-4-11=0 2 2 13.(24-25高一下浙江宁波期末)已知圆0：(x-3)+y2=2，一条过点(0，-√3)的直线将圆0分成面积相等 的两部分，且该直线在碰到直线x=6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则的值为 【答案】3【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由直线与圆的位置关系求参数、直线的倾斜角、求点到直线的距离 【分析】首先求出过(0，-√3)的直线方程，然后求出反射后的直线的方程，最后利用圆心到直线的距离等于 圆的半径，即可求出半径r的值 【详解】因为一条过点(0，-√3)的直线将圆分成面积相等的两部分，所以该直线经过圆心(3,0) 所以该直线的斜率为k=V3-05所以该直线的方程为y=5x- 2x-√3，倾斜角为30. 0-33 3 因为该直线碰到直线x=6后反射，那么射出的直线与x轴的夹角为150°， y=V3 -5中，当x=6时，y=V3, 3 从而射出的直线的斜率为-5，且射出的直线经过点(6同)。 3 所以射出的直线方程为y-5=- 3 (x-6),即x+V3y-9=0. 又该射出的直线恰好与圆相切，所以圆心(3,0)到该直线的距离为圆的半径，即r= -9=3.故答案为：3. V3+1 第7页共14页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 =6 14.(24-25高三上江苏·阶段练习)已知P是圆C：(x-m+1)+y2=4m∈R)上的动点，M(m+3,0),点A, B是圆C,：(x-5)+(y-6)=4上的两个动点，点C(6,6)满足CA.CB=0,CA+CB=C,则PM+2PW 的最小值为 【答案】12-2√万【难度】0.15 【知识点】轨迹问题一一圆、由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】设AB的中点为D,设N(x,y),由CA.CB=0,CA+CB=C知AB=CN,结合勾股定理化简 整理得N点的轨迹方程：设CM与圆C1交于点G,取CG的中点2，利用三角形相似得到PM=2Pg, 求解即可， 【详解】由题知C(m-1,0),圆C的半径1=2，C2(5,6),圆C,的半径5=2， GM O 设AB的中点为D,连接C,D,所以C,D⊥AB, 因为CA+CB=CN,CA.CB=0, 所以四边形ACBN为矩形，则D为CN的中点，且AB=CW, 设Nc).则©生9，所以-(： 因为AB=CW,所以4AD'=CN,所以44-CDP)=CN, 即4〔：}--+0-，整理相(x-列+-6矿=7， 所以点N在以C,(5,6)为圆心，以√万为半径的圆上. 因为M(m+3,0),所以CM=4, 设CM与圆C交于点G,取C,G的中点Q,连接PQ,则2(m,0),Cg=1, Ipal_CM=2, 在△PCQ和aMCP中，∠PCO=∠MC,P且g同 第8页共14页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 PM 所以△PC2与△MC,P相似，所以 PO =2,即PM=2P9, 所以PM+2PN=2(Pg+PN)≥ON≥{6V)=12-7, 当且仅当N,P,Q三点共线且垂直于x轴时取等号， 所以PM+2PW的最小值为12-27.故答案为：12-2√7 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据已知条件得到N点的轨迹为圆，其次在于构造三角形相 似，从而得到PM=2P9. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.13分24-25高二上新疆喀什期末)求经过点M(-1,2),且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点A(1,3)；(2)与直线2x+y+5=0平行：(3)与直线2x+y+5=0垂直： 【答案】(1)x-2y+5=0:(2)2x+y=0；(3)x-2y+5=0【难度】0.94 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线平行求方程、由两条直线垂直求方程 【分析】(1)由两点即可求出斜率，由点斜式即可求直线的方程： (2)设与直线2x+y+5=0平行的直线的方程为2x+y+m=0,代点M(-1,2)即可求得： (3)设与直线2x+y+5=0垂直的直线方程为x-2y+t=0,代点M(-1,2)即可求得. 3-21 【详解】()根据题意有直线的斜率为k=广C一2……2分 则直线的方程为y-2三x+1),整理有x-2y+5=0:…4分 (2)设与直线2x+y+5=0平行的直线的方程为2x+y+=0,…6分 又因为经过点M(-1,2), 所以2×(-1)+2+m=0→m=0,即2x+y=0: 8分 (3)设与直线2x+y+5=0垂直的直线方程为x-2y+t=0, *…11分 又因为经过点M(-1,2), 所以-1-2×2+t=0=t=5,即x-2y+5=0 …13分 16.(15分)(24-25高一下.浙江宁波.期末)已知直线1：(a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0. (1)若直线l垂直于直线：x+y-3=0,求a的值；(2)求证：直线l经过定点： (3)当a=-11时，求点P(1,4)关于直线1的对称点p的坐标. 