专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义）高二数学上学期湘教版

专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 【考试要求】 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 【命题规律】 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等。题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现。 1.直线与圆的位置关系与判断方法 方法 过程 依据 结论 代数法 联立方程组消去 （或 ）得一元二次方程，计算 几何法 计算圆心到直线的距离 ,比较 与半径 的关系。 相交时弦长为 相交 相切 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆 ,圆 。 方法 位置关系 几何法：圆心距 与 , 的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 解 外切 实数解 相交 实数解 内切 实数解 内含 0 解 注意：设圆 ①,圆 ②, 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即 。 3.两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 4.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2． (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝． 注意： 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 类型一 直线与圆的位置关系 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 2.已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系是( ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 3.若过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( ) A. B. C. D. 4. 圆 上到直线 的距离等于1的点的个数为( ) A. B. C. D. 5.设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 ． 6.(多选题)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个结论中正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 7.若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A． B． C． D． 反思感悟 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 类型二 圆的切线、弦长问题 1.直线 与圆 交于 ， 两点，则 。 2.已知圆 ，过点 作圆 的切线，则切线方程为 。 3.若半径为1的圆 与圆 相切，则圆 的圆心轨迹为 。 4.若直线过点 且被圆 截得的弦长是6，则该直线的方程为 。 5.写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 ． 6.过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　) A．1 B． C． D． 7.已知直线l：mx＋y＋3m＋＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数m的值为 ． 8.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0，与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 9.已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．∪ C．∪ D． 反思感悟 圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. (3)求圆的切线方程时，一要注意切线斜率是否存在，二要注意点(x0，y0)与圆的位置关系． 圆的弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 类型三 圆与圆的位置关系 1.已知圆 和圆 。 （1） 求证：圆 和圆 相交； （2） 求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。 2.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是( ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 3.若圆 与圆 的公共弦长为 ，则a= 。 4.在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 满足 ，则实数的取值范围是 。 5.(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b 6.已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　) A．4　　 B．5　　 C．6　　 D．7 反思感悟 1．处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系判断，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 3．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　) A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6 C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6 4．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D．2 5．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为(　　) A． B．4 C． D． 6．(多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则“ ”是“ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.已知圆 上到直线 的距离等于1的点至少有2个，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 3.已知坐标原点到直线 的距离为2，且直线 与圆 相切，则满足条件的直线有( ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 4.设过点 的直线与圆 的两个交点分别为 ， ，若 ，则 ( ) A. B. C. D. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4，k≠0，则下列四个命题正确的是(　　) A．存在k∈N＋，使得圆Ck与x轴相切 B．存在k∈N＋，使得圆Ck与圆Ck＋1有公共点 C．存在一条直线与所有的圆Ck均相交 D．