821 【答案】(1：2证明见解析：3)3·5)【难度】0.65 【知识点】已知直线垂直求参数、直线过定点问题、求点关于直线的对称点 【分析】(1)根据两直线垂直的条件即可得解：(2)转换为恒等式成立问题，由恒等式成立的条件解方程组即 第9页共14页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 可得解(3)设对称点坐标，根据中点坐标公式求出P,P的中点坐标，然后根据两直线垂直的性质以及P,P的 中点在直线！上，列出方程组，解方程组即可得解。 【详解】(1)因为1⊥1，所以(a+2)×1+(2a-5)×1=0,…2分 解得a=1,故a的值为l; …4分 (2)因为(a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0,所以a(2x+y-6-5x+2y+6=0, 2x+y-6=0 所以 …6分 -5x+2y+6=0 x=2 解得 y=2' …8分 所以直线1恒过定点(2,2)： ………9分 (3)因为a=-11,所以直线1：3x+y-8=0, …10分 设点P1,4)关于直线l的对称点P的坐标为(x,y), 所以P,P的中点坐标为+1，+4 2 2， …11分 y。-4 (3)=-1 8 所以 -1 3.。+1++4 ,解得 8=0 21 …14分 y= 2 2 5 以点P关于直线的对称点P的坐标为(2，一 …15分 7.15分X2025高三全国：专题练习已知点4化，0)，8(4,0，动点T化川满足-，设动点7的轨迹是 曲线C,直线l:y=x+1与曲线C交于P,Q两点 (1)求曲线C的方程；(2)若OP.O0=-2,求实数k的值： (3)过点(0,1)作垂直于1的直线l,且直线l与曲线C交于M,N两点，求四边形PMQN面积的最大值. 【答案】(1)x2+y2=4:(2)k=0;(3)7【难度】0.65 【知识点】圆的弦长与中点弦、求点到直线的距离、平面向量数量积的定义及辨析、轨迹问题一一圆 T4 1 【分析】(1)由 园2代入坐标并化简可得结果：2油on.00-2易得c0s∠P0Q=∠P00=120, 再结合点到直线的距离公式表示圆心到直线的距离，从而计算出结果； (3)由S四边形PMQw= wNP@,分别讨论k=0和k≠0时四边形PMON的面积，从而得到面积的最大值. 【详解】(1)由 TA_1V(x-1)+y2 F82V-4+y …2分 化简整理得x2+y2=4.所以曲线C的方程为x2+y2=4.…4分 第10页共14页 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 第2章 解析几何初步 (高效培优单元测试·提升卷)答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $第2章解析几何初步（高效培优单元测试·提升卷） (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第丨卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生 务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2.回答第1卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 % 写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的， 1.(24-25高二上河北张家口·期末)已知直线1过点P(1,0),将直线1绕点P 逆时针旋转亚与x轴重合，则直线1的方程为) N A.=9-1B.y=5(x-)C.=5-D.y=-V3x-1) 2.(24-25高二上·广东潮州阶段练习)若AB<0,BC>0,则直线 Ax-By+C=0不经过的象限是() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限 3.(24-25高二下…云南曲靖期末)若直线y=√5x+a+1与圆 帝 c:x2+(0-2a}=1a2相离，则a的取值范围是() A 潮 A.（E (o)c.D.(+ 4.(24-25高二下浙江衢州期中)直线1：(3a+2)x-y-2=0(a为常数)，圆 C:x2+2x+y2+2y-23=0,则直线1被圆C截得的弦长最小值为) A.√15B.√17 C.2W5D.√21 烂 5.(24-25高二上安徽毫州期末)已知点A(1,-1),B(a,a-2)到直线1的距 离分别为2√2和6√2，若这样的直线l恰有两条，则a的取值范围是() A.(5,9)B.(9,+w）C.（7,-3)U(5,9)D.(-3,5)U(9,+0) 数学第1页（共6页） 6.(24-25高三下·北京阶段练习)已知圆C:(x+1)2+y2=2,点P在直线 1:x-y-3=0上运动，直线A,PB与圆C相切，切点为A,B,则下列 说法正确的是() A.PA的最小值为2B.PA最小时，弦AB所在直线的斜率为-1 C.PA最小时，弦AB长为√6D.四边形PACB面积的最小值为√阝 7.(24-25高二上·浙江舟山期末)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,直线 1:x+y+1=0,Q为l上的动点.过点Q作圆C的切线OA,OB,切点为 A,B,当ABC9最小时，直线AB的方程为) A.x+y-2=0 B.5x+5y-12=0 C.x+2y-3=0 D.3x+6y-8=0 8.(23-24高二上湖南邵阳阶段练习)过点P1,V3)作斜率为k的直线1交 PA24 圆B:r+广=8于A,8两点，动点e满足P四，若对每一个确定 的实数k,记Pg的最大值为d,则当k变化时，dm的最小值是() A.1B.√2C.