存在k∈N＋，使得圆Ck经过原点 2．已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得，则x0的取值范围是 ． 3.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 直线与圆、圆与圆的位置关系（期中复习讲义） 【考试要求】 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系，能根据给定两个圆的方程判断圆与圆的位置关系； 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题； 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想。 【命题规律】 考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系的判断；根据位置关系求参数的范围、最值、几何量的大小等。题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现。 1.直线与圆的位置关系与判断方法 方法 过程 依据 结论 代数法 联立方程组消去 （或 ）得一元二次方程，计算 相交 相切 相离 几何法 计算圆心到直线的距离 ,比较 与半径 的关系。 相交时弦长为 ＜ 相交 = 相切 ＞ 相离 2.圆与圆的位置关系 设圆 ,圆 。 方法 位置关系 几何法：圆心距 与 , 的关系 代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况 外离 无解 外切 一组实数解 相交 两组不同的实数解 内切 一组实数解 内含 0≤ ＜ 无解 注意：设圆 ①,圆 ②, 若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①-②所得，即 。 3.两圆公切线的条数 位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 公切线条数 0 1 2 3 4 4.直线被圆截得的弦长 (1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2． (2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝． 注意： 1．圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论 (1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到． (2)两个圆系方程 ①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； ②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C2，所以注意检验C2是否满足题意，以防丢解)． 类型一 直线与圆的位置关系 1.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为(　　) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离 解析：B　圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝，而0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心． 2.已知点 在圆 外，则直线 与圆 的位置关系是( B ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 不确定 [解析]因为 在圆 外，所以 ，而圆心 到直线 的距离 ，所以直线与圆相交。 3.若过点 的直线 与圆 有公共点，则直线 的斜率的取值范围是( D ) A. B. C. D. [解析]解法一：设直线 的方程为 ，联立得 则 ，得 ，根据题意知 。 解法二：设直线 的方程为 ，直线 与圆有公共点，则圆心 到直线 的距离 。 4. 圆 上到直线 的距离等于1的点的个数为( C ) A. B. C. D. [解析]如图所示，因为圆心到直线的距离为 ，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线的距离为1的点有3个。 5.设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是 ． 解析：由题意知点A(－2，3)关于直线y＝a的对称点为A′(－2，2a－3)，所以kA′B＝，所以直线A′B的方程为y＝x＋a，即(3－a)x－2y＋2a＝0. 由题意知直线A′B与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，易知圆心为(－3，－2)，半径为1，所以≤1，整理得6a2－11a＋3≤0，解得，所以实数a的取值范围是. 答案： 6．(多选题)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以下几个结论中正确的有(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 解析：AC　将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得 则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，又点(3，1)在圆C内部，故直线l与圆C恒相交，故AC正确，BD不正确． 7．若圆x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围是(　　) A． B． C． D． 解析：A　计算得圆心到直线l的距离为 ＞1，如图． 直线l：x－y－2＝0与圆相交，l1，l2与l平行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l2的距离＋1. 反思感悟 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 类型二 圆的切线、弦长问题 1.直线 与圆 交于 ， 两点，则 。 [解析]由 ，得 。所以圆心 ，半径 。圆心 到直线 的距离 ,所以 。 2.已知圆 ，过点 作圆 的切线，则切线方程为 或 。 [解析]由题意知 在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为 ，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为 ，所以切线方程为 ，即 ，所以 ，解得 ，所以切线方程为 。综上，切线方程为 或 。 3.若半径为1的圆 与圆 相切，则圆 的圆心轨迹为两个圆。 [解析]若两圆外切，则点 与点 间的距离为4，点 在以 为圆心，4为半径的圆上；若两圆内切，则点 与点 间的距离为2，点 在以 为圆心，2为半径的圆上。综上可知，圆 的圆心轨迹为两个圆。 4.若直线过点 且被圆 截得的弦长是6，则该直线的方程为 或 。 [解析]当直线的斜率不存在时，该直线的方程为 ，代入圆的方程解得 ，故该直线被圆截得的弦长为6，符合题意。当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为 ，即 ，圆心到直线的距离 ，则 ，解得 ，所以直线方程为 。综上所述，所求直线方程为 或 。 5.写出与圆x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一条直线的方程 ． 解析：法一：如图，因为圆x2＋y2＝1的圆心为O(0，0)，半径r1＝1，圆(x－3)2＋(y－4)2＝16的圆心为A(3，4)，半径r2＝4，所以|OA|＝5，r1＋r2＝5，所以|OA|＝r1＋r2，所以两圆外切，公切线有三种情况：①易知公切线l1的方程为x＝－1.②另一条公切线l2与公切线l1关于过两圆圆心的直线l对称．易知过两圆圆心的直线l的方程为y＝x，由，得，由对称性可知公切线l2过点，设公切线l2的方程为y＋＝k(x＋1)，则点O(0，0)到l2的距离为1，所以1＝，解得k＝，所以公切线l2的方程为y＋(x＋1)，即7x－24y－25＝0.③还有一条公切线l3与直线l：y＝x垂直，设公切线l3的方程为y＝－x＋t，易知t＞0，则点O(0，0)到l3的距离为1，所以1＝，解得t＝或t＝－(舍去)，所以公切线l3的方程为y＝－，即3x＋4y－5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0. 法二：根据题意，精确作出两圆(需用到尺规)，由图形可直观快速看出直线x＝－1是两圆的一条公切线，经验证符合题意，故可填x＝－1. 答案：x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0 6.(2023·新课标Ⅰ卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． 解析：B　如图，由x2＋y2－4x－1＝0得(x－2)2＋y2＝5，所以圆心坐标为(2，0)，半径r＝，所以圆心到点(0，－2)的距离为. 由于圆心与点(0，－2)的连线平分角α，所以sin ， 又∈，所以cos ，所以sin α＝2sin cos ＝2×，故选B. 7.已知直线l：mx＋y＋3m＋＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，若|AB|＝2，则实数m的值为 ． 解析：因为圆x2＋y2＝12的圆心坐标为(0，0)，半径r＝2，所以圆心到直线l的距离d＝， 所以|AB|＝2，即2－2＝3，解得m＝. 答案： 8.(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c＝0，与圆x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．2 解析：C　根据题意有2b＝a＋c，即a－2b＋c＝0，所以直线ax＋by＋c＝0过点M(1，－2)且点M在圆内，设圆x2＋y2＋4y－1＝0的圆心为C，连接CM(图略)，则AB⊥CM时，|AB|最小，将圆的方程化为x2＋(y＋2)2＝5，则C(0，－2)，所以|MC|＝1，所以＝4，故选C. 9.已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B．∪ C．∪ D． 解析：B　易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线(如图)．设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，即kx－y－2＝0.由d＝＝1，得k＝±. ∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为.故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是∪. 反思感悟 圆的切线方程的求法 (1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k. (2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)(斜率存在)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k. (3)求圆的切线方程时，一要注意切线斜率是否存在，二要注意点(x0，y0)与圆的位置关系． 圆的弦长的两种求法 (1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程，在判别式Δ>0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长． (2)几何方法：若圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2. 类型三 圆与圆的位置关系 1.已知圆 和圆 。 （1） 求证：圆 和圆 相交； （2） 求圆 和圆 的公共弦所在直线的方程和公共弦长。 证明（1）：圆 的圆心 ，半径 ,圆 的圆心 ，半径 ， 两圆圆心距 , ， ， 所以 ,所以圆 和 相交。 （2）将圆 和圆 的方程左、右分别相减，得 , 所以两圆的公共弦所在直线的方程为 。 圆心 到直线 的距离 ，故公共弦长为 。 2.已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是( B ) A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 相离 [解析]由题意得圆 的标准方程为 ,圆心 到直线 的距离 ，所以 ，解得 ，圆 和圆 的圆心距 小于两圆半径之和 ，大于两圆半径之差1，故两圆相交。 3.若圆 与圆 的公共弦长为 ，则 。 [解析]两圆方程作差得公共弦所在直线方程为 。原点到 的距离为 。因为公共弦长为 ，所以 ，所以 ， 。 4.在平面直角坐标系 中，点 ，若圆 上存在一点 满足 ，则实数 的取值范围是 。 [解析]由题意知圆 的圆心坐标为 ,半径为1。设点 的坐标为 ,由 ,得 ,即 ,故点 的轨迹为以点 为圆心，2为半径的圆。又点 在圆 上，即圆 和点 的轨迹有公共点，所以 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 。 5.(多选题)已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，下列结论正确的有(　　) A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B．2ax1＋2by1＝a2＋b2 C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b 解析：ABC　由题意，圆C2的方程可化为x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，两圆的方程相减可得直线AB的方程为2ax＋2by－a2－b2＝0，即2ax＋2by＝a2＋b2，分别把A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入可得2ax1＋2by1＝a2＋b2，2ax2＋2by2＝a2＋b2，两式相减可得2a(x1－x2)＋2b(y1－y2)＝0，即a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0，所以选项A、B正确；由圆的性质可得，线段AB与线段C1C2互相平分，所以x1＋x2＝a，y1＋y2＝b，所以选项C正确，选项D不正确．故选ABC. 6.已知实数a，b满足a2＋b2－|a|－|b|＝0，则|a＋b－3|的最小值与最大值之和为(　　) A．4　　 B．5　　 C．6　　 D．7 解析：C　易知点(a，b)在曲线C：x2＋y2－|x|－|y|＝0上，当x≥0且y≥0时，曲线可化为x2＋y2－x－y＝0，即2＋2＝，曲线C是以为圆心， ＝0既关于原点对称，又关于x轴，y轴对称，而d＝表示曲线C上的点(a，b)到直线l：x＋y－3＝0的距离，如图所示，当点(a，b)位于A点时，距离最小，当点(a，b)位于B点时，距离最大，易求得A点的坐标为(1，1)，dmin＝，则|a＋b－3|min＝1，易求得B点的坐标为(－1，－1)，dmax＝，则|a＋b－3|max＝5，故|a＋b－3|的最小值与最大值之和为1＋5＝6.故选C. 反思感悟 1．