√3D.2 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对 的得部分分，有选错的得0分. 9.(24-25高二上·广西河池期末)已知直线：4x+3y+6=0与圆 C:x2+y2-2x-8=0相交于E,F两点，则） A.圆心C的坐标为(-1,0) B.圆C的半径为3 C.圆心C到直线l的距离为2 D.EF=5 10.(25-26高二上·全国.单元测试)已知圆C:x2+y2-4x-4y+4=0,下列 说法正确的是() A.圆心为C(2,2) B.圆C与x轴、V轴都相切 C.过点B(2,1)的直线被圆C截得的最短弦长为23 D.y+x的最大值为3+√2 11.(2024北京·模拟预测)一条动直线与圆x2+y2=1相切，并与圆 x2+y2=25相交于点A,B,点P为定直线l2:x+y-10=0上动点，则下 数学第2页（共6页） 列说法正确的是() A.存在直线，使得以AB为直径的圆与I,相切 B.|PA2+|PB的最小值为150-20N2 C.A亚.PB的最大值为-27+10√2 D.IPA|+|PBI的最小值为83 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.(23-24高二上全国·课后作业)若点A(a+2,b+2),B(b-4,a-6)关于直线 4x+3y-11=0对称，则a=;b= 13.(24-25高一下浙江宁波期末)已知圆0：(x-3)+y2=r2,一条过点 (0,-√⑤)的直线将圆O分成面积相等的两部分，且该直线在碰到直线 x=6后反射，射出的直线恰好和圆O相切，则”的值为、 14.(24-25高三上江苏-阶段练习)已知P是圆C：(x-m+1)°+y2=4(m∈R) 上的动点，M(u+3,0),点A,B是圆C2:(x-5)'+(y-6)2=4上的两 个动点，点C(6,6)满足CA.CB=0,CA+CB=CN,则PM+2PW的 最小值为一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤 15.(13分)24-25高二上新疆喀什期末)求经过点M(-1,2),且满足下列 条件的直线的方程： (1)经过点A(1,3):(2)与直线2x+y+5=0平行：(3)与直线2x+y+5=0垂 直； 数学第3页（共6页） 16.(15分)(24-25高一下·浙江宁波·期末)已知直线1： (a+2)y+(2a-5)x-6a+6=0. (1)若直线1垂直于直线l:x+y-3=0,求a的值： (2)求证：直线1经过定点： (3)当a=-11时，求点P(1,4)关于直线1的对称点P'的坐标. 17.15分)2025高三·全国.专题练习)已知点A(1,0),B(4,0),动点T(x,y) T41 满足F西2设动点T的轨迹是曲线C,直线I:V=a+1与曲线C交于 P,Q两点. (1)求曲线C的方程；(2)若OP.OQ=-2,求实数k的值： (3)过点(0,1)作垂直于I的直线，且直线与曲线C交于M,N两点，求 四边形PMQN面积的最大值. 数学第4页（共6页） 18.(17分)24-25高二上贵州·期中)材料：把经过两条直线1：Ax+By+C=0, 2:A,x+B,y+C,=0(AB,≠A4,B)的交点的直线方程叫做共点直线系方程， 其交点称作共点直线系方程的“共点”，共点直线系方程也可表示为： Ax+By+C+(A,x+B2y+C2)=0(其中∈R,且该方程不表示l,). 问题：已知圆M:x2+y2-2x+4y-3=0.求： (1)求共点直线系方程3x+y+3+(2x-y+3)=0(2∈R)的“共点”P的坐 标；(2)设点P为第(1)问中的“共点”，点N为圆M上一动点，求PW的取 值范围；(3)若有唯一一组非零实数对(4，b)满足关于实数m的方程： 3a+b+3_2a6+)m.设过点Q(m,-2)的直线与圆M相交于S，7两 va+b2 va+b2 点，当ST取得最小值时，求直线ST的方程 数学第5页（共6页） 19.(17分)24-25高二上·贵州六盘水·期中)若圆C与圆C,相交于P,9两 点，Pg=(>0),且C,为线段PQ的中点，则称C,是C的m等距共 轭圆.已知点A(3,5),B(6,4)均在圆C1上，圆心C在直线x-4y-3=0上 (1)求圆C的标准方程.(2)若圆C2是圆C的8等距共轭圆，设圆心C,的轨 迹为2. ()求2的方程.（已知点H(3,3),直线1与曲线2交于异于点H的E,F 两点，若直线HE与HF的斜率之积为3，试问直线I是否过定点？若过 定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 数学第6页（共6页）第2章解析几何初步 (高效培优单元测试·提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 n 意事 体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 1 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 1234 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 5678q 123456789 456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6 [A][B][C][D] 艾棉 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][BI[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）