处理与两圆的位置关系相关的问题时，多用圆心距与两圆半径的和或差的绝对值的大小关系判断，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到． 期中基础通关练（测试时间：25分钟） 1．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是(　　) A．相交 B．内切 C．外切 D．内含 解析：B　两圆方程可化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切． 2．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：B　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2＞1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＜1. 所以直线与圆相交． 3．与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是(　　) A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6 C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6 解析：B　设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0， 直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2， 所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确． 4．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　) A． B． C． D．2 解析：C　由已知得圆C1的圆心C1(a，－2)，圆C2的圆心C2(－b，－2)，由两圆外切可知|a＋b|＝3，故a2＋2ab＋b2＝9，所以4ab≤9，即ab≤，故选C. 5．两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0相交于两点M，N，则线段MN的长为(　　) A． B．4 C． D． 解析：D　两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x－8＝0的标准方程为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2 .故选D. 6．(多选题)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 解析：ACD　由题意知直线AB：＝1，即x＋2y－4＝0，圆心M(5，5)到直线x＋2y－4＝0的距离d＝.因为＋4＜10，所以A项正确．因为－4＜2，所以B项错误．当直线PB与圆相切时，∠PBA取得最值．如图，当切点在点P的位置时，∠PBA最小，此时圆心(5，5)到点B的距离为＝＝3.所以C，D项正确．故选ACD. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知直线 与圆 相交于 ， 两点，则“ ”是“ ”的( A ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 [解析]由题意得圆心 到直线 的距离为 ，若 ，则有 ，该方程等价于 ，即 。若 ，则 ，但 时， 或 ，故选A。 2.已知圆 上到直线 的距离等于1的点至少有2个，则 的取值范围为( A ) A. B. C. D. [解析]由圆的方程可知圆心为 ，半径为2。因为圆上到直线 的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 。 3. 已知坐标原点到直线 的距离为2，且直线 与圆 相切，则满足条件的直线 有( A ) A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 [解析]易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，因为坐标原点到直线 的距离为2，所以 ,即 ①。因为直线 与圆相切，所以 ②。由①②得 , ，所以直线 的方程为 ,故满足条件的直线 有1条。故选A。 4. 设过点 的直线与圆 的两个交点分别为 ， ，若 ，则 ( A ) A. B. C. D. [解析]由题意知，当直线 的斜率不存在或斜率为零时，不满足题意。设 , ，直线 的方程为 ，由 得 ，由 ，得 或 ，则 , 。因为 ，所以 ，故 ，即 ，代入 ，得 ，故 ，又 ，即 ，整理得 ，解得 或 。又 ，所以当 时， ;当 时， 。综上 。故选A。 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．(多选题)设有一组圆Ck：(x－1)2＋(y－k)2＝k4，k≠0，则下列四个命题正确的是(　　) A．存在k∈N＋，使得圆Ck与x轴相切 B．存在k∈N＋，使得圆Ck与圆Ck＋1有公共点 C．存在一条直线与所有的圆Ck均相交 D．存在k∈N＋，使得圆Ck经过原点 解析：AC　对于A，当圆Ck与x轴相切时，|k|＝k2，所以k＝－1(舍去)或k＝0(舍去)或k＝1，故A正确； 对于B，圆Ck与圆Ck＋1的圆心距为1，两圆半径之差的绝对值为|(k＋1)2－k2|＝|2k＋1|>1， 所以圆Ck内含于圆Ck＋1，故B错误； 对于C，因为所有圆的圆心均在定直线x＝1上，所以当直线为x＝1时，它与所有的圆Ck均相交，故C正确； 对于D，若圆Ck经过原点，则k2＋1＝k4，解得k2＝，k无正整数解，故D错误．故选AC. 2．已知圆O：x2＋y2＝1，点P(x0，y0)是直线l：3x＋2y－4＝0上的动点，若在圆O上总存在不同的两点A，B，使得，则x0的取值范围是 ． 解析：∵在圆O上总存在不同的两点A，B，使得， ∴四边形OAPB是菱形，∴直线AB垂直平分线段OP. ①当直线AB的斜率为0时， 由直线l：3x＋2y－4＝0得P(0，2)，此时在圆O上不存在不同的两点A，B满足条件． ②当直线AB的斜率不存在时， 由直线l：3x＋2y－4＝0可得P，此时直线AB的方程为x＝，满足条件． ③当直线AB的斜率存在且不为0时， ∵AB⊥OP，kOP＝，∴kAB＝－.∴直线AB的方程为y－， 即2x0x＋2y0y－＝0， 由题意得圆心到直线AB的距离d＝<1，即<4，又3x0＋2y0－4＝0， ∴－24x0<0，解得0<x0<.∴x0的取值范围是. 答案： 3.已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点． (1)求四边形PACB面积的最小值； (2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)如图所示，连接PC， 由点P在直线3x＋4y＋8＝0上，可设点P的坐标为，易知圆C的圆心为(1，1)，半径长为1.所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2×＝|AP|. 因为|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1，所以当|PC|最小时，|AP|最小． 因为点C到直线3x＋4y＋8＝0的距离为＝3，所以|PC|的最小值为3，此时|AP|＝2，即四边形PACB面积的最小值为2. (2)不存在．理由如下： 假设直线上存在点P满足题意． 因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以∠APC＝30°，|PC|＝2.由(1)知|PC|的最小值为3， 所以这样的点P是不存在